概率论与数理统计知识点总结免费超详细版

1、?概率论与数理统计?第一章概率论的根本概念§ 2 .样本空间、随机事件1 .事件间的关系AB那么称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件B发生ABxxA或xB称为事件A与事件B的和事件,指当且仅当A,B中至少有一个发生时,事件AB发生ABxxA且xB称为事件A与事件B的积事件,指当A,B同时发生时,事件AB发生A-BxxA且xB称为事件A与事件B的差事件,指当且仅当A发生、B不发生时,事件AB发生AB,那么称事件A与B是互不相容的,或互斥的,指事件A与事件B不能同时发生,根本领件是两两互不相容的ABS且AB,那么称事件A与事件B互为逆事件,又称事件A与事件B互为对立事件2 .运算

2、规那么交换律ABBAABBA结合律(AB)CA(BC)(AB)CA(BC)分配律A(BC)(AB)(AC)A(BC)(AB)(AC)德摩根律ABABABAB§ 3 频率与概率定义在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数,比值nA/n称为事件A发生的频率概率：设E是随机试验,S是它的样本空间,对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件的概率1 .概率P(A)满足以下条件：(1)非负性：对于每一个事件A0P(A)1(2)标准性：对于必然事件SP(S)1(3)可列可加性：设A1,A2,An是两两互不相容的事件,有P(Ak)P(AJ

3、(n可k1k1以取)2 .概率的一些重要性质：P()0nn(ii)假设Ai,A2,An是两两互不相容的事件,那么有P(Ak)P(Ak)(n可以取)k1k1(iii)设A,B是两个事件假设AB,那么P(BA)P(B)P(A),P(B)P(A)(iv)对于任意事件A,P(A)1(v)P(A)1P(A)(逆事件的概率)(vi)对于任意事件A,B有P(AB)P(A)P(B)P(AB)§4等可能概型(古典概型)等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同假设事件A包含k个根本领件,即Aeij露伯),里ik是12n中某k个不同的数,那么有kP(A)Pe"j

4、1一kA包含的根本领件数nS中根本领件的总数§ 5 条件概率(1) 定义：设A,B是两个事件,且P(A)0,称P(B|A)迪为事件A发生的条P(A)件下事件B发生的条件概率(2) 条件概率符合概率定义中的三个条件1非负性：对于某一事件B,有P(B|A)02.标准性：对于必然事件S,P(S|A)13可列可加性：设Bi,B2,是两两互不相容的事件,那么有P(BiA)P(BiA)i1i1(3) 乘法定理设P(A)0,那么有P(AB)P(B)P(A|B)称为乘法公式n(4) 全概率公式：P(A)R(Bi)P(A|Bi)i1贝叶斯公式:P(Bk|A)P(Bk)P(A|Bk)nP(Bi)P(A|

5、Bi)i1§ 6 独立性定义设A,B是两事件,如果满足等式P(AB)P(A)P(B),那么称事件A,B相互独立定理一设A,B是两事件,且P(A)0,假设A,B相互独立,那么P(B|A)PB一一一一定理二假设事件A和B相互独立,那么以下各对事件也相互独立：A与B,A与B,A与B第二章随机变量及其分布§ 1随机变量定义设随机试验的样本空间为Se.XX(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数,称XX(e)为随机变量§ 2离散性随机变量及其分布律1 .离散随机变量：有些随机变量,它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量P(Xxk)Pk满足如

6、下两个条件(1)Pk0,(2)Pk=1k12.三种重要的离散型随机变量(1)(0-1)分布设随机变量X只能取0与1两个值,它的分布律是P(Xk)pk(1-p)1-k,k0,1(0p1),那么称X服从以P为参数的(0-1)分布或两点分布.(2)伯努利实验、二项分布一设实验E只有两个可能结果：A与A,那么称E为伯努利实验.设P(A)p(0p1),一此时P(A)1-p.将e独立重复的进行n次,那么称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验.P(Xk)npkqn-k,k0,1,2,n满足条件(1)pk0,(2)Pk=1注意kk1到npkqn-k是二项式(p4)的展开式中出现pk的那一项,我们称随机变量X服

7、从参数k为n,p的二项分布.(3)泊松分布设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,而取各个值的概率为k-eP(Xk),k0,1,2,其中0是常数,那么称X服从参数为的泊松分布记为k!X-()§3随机变量的分布函数定义设X是一个随机变量,x是任意实数,函数F(x)PXx,-x称为X的分布函数分布函数F(x)P(Xx),具有以下性质(1)F(x)是一个不减函数(2)0F(x)1,且5()0,F()1(3)F(x0)F(x),即F(x)是右连续的§4连续性随机变量及其概率密度连续随机变量：如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负可积函数f(x),使x对于任意函数x有F(x)

8、f(t)dt,那么称x为连续性随机变量,其中函数f(x)称为X-0,(2)f(x)dx1；的概率密度函数,简称概率密度1概率密度f(x)具有以下性质,满足(1)f(x)(3)P(XiXx2)2,三种重要的连续型随机变量x1f(x)dx；(4)假设f(x)在点x处连续,那么有F(x)f(x)(1)均匀分布假设连续性随机变量X具有概率密度f(x)均匀分布记为XU(a,b)(2)指数分布假设连续性随机变量X的概率密度为f(x)服从参数为的指数分布.(3)正态分布axbb-a'axb,那么成X在区间(a,b)上服从0,其他0为常数,那么称X假设连续型随机变量X的概率密度为f(x)其中,(0)为

9、常数,那么称X服从参数为,的正态分布或高斯分布,记为特别,当0,1时称随机变量X服从标准正态分布§5随机变量的函数的分布定理设随机变量X具有概率密度fx(x),-,又设函数g(x)处处可导且恒有g,(x)y=g(X)是连续型变量,其概率密度为fY(y)fXh(y)0h,(y),y,其他第三章多维随机变量定义设E是一个随机试验,它的样本空间是Se.XX(e)和YY(e)是定义在S上的随机变量,称XX(e)为随机变量,由它们构成的一个向量(X,Y)叫做二维随机变量设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数F(x,v)P(Xx)(Yy)驾PXx,Yy称为二维随机变量(X,Y)

10、的分布函数如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的值是有限对或可列无限多对,那么称(X,Y)是离散型的随机变量.我们称P(Xxi?Yyjpj,i,j1,2,为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律.对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y),如果存在非负可积函数f(x,y),yx使对于任思乂,丫有5(x,y)f(u,v)dudv,那么称(X,Y)是连续性的随机变量,-函数f(x,y)称为随机变量(X,Y)的概率密度,或称为随机变量X和Y的联合概率密度.§2边缘分布二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数F(x,y).而X和Y都是随机变量,各自也有分布函数,将他们分别记为F

11、X(x),F丫(y),依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数.Pi?PijPXxi1,2,PjPYYi),1,2,分别称Pi?p?j为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律.x(x)f(x,y)dyfY(y)f(x,y)dx分别称X(x),概率密度,记为fX|Y(xy)=f(x,y)fY(y)fY(y)为x,丫关于x和关于y的边缘概率密度.§3条件分布定义设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,假设PYyj)0,PXxi,YVi)pj那么称PXxiYyj)-4/1,2,为在Yyj条件下jPYyj)p?jjPXxi,Yyj)pj随机变量X的条件分布律,同样PY

12、yjXXi)-j口,j1,2,jPXxi)pi?为在Xxi条件下随机变量X的条件分布律.设二维离散型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y的边缘概fY(y)率密度为fY(y),假设对于固定的V,fY(y)0,那么称f(x,y)为在Y=y的条件下X的条件§4相互独立的随机变量定义设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别是二维离散型随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数.假设对于所有x,y有PXx,Yy)PXx)PYy),即Fx,y)Fx(x)Fy(y),那么称随机变量X和Y是相互独立的.对于二维正态随机变量(X,Y),X和Y相互独立的充要条件是参数0

13、7;5两个随机变量的函数的分布1, Z=X+Y的分布设(X,Y)是二维连续型随机变量,它具有概率密度f(x,y).那么Z=X+Y仍为连续性随机变量,其概率密度为fXY(z)f(zy,y)dy或fXY(z)f(x,zx)dx又假设X和Y相互独立,设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y)那么fxY(z)fX(zy)f丫(y)dy和fX丫(z)fX(x)fy(zx)dx这两个公式称为fX,fY的卷积公式有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布Y一2, Z一的分布、ZXY的分布X一八一J、口一一、Y设(X,Y)是二维连续型随机变量,它具有概率密度f(x,y),那么Z,

14、ZXYX仍为连续性随机变量其概率密度分别为fY.X(z)xf(x,xz)dxfXY(z)1f(x,2)dx又假设X和Y相互独立,设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别xx为fX(x),fy(y)那么可化为fy/X(z)fX(x)fy(xz)dxfXY(z):fX(x)fYgdx3MmaxX,Y及NminX,Y的分布设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为FX(x),FY(y)由于MmaxX,Y不大于z等价于X和Y都不大于z故有PMzPXz,Yz又由于X和丫相互独立,得到MmaxX,Y的分布函数为Fmax(z)Fx(z)Fy(z)NminX,Y的分布函数为Fmin(z)11Fx(z)

15、1Fy(z)第四章随机变量的数字特征§1.数学期望定义设离散型随机变量X的分布律为PXxkPk,k=1,2,假设级数xkpk绝对k1收敛,那么称级数xkPk的和为随机变量X的数学期望,记为E(X),即E(X)xkPkk1i设连续型随机变量X的概率密度为f(x),假设积分xf(x)dx绝对收敛,那么称积分xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望,记为E(X),即E(X)xf(x)dx定理设Y是随机变量X的函数Y=g(X)(g是连续函数)(i)如果X是离散型随机变量,它的分布律为PXxkpk,k=1,2,假设g(xk)pkk1绝对收敛那么有E(Y)E(g(X)g(xk)pkk1(ii)如

16、果X是连续型随机变量,它的分概率密度为f(x),假设g(x)f(x)dx绝对收敛那么有E(Y)E(g(X)g(x)f(x)dx数学期望的几个重要性质1设C是常数,那么有E(C)C2设X是随机变量,C是常数,那么有E(CX)CE(X)3设X,Y是两个随机变量,那么有E(XY)E(X)E(Y);4设X,Y是相互独立的随机变量,那么有E(XY)E(X)E(Y)§2方差2.2定义设X是一个随机变量,假设EXE(X)存在,那么称EXE(X)为*的方差,记为D(x)即D(x)=EXE(X)2,在应用上还引入量jD(x),记为(x),称为标准差或均方差._2_2_2D(X)E(XE(X)2E(X2

17、)(EX)2方差的几个重要性质1设C是常数,那么有D(C)0,2_2设X是随机变量,C是常数,那么有D(CX)CD(X),D(XC)D(X)3设X,Y是两个随机变量,那么有D(XY)D(X)D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y)特别,假设X,丫相互独立,那么有D(XY)D(X)D(Y)4D(X)0的充要条件是X以概率1取常数E(X),即PXE(X)1切比雪夫不等式：设随机变量X具有数学期望E(X)2,那么对于任意正数,不等式PX-F成立§3协方差及相关系数定义量EXE(X)YE(Y)称为随机变量X与Y的协方差为Cov(X,Y),即Cov(X,Y)E(XE(X)(YE(Y)E(XY)

18、E(X)E(Y)*Cov(X,Y)而xy：_三称为随机变量X和Y的相关系数D(X)D(Y)对于任意两个随机变量X和Y,D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)协方差具有下述性质lCov(X,Y)Cov(Y,X),Cov(aX,bY)abCov(X,Y)2Cov(XiX2,Y)Cov(XY)Cov(X2,Y)定理1XY12|xy|1的充要条件是,存在常数a,b使PYabx1当XY0时,称X和丫不相关附：几种常用的概率分布表分布参数分布律或概率密度数学期望力差两点分布0p1PXk)pk(1p)1k,k0,1,pp(1p)二项式分布n10p1P(Xk)C：pk(1p)nk,k0,1,n,npnp(1p)泊松分布0keP(Xk),k0,1,2,k!几何分布0p1k1P(Xk)(1p)p,k1,2,1p1p2p均匀分布ab1.一、,axbf(x)ba,