动点路径长专题(含答案)

1、动点路径长专题选择题（共2小题）1 .如图，抛物线y=x2-3x-2与直线y=x-2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达22抛物线的对称轴上的某点 巳再到达x轴上的某点F,最后运动到点 B.若使点P运动的总路径最短，则点 P运动 的总路径的长为（）A.巫B.巫C.也D. £23图1图22 .如图，半径为 4的。中，CD为直径，弦AB XCD且过半径 OD的中点，点E为。上一动点，CFLAE于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点 D时，点F所经过的路径长为（）A 行兀B 67TC 2/3D. a/3_717TTt233二.填空题（共9小题）3. （2013?鄂尔

2、多斯）如图，直线 y=-x+4与两坐标轴交 A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接 BP,过点A 作AM垂直于直线BP,垂足为M,当点P从点O运动到点A时，则点M运动路径的长为 .图3图4图54 .如图，半径为 2cm,圆心角为90°的扇形OAB的AB上有一运动的点 P.从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设OPH的内心为I,当点P在AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为 5 . （2011?江西模拟）已知扇形的圆心角为 60°,半径为1,将它沿着箭头方向无滑动滚动到OAB位置,点。到O的路彳5是 OO1-O1O2fO2O'；点。到o的路径是 丽一一

3、6商一砺厂；点O在01 02段上运动路线是线段 。1。2；点。到0的所经过的路径长为 费冗.以上命题正确的是 06. （2013?宁德）如图，在 RtAABC纸片中，/ C=90 °, AC=BC=4，点P在AC上运动，将纸片沿 PB折叠，得到 点C的对应点D （P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点 D的路径长是.图6图7图87. 如图，已知 AB=10 , P是线段AB上的动点，分别以 AP、PB为边在线段 AB的同侧作等边 4ACP和PDB, 连接CD,设CD的中点为G,当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径白长是 .8. （2013?湖州）如图，已知点A是第一象

4、限内横坐标为 2忐的一个定点，AC，x轴于点M ,交直线y= - x于点N.若 点P是线段ON上的一个动点，/ APB=30 °, BA ±PA,则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求 当点P从点O运动到点N时，点B运动的路彳5长是 .9. （2013?桂林）如图，已知线段 AB=10 , AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以 AP、PB为边向上、向下作正 方形APEF和PHKB ,设正方形对角线的交点分别为。1、。2,当点P从点C运动到点D时，线段。1。2中点G的运动路径白长是.14图9图10图1110. （2013?竹溪县模拟）如图：已知 AB=10

5、,点C、D在线段AB上且AC=DB=1 ; P是线段CD上的动点，分别 以AP、PB为边在线段 AB的同侧作等边 4AEP和等边PFB,连结EF,设EF的中点为G;当点P从点C运动到 点D时，则点G移动路径白长是.11 .如图，一根长为 2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时AB的中点P运动的路彳至长为 米.BC为1米，当A点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒三.解答题（共1小题）12. （2012?义乌市模拟）如图，边长为 4的等边4AOB的顶点O在坐标原点，点 A在x轴正半轴上，点 B在第一 象限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点 O向点A匀速运动，当点 P到达点A时

6、停止运动，设点 P 运动的时间是t秒.在点P的运动过程中，线段 BP的中点为点E,将线段PE绕点P按顺时针方向旋转 60。得PC.（1）当点P运动到线段 OA的中点时，点 C的坐标为 ;（2）在点P从点。到点A的运动过程中，用含 t的代数式表示点 C的坐标；（3）在点P从点。到点A的运动过程中，求出点 C所经过的路径长.选择题（共2小题）动点路径长专题参考答案与试题解析1.如图，抛物线 y=x2-L-卫与直线y=x-2交于A、B两点（点 A在点B的左侧），动22点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长

7、为（）A.屈B.屈C. 53考点：二次函数综合题.专题：压轴题.分析：首先根据题意求得点 A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴 x=°的对称点4A ；作点B关于x轴的对称点B；连接A'B',则直线A'B'与直线x二的交点是E,与x轴的交点是F,而 4且易得A B'即是所求的长度.解答：解：如图:抛物线y=x2-L -e与直线y=x-2交于A、B两点，22 . x2 - -x - -=x - 2,22解得：x=1或x=1,2当 x=1 时，y=x - 2= - 1,当 x=4时，y=x - 2=-,22点A的坐标为（工，

8、-苣），点B的坐标为（1, - 1）,221 -抛物线对称轴方程为：x=-2作点A关于抛物线的对称轴连接A B :则直线A B与对称轴（直线BF=B F, AE=A 'E,，点P运动的最短总路径是延长BB AA相交于C,A C=+ （1 - -） =1 ,4 42A B =7a c2+bz c2=2X1 4x=1的对称点A', 4作点B关于x轴的对称点B',x=i）的交点是 E,与x轴的交点是F, 4AE+EF+FB=A E+EF+FB =A'BBC=1 + g=E,2 2O点P运动的总路径的长为 运.2故选A.点评： 此题考查了二次函数与一次函数的综合应用.注

9、意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用.2.如图，半径为 4的。中，CD为直径，弦AB XCD且过半径 OD的中点，点E为。上一动点，CFLAE于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点 D时，点F所经过的路径长为（）DD.A行冗B座冗2考点：圆的综合题.专题：压轴题.分析： 连接AC, AO,由AB LCD,利用垂径定理得到 G为AB的中点，由中点的定义确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AO与OG的长，利用勾股定理求出 AG的长，进而确定出 AB的长，由CO+GO求出 CG的长，在直角三角形 AGC中，利用勾股定理求出 AC的长，由CF垂直于AE ,得到三

10、角形 ACF始终 为直角三角形，点 F的运动轨迹为以 AC为直径的半径，如图中红线所示，当 E位于点B时，CGXAE, 此时F与G重合；当E位于D时，CAXAE ,此时F与A重合，可得出当点 E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长 AG,在直角三角形 ACG中，利用锐角三角函数定义求出/ ACG的度数，进而确定出3d所对圆心角的度数，再由 AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出血的长，即可求出点 F所经过的路径长.解答：解：连接AC, AO, ABXCD,G 为 AB 的中点，即 AG=BG= -AB ,2 。0的半径为4,弦AB LCD且过半径 OD的中点， OG=2, 在RtA

11、AOG中，根据勾股定理得：AG= 02-Zqg2=2V3,AB=2AG=4 英，又 CG=CO+GO=4+2=6 , 在RtAAGC中，根据勾股定理得：AC=JK旅=4 CFXAE , . ACF始终是直角三角形，点 F的运动轨迹为以 AC为直径的半圆，当E位于点B时，CGXAE,此时F与G重合；当 E位于D时，CAXAE,此时F与A重合，当点E从点B出发顺时针运动到点 D时，点F所经过的路径长AG,在 RtAACG 中，tan/ACG=；=亚,CG 3/ ACG=30 °, AG所对圆心角的度数为 60°, 直径AC=4近,1803则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点

12、F所经过的路径长为 当6兀.3 菽的长为6。“ 二 2、= 兀,故选C.此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点 E从点B出发顺时针运动到点 D时，点F所经过的路径长AG,是解本题的关键.二.填空题（共9小题）3. （2013?鄂尔多斯）如图，直线y= - x+4与两坐标轴交 A、 上的动点，连接 BP,过点A作AM垂直于直线BP,垂足为到点A时，则点M运动路径的长为兀考点：一次函数综合题.分析： 根据直线与两坐标轴交点坐标的特点可得A、B两点坐标，由题意可得点 M的路径是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半

13、径的OA,求出 港的长度即可.解答： 解：: AM垂直于直线 BP, / BMA=90 °,点M的路径是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半径的OA,连接ON,直线y= - x+4与两坐标轴交 A、B两点，OA=OB=4 , ON LAB , / ONA=90 °,. AB= JoaN+ob%4'%，ON=2 正,故答案为：加兀.点评： 本题考查了二次函数的综合题，涉及了两坐标轴交点坐标及点的运动轨迹，难点在于根据/BMC=90 °,判断出点M的运动路径是解题的关键，同学们要注意培养自己解答综合题的能力.4.如图，半径为2cm,圆心角为90°的

14、扇形OAB的AB上有一运动的点 P.从点P向半径OA引 垂线PH交OA于点H.设OPH的内心为I,当点P在同上从点A运动到点B时，内心I所经 过的路径长为:弧长的计算；全等三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心.:计算题.如图，连 OI,PI,AI,由 OPH 的内心为 I,可得到/ PIO=180°-Z IPO-Z IOP=180°-1 (/HOP+/OPH)2=135°,并且易证 OPIOAI ,得到/ AIO= ZPIO=135°,所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为 135°的一段劣弧上；过 A、I、O三点作。O',如图，

15、连OA, OO,在优弧AO取点P,连PA, PO,可得 Z APO=180 °- 135 =45 O,得/ AOO=90 °, O'O=1oA= Y2X2=&,然后利用弧长公式计算弧 OA 的长.解：如图，连OI, PI, AI , .OPH的内心为I,./ IOP=Z IOA , / IPO=Z IPH, ./ PIO=180 - Z IPO-Z IOP=180°-1 (/ HOP+/OPH),2而 PHXOA ,即/ PHO=90 °, ./ PIO=180 - 1 (/ HOP+/OPH) =180 -2 (180 - 90

16、6;) =135°, 22又. OP=OA , OI 公共，而/ IOP=Z IOA , . OPIA OAI , ./ AIO= ZPIO=135 °,所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135。的一段劣弧上;过A、I、O三点作。O',如图，连OA, OO,在优弧AO取点P,连PA, PO, . / AIO=135 °, ./ APO=180 - 135 =45 °,/ AOO=90 °,而 OA=2cm , oo”!oa=2/1>2=&,22(cm),口 m90Xn乂益加兀 .弧 OA 的长=±=：L&#

17、177;一1202所以内心I所经过的路径长为cm.2故答案为：Y"cm.2本题考查了弧长的计算公式：1=与翳，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数.同时考查了三角形180内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质.5. (2011?江西模拟)已知扇形的圆心角为 60°,半径为1,将它沿 着箭头方向无Vt动滚动到 OA B位置，点O到O的路彳5是 001-0102-020'点o到o的路径是 时一茴-67一 ；点O在O1 一O2段上运动路线是线段 O1O2；点。到O的所经过的路径长为 乌兀.以上命题正确的是3考点：旋转的性质；弧长的计算.

18、分析： 圆心。由。到01的路径是以A为圆心，以OA为半径的圆弧；由Oi到02圆心所经过的路线是线段 O1O2； 由02到0',圆心经过的路径是：以 B为圆心，以0B为半径的圆弧.据此即可判断.解答： 解：圆心。由。到01的路径是以A为圆心，以 0A为半径的圆弧；由01到02圆心所经过的路线是线段 0102 ;由02到0',圆心经过的路径是：以 B为圆心，以0B为半径的圆弧.故正确的是：.故答案为：.6c0A0t点评：本题主要考查了图形的旋转，正确确定圆心。经过的路线是解决本题的关键.6. （2013?宁德）如图，在 RtAABC纸片中，/ C=90°, AC=BC=4

19、 ,点P在AC上运动，将纸片 沿PB折叠，得到点C的对应点D （P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点 D 的路径长是考点：翻折变换（折叠问题）；弧长的计算.分析：根据翻折变换的性质以及 ABC是等腰直角三角形判断出点D的路径是以点B为圆心，以BC的长为半径的扇形，然后利用弧长公式列式计算即可得解.解答： 解：C=90 °, AC=BC ,.ABC是等腰直角三角形，如图，点D的路径是以点 B为圆心，以BC的长为半径的扇形，路径长=四工1=2兀.180故答案为：2兀.点评：本题考查了翻折变换的性质，弧长的计算，判断出点D的路径是扇形是解题的关键.7. 如图，已知 AB=10

20、 , P是线段AB上的动点，分别以 AP、PB为边在线段 AB的同 侧作等边4ACP和PDB,连接CD,设CD的中点为G,当点P从点A运动到点B 时，则点G移动路径的长是.考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质.专题：压轴题.分析： 分别延长AC、BD交于点H,易证四边形CPDH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹 AHAB 的中位线 MN ,运用中位线的性质求出 MN的长度即可.解答： 解：如图，分别延长 AC、BD交于点H,. / A= Z DPB=60 °, AH / PD,. / B=/CPA=60 °,BH / PC,，四边形C

21、PDH为平行四边形， CD与HP互相平分. G为CD的中点， G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以 G的 运行轨迹为 AHAB的中位线 MN .MN=1AB=5 ,即G的移动路径长为 5.2B点评：本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质,解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律,故答案为：5.判断出其运动路径，综合性较强._0 C8. （2013?湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为 2Vm的一个定点，AC±x 轴于点M,交直线y=-x于点N.若点P是线段ON上的一个动点，/ APB=30 °, BAXPA,则点P在线段ON上运动时

22、，A点不变，B点随之运动.求当点 P从点 。运动到点N时，点B运动的路径长是 .考点：一次函数综合题.专题：压轴题.分析：（1）首先，需要证明线段 B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹），如答图 所示.利用相似三角形可以证明；（2）其次，如答图 所示，利用相似三角形 ABoBnSAON,求出线段B°Bn的长度，即点B运动的路 径长.解答： 解：由题意可知，OM= 2V3,点N在直线y=-x上，ACx轴于点M,则4OMN为等腰直角三角形，答度ON= &OM= &x2Vs= 26.如答图 所示，设动点P在O点（起点）时，点 B的位置为B0,动点P在N点（终点）时，点 B的位

23、置为Bn,连接B0Bn.AOXAB0, AN ±ABn, . . / OAC= Z B0AB n,又. AB0=AO?tan30°, AB n=AN ?tan30°, . . AB0 ： AO=AB n： AN=tan30 °,. ABoBnS AON ,且相似比为 tan30°,BoBn=ON?tan30 =再也=2版. 3现在来证明线段 BoBn就是点B运动的路径（或轨迹）.' CC答图B0Bi.如答图 所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi,连接AP, ABi,AOXAB0, APXABi,Z OAP= Z B0

24、ABi,又. ABo=AO?tan30°, AB i=AP?tan30°, . AB 0： AO=AB i： AP, .ABoBiSAOP, ./ABoBi = /AOp又 ABoBnS AON ,/ AB °Bn= / AOP , AB0Bi = ZAB0Bn, 点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段 B0Bn,其长度为242. 故答案为：2犯.点评：本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大.本题的要点有两个：首先，确定点其次，由相似关系求出点 B运动路径是本题的核心，这要求考生

25、有很好的空间想象能力和分析问题的能力;运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中.HK9. （2013?桂林）如图，已知线段 AB=10, AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别 以AP、PB为边向上、向下作正方形 APEF和PHKB ,设正方形对角线的交点分别为 01、。2,当点P从点C运动到点D时，线段0i02中点G的运动路径的长是考点：正方形的性质；轨迹.专题：压轴题.分析：根据正方形的性质以及勾股定理即可得出正方形对角线的长，进而得出线段O1O2中点G的运动路径的长.解答：解：如图所示：当 P移动到C点以及D点时，得出G点移动路线是直线，利用正方形的性质即线段

26、0i02中点g的运动路径的长就是 。2。的长，卡71H线段 AB=10 , AC=BD=2 ,当P与C重合时， 以AP、PB为边向上、向下作正方形 APEF和PHKB , AP=2 , BP=8, 贝U 01P=M, 02P=4亚t 1- 02P=02B=4a/2, 当P与D重合，则 P'B=2,则 AP =8 , .0P=4&, 0P=&, HO=BO=痘， O2O=4/2W2=3/2.故答案为：3&.HK点评：此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出G点移动的路线是解题关键.10. （2013?竹溪县模拟）如图：已知 AB=10,点C、D在

27、线段 AB上且AC=DB=1 ;P是线段CD上的动点，分别以 AP、PB为边在线段AB的同侧作等边4AEP和等边 PFB,连结EF,设EF的中点为G;当点P从点C运动到点D时，则点G移动路 径的长是考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质.分析： 分别延长AE、BF交于点H,易证四边形 EPFH为平行四边形，得出 G为PH中点，则G的运行轨迹为三 角形HCD的中位线 MN.再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可.解答:G始终为PH的中点, MN .解：如图，分别延长 AE、BF交于点H, . / A=Z FPB=60 °,AH / PF, . /

28、B=/ EPA=60 °,BH / PE, 四边形EPFH为平行四边形， EF与HP互相平分.G为EF的中点，.G正好为PH中点，即在P的运动过程中, 所以G的运行轨迹为三角形 HCD的中位线 CD=10 -1-1=8,MN=4 ,即G的移动路径长为 4.故答案为：4.点评：本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律,判断出其运动路径，综合性较强.11. 如图，一根长为 2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时 BC为1米，当A点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒 AB的中点P运动的路径长为米.6 考点：勾股定理的应用；弧长

29、的计算.专题：压轴题.ACP的度数，同理求出/ B CP'的度数,分析：先根据三角函数求出/ BAC的度数，再根据直角三角形的性质得到/ 可得/ PCP的度数，再根据弧长的计算公式求解即可.解答：解：连接CP, CP'. . / ACB=90 °, BC=1 米，A B=2 米， ./ BA C=30 °,P是木棒AB的中点，PC=PA=1 米， ./ PCA=30 °,同理求出/ B CP =30 °,则/ PCP=30°, 木棒AB的中点P运动的路径长为：，徨举兀1=1工米.3606故答案为：三米.6点评： 考查了三角函数，直角三角形的性质和弧长的计算公式，木棒 AB的中点P运动的路径为半径为 1的扇形 的弧长.三.解答题(共1小题)12. (2012?义乌市模拟)如图，边长为4的等边4AOB的顶点O在坐标原点，点A)/ 在x轴正半轴上，点B在第一象限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒.在点P的运动过程中，线段 BP的中点为点E,将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60°得 PC.(1