2016年四川省高考理科数学试题及答案

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工类)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1 .设集合Ax|2x2 ),Z为整数集,则AIZ中元素的个数是(A)3(B)4(C)5(D)62.设i为虚数单位，则(xi)6的展开式中含X4的项为(A)15x4(B)15x4(C)20ix4(D)20iX4sin2x的图象上所有的点.一冗3.为了得到函数ysin(2x)的图象，只需把函数y3冗冗(A)向左平行移动个单位长度(B)向右平行移动百个单位长度(C)向左平行移动一个单位长度(D)向右平行移动个单位长度664 .用数字1

2、,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(A)24(B)48(C)60(D)725 .某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2P0.30)(A)2018年(B)2019年(C)2020年(D)2021年6 .秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用

3、秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为(A)9(B)18(C)20(D)35yx1,7 .设p：实数x,y满足(x-1)2-(y-1)2W2,q：实数x,y满足y1x,则p是q的y1,(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件28.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF，则直线OM的斜率的最大值为322(A)二(B)2(C)手(D)1lnx,0x1,9 .设直线l1,l2分别是函数f(x)=图象上点Pi,P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P,且l1,ln

4、x,x1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是(A)(0,1)(B)(0,2)(C)(0,+8)(D)(1,+8)uuuruuiruuruuiruuuruurumruuruuir10 .在平面内,定点A,B,C,D满足DA=DB=DC,DADB=DBDC=DCDA=-2,动点P,uuuuuuuuuuruuuiwM满足AP=1,PM=MC,则BM的最大值是4349376.3372.33(A)(B)(C)-(D)4444、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。27t27t11 .cos2-sin2=.8812 .同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就

5、说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是.则该三棱锥的体积是。13 .已知三棱镜的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示,14 .已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0vx0,nN.(I)若2a2,a3,a22成等差数列，求an的通项公式；2non2y_5、r43(ii)设双曲线x-1的离心率为en,且e2,证明：ee2ea；33.20 .(本小题满分13分)X2V1rb口)，一人,一，人、，一口一AA.，人一，已知椭圆E：az/的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(I)求椭圆E的方程及点T

6、的坐标；(II)设O是坐标原点，直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P.证明：存在常数入，使得IPTI2=入|PAI-IPBI,并求入的值.21 .(本小题满分14分)设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中aCR.(I)讨论f(x)的单调性；(II)确定a的所有可能取值，使得f(x)-e1-x+在区间(1,+8)内恒成立(e=2.718为自然对数的底数)。2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工类)试题参考答案一、选择题1.C2,A3.D4.D5.B6.B7,A8.C9.A10.B二、填空题11.12.313.14.215.223三、解答题16

7、.(本小题满分12分)(I)由频率分布直方图知，月均用水量在0,0.5)中的频率为0.080.5=0.04,同理，在0.5,1),1.5,2),2,2.5),3,3.5),3.5,4),4,4.5)中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04+0.08+0.5冶+0.20+0.26+0.5%+0.06+0.04+0.02=1,解得a=0.30.(n)由(I),100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为3000000.12=36000.(出)

8、因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.880.85,而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.730.85,所以2.5皮(x72.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准.17 .(本小题满分12分)(I)根据正弦定理，可设一旦工=-bq=cg=k(k0).贝Ua=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.代入cosA+cosB_sinCabc中，有cosA+cosB_sinCksinAksinBksinC变形可得sinAsinB=sinAc

9、osB+cosAsinB=sin(A+B).在ABC中，由A+B+C=tt,有sin(A+B)=sin(nC产sinC,所以sinAsinB=sinC.(n)由已知，b2+c2-a2=6bc,根据余弦定理，有5,222bca3cosA=2bc5所以sinA=1cos2A=4.5由(I),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以sinB=cosB+sinB,555故tanB=sinB=4.cosB18.（本小题满分12分）（I）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB,DC,相交于点M（MC平面PAB）,点M即为所求的一个点.理由如下:由已知，BC/ED,且BC=ED.所以

10、四边形BCDE是平行四边形.从而CM/EB.又EB平面PBE,CM平面PBE,所以CM/平面PBE.（说明：延长AP至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点）（II）方法一：由已知，CDXPA,CDXAD,PAAD=A,所以CD,平面PAD.从而CDXPD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45设BC=1,则在RtAPAD中，PA=AD=2.过点A作AH，CE,交CE的延长线于点H,连接PH.易知PAL平面ABCD,从而PAICE.于是CEL平面PAH.所以平面PCEL平面PAH.过A作AQ，PH于Q,则AQ，平面PCE.所以APH是PA与平面PCE所成白角

11、.在RtAAEH中，AEH=45,AE=1,2所以AH=-2.在RtAPAH中，PH=JPA2AH2=3,2一AH1所以sinAPH=PH3方法二：由已知，CDXPA,CDXAD,PAAD=A,所以CD,平面PAD.于是CDXPD.从而PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45.由PAXAB,可得PAL平面ABCD.设BC=1,则在RtAPAD中，PA=AD=2.uuuruuuz轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标作AyAD,以A为原点，以AD,AP的方向分别为x轴,系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0),uuuuuuuuu所以PE=

12、(1,0,-2),EC=(1,1,0),AP=(0,0,2)设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),uuuuuuiunPE0,x2z0,由uuur得设x=2,解得n=(2,-2,1).nEC0,xy0,uuuu设直线PA与平面PCE所成角为“，则sina=|nAuUUu1=J2_1|n|AP|2,22(2)2123所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为1.319.(本小题满分12分)(I)由已知，Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到a0+2=qan+i,n?1.又由S2=q+1得到a2=qa,故an+1=qan对所有n31都成立.所以，数列an是首项为1,公比为q的

13、等比数列.从而an=qi.20,由2a2,a3,a2+2成等比数列，可得2a3=3a2+2,即2q=3q+2,则(2q+1)(q-2)由已知，q0,故q=2.所以an=2n-1(n?N*).(n)由(I)可知，an=qn-1.所以双曲线x2-b=1的离心率en=41+an2=#+q2(n-1)an由q=J1+q2=5解得q=4.332(k-1)2(k-1)-2(k-1)k-1*、因为1+qq，所以q1+q()q(k?N).是e1+e2+鬟？q1+q+鬟?n-1nq-1一4n.3n故e+e2+鬃qnrr-320.(本小题满分13分)_22(I)由已知，a72b,则椭圆E的方程为二匕1.2b2b2

14、221有方程组2b2b2,得3x212x(182b2)0.3,方程的判别式为=24(b23),由=0,得b2=3,此方程的解为x=2,22所以椭圆E的方程为土L1.63点T坐标为(2,1)12m2m(II)由已知可设直线l的方程为yxm(m0),1xy-xm,有万程组22可得yx3,y所以P点坐标为282),PT-m.9设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)2x由方程组62y31-x21,m,方程的判别式为可得3x24mx(4m212)0.=16(92、2m),由03.2解得3.2m2由得x14mX2=,X234m2123所以PA(22m2x1)(132m23y1)522m3

15、Xi同理PB2m3所以PB4(24(2PB2m)232m2354(22m3Xi)(2小2m、,、(23)(x1x2)(2拳U)2mTx2)x1x22_4m2123102m.9，42故存在常数一，使得PTPAPB52ax21(x0).x21.(本小题满分14分)1(1) f(x)2ax一x当a0时，f(x)0,f(x)在(0,+)内单调递减.1当a0时，由f(x)=0,有xl2a此时，当X(0,时，f(x)0,f(x)单调递增.2a11(H)令g(x)=,s(x)=ex.xe则s(x)=ex11而当X1时，s(x)0,所以s(x)在区间(1+)内单调递增.又由s(1)=0,有s(X)0,从而当X1时，f(x)0.0,x1时，f(x)=a(x21)lnx0.故当f(x)g(x)