概率分布期望方差汇总

1、1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的个数是X.(1)求随机变量X的分布列；(2)求随机变量X的数学期望和方差.解(1)p(x=0)=_L=1；A333八1P(x=1)=3=-；P(x=3)=；a32a36;随机变量X的分布列为X0P131312162 2)E(X)=1X1+3X1=1.26D(X)=(1-0)21+(1-1)2-1+(3-1)2-=1.3262某商场举行抽奖促销活动,抽奖规那么是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元

2、.现有甲、乙两位顾客,用甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求：(1) X的分布列；(2) X的均值.解(1)X的所有可能取值为0,10,20,P(X=0)=-1=729;101000P(X=10)=X+Xc2X>101010210P(X=20)=XC12XX_9.=8_;101010100050,甲摸一次,乙摸两次,令X表示60.243J101000P(X=50)=X1P(X=60)=T=1031000=_9;101021000X010205060P729100024310001810009100011000(2)E(X)=0X729+10X243+20X18+50X9+60X100010

3、00100010001=3.3元.10003 本小题总分值13分为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件,测量产品中的微量元素x,y的含量单位：毫克.下表是乙厂的5件产品的测量数据：编R12345x169178166175180y75807770811甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量；2当产品中的微量元素x,y满足x>175,且y>75时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；3从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数巴的分布列极其均值即数学期望.解：198=7,5父7

4、=35,即乙厂生产的产品数量为35件.142易见只有编号为2,5的产品为优等品,所以乙厂生产的产品中的2优等品2,5故乙厂生产有大约35M2=14件优等品,53之的取值为0,1,2.C2P(=0)噌C；C23C32=5尸(=2)飞110所以J的分布列为012P361101010.3314故*的均值为EC=0父二十1M3+2M,十=4.1051054湖南理18.本小题总分值12分某商店试销某种商品20天,获得如下数据:日销售量件0123频数1595试销结束后假设该商品的日销售量的分布规律不变,设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,假设发现存货少于2件,那么当天进货补充至3件,否那

5、么不进货,将频率视为概率.I求当天商品不进货的概率；n记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列和数学期型.4.解IP“当天商品不进货=P"当天商品销售量为0件"+P一一153“当天商品销售量为1件"=+=.202121n由题意知,X的可能取值为2,3.小51PX=2=P"当天商品销售量为1件"=一;204PX=3=P"当天商品销售量为0件"+P“当天商品销售量为2件"+P“当天商品销售量为3件1953=r+=.2021204故X的分布列为X2313P441311X的数学期望为EX=2父一+3区一=一.444

6、5、江西理16.本小题总分值12分某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以使确定工资级别,公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A饮料,假设4杯都选对,那么月工资定为3500元,假设4杯选对3杯,那么月工资定为2800元,否那么月工资定为2100元,令X表示此人选对A饮料的杯数,假设此人对A和B两种饮料没有鉴别水平.1求X的分布列；2求此员工月工资的期望.本小题总分值12分解：1X的所有可能取值为：0,1,2,3,4P(Xc4c：,(i=0,123,4)X01234P11636161-&qu

7、ot;7070707070_1WJP(Y=3500)=P(X=4)=元P(Y=2800)=P(X=3)=83553P(Y=2100)=P(X<2)=11653EY=350028002100一=2280.7070702令Y表示新录用员工的月工资,那么Y的所有可能取值为2100,2800,3500所以新录用员工月工资的期望为2280元.6、辽宁理19本小题总分值12分某农场方案种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种分别称为品种家和品种乙进行田间试验.地,在总共2n小块地中,随机选种植品种乙.I假设n=4,在第一大块地中,求X的分布列和数学期望；选取两大块地,每大块地分成n小块n小块地种植品

8、种甲,另外n小块地种植品种甲的小块地的数目记为X,II试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量单位：kg/hm2如下表:品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果,你认为应该种植哪一品种附：样本数据X1,X2,Xn的的样本方差1S2=(Xi-X)2十(X2-X)2十十(Xn-X)2,其中X为样本平均数.n6.解：(I)X可能的取值为0,1,2,3,4,且P(X=0)=170P(X=1)=c4c3835P(X=2)P

9、(X=3)P(X=4)C4C418c835c3c4=8C8435,上C一万即X的分布列为XD123417035】835_8_351TOX的数学期望为181881E(X)=0一1234一二2.70353535706分(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:1海=(403397390404388400412406)=400,8_1_2_222_22_2_2_S?=(3(-3)(-10)4(-12)0126)=57.25.88分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：1/CCC",CCCCCCC"、应=-(419403412418408423400413)

10、=412,82122_2_2.2.22.2.8=-(7(-9)06(-4)11(-12)1)=56.10分由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大,故应该选择种植品种乙7、山东理18.(本小题总分值12分)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛,甲对A,乙对B,丙对C各一盘,甲胜A,乙胜B,丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立.(I)求红队至少两名队员获胜的概率；(II)用.表示红队队员获胜的总盘数,求亡的分布列和数学期望E.7.解：(I)设甲胜A的事件为D,乙胜B的事件为E,丙胜C的事件为F,TTT那么

11、D,E,F分别表示甲不胜A、乙不胜B,丙不胜C的事件.由于P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5,由对立事件的概率公式知P(D)=0.4,P(E)=0.5,P(F)=0.5,红队至少两人获胜的事件有:DEF,DEF,DEF,DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立,因此红队至少两人获胜的概率为7-TP=P(DEF)P(DEF)P(DEF)P(DEF)=0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.5=0.55.(II)由题意知可能的取值为0,1,2,3._,、.父父T口""一一土公又由(I)知DEF,DEF,DEF是两两

12、互斥事件,且各盘比赛的结果相互独立,因此P(=0)=P(DEF)=0.40.50.5=0.1,P(=1)=P(DEF)P(DEF)P(DEF)=0.40.50.50.40.50.50.60.50.5=0.35P(=3)=P(DEF)=0.60.50.5=0.15.由对立事件的概率公式得P(=2)W-P(=0)-P(=1)-P(-3)=0.4,所以U的分布列为:0123P0.10.350.40.15因此E=00.110.3520.430.15=1.6.20.解(I)Ai表示事件“甲选择路径L时,40分钟内赶到火车站,Bi表示事件“乙选择路径Li时,50分钟内赶到火车站,i=1,2.用频率估计相应

13、的概率可得P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(Ai)>P(A2),甲应选择LiP(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,*,P(B2)>P(Bi),二乙应选择L2(n)A,B分别表示针对(i)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,由(I)知P(A)=0.6,P(B)=0.9,又由题意知,A,B独立,TT.P(X-0)-P(AB)-P(A)P(B)-0.40.1=0.04T-1T-IP(X=1)=P(ABAB)-P(A)P(B)P(A)P(B)=0.40.90.60.1=0

14、.42P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.60.9=0.54二X的分布列为X012P0.040.420.54.EX=00.0410.4220.54=1.5.8、四川理18.(本小题共12分)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费,超过两小时的收费标准为2元(缺乏1小时的局部按1小时计算).有人独立来该租车点那么车骑游.各租一车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率.,1111分别为1,1;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为1,；4224两人租车时间都不会超过四小时.(I)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(n)

15、求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量之,求之的分布列与数学期望EJ,8 .解析：,一一一一,一.111(1)所付费用相同即为0,2,4兀.设付0兀为P=1=,付2428111111兀为P2'=,付4兀为P3'=2484416一5那么所付费用相同的概率为P=p+P3=16(2)设甲,乙两个所付的费用之和为自,自可为0,2,4,6,81P(=0)：8P(=2)P(：=4)P(：=6)14141115I-+-T=4221651611-11_2_442416P(n8)C"分布列02468P1553181616161655917E二一一一一二一848229、天津理16.(本

16、小题总分值13分)3个白球、2学校游园活动有这样一个游戏工程：甲箱子里装有个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,假设摸出的白球不少于2个,那么获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)(I)求在1次游戏中,(i)摸出3个白球的概率；(ii)获奖的概率；(n)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X).9 .本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等根底知识,考查运用概率知识解决简单的所以X的分布列是X012P9214910050100实际问题的水平.总分值13分.(I)(i)解：设

17、“在1次游戏中摸出i个白球为事件A=(i=0,1,2,3),C；P(A)型C5c2C(ii)解：设“在1次游戏中获奖为事件B,那么B=4口人,又P(A)=CC5C2C2c2c2c21r=C52C32117且A2,A3互斥,所以P(B)=P(A2)+P(A3)=_十_=一.2510(II)解：由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.7P(X=0)=(1-)P(X71072P(X=2)=(而)2_9_一100,二)二105049.100921497X的数学期望E(X)=0M+1父一+2M=_10050100510重庆理17.(本小题总分值13分)(I)小问5分,(II)小问8分)某市公租房的房源位

18、于A,B,C三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市白任4位申请人中：(I)恰有2人申请A片区房源的概率；亡的分布列与期望(n)申请的房源所在片区的个数10 .(此题13分)解：这是等可能性事件的概率计算问题(I)解法一：所有可能的申请方式有34种,恰有2人申请A片区房源的申请方式C4222种,从而恰有2人申请A片区房源的概率为22c222_834-27解法二：设对每位申请人的观察为一次试验,这是4次独立重复试验一1记“申请A片区房源为事件A,那么P(A)=-.3从而,由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知,恰有2人申请A片区房源的概

19、率为21222p4"(3)827127P(=2)=C；(C；C：C：C；)3414(或P?=2)=27C；(24-2)341427)(II)W的所有可能值为1,2,3.又3P.=1)3七C；C：C24_d,q、C2A34P(-=3)=4=_(或P=3)=-)349349综上知,E有分布列123P114427279从而有E=12(2021全国I理,20)5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验,直到能确定患病动物为止.方案乙：先任取3只,将它们的血液混在一起化验.假设结果呈阳

20、性那么说明患病动物为这34=-27279273只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止；假设结果呈阴性那么在另外2只中任取1只化验.(1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；(2)七表示依方案乙所需化验次数,求匕的期望.解(1)设勤、占分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数,p表示对应的概率,贝U方案甲中,的分布列为1234P154u1154542_11XX54354_3/2-XX5435方案乙中号的分布列为123p0C53C35-2C2C2C535假设甲化验次数不少于乙化验次数,那么P=P(11=1)Xp(2=2=1)+p(t1=2)xp(2=2=1)+p(2=

21、2=2)+P(a1=3)XP(4=1)+P(=2)+P(0=3)+P(a=4)=0+1X(0+3)+-X(0+3+2)+2=18=0.72.55555525(2)E(七)=1X0+2X3+3X.2=22=2.4.55512.甲、乙两个篮球运发动互不影响地在同一位置投球,命中率分别为1与p,且乙投2球2次均未命中的概率为.16(1)求乙投球的命中率p；(2)假设甲投球1次,乙投球2次,两人共命中的次数记为求它的分布列和数学期望.解(1)设“甲投球一次命中为事件A,“乙投球一次命中为事件B.由题意得(1-P(B)2=(1-p)2=,16解彳导p=3或p=5(舍去),所以乙投球的命中率为3.444(

22、2)由题设和(1)知P(A)=1,P(A)=1,P(B)=3,224P(P)=L4七可能的取值为0,1,2,3,故P(U=0)=P(A)P(B*B)=1X,口=,2432P(t=1)=p(A)P(B*B)+c2P(B)P(B)P(A)=1X4：+2x3X1X1=7,2444232P(t=3)=P(A)P(BB)=1Xf3=,2432P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P('=3)=32巴的分布列为0123P1715932323232亡的数学期望E(亡)=0X工+1X二+2X15+3X_9_=2.3232323213.设在12个同类型的零件中有2个次品,抽取3次进行检验,每次抽取一个

23、,并且取出不再放回,假设以和“分别表示取出次品和正品的个数.(1)求E的分布列、期望值及方差；(2)求的分布列、期望值及方差.解(1)的可能值为0,1,2.假设巴=0,表示没有取出次品,其概率为：c2c306p(U=0)=2J0=；C?211同理,有P(t=1)=以.20=_9；P(t=2)MCICk='.C；222C；222:匕的分布列为:012691PT1"22"2211;E(占)=0X_6_+1X_9_+2X122D(与=(0-1)2X211+22222122=巨+2+3=e.22888844(2)刈的可能值为1,2,3,显然+=3.P(=1)=P(=2)=1

24、,P(=2)=P('=1)=92222P(=3)=P(=0)=6_11:“的分布列为:n123p196_222211E(")=E(3-)=3-E(-)=3-=-t+3,D(n)=(-1)2d/.、15(二)=4414.某地区的一个季节下雨天的概率是0.3,气象台预报天气的准确率为0.8.某厂生产的产品当天怕雨,假设下雨而不做处理,每天会损失处理,可使产品不受损失,费用是每天500元.(1)假设该厂任其自然不作防雨处理,写出每天损失3000元,假设对当天产品作防雨之的分布列,并求其平均值;(2)假设该厂完全按气象预报作防雨处理,以“表示每天的损失,写出的分布列.计算的平均值,并

25、说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择解(1)设'为损失数,分布列为：丁03000P0.70.3.E(之)=3000X0.3=900(元).(2)设“为损失数,那么P(11=0)=0.7X0.8=0.56.P(=500)=0.3X0.8+0.7X0.2=0.38.P(州=3000)=0.3X0.2=0.06.22分布列为:n05003000p0.560.380.06E(.)=0+500X0.38+3000X0.06=370平均每天损失为370元.:370<900,：按天气预报作防雨处理是正确的选择.15.(2021湖北理,17)袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,.表示所取球的标号.(1)求E的分布列、期望和方差；(2)假设“nat+b,E(n)=1,D(n)=11,试求a,b的值.解(1)3的分布列为01234P1113122010205:E(: