电磁场与电磁波试题及答案

1、1 .写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式,并简要说明其物理意义2 .答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为HJ,E,B0,D,3tt分说明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外,变化的电场位移电流也是磁场的源；除电荷外,变化的磁场也是电场的源.1 .写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件.2 .时变场的一般边界条件D2n、E2t0、H2tJs、B2n0.或矢量式nD2、nE20、snH2Js、nB201 .写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑标准与洛仑兹标准的意义.一_-A.-A2 .答矢量位BA,A0;动态矢量位E或E.库仑标准与洛

2、仑兹规tt范的作用都是限制A的散度,从而使A的取值具有唯一性；库仑标准用在静态场,洛仑兹标准用在时变场.1 .简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义2 .OAds是矢量A穿过闭合曲面S的通量或发散量.假设中0,流出S面的通量大于流入的通量,即通量由S面内向外扩散,说明S面内有正源假设中0,那么流入S面的通量大于流出的通量,即通量向S面内聚集,说明S面内有负源.假设中=0,那么流入S面的通量等于流出的通量,说明S面内无源.1 .证实位置矢量反xeyyezz的散度,并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关.2 .证实在直角坐标系里计算,那么有r(r)exjq(exxQz)xyz士上二3xyz假设在球坐标

3、系里计算,那么3由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关.1213rr2一rrlrrrrr1,在直角坐标系证实A02.A,一-(AA、-/Ax'、一(AAx、(q0ez)ex()0()ez()xyzyzzxxy(2上)(A马(XA0xyzyzxzxy1,简述亥姆霍兹定理并举例说明.例静电场2.亥姆霍兹定理研究一个矢量场,必须研究它的散度和旋度,才能确定该矢量场的性质ODdsq.D0有源sOEdl0lE0无旋R1,Rrr,证实rReRR2.证实ezR-RRxxyyRex一eyeze<0xyzRR1 .试写出一般电流连续性方程的积分与微分形式,恒定电流的呢?2,一般电流DJdSdq/d

4、t0,J/t;恒定电流-JdS0,J02 .电偶极子在匀强电场中会受作怎样的运动在非匀强电场中呢3 .电偶极子在匀强电场中受一个力矩作用,发生转动；非匀强电场中,不仅受一个力矩作用,发生转动,还要受力的作用,使电偶极子中央发生平动,移向电场强的方向1 .试写出静电场根本方程的积分与微分形式.2 .答静电场根本方程的1,积分形式OEdsq,.Edl0s0l微分形式D,E01 .试写出静电场根本方程的微分形式,并说明其物理意义2 .静电场根本方程微分形式D,E0,说明激发静电场的源是空间电荷的分布或是激发静电场的源是是电荷的分布.1 .试说明导体处于静电平衡时特性.2 .答导体处于静电平衡时特性有

5、导体内E0；导体是等位体导体外表是等位面；导体内无电荷,电荷分布在导体的外表孤立导体,曲率；导体外表附近电场强度垂直于外表,且En/0o1 .试写出两种介质分界面静电场的边界条件.2 .答在界面上D的法向量连续D1nD2n或nD2n1D2；E的切向分量连续E1tE2t或耳EnE21 .试写出1为理想导体,二为理想介质分界面静电场的边界条件.2 .在界面上d的法向量d2n或n1D2；e的切向分量e2t0或n1E201 .试写出电位函数#表示的两种介质分界面静电场的边界条件.2 .答电位函数©表示的两种介质分界面静电场的边界条件为12,112一2nn1 .试推导静电场的泊松方程.2 .解

6、由D,其中DE,E,DE为常数2一泊松方程1 .简述唯一性定理,并说明其物理意义2 .对于某一空间区域V,边界面为s,巾满足/旦或vV=o,£台对导体给定q那么解是唯一的.只要满足唯一性定理中的条件,解是唯一的,可以用能想到的最简便的方法求解直接求解法、镜像法、别离变量法,还可以由经验先写出试探解,只要满足给定的边界条件,也是唯一解.不满足唯一性定理中的条件无解或有多解.1 .试写出恒定电场的边界条件.2 .答恒定电场的边界条件为嬴工-工=口,-瓦-瓦二口1 .别离变量法的根本步骤有哪些2 .答具体步骤是1、先假定待求的位函数由两个或三个各自仅含有一个坐标变量的乘积所组成.2、把假定

7、的函数代入拉氏方程,使原来的偏微分方程转换为两个或三个常微分方程.解这些方程,并利用给定的边界条件决定其中待定常数和函数后,最终即可解得待求的位函数.1 .表达什么是镜像法其关键和理论依据各是什么2 .答镜像法是用等效的镜像电荷代替原来场问题的边界,其关键是确定镜像电荷的大小和位置,理论依据是唯一性定理.7、试题关键字恒定磁场的根本方程1 .试写出真空中恒定磁场的根本方程的积分与微分形式,并说明其物理意义2 .答真空中恒定磁场的根本方程的积分与微分形式分别为口Bds0sHdIi说明恒定磁场是一个无散有旋场,电流是激发恒定磁场的源.1 .试写出恒定磁场的边界条件,并说明其物理意义.2 .答:恒定

8、磁场的边界条件为：nH1H2jsnB,B20,说明磁场在不同的边界条件下磁场,强度的切向分量是不连续的,但是磁感应强强度的法向分量是连续.1 .一个很薄的无限大导电带电面,电荷面密度为.证实垂直于平面的z轴上zZ0处的电场强度E中,有一半是有平面上半径为"'z0的圆内的电荷产生的.2 .证实半径为r、电荷线密度为2232dr的带电细圆环在z轴上zZ0处的电场强度为dEezrz0dr22、3220(rz0)故整个导电带电面在z轴上zz.处的电场强度为ez01ez20(r2z2)12rz0dr而半径为“3z.的圆内的电荷产生在z轴上zZ0处的电场强度为靠"rzdrz1,

9、41Eeo2o(r2zTyF.勺2E1.由矢量位的表水式证实磁感应强度的积分公式B(r)3d4R3并证实B2.答B(r)A(r)/与d4R,JdJ(r)(-)d4R4RRJ(r)(/dJ(r)R3BA(r)01 .由麦克斯韦方程组出发,导出点电荷的电场强度公式和泊松方程.2 .解点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程E0和D由D得Ddd据散度定理,上式即为<->DdSqs利用球对称性,得Der-q-24r故得点电荷的电场表示式er-4由于E0,可取E,那么得即得泊松方程1 .写出在空气和的理想磁介质之间分界面上的边界条件.2 .解空气和理想导体分界面的边界条件为nE0nHJs根据电磁对

10、偶原理,采用以下对偶形式EHHEJsJms即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件nH0nEJms式中,Jms为外表磁流密度.1 .写出麦克斯韦方程组在静止媒质中的积分形式与微分形式2 .一一一-D'QHdlJdS1st_一B_i'Edl-dSlstBdS0s二DdSqs1.试写媒质1为理想介质2为理想导体分界面时变场的边界条件2.答边界条件为E1tE2t0或n£0-I-I-HH1tJs或nH1JsB1nB2n0或nB0-1-D1ns或nD11 .试写出理想介质在无源区的麦克斯韦方程组的复数形式.2 .答HjEEjHB0D01 .试写出波的极化方式的分类,并说明它们

11、各自有什么样的特点.2 .答波的极化方式的分为圆极化,直线极化,椭圆极化三种.圆极化的特点ExmEym,且Exm,Eym的相位差为一,2直线极化的特点Exm,Eym的相位差为相位相差0,椭圆极化的特点ExmEym,且Exm,Eym的相位差为万或0,1 .能流密度矢量(坡印廷矢量)S是怎样定义的坡印廷定理是怎样描述的2 .答能流密度矢量(坡印廷矢量)S定义为单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位截面的能量.坡印d,、廷定理的表达式为©(EH)dS(WeWm)P或sdtd1i10EHdS-E-HdEd,反映了电磁场中能量的守怛和转换关系.sdt1 .试简要说明导电媒质中的电磁波具有什么样

12、的性质设媒质无限大2 .答导电媒质中的电磁波性质有电场和磁场垂直；振幅沿传播方向衰减；电场和磁场不同相；以平面波形式传播.3 .时变场的一般边界条件D1nD2n、E1tE2t、H1tH2tJs、B1nB2n.写成矢量式n-DiD2、nE1E20、nH1H2Js、n何B20一样给5分1 .写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式,并简要说明其物理意义.D-B-一2 .答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为HJ,E,B0,Dtt说明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外,变化的电场位移电流也是磁场的源；除电荷外,变化的磁场也是电场的源.1 .写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界

13、面时的边界条件2 .时变场的一般边界条件D2n、E2t0、H2tJs、B2n0.写成矢量式nD2、nE20、nH2Js、宗口20一日¥给5分1.写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑标准与洛仑兹标准的意义.2.答矢量位BA,A0；动态矢量位E-A或E/.库仑标准与洛仑兹tt标准的作用都是限制A的散度,从而使A的取值具有唯一性；库仑标准用在静态场,洛仑兹标准用在时变场.1 .描述天线特性的参数有哪些?2 .答描述天线的特性能数有辐射场强、方向性及它的辐射功率和效率.1 .天线辐射的远区场有什么特点2 .答天线的远区场的电场与磁场都是与1/r成正比,并且它们同相,它们

14、在空间相互垂直,其比值即为媒质的本征阻抗,有能量向外辐射.1 .真空中有一导体球A内有两个介质为空气的球形空腔B和G其中央处分别放置点电荷附和G,试求空间的电场分布2 .对于A球内除BC空腔以外的地区,由导体的性质可知其内场强为零.对A球之外,由于在A球外表均匀分布H+Ma的电荷,所以A球以外区域4+公4落格/方向均沿球的径向对于A内的RC空腔内,由于导体的屏蔽作用那么£1.4瓯f可为B内的点到B球心的距离专为C内的点到C球心白距离1 .如下图,有一线密度&=跖邑的无限大电流薄片置于°平面上,周围媒质为空气.试求场中各点的磁感应强度.才d=/h2 .根据安培环路定律

15、,在面电流两侧作一对称的环路.那么y>0y<01 .同轴电缆的内外半径分别为4和6,其间媒质的磁导率为%,且电缆长度忽略端部效应,求电缆单位长度的外自感.2 .设电缆带有电流了1 .在附图所示媒质中,有一载流为/的长直导线,导线到媒质分界面的距离为方.试求载流导线单位长度受到的作用力.j均尸皿均F2 .镜像电流外+9为5镜像电流在导线处产生的5值为§=2对27?单位长度导线受到的作用力广二诙-LX巴,?ih力的方向使导线远离媒质的交界面.1. 图示空气中有两根半径均为a,其轴线间距离为d(>2向的平行长直圆柱导体,设它们单位长度上所带的电荷量分别为+T和-丁,假设忽

16、略端部的边缘效应,试求(1)圆柱导体外任意点p的电场强度的电位锣的表达式；(2)圆柱导体面上的电荷面密度,3与4ELU值.2.Q)/二-,A2贰=ff2瓶耳必鼻以y轴为电位参考点,那么11/)-A+a9+/?一再(2)(7rmI=Da=鸟E.h=rm.smxurmx-uJig3+h-ji占+十m1.图示球形电容器的内导体半径片二lcir,外导体内径场=6Gm,其间充有两种电介质后与5,它们的分界面的半径为斤二次马与马的相对介电常数分别为=9乂1十4=2,邑=1.求此球形电容器的电容C.4就隼2.解民-7(1<r<3)q我q/$-弓(3<r<6)48小0,1*11)010

17、?(114后4514抬号530-W21V9又1严二(-十一)二Q打苗362C=-=-xLCr11?U91. 一平板电容器有两层介质,极板面积为25cll一层电介质厚度4=0石后皿,电导率壮=IO*,相对介电常数%=7,另一层电介质厚度$=1cm,电导率%=1旷"S/m.相对介电常数&=4,当电容器加有电压100.V时,求(1) 电介质中的电流；(2) 两电介质分界面上积累的电荷；(3) 电容器消耗的功率.-=乃=A&九+4%仃=y旦-jG=-g九一弓匕4八十4几.=£752.85x10C/n27s产二=25X10-11W力1.有两平行放置的线圈,载有相同方向

18、的电流,请定性画出场中的磁感应强度分布万线.2.5线上、下对称.1 .真空中二均匀平面波的电场强度分别为：其二和/二三w心求合成波电场强度的瞬时表示式及极化方式.2 .得合成波为右旋圆极化波4=弓/eg0c廿历)一弓4fir0才什生)1 .图示一平行板空气电容器,其两极板均为边长为a的正方形,板间距离为d,两板分别带有电荷量与一,现将厚度为d、相对介电常数为边长为a的正方形电介质插入平行板电容器内至2处,试问该电介质要受多大的电场力方向如何?2 .(1)解当电介质插入到平行板电容器内a/2处,那么其电容可看成两个电容器的并联广%(a-1ddC=G+G=酶(sj+3-j)=Ke-1)add静电能

19、量ia2.汩#=-2C(彳-1jri(5-1)S-当2时,>0其方向为a/2增加的方向,且垂直于介质端面.1 .长直导线中载有电流丁,其近旁有一矩形线框,尺寸与相互位置如下图.设修.时,线框与直导线共面公0时,线框以均匀角速度卬绕平行于直导线的对称轴旋转,求线框中的感应电动势.2 .长直载流导线产生的磁场强度f时刻穿过线框的磁通中=d5二也当.如h2咫也f2H二md+()!+sdcosojt例n2d+,-adcosent2感应电动势&drr0UT+dhigf_氏1独勿2z用i-y+r-cos2参考方向,二0时为顺时针方向.1 .无源的真空中,时变电磁场磁场强度的瞬时矢量为H.0二

20、00.上口皿5皿)号iH6用xlO"AZm试求(1)内的值；(2)电场强度瞬时矢量百依S和复矢量(即相量卢32 .(1)V=号+刍+Q5用目4J4二(8解其(?)?0界故得EGt)=jvxdf；%g+qW)KW(ST&二邑9菰*iiiL5c口鼠6落乂104t-5日感)-e-r37jtcosO.5sir6仄x10.t-5-Mjtf)V/idE亩=q9侬irO.5嬴)巳-方-q3jT后二口如5幻/亮6氾111.2.证实任一沿6传播的线极化波可分解为两个振幅相等,旋转方向相反的圆极化波的叠加.证实设线极化波其中:耳二0-鸿九一株鸟和玛分别是振幅为2的右旋和左旋圆极化波.1.图示由两

21、个半径分别为川和国的同心导体球壳组成的球形电容器,在球壳间以半径丁=鸟为分界面的内、外填有两种不同的介质,其介电常数分别为5=和鼻=4?南,试证实此球形电容器的电容r_4北务-±)2.证实设内导体壳外外表所带的电荷量为Q那么&10尺兄4万马k两导体球壳间的电压为U_1(证毕)1.人K狷-2f次+21以皿穿过面积£=3,2工尸工333.8三£05.2彳(2)在上述面积中央处电流密度的模；(3)在上述面上工的平均值.2.(1)1=JJ<!"?=JJdr由6二J二J：5/6.2、=399A11/11.+一()鱼心冗R&曰小?求E弓方向的总

22、电流1.,曲池?-3,必)12682-2,)2(2)面积中央,P=2.5孑=4.5J=2gL251一45专+Z16J=J2gL2口+度田=26.121A/m£的平均值1_399(5.2-3.0)(3-2)1.4总285A/mJ1 .两个互相平行的矩形线圈处在同一平面内,尺寸如下图,其佗y,m上.略去端部效应,试求两线圈间的互感.2 .设线框1带有电流f,线框的回路方向为顺时针.线框产生的犷为§-丹工_A丁2k2/rfr-二旦工,户4+4_1消+&)2帝5+&S区="1n(5+4+)5I2宿(s+4)(s+4)1 .用有限差分法计算场域中电位,试列出

23、图示正方形网格中内点丁的拉普拉斯方程的差分格式和内点9的泊松方程的差分格式.2 .科二：仍十瞿日十佻十仍J+程+取3+01口+%4=力21)£1.,=w/em式/A/假设),今将边长为日的方形线框放置在坐标原点处,如图,当此线框的法线分别沿G、应电动势.2. (1)线框的法线沿巳时由得线框的法线沿6时yn=<线框的法线沿6时1 .无源真空中,时变电磁场的磁场强6和5方向时,求框中的感入%二0LT二一4cusLuA/?(-?)+35rlcci虱=叫-cos(#rT+)+coster2乙度目出方为；H(t；tJ=erAysiii4.7)cos(a3f-yi)+c移电流密度为.2.由

24、于.7二0由流得人=*£77:口削山加如A/m,其中W、4为常数,求位jsq/edxdydzAxsii4)cos(£Df-jSr)0J2cos(4才)siHcjt-ffy)二一cs(4,)costtuf-#_y)+q44与:&-T)sir(曲正囱)一6月.si44G田J0P)A/ib1.利用直角坐标系证实(fG)fG(f)G2.证实左边二(fA)(fAx耳fAy§yfAzez)0x(fAy)(AByzf(Az)ez(f)exfJAxzx二右边(Ax)ex.(f)exTAxxxf(Az)HzA(f)eztzzf(人疽f(Ay)eyxy(f)ey八(乱yAyy

25、yfAAf(Ay)ey(f)eyTAyyy1 .求无限长直线电流的矢量位A和磁感应强度B2 .解直线电流元产生的矢量位为dAez2-/,2,1214r(zz')J积分得l2(l2dz'2/,2112r(zz')ez-0ln(z'4z),(z'z)2r2i2l2Hz01I-ln(；z)K；z)2(2z)/z)2r212)r212Hz旦nL4r当l,A.附加一个常数矢量Cezln史4l那么Aez-0ln-ez-lnbez-lnb4r4l4r贝1J由B1.图示极板面积为S间距为d的平行板空气电容器内,平行地放入一块面积为&厚度为a、介电常数为的介质板.

26、设左右两极板上的电荷量分别为Q与Qo假设忽略端部的边缘效应,试求(1)此电容器内电位移与电场强度的分布;(2)电容器的电容及储存的静电能量.2.解1)D2Q-eSQQD1E2D2Q-exS2)C1E1(da)C2QU2E2aaoCiCCiC2S0oa(da)1Q22d1oa(da)2Q1.在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为4j20z4j(20Z2)/Eax10eay10e2(v/m)求(1)平面波的传播方向；(2)频率；(3)波的极化方式；(4)磁场强度；(5)电磁波的平均坡印廷矢量Sav.2.解(1)平面波的传播方向为+z方向(2)频率为fk0H3109Hz2(3)波的极化方式由于

27、ExmEym104,xy0-,故为左旋圆极化.yy22(4)磁场强度HJ0aZE(azax104jazay104)ej20z00(ay104jax104)ej20z0(5)平均功率坡印廷矢量一,1H-Re(ax104jay104)ej20z二1Sav,ReE(ay1040jax104)ej20z1(104)22120吗aaz0108az0.2651010az(W/m2)1 .利用直角坐标,证实(fA)fAAf2,证实左边二(fA)(fAxeXfAyCyfAzz)(fAx)exx(fAy)eyy(fAz)ef(Ax)exxf(A)HzzAxfxxAz声zf(Ay)eyyf(Ax)exxAyf(4

28、)0y(f)eyf(Az)%z人x二右边1.1求矢量AexXeyXezy2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分,此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合.再求A对此回路所包围的曲面积分,验证斯托克斯定理.2 .解OA-dlC2xdx02xdx0222dy020dy80所以exeyezex2yzez2xAdS(ex2yzez2x),ezdxdy8S00故有JAdl8AdSCS1 .同轴线内外半径分别为a和b,填充的介质0,具有漏电现象,同轴线外加电压U,求(1)漏电介质内的；(2)漏电介质内的E、J;(3)单位长度上的漏电电导.2 .解(1)电位所满足的拉普拉斯方程为1dd(rdrdr由

29、边界条件ra,U;rb,0所得解为/U»b(r)rlnbrln一a(2)电场强度变量为E(r)_derd那么漏电媒质的电流密度为JE(r)U一rlnaU_下erlna(3)单位长度的漏电流为I0Ubrlna2U-丁eln-aJ2单位长度的漏电导为Go火2U1nba0-bdrc2robImcost,caIn线框中的感应电动势ddtobImsint,caIn2c参考方向为顺时针方向.1.空气中传播的均匀平面波电场为E莅E°ejkr,电磁波沿z轴传播,频率为f.求(2)波长;(3)能流密度S和平均能流密度Sav；(4)能量密度W2.解(1)jkrexE0eeyEoejkr2jkr

30、cos2(2ftkz)_1_一*_12Sav-Re(EH)0.一Eo2201 212(4)W10E210H2221 .平行板电容器的长、宽分别为a和b,极板间距离为d.电容器的一半厚度(0_d/2)用介电常数为的电介质填充,(1)板上外加电压Uo,求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；(2)假设板上的自由电荷总量为Q,求此时极板间电压和束缚电荷；(3)求电容器的电容量.2 .(1)设介质中的电场为EezE,空气中的电场为EoezE.由DD.,有E0E0又由于由以上两式解得EoUo22oUo(o)dEo2Uo(o)d故下极板的自由电荷面密度为2oUo(o)d上极板的自由电荷面密度为上0E02oUo(

31、o)d电介质中的极化强度P(o)E2o(o)Uoo)d故下外表上的束缚电荷面密度为p下ez-P2o(o)Uo(o)d上外表上的束缚电荷面密度为p上ezP2o(o)Uoo)d得到QabUo)do)dQoab(o)Qab(3)电容器的电容为2°ab(0)d1 .频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿(z)方向传播,介质的特1性参数为r4、r1,0.设电场沿x方向,即EexEx；当t0,zm时,电场等8于其振幅值104V/m.试求H(z,t)和E(z,t);(2)波的传播速度；(3)平均波印廷矢量.2 .解以余弦形式写出电场强度表示式E(z,t)exEx(z,t)e

32、xEmcos(tkzxe)把数据代入Em104V/m一2f.4T；4-一rad/m3xEE(z,t)4ex10cos(2108tH(z,t)ExeyHyeyey4-z-)V/m1=104cos(2108t:6)-1ey一y60104cos(2108t4-z-)A/m一rad631088,1.510m/s21*(3)平均坡印廷矢量为SavReEH24410J(Tze360,41_4j(fZ)_SavReex10e36ey2y1.(104)2-Re©260,1082ezW/m120A21.在由r5、z0和z4围成的圆柱形区域,对矢量Aerrez2z验证散度定理.2,解在圆柱坐标系中A2-

33、(rr2)(2z)3r所以*Ad5(3r2)rdr012002A*dSO(errez2z)*(erdSrdSezdSz)525d52dz2004rdrd1200故有1.求积分;*Ad1200APSS*2矢量AexX2eyXy-22ez24xy3z的散度;(2)求*A对中央在原点的一个单位立方体的求A对此立方体外表的积分,验证散度定理.故有,222223、A(x)(xy)(24xyz).22222A-y-2x2xy72xyzxyz(2)A对中央在原点的一个单位立方体的积分为121212'22221Ad(2x2xy72xyz)dxdydz12121224(3)A对此立方体外表的积分A*dS

34、S1212(：)2dydz121221212(g)2dydz12122121212_2122x2()2dxdz21212L121212c22z13,24xy()dxdy1212212_2122x2()2dxdz212以1212c22,13,24xy(-)dxdy12122*Ad124124OA*dSS1 .计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球外表的积分,并求"对球体积的积分2 .解2Or*dSOr-erdSdaa2sind4a3SS00又在球坐标系中12*r2(rr)3rr所以*rd3r2sindrdd4a321.求矢事Aexxeyx2ezyz沿xy平面上的一个边长为2的正方形回

35、路的线积分,此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合再求A对此回路所包围的曲面积分,验证斯托克斯定理.2.OAdlC2xdx02xdx0222d020dy0所以AdSS故有JA,dlC1.证实R3;2.解(1)RAexAxeyezex2yzez2x(ex2yz00ez2x)*ezdxdyAdSezR0；(3)(A,R)其中RexxeyyezZ,A为一常矢eyAyezAzARAxXAyyAzZ(AR)ex(AxAyyAzZ)2%yAzZ)ez(AxXAyyAzZ)zexAeyAyezAzA1.两点电荷q8c位于z轴上z4处,q24c位于y轴上y4处,求4,°,°处的电场强度.2,

36、解电荷qi在4,°,°处产生的电场为Eqirri2e*4ez44°rr1304V23电荷q2在4,.,.处产生的电场为E2q2r231ex4ey4°(4,2)3故4,°,°处的电场为EiE2exeyez232201.两平行无限长直线电流I1和I2,相距为d,求每根导线单位长度受到的安培力Fm2,解无限长直线电流I1产生的磁场为B1直线电流I2每单位长度受到的安培力为Fm12I2ezB1dze12°I1I22d式中e12是由电流I1指向电流I2的单位矢量同理可得,直线电流I1每单位长度受到的安培力为1 .一个半径为a的导体球带

37、电荷量为Q,当球体以均匀角速度绕一个直径旋转,求球心处的磁感应强度2 .解球面上的电荷面密度为Q4a2当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时,球面上位置矢量era点处的电流面密度为3 rezeraasineQ.sin4a将球面划分为无数个宽度为dlad的细圆环,那么球面上任一个宽度为dlad细圆环的电流为dIJSdlQsind4细圆环的半径为basin,圆环平面到球心的距离dacos,利用电流圆环的轴线上的磁场公式,那么该细圆环电流在球心处产生的磁场为dBez20b2d2I32ez-2(b2d2)3282.3,0Qasind/22(asin2232acos)0Qsin3dez8a故整个球面电流在球

38、心处产生的磁场为3ez0QsinBezd08a1.半径为a的球体中充满密度(r)的体电荷,电位移分布为3rD5DraAr2Aa42r(r(ra)a)其中A为常数,试求电荷密度r2.解由D,有1d2(r)*D-(rDr)rdr故在ra区域1d23(r)0-r(rAr)°(5r4Ar)rdr在ra区域54(r)1d2(aAa)0r2J0rdrr1 .一个半径为a薄导体球壳内外表涂覆了一薄层绝缘膜,球内充满总电荷量为Q为的体电荷,球壳上又另充有电荷量Q.球内部的电场为Ee.r/a4,设球内介质为真空.计算1球内的电荷分布；2球壳外外表的电荷面密度.2 .解1由高斯定理的微分形式可求得球内的

39、电荷体密度为E°二：(r2E)rdr.二)rdra3r0a2球体内的总电量Q为a3r,22Qd604rdr40a0a球内电荷不仅在球壳内外表上感应电荷Q,而且在球壳外外表上还要感应电荷Q,所以球壳外外表上的总电荷为2Q,故球壳外外表上的电荷面密度为1.中央位于原点,边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为PP0(exxeyyezz).1计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；2证实总的束缚电荷为零.2.解(1)P3Po/L、p(x-)n*P2L20*P同理p(x-L)n*P2PyLex,PLp(zi.一半径为R.的介质球,介电常数为2.解由OD-dSqS可得到r2DiD2DiDiD2R3r

40、2Di故中央点的电位为3_2L_3P0L6L-Po02r0,其内均匀分布自由电荷,证实中央点的电位为R)R)r一(rR)(r030rE?dr*%(0)Edr0R0rdr03r0与drR330rR2301 .一个半径为R的介质球,介电常数为,球内的极化强度PeK/r,其中K为一常数.1计算束缚电荷体密度和面密度；2计算自由电荷密度；3计算球内、外的电场和电位分布.2 .解1介质球内的束缚电荷体密度为1d/p,P一K2r在rR的球面上,束缚电荷面密度为n*PrRePr(2)由于D°EP,所以*D0*E*P0,DP(1)*DP由此可得到介质球内的自由电荷体密度为DK(0)r2RK总的自由电

41、荷量2dr3介质球内、外的电场强度分别为EiKer(0)r(rR)E2er/40r介质球内、外的电位分别为1E,dlrRE1drrE2drRdr0)rRK.drR0(0)rJnR0rK0(0)(rR)2E2drrRK2drr0(0)rRK(rR)0(0)r1 .如下图为一长方形截面的导体槽,槽可视为无限长,其上有一块与槽相绝缘的盖板,槽的电位为零,上边盖板的电位为U0,求槽内的电位函数.2 .解根据题意,电位x,y满足的边界条件为0,ya,y0x,00x,bU0根据条件和,电位x,y的通解应取为(x,y)Asinh(3)sin(3)n1aa由条件,有U0Ansinh(nb)sin(-x)nia

42、a两边同乘以sinnx/a,并从0到a对x积分,得到A2sin(U)dxasinh(nba)0a2Unsinh(nba)(1cosn)4Uonsinh(nba)n1,3,5,0,n2,4,6,故得到槽内的电位分布(x,y)4U01n1,3,5,.nsinh(nba)nynxsinh()sin()aa1 .两平行无限大导体平面,距离为b,其间有一极薄的导体片由yd到yb(z).上板和薄片保持电位U0,下板保持零电位,求板间电位的解.设在薄片平面上,从y0到yd,电位线性变化,(0,y)U°y/d.2 .解应用叠加原理,设板间的电位为(x,y)i(x,y)2(x,y)其中,i(x,y)为

43、不存在薄片的平行无限大导体平面间(电压为U.)的电位,即i(x,y)U°y/b；2(x,y)是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位,其边界条件为 2(x,0)2(x,b)0 2(x,y)0(x)U0U00y0y(0yd) 2(0,y)(0,y)1(0,y)dbU0U077y(dyb)b根据条件和,可设2(x,y)的通解为nynlx2(x,y)Ansin()ebn1b由条件有nyAnSin()n1bUoUo了y8y.UoUoTy(0yd)(dyb)两边同乘以sinny/b,并从0到b对y积分,得到2U0d/11/AnHo(d/SKyny.b)Sin(V)dy2Uob2sin(n

44、)d故得到(x,y)2bUo1./dnyQ2- 2sin()sin()edn1nbb1 .如题a图所示,在zo的下半空间是介电常数为的介质,上半空间为空气,距离介质平面距为h处有一点电荷q.求1zo和zo的两个半空间内的电位；2介质外表上的极化电荷密度,并证实外表上极化电荷总电量等于镜像电荷q.2 .解1在点电荷q的电场作用下,介质分界面上出现极化电荷,利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷.根据镜像法可知,镜像电荷分布为如题图b、c所示qoq,位于zhoqoq,位于zh上半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q共同产生,即qq4oR40Rq10140r2(zh)20,r2(zh)2下半空间内的电

45、位由点电荷q和镜像电荷q共同产生,即4R2(0)、r2(zh)22由于分界面上无自由电荷分布,故极化电荷面密度为pn?pP20(EzE2z)z0极化电荷总电量为0(z(0)hq212、322(0)(rh)3qpSpdSP2rdr(0)hqrdr22X321100(rh)0)q1 .一个半径为r的导体球带有电荷量为Q,在球体外距离球心为d处有一个点电荷q.1求点电荷q与导体球之间的静电力；2证实当q与Q同号,且RD3q(D2R2)2D成立时,F表现为吸引力.2 .解1导体球上除带有电荷量Q之外,点电荷q还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷.根据镜像法,像电荷q和q的大小和位置分别为如题图所

46、示RR2q,dDD导体球自身所带的电荷Q那么与位于球心的点电荷Q等效.故点电荷q受到的静电力为FqqFqqFqqqqq(Dq)_2_240(Dd)40DqQ(RD)q40D2Rq22DDRD(2)当q与Q同号,且F表现为吸引力,即F0时,那么应有Q(RD)qD1Rq由此可得出_3QRDR2-22'-Z-q(D2R2)2D1 .如题5.8所示图,无限长直线电流I垂直于磁导率分别为i和2的两种磁介质的分界面,试求(1)两种磁介质中的磁感应强度B1和B2；(2)磁化电流分布.2 .解(1)由安培环路定理,可得所以得到Bi0H0IB2He2r(2)磁介质在的磁化强度那么磁化电流体密度1d(o)I1d/1、八e7d7(rM)ezLr-7d7(r7)0在r0处,巳具有奇异性,所以在磁介质中r0处存在磁化线电流1m.以z轴为中央、r为半径作一个圆形回路C,由安培环路定理,有故得到Im1Im一1汩dl0CHi(Pi)Hi(P2)1H2(P)(1)I0H2(P2)题5.9图在磁介质的外表上,磁化电流面密度为(0)IJmSMxezz0er20r1 .如题图所示,一环形螺线管的平均半径r0