氢原子的量子理论-作业含答案

1、第26章氢原子的量子理论习题（初稿）一、填空题1 .氢原子的波函数可以写成如下形式中nlmi（r,ew）=Rnl（r）Ymi（ew）,请给出电子出现在rr+dr球壳内的概率为,电子出现在（日产）方向立体角dQ内的概率为2 .泡利不相容原理是指,原子核外电子排布除遵循泡利不相容原理外，还应遵循的物理规律是。3 .可以用用4个量子数描述原子中电子的量子态，这4个量子数各称和取值范围怎样分别是：（2）（3）（4）。4 .根据量子力学原理，如果不考虑电子自旋，对氢原子当n确定后，对应的总量子态数目为个，当n和l确定后，对应的总量子态数目为个5 .给出以下两种元素的核外电子排布规律：钾（Z=19）:铜（

2、Z=29）:6 .设有某原子核外的3d态电子，其可能的量子数有个，分别可表示为_O7 .电子自旋与其轨道运动的相互作用是何种性质的作用。8 .类氢离子是指,里德伯原子是指。9 .在主量子数为n=2,自旋磁量子数为s=1/2的量子态中，能够填充的最大电子数是10 .1921年斯特恩和格拉赫实验中发现，一束处于s态的原子射线在非均匀磁场中分裂为两束，对于这种分裂用电子轨道运动的角动量空间取向量子化难于解释，只能用二、计算题11 .如果用13.0eV的电子轰击处于基态的氢原子，则：12 ）氢原子能够被激发到的最高能级是多少？13 ）氢原子由上面的最高能级跃迁到基态发出的光子可能波长为多少？14 ）如

3、果使处于基态的氢原子电离，至少要多大能量的电子轰击氢原子？12 .写出磷的电子排布，并求每个电子的轨道角动量。1.X313 .已知氢原子处于状态甲（r,6/P）=-R21（rY0（0y）1%（）丫1（仇中），试求：氢原子能量、角动量平方，及角动量z分量的可能值？求这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值？14 .若氢原子处于基态，求在r之a。区域发现电子的概率。试问：若在半径为ro的球内发现电子的概率为0.9,则该半径多大？15 .证明：若氢原子处于角动量L=JS1Lz：土在描写的状态，则在该状态下，在8=45°和9=135°发现电子的概率最大。1516.如果假定电子是直径

4、为d=1父10m的均匀实心球，试利用经典力学估算电子自旋的角动量和电子表面的最大线速度？并根据该结论作出评述。已知电子的质量是319.109父10kg。17 .试根据钠黄双线的波长求钠原子3P1/2和3P3/2态的能级差？并估算该能级时价电子所感受到的磁场强度？三、问答题（4道）18 .给出利用量子力学描述氢原子时所得到的三个量子条件？什么是能级简并?19 .电子的自旋有何实验验证？试举例进行说明。20.什么是全同粒子？请说明玻色子和费米子的区别?21.试述基态氢原子中电子的概率分布，何谓电子云?一、填空题22-21 .P(rJdr=Rni(r)|rdr,P(9)dG=丫仙(3中)dC2 .不

5、可能有两个或两个以上的电子处于同一个量子态，能量取最小值原理3 .(1)主量子数n,可取1,2,3,4(2)角量子数1,取值范围0(n-1)(3)磁量子数m,取值范围-1+1(4)自旋量子数s,取值范围+1/2和-1/24 .n2,21+1202626I22626I105 .1s,2s,2p,3s,3p,4s1s,2s,2p,3s,3p,4s,3d6 .10个，(3,2,0,1/2),(3,2,1,垃)，(3,2,2,t/2)7 .电磁相互作用8 .原子核外只有一个核外电子的离子，但其核电荷数Z>1原子中有一个电子被激发到主量子数很高的定态能级9 .n2=410 .电子自旋的角动量空间取

6、向量子化二、计算题11 .解：(1)假设轰击电子的能量全部被氢原子吸收，则氢原子激发态的能量为E=B+13.0eV=(13.6+13.0)eV=-0.6eV。根据氢原子能级公式Ene21E1,22s4；0a0nn将E代入可得,-13.6-0.64.8所以轰击电子的能量最多将氢原子激发到n=4的激发态。(2)氢原子从n=4的激发态向低能级跃迁，可以发出如下六种波长的光子:1的跃迁,hc6.62610聿3108对于4T2的跃迁,对于4T3的跃迁,对于3t1的跃迁,对于3T2的跃迁,对于2T1的跃迁,E4-E1hcE4-E2hcE4-E3hcE3-E1hcE3-E2hcE2-E11/16-1-13.

7、61,60210J9=0.97510m6.62610,431081/16-1/4-13.61,60210,96.62610型3108ZZZ_Z"_191/16-1/9-13.61,60210一3486.62610310""""_19"1/9-1-13.61,60210一=4.8610m=18,810m=1.0310,m-4486.626103101/9-1/4-13.61,602109_J3486.62610310_191/4-1-13.61,60210一6.5610Jm=1.2110'm(3)要使基态氢原子电离，至少需要的电

8、子能量为E1=13.6eV。12 .解：P的原子序数为15,按照能量最低原理和泡利不相容原理，在每个量子态内填充1个电子，得磷(P)的电子排布1s22s22p63s23p3。1s,2s和3s的6个电子l=0,轨道角动量为Jl(l+11=0。2p和3p电子的9个电子l=1,轨道角动量为"l(l+1"=衣完,该轨道角动量在z方向的投影可以为m夫=0,有。13.解：由题目中波函数可以知道，该氢原子所处的状态是n=2,l=1,m=0与n=2,l=1,m=-1的混合态。氢原子的能量由主量子数决定，所以该氢原子的能量是n=2级能量E1-13.6eV一E2=-3,4eV,其概率为1.44

9、氢原子的角动量平方由l决定，其表达式为l(l+1)标，从而该氢原子的角动量平方为L2=l(l+1*=2斗，其概率为1.氢原子的角动量z分量由m决定，其表达式为m”,从而其可能取值为：20,概率为P=(1/2)=1/42-h,概率为巳=«3/2)=3/4平均值为Lz=0黑1/4无黑3/4=3先/4。14.解：2氢原子处于基态时，电子的径向概率密度为P|0(r)=R10(rize,/a0=：/"为。a0ao电子处于半径为r0球内的概率为:22ro2r02)P=Po(rdr=1-exp(-2r0/ao)1+。0VaoaoJ从而电子处在r之2ao的概率为1减去电子处在半径为2ao球

10、内的概率，即R2ao4ao=exp(-4ao/ao)1+ao8a2:13+214aoJeO.24(2)求解超越方程22ro2r?、1-exp(-2ro/ao)1+0+笔=O.9,可得r0定2.66a0ia。aoJ15.证明：根据题意可知,l=2,m=1,查表可知，波函数对应的球谐函数为:丫2,1二15sin8cosHe#8二在S，中)对应的立体角dC发现电子的概率为P(e)dC=y*(e,中)dC=15sin2ecos26dC=5-sin229dQ,-8n32n可见，当9=冗/4,3冗/4时有极大值。球体绕其过球心的转轴做定轴转动的转动惯量是2212J=一mR=md,5105'md21

11、6 .解：电子自旋的角动量的大小为1=/2,r,aL/2则其绕轴转动的角速度是=L=一JJ1/10md2556626104411表面最大的线速度是v=-d/2=-5=56.62610布=7.31011m/s2md49.10910110讨论：该线速度远远大于光速，说明了该自旋是相对论效应的必然结果。电子自旋就像是电子质量和电荷一样，是电子的固有属性。17 .解：钠黄双线是从3P3/2和3P1/2两个能级向3S1/2能级跃迁产生的光谱精细结构，对应的两个波长分别是=589.592nm,%=588.995nm,两个能级的产生是由于电子自旋和轨道角动量的耦合，且两个能级分别比原有3P能级高/低NbB,

12、能级差为11VE=2RBB曰hv=hc3481=6.626102.997108588.995589.59210=3.4410，=2.1510，eV一.e又$=2.27102J/T2me从而电子受到的磁场为REb二2%3.4410&牙=18.6T29.2710三、问答题18.氢原子中，电子处在原子核的有心力场内作三维运动，根据求解该薛定谓方程，可以得到只有当满足如下三个量子条件时，方程具有解析解：(1)(2)(3)氢原子中电子能量是量子化的，对应主量子数n;氢原子中电子的角动量是量子化的，对应角量子数I;电子角动量在空间给定方向的投影是量子化的，对应磁量子数能级简并是指对于任意能量En,

13、有一个主量子数n,但（n,l,m）的组合总计有n2个，相应的有n2个波函数，它描述了电子处于同一能级En时的n2个不同的量子状态，这些状态具有相同的能量En,这种情况称为能级的简并。19 .案例一：反常塞曼效应：银原子束被不均匀磁场分裂成两束。案例二：碱金属原子光谱中的双线精细结构。20 .全同粒子是指静质量，电荷，自旋等内禀属性完全相同的同类微观粒子。玻色子的自旋是左的整数倍，遵循玻色爱因斯坦统计分布规律，全同波色粒子的波函数对两个粒子的交换总是对称的。如介子（s=0）,光子（s=1）等。费米子的自旋是左的半奇数倍，遵循费米狄拉克分布规律，全同费米粒子的波函数对两个粒子的交换总是反对称的。如电子，质子，中子等。21 .对于基态氢原子（n=1）,电子波函数为中100“）=1/JWFUr）,从而电子在核外的任意rr,dr的球