相似三角形中的几何动点问题模型专题汇总

1、相似三角形中的几何动点问题模型专题汇总这节课我们学什么1 .动点函数型-横竖型问题2 .动点函数型-斜线型问题3 .动点几何型-二次相似问题4 .动点几何形-A-A问题知识点梳理1 .本专项的前半部分为二次函数中动点相似三角形之函数型，主要为有一对等角的两个三角形相似时，对等角的夹边作讨论的题型，简称SA.S型.题型分为横竖型和斜线型两大类：横竖型：动点在平行于坐标轴的直线上；斜线型：动点在倾斜的直线上（等角类型分为锐角、钝角；等角的位置有公共角、对顶角、内错角等，还可通过三角比的计算得到等角.）注：求斜线上的点坐标方法可以采用代数方法（两点间距离公式），还可以用几何方法构造相似三角形或是三角

2、比来求解.2 .本专项的后半部分为二次函数中动点相似三角形之几何.题型分为A-A和两次相似两大类：A-A：确定一组相等的角，讨论分析另一组角，可以结合等腰三角形的性质或者锐角三角比；两次相似：借助第一次证明的相似三角形相等的角，结合已知条件证明第二次相似.典型例题分析1、动点横竖型问题12例1.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y=x2+bx+c的图像经过点4A(4,0)、C(0,2).(1)试求这个二次函数的解析式，并判断点B(-2,0)是否在该函数的图像上；(2)设所求函数图像的对称轴与x轴交于点D,点E在对称轴上，若以点C、D、E为顶点的三角形与AABC相似，试求点E的坐标.y,

3、c.01Ax12【答案：(1).y=x2+bx+c过点A(4,0)、C(0,2)42x2,1cb,c=220)在该二次函数的图像上;当x=-2时，y=0.点B(-2,(2) 二次函数的对称轴为直线x=1点E在对称轴上，且对称轴平行y轴.CDE"OCD又AB=6,AC=26CD=OC=2,OD=1易得AocdsAoACOCD=2OAC,从而CDE=OAC若以点C、D、E为顶点的三角形与MBC相似则有以下两种情况:综上点DEACDEABDC时,ABDC时,ACE的坐标为（1,DE5即、=、，解得:2,56即DE工,解得:2.5一）或（1,3）.】35DE=.,点3DE=3.点一5、E的坐

4、标为（1,）3E的坐标为（1,3）经过这个三角形重心的例2.如图，已知在AABC中，ZA=90°,AB直线DE"BC，分别交边AB、AC于点D和点E,P是线段DE上的一个动点,过点P分另作PMJ_BC,PF1AB,PG_LAC,垂足分别为点M、F、G,设BM=x,四边形AFPG的面积为y.求PM的长;(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域;(3)【答案：解：（1）AC=90、过点A作AHJ-BC,垂足为点AB=AC=3,.BC=6.H,交DE于点Q.联结MF、MG,当APMF与APMG相似时，求BM的长.又AHJ-BC,11BH=CH=BC=3,Q是AABC的重心.

5、QH=AH=1.23DE修BC,PM-LBC,AH-LBC,/.PM=QH=1.(2)延长FP,交BC于点N./BAC=90°,AB=AC,Nb=45°.于由FN,AB,得上PNM=45",又由PM1BC,得MN=PM=1,PN=72.(x+1).BN=BM+MN=x+1,FB=FN=(5x),2AFvAB-FBu3、2-(x1)FP=FNPN(x1)2=_2(x_1)22,.PF_LAB,PG_LAC,/BAC=90'./BAC="FA=/PGA=90,，四边形AFPG是矩形.y=FP，AF=亘(x1)史(5x),22即所求函数解析式为y=x2

6、+3x-.定义域为1<x<5.222(3).四边形AFPG是矩形，PG=AF=5-(5x).由/FPM=/GPM=135°,可知，当APMF与&PMG相似时，有两种情况：/PFM=/PGM或"FM=/PMG.(i)如果/PFM=/PGM,那么生=PM,即得PF=PG.PGPM2-.2-(x-1)=(5-x),解得x=3.即得BM=3.22PFPMo(ii)如果2PFM=/PMG，那么=.即得PM2=PFFG.PMPG(x-1)(5-x)=1,解得x1=3+&,x2=36.即得BM=3+夜或22BM=3-质.当APMF与APMG相似时，BM的长等于

7、3右或3或3+72.】2、动点斜线型问题12例3.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+bx+c的图像经过3点A(-1,1)和点B(2,2),该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D.(1)求这个二次函数的解析式和它的对称轴；求证：ABO=CBO；(3)如果点P在直线AB上，且APOB与ABCD相似，求点P的坐标.yIIBA.1.-1O111*x-115+C,h【答案：(1)解：由题意，得:解得«3I3工所求二次函数的解析式为y=-工+2.对称轴为直线x=1.(2)证明：由直线OA的表达式y=-x,得点C的坐标为(1,-1).:AB=<10,BC=J

8、10,.AB=BC又OA=w；2,OC=<2,，OA=OC.ABO=CBO(3)解：由直线OB的表达式y=x,得点D的坐标为(1,1).14由直线AB的表达式，=3工+§，得直线与x轴的交点E的坐标为(-4,0).&POB与&BCD相似，ZABO=2CBO.BOP=zBDC或/BOPjBCD.(i)当NBOP=NBDC时，由/BDC=135°,得/BOP=135°.点P不但在直线AB上，而且也在x轴上，即点P与点E重合.BP=BD点P的坐标为(4,0).(ii)当/BOP=/BCD时，由APOBsABCD,得7,而BO=2贬,BD=42,BC

9、而,BPn-a/10.又BE=2历,作PH_Lx轴，垂足为点H,BF_Lx轴，垂足为点F.“IEH=PfTDEEH.PH"BF,.黑=裳=等.而BF=2,EF=6,HFBEEF_,48、，用.点P的坐标为(,).554 8.综上所述，点P的坐标为(4,0)或(一，).】5 53、动点几何型一二次相似问题例4.如图，在RtAABC中，/ACB=90CE是斜边AB上的中线，AB=10,.4tanA=一，点P是CE延长线上的一动点，过点P作PQ-LCB,交CB延长线3于点Q,设EP=x,BQ=y.(1)求y关于x的函数关系式及定义域；(2)联结PB,当PB平分/CPQ时，求PE的长；(3)

10、过点B作BF_LAB交PQ于F,当ABEF和AQBF相似时，求x的值.一一BC4【答案：(1)在RtABC中，/ACB=901.tanA=,AB=10AC31.BC=8,AC=6CE是斜边AB上的中线，CE=BE=AB=524CB=/ABC，="QC=ACB=90，.&BQCsABC,CQBC4B8y4=二一，即二一PCAB55x54,y=-x-4,定义域为x>5.5(2)过点B作BMJ-PC，垂足为M.PB平分工CPQ,BQ，PQ,垂足为Q.BM-3324424=BQ=yBM=BC=父8=，-x4=x=1155555(3)./Q=/ACB=90°,/QBF=

11、2A.&BQFMBC当&BEF和AQBF相似时，可得BEF和abc也相似.分两种情况：1)当/FEB=/A时，5在R0FBEE中，/FBE=90,BE=5,BF=y35,4,、4-(-x-4)=父5,解得x=10；3532)当/FEB=NABC时，5在RtFBE中，/FBE=901BE=5,BF=y354八3125-(-x-4)=一父5,解得x=；35416125j综合x=或10.】164、动点几何型一A-A问题例5.如图，已知等边AABC的边长为6,点D是边BC上的一个动点，折叠AABC,使得点A恰好与边BC上的点D合，折痕为EF(点E、F分别在边AB、AC上).(1)当AE

12、:AF=5:4时，求BD的长：(2)当ED_LBC时，求EB的值；(3)当以B、E、D为顶点的三角形与ADEF相似时，求BE的长.DA备用图【答案：（1）AABC是等边三角形,.A=，B=/C=60AB=BC=CA.由题意可知Mef9ADEF.EDF=.A=60,DE=AE,DF=AF.DEAE5-.DFAF4.BDEEDF=BDF,BDF='CFD.BDEEDF=CFDC.又/EDF=60°=/C,/BDE=CFD./B=NC,.ABDEsACFD.方法:ABDEsAcFD,BDDE_BE.CFDFCD设AE=5k,则由AE:AF=5:4知庆5=4k,DE=AE=5k,DF

13、=AF=4k,BE=65k,CF=64k.设BD=x,则CD=6x.x5k6-5kU4；口二.x5.即;享比，整理,6-5k5,-L6-x44工=3Q-20A,30-5.V=24-20.解得x=4,即BD=4.方法ABDEsACFD,CDE屈（相似三角形的周长的比等于相似比）Cm?*DFDE-EB+BDDEDF+FC+C口一赤又DEBE=AB=66+BD5.=一.斛得:128"4方法过点E作EM1设AE=5k,BD=x,依题意易得DE=AE=5kDF=AF-4k=6BDBD=4.BC,过点DF+FC=AC=6CDBE6-5kCF=6-4kCD=6-x.在RtBEM中，=-BE=-(e

14、-5k),DM=x-(6-5k)222在Rt*DN中,CT=-CD=-(6-x)22易证DEMsAfdN,DMDE7w_-nr（1）工：（6-5的§进而可得整理，得x=1820k146-4*（6-x）2在RtFDN中，依据勾股定理可得(4i)2=(6-x4整理（2）,并将（1）代入（2）,可得x27x+12=0.解得x1=3(不合题意，舍去)(2)Ax2=4.即BD=4.(2)当ED_LBC时，如图.BED=90-B=90-60,=30上_'if.2过点E作EH_LDF,垂足为H.ZDEH=90JNEDF=90©60:30。.FEH=/DEFDEH=75-30,=4

15、5.在RgBED中，ED-EBcosZDEH-EB-cos30c-EH,2在RtADEH中，EH-ED-cosED-cos300-£：£)-EB,24在RtEHF中，上£"_迪£«.坐延.cos45°4EF3(3)分两种情况讨论：当以B、E、D为顶点的三角形与ADEF相似，顶点B、D、E分别与D、E、F对应时，可得NBDE=NDEF.EFBC.ZAEF=/B=60*/DEF=/AEF=60°.易得MEF、&DEF、ADFC、ADEB是四个边长相等的等边三角形.门，.12当以B、E、D为顶点的三角形与ADEF

16、相似，顶点B、D、E分别与D、F、E对应时，可得NBDE=/DFE.又/BDE=/DFC,/DFE=NAFE,.：.易得Mef、.DEF、AdFC、DEB四个边长相等的等边三角形.一:；-建一北一一.；3.综上所述，当以B、E、D为顶点的三角形与&DEF相似时，BE=3.】课后练习练1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为（3,0卜与y轴交于点0（0,3）,顶点为D.求抛物线的解析式及顶点D坐标;(2)联结AC、BC,求ZA0B的正切值;(3)点P是抛物线的对称轴上一点，当APBD与ACAB相似时，求点P坐标.C0,3

17、【答案：（1）抛物线y=x2+bx+c过点B（3,0%93bc=0Jb-42!cyyy=x4x+3，顶点D的坐标为(2,-1)c=3c=3（2）二.抛物线y=x24x+3与x轴交于点A、B（A在B的左侧）A(1,0)又0(0,0),C(0,3),B(3,0BO=CO=3/COB=90°，ZOBC=45°BC=3后过点A作AH1BC,垂足为H,/AHB=90°.AB=2,AH=BH=-；l2.CH=BC-BH=22AH21tan.ACB=CH2、22（3）二.抛物线y=x24x+3的对称轴为直线x=2点P是抛物线对称轴上一点，可设点P的坐标为（2,n）把对称轴直线x

18、=2与x轴的交点记为巳则点E的坐标为（2,0）D（2,-1）,B（3,0）DE=BE=1,BD=应4ED=90°，/EDBEBD=45"CBO=BDE=45当Apbd与kAB相似时，点P在点D的上方，并存在以下两种情况:,、BDBA1)=DPBCBDBC2)-DPBA22=.1.n=2P2,2n13,2n='''P.2,综上所述，当PBD与毛AB相似时，点P(2,2域P23.3练2.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(3,0),B(1,0),C(0,3).(1)求此函数的解析式；2(2)用配方法(写出配方过程)将此函数化为y=a(x+m

19、)+k的形式，并写出其顶点坐标；(3)在线段AC上是否存在点P(不含A、C两点)，使AABP与AABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.9a3bc=0a=-1【答案：(1)由题意得：4ab+c=0，解得：b=2.c=3c=3.此函数解析式为y-x22x3.(2)y=-x22x3=-(x2-2x1)31=-(x-1)24.顶点为(1,4).(3)假设存在点P,使"BP与MBC相似，口"AB_ABAB_AP贝u一工一或一工一.ACAPACABt,ABAB,人,当=时，AP=AC.（不合题意，舍去）ACAP8、,2tABAP八当=时，AP=ACAB由题意易得直

20、线AC的解析式为:设P（x,-x+3）,其中0<x<3,则q（x-32+（x+3f=1斛佝：xi-,x23c18、P一,一j.】<33J练3.如图，已知梯形ABCD中，AD"BC,AB_LBC,AB=4,AD=CD=5,.八3cot/C=一点P在边BC上运动(点P不与点B、点C重合)，一束光线从4点A出发，沿AP的方向射出，经过BC反射后，反射光线PE交射线CD于点E.(1)当PE=CE时，求BP的长度；(2)当点E落在线段CD上时，设BP=x,DE=y，试求y与x之间的函数关系，并写出其定义域;(3)联结PD,若以点A、P、D为顶点的三角形与APCE相似，试求BP

21、的长度.(备用图)【答案：(1)根据已知，得BC=8,2APB=/EPC.PE=CE:/EPC=/C2APB=C(方法一)cot/C=34BP3AB-4AB=4BP=3即BP=3时，PE=CE(方法二)APDCPC=AD=5BP=3即BP=3时，PE=CE(2)延长PE与AD的延长线交于点F,.BP=x.PC=8-x,AF=2xDE=yDC=AD=5.EC=5yDF=2x5.AFBCDFDE：2x-5y即二PCEC8-x5-y52x-5x3点E在线段CD上.函数定义域为5-x<82(3),:ADBBC/DAP=2APB,.4pb=/epc4ap=EPC若MPD与&PCE,则有如下两种情况：(i)/ADP=/C时，推出BP=2时，AaPDspeC;(ii)/APD=/C时(法一)又.ZADP=ZDPC&APDS&DCPpd2=adpc.p