第4章：连续体的振动

1、STDU DYNAMICS OF STRUCTURES Prof. Lanhe Wu Shijiazhuang Tiedao Univ.Dynamics of StructuresSTDU DYNAMICS OF STRUCTURESv第四章 连续系统的振动具有连续分布的质量和弹簧系统称作连续系统或分布质量系统。连续系统具有无限多个自由度，其动力学方程为偏微分方程，只对一些简单情形才能求得精确解。对于复杂的连续系统则必须利用各种近似方法简化为离散系统求解。本章先讨论以杆的纵向振动为代表的一类振动以及梁的横向振动，以掌握连续系统振动的一般规律，然后介绍工程中常用的几种近似方法，包括集中质量法、假

2、设模态法、模态综合法和有限元法。本章材料均为理想线弹性体，即材料为均匀的和各向同性的，且在弹性范围内服从胡克定律STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 4.1 一维波动方程基本假设:考虑图示均质直杆1.所有连续体均为线性弹性体2.材料均匀连续且各向同性3.体系的振动变形都是微小变形一.动力学方程1.杆的纵向振动设E弹性模量为S横截面积为 材料密度为l杆件长度为假定振动过程中各截面保持平面，并忽略因纵向振动引起的横向变形 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES考虑微段的平衡 一维波动方程uFESESx d(d )FS xuFxFx 而 将上式代入动力平衡方程整理得

3、 2ua u /aE 波速2.弦的横向振动讨论两端固定，以张力F拉紧的细弦的横向振动STDU DYNAMICS OF STRUCTURES设弦单位长度的质量为l dly x ( , )p x t单位长度弦上横向的干扰力 以变形前弦的方向为x轴振动过程中弦的张力不变( , )y x t设横向挠度对图示微元体，列出22dddlyxFxp xtx /yx 将代入整理得2/lya yp 自由振动时0p 上式化为2ya y 一维波动方程/laF 波速STDU DYNAMICS OF STRUCTURES3.轴的扭转振动设截面的二次极矩为PI材料的密度为 G剪切模量建立图示的坐标系( , )x t 扭转角

4、该截面处的扭矩为 (/)PTGIx 对右图示的微元体，列出 2222dddPPIxGIxp xtx 自由振动时 2222ddPPIxGIxtx 化为一维波动方程一维波动方程2a /aG 波速STDU DYNAMICS OF STRUCTURES4.杆的剪切振动材料的密度为 G剪切模量建立图示的坐标系(/)(/)SFGSyx 对右图示的微元体，列出 杆的剪切振动xxdxSFdSSFFxx y当杆的长度接近截面尺寸时，杆的横向振动主要引起剪切变形 假设振动过程中杆的横截面始终保持平行，称作杆的剪切振动 2222ddyGSyS xxtx 截面形状系数 2ya y 一维波动方程/()aG 波速整理得

5、STDU DYNAMICS OF STRUCTURES二.固有频率和模态函数 以上四种物理背景不同的振动都归结为同一数学模型，即一维波动方程。以杆的纵向振动为代表，讨论此数学模型，所得结果也完全适用于其它振动问题。 现来求解一维波动方程 2ua u 利用分离变量法，令 ( , )( )( )u x txq t 这个假设的实质是:假设杆上各点作同步运动 代入波动方程得 2( )( )( )( )q txaq tx ( )x 杆上距原点x处的截面纵向振动的振幅( )q t各截面振动随时间的变化规律等式两边是互相无关的函数，因些只能等于常数 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES记

6、22( )( )( )( )q txaq tx 上式可化为如下两个常微分方程 2( )( )0q tq t 2( )( )0 xxa 思考:为什么这个常数为非正数? 通解: ( )sin()q tat12( )sincosxxxCCaa 振动形态(模态)常数 1C2C 由杆的边界条件确定 与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数，即模态函数。由于是表示各坐标振幅的相对比值，模态函数内可以包含一个任意常数 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES由频率方程确定的固有频率有无穷多个 (1,2,)ii i ( )ix 一一对应第i阶主振动 ( )( , )( )sin()(

7、1,2,)iiiiiux taxti 系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加 1( , )( )sin()iiiiiu x taxt 其中积分常数ia和i (1,2,)i 由系统的初始条件确定 以下讨论几种常见边界条件下的固有频率和模态函数 1.两端固定 边界条件为 (0, )(0) ( )0utq t ( , )( ) ( )0u l tl q t ( )0q t 因 (0)0 ( )0l STDU DYNAMICS OF STRUCTURES(0)0 ( )0l 将 代入 12( )sincosxxxCCaa 可得 20C 1sin0lCa 和 因为 10C 故须有 sin0la 频率方程

8、无穷多个固有频率 ii al (0,1,2,)i 模态函数 ( )siniii xxCl (0,1,2,)i 由于模态表示的是各振幅比值,故可令这个常数等于1( )sinii xxl (0,1,2,)i 2.两端自由 边界条件为 (0, )(0) ( )0ESutESq t ( , )( ) ( )0ESu l tESl q t 因 (0)0 ( )0l ( )0ESq t STDU DYNAMICS OF STRUCTURES(0)0 ( )0l 将 代入 12( )sincosxxxCCaa 可得 10C 2sin0lCa 和 因为 20C 故须有 sin0la 频率方程 无穷多个固有频率

9、 ii al (0,1,2,)i 模态函数 ( )cosiii xxCl (0,1,2,)i 亦可令这个常数为1,有( )cosii xxl (0,1,2,)i 3.一端固定另一端自由 边界条件为 (0, )(0) ( )0utq t ( , )( ) ( )0ESu l tESl q t 因 (0)0 ( )0l ( )0ESq t STDU DYNAMICS OF STRUCTURES(0)0 ( )0l 将 代入 12( )sincosxxxCCaa 可得 20C 1cos0lCa 和 因为 10C 故须有 cos0la 频率方程 无穷多个固有频率 2122iial (1,2,)i 模态

10、函数 21( )sin2iiixxCl (1,2,)i 亦可令这个常数为1,有(0,1,2,)i 21( )sin2iixxl STDU DYNAMICS OF STRUCTURES例例:解解:设杆的一端固定，另一端自由且有附加质量 0m0mESlxO如图所示,试求杆纵向振动的固有频率和模态边界条件写作 (0, )0ut 0 x lx lESum u (0)0 20( )( )ESlml 将边界条件代入 12( )sincosxxxCCaa 得到 20C 及频率方程0cossinESllmaaa 化作1tanllaa 0/mm mSl 其中梁的总质量利用数值方法或作图法可解出此方程，得到频率

11、i STDU DYNAMICS OF STRUCTURES相应的模态函数为( )siniixxa (1,2,)i 因为数学模型相同，以上在各种边界条件下导出的固有频率和模态函数也完全适用于弦的横向振动、杆的扭转振动和梁的剪切振动。关于这类系统的受迫振动本节不作讨论，因为与下节梁的弯曲受迫振动的分析和计算方法基本相同 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 4.2 Euler-Bernoulli梁的弯曲自由振动一.动力学方程考虑细直梁的弯曲振动忽略梁的剪切变形和截面绕中性轴转动对弯曲的影响 Euler-Bernoulli梁 设梁的长度为l密度为 截面积为( )S xE弹性模量为(

12、 )I x截面二次矩( , )f x t单位长度梁上的横向外力 ( , )m x t单位长度梁上的外力矩 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES取一微段,其受力图如右图 利用达朗伯原理列出微元体沿y方向的动力学平衡方程 22d(d )( , )dSSSFyS xFFxf x txtx 即22( , )SFyf x tSxt 再列出微元体力矩方向的平衡方程22dd(d )d( , )dd( , )d022SMxyxMxMFxf x txS xm x txxt 略去高阶微量得到( , )SMFm x tx 将该式代入前面的式子得到( , )Mmf x tSy STDU DYNAMI

13、CS OF STRUCTURES由材料力学知( , )( )( , )M x tEI x yx t ( , )Mmf x tSy 代入整理得 ( , )EIySyf x tm 动力学方程若为等截面梁,则可化为( , )EIySyf x tm 若梁上无分布力矩,则化为( , )EIySyf x t 此方程含有对坐标的四阶导数和对时间的二阶导数,故求解时必须考虑四个边界条件和两个初始条件二.固有频率和模态函数考虑梁的自由振动,此时梁上无荷载,动力学方程为 0EIySy STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 0EIySy 仍采用分离变量法，令 ( , )( )( )y x txq

14、t 代入动力学方程,整理得到 ( )( )( ) ( )EI xxqqS xx 该式两边分别为时间和坐标的孤立函数,两者互相无关,故只能等于常数,记为2 导出两个常微分方程2( )( )0q tq t 2( )( )( ) ( )0EI xxS xx 第一个方程的解为( )sin()q tatSTDU DYNAMICS OF STRUCTURES第二个方程为变系数微分方程,一般情况下得不到解析解考虑特殊情况,高梁为等截面梁,则第二个方程化为2( )( )0EIxSx 42SEI 令4( )( )0 xx 该方程的解可以确定梁的模态函数和固有频率设解的一般形式为( )xxe 代入控制方程，导出本

15、征方程440 本征根为, i 对应于4个线性独立的特解 i-i,xxxxeeee coshsinhxexx icosisinxexx 因为 STDU DYNAMICS OF STRUCTUREScosh,sinh,cos,sinxxxx亦可将作为基本解于是原方程的通解为1234( )cossincoshsinhxCxCxCxCx 积分常数(1,2,3,4)jCj 及参数 应满足的频率方程由梁的边界条件确定可解出无穷多个固有频率及模态函数i ( )ix (1,2,)i 构成系统的主振动( )( , )( ) sin()iiiiiyx taxt (1,2,)i 系统的自由振动是无穷多个主振动的线性

16、叠加1( , )( ) sin()iiiiiy x taxt STDU DYNAMICS OF STRUCTURES其中,积分常数iia 和和由初始条件确定常见的约束状况与边界条件有以下几种：l固定端00()0,()0 xx 00()0,()0y xy x 即0（0）xl 或或l简支端00()0,()0 xx 00()0,()0y xM x 即l自由端00()0,()0 xx 00()0,()0SM xFx 即STDU DYNAMICS OF STRUCTURES以下若无特殊说明,均假设梁为等截面梁例例:解解:求两端简支梁的固有频率和模态(0)0,(0)0( )0,( )0ll 1234( )

17、cossincoshsinhxCxCxCxCx 已知梁的边界条件为代入得130CC130CC1234cossincoshsinh0ClClClCl 130CC 1234cossincoshsinh0ClClClCl 由前二式可解得代入后二式有2424sinsinh0sinsinh0ClClClCl STDU DYNAMICS OF STRUCTURESsinh0l 因为2424sinsinh0sinsinh0ClClClCl 故由式可解得40C 于是得频率方程及2sin0Cl 而20C sin0l 解得iil 22iEIiEISlS 得固有频率(1,2,)i (1,2,)i 1234( )co

18、ssincoshsinhxCxCxCxCx 将130CC40C 及i 代入得相应的模态函数2( )siniixCxl 由于模态表示各点振幅之间的比值,故可取21C (1,2,)i STDU DYNAMICS OF STRUCTURES得模态函数( )siniixxl (1,2,)i 其前几阶模态的形状如下第一阶模态第二阶模态第三阶模态第四阶模态没有节点一个节点二个节点三个节点STDU DYNAMICS OF STRUCTURES例例:解解:求悬臂梁的固有频率和模态(0)0,(0)0( )0,( )0ll 1234( )cossincoshsinhxCxCxCxCx 已知梁的边界条件为代入得13

19、24,CC CC 1212(coscosh)(sinsinh)0(sinsinh)(coscosh)0CllCllCllCll 以及因为12,C C不能全为零,故有coscoshsinsinh0sinsinhcoscoshllllllll 展开化简后，得到频率方程 coscosh10ll STDU DYNAMICS OF STRUCTURES该方程为超越方程,不能求得精确解,可用作图法或者数值法求得其近似解 11.875l 24.694l 37.855l 212iil (3,4,)i 对应的各阶频率为 24iiEIlSl (1,2,)i 相应的各阶模态函数为( )coscosh(sinsinh

20、)iiiiiixxxxx(1,2,)i coscoshsinsinhiiiiillll 其中其前三阶模态图如下STDU DYNAMICS OF STRUCTURES第一阶模态第二阶模态第三阶模态例例:解解:求两端自由梁的固有频率和模态函数(0)0,(0)0( )0,( )0ll 已知梁的边界条件为利用前面相同的步骤可以导出频率方程coscosh1ll 00l 27.853l 212iil (3,4,)i 14.730l 解得STDU DYNAMICS OF STRUCTURES相应的各阶模态函数为( )coscosh(sinsinh)iiiiiixxxxx(0,1,2,)i coscoshsi

21、nsinhiiiiillll 其中例例:解解:图示悬臂梁的自由端有弹性支承,试列出其频率方程固定端的边界条件化为21( )( ),( )( )EIlklEIlkl (0)0,(0)0 梁右端的边界条件为:梁端的剪力和弯矩分别等于直线弹簧的反力和卷簧的反力矩,即:21( , )( , ),( , )( , )EIyl tk y l tEIy l tk y l t 化为STDU DYNAMICS OF STRUCTURES1324-,-CC CC 由固定端条件解得由弹性支承端条件并考虑上式得1121(coscosh)(sinsinh)(sinsinh)(coscosh)0C EIllkllC EI

22、llkll 312322(sinsinh)(coscosh)(coscosh)(sinsinh)0C EIllkllC EIllkll 因不全为零1C2C和导出频率方程1coscosh1(cossinhsincosh)kllllllEI 2(0)k 23coscosh1(cossinhsincosh)kllllllEI 1(0)k 或若全为零1k2k和则退化为悬臂梁的频率方程STDU DYNAMICS OF STRUCTURES例例:解解: 固定端的边界条件为悬臂梁的自由端有附加质量 ,试列出其频率方程0m(0)0,(0)0 自由端应有0( , )( , ),( , )0IEIyl tFm y

23、 l tEIyl t 化为20( )( ),( )0EIlmlEIl 利用与上例相同的方法可提频率方程coscosh1(sincoshcossinh)lllllll 其中0/mm mSl 说明说明: 上述分析没有考虑梁的剪切变形和梁截面的转动惯性,因而只适用于细长梁/5l h 若不满足此条件,宜用Timoshenko梁模型,剪切变形和梁截面的转动惯性都会使梁的固有频率减小STDU DYNAMICS OF STRUCTURES三. 模态函数的正交性讨论细长梁，不限于等截面情形,设 i ( )ix j ( )jx 2( ) ( )( ) ( )(1)iiiEI xxS xx 它们必满足 2( )(

24、 )( )( )(2)jjjEI xxS xx 对第(1)式,两边乘以 ( )jx 并沿杆长积分 200 dd(3)lljiiijEIxAx 左边利用分部积分有 0000 ddlllljijijijiEIxEIEIEIx STDU DYNAMICS OF STRUCTURES0000 ddlllljijijijiEIxEIEIEIx 对于梁的简单边界条件,其挠度和剪力中必有一个为零,转角和弯矩中也必有一个为零,因而上式中的前两项必定等于零,故有00 ddlljijiEIxEIx 代入(3)式得200dd(4)lljiiijEIxSx 同理, 对第(2)式,两边乘以 ( )ix 并沿杆长积分 得

25、200dd(5)lljijijEIxSx (4)式减去(5)式得220()d0lijijSx 如果ij 22ij 则0d0lijSx 再代回(4)式得0d0ljiEIx STDU DYNAMICS OF STRUCTURES0d0lijSx 0d0lijEIx 主振型关于质量的正交性主振型关于刚度的正交性四.主质量和主刚度ij ij 以上主振型的正交性条件要求ij 当ij 时定义2P0( ) ( ) dliiMS xxx 2P0( ) ( ) dliiKEI xxx 第i阶主质量第i阶主刚度200ddlljiiijEIxSx 由式知PPiiiKM STDU DYNAMICS OF STRUCT

26、URES与多自由度系统类似，也可以实现模态函数的简正化 记 1/2( )( )iiPxx M 若采用简正模态函数,则必有 20( ) ( ) d1liS xxx 220( ) ( ) dliiEI xxx 简正模态函数模态的正交条件可写为0dlijijSx 20dlijijiEIx (1,2,)i ij 为克罗内克符号STDU DYNAMICS OF STRUCTURES当梁的端部为简支、固定或自由以外的其它复杂情形时，则以上对正交性条件的推导和结论应作相应的改变。对于一维波动方程描述的杆的纵向振动或轴的扭转振动等情形，也可以导出类似的正交性条件。注: 4.3 Euler-Bernoulli梁

27、的受迫振动根据模态函数的正交性，可将多自由度系统的模态叠加法思想应用于连续系统。即将弹性体的振动表示为各阶模态的线性组合，用于计算系统在激励作用下的响应问题 梁的动力学方程为 ( , )EIySyf x tm 设 1( , )( )( )jjjy x tx q t 代入动力方程得 11( )( )( )( )( )( )( , )( , )jjjjjjS xx q tEI xxq tf x tm x t STDU DYNAMICS OF STRUCTURES11( , )( , )jjjjjjSqEIqf x tm x t 简写为 方程两边同时乘以 ,i 并沿杆长积分00011dd ( , )

28、( , ) dllljjijjiijjqSxqEIxf x tm x tx 利用模态的正交性,得到无穷多个完全解耦的方程 2iiiiqqQ 其中0( ) ( , )( , ) ( )dliiQ tf x tm x txx (1,2,)i 第i个正则坐标方程第i个广义力设梁的初始条件为1( ,0)( )y xfx 2( ,0)( )y xfx 将此初始位移亦看作是各阶模态的叠加STDU DYNAMICS OF STRUCTURES两式分别乘以iS 并沿杆长积分得11( ,0)( )( )(0)jjjy xfxx q 21( ,0)( )( )(0)jjjy xfxx q 100(0)( ) (

29、,0) ( )d( )( ) ( )dlliiiqS x y xxxS x fxxx200(0)( ) ( ,0) ( )d( )( ) ( )dlliiiqS x y xxxS x fxxx (1,2,)i 此二式即为广义坐标的初始条件系统广义坐标的响应为初始条件确定的自由振动和激励力产生的响应的叠加。由杜哈梅积分公式及单自由度结构自由振动的解得到STDU DYNAMICS OF STRUCTURES0(0)1( )( )sin()d(0)cossintiiiiiiiiiqq tQtqtt (1,2,)i 原来系统物理坐标的的响应为1( , )( ) ( )iiiy x tx q t 如果作

30、用的梁上的不是分布力和分布力矩，而是集中力和集中力矩，如图所示作用力可表示为01( , )( )()f x tF tx 02( , )( )()m x tMtx 广义作用力为01020( )( ) ()( )() ( )dliiQ tF txMtxxx STDU DYNAMICS OF STRUCTURES01020( )( ) ()( )() ( )dliiQ tF txMtxxx 010200( ) () ( )d( )() ( )dlliiF txxxMtxxx 01020( ) ()( )( )d ()liiF tMtxx 01020200( ) ()( ) ( ) ()( )( )

31、()dlliiiF tM txxM txxx 01020( ) ()( )( ) ()dliiF tMtxxx 0102( ) ()( )()iiF tMt (1,2,)i STDU DYNAMICS OF STRUCTURES例例:解解:设等截面简支梁受到初始位移 3434( ,0)2xxxy xAlll 的激励，求梁的响应我们已知该梁的模态函数为( )siniixxl (1,2,)i 计算其主质量22P00( ) ( ) dsind2lliii xmMS xxxSxl 其简正模态为2( )sinii xxml 其中mSl 为梁的质量STDU DYNAMICS OF STRUCTURES2i

32、iEIlS 梁的固有频率为由于梁没有初速度，也没有干扰力，而只有初位移广义坐标的初位移为0(0)( ) ( ,0) ( )dliiqS x y xxx 3434022sindlxxxi xSAxlllml 5482(1,3,5,)()0(2,4,6,)Amiii 广义坐标的响应为548( )(0)cos2cos()iiiiAq tqtmti (1,3,5,)i STDU DYNAMICS OF STRUCTURES系统物理坐标的响应为1( , )( ) ( )iiiy x tx q t 51,3,5,248sin2cos()iii xAmtmli 51,3,5,96sincos()iiAi x

33、til 例例:解解:设等截面简支梁上通过一辆以速度 匀速驶过的车，若忽略车辆的惯性，可以看作集中力 匀速沿桥梁移动 vF设梁上桥瞬时0t 梁的初位移和初速度皆为零Fvxxy、E IlO求梁的响应集中力荷载用脉冲函数表示为 ()(0/ )( , )0(/ )Fxvttl vf x ttl v STDU DYNAMICS OF STRUCTURES简支梁的固有频率和简正模态函数为 2( )sinii xxml 2iiEIlS 022( )()sindsinlii xi vQ tFxvtxFtmlml 求出与广义坐标相对应的广义力 (0/ )tl v 将广义力和零初始条件代入杜哈梅积分0(0)1(

34、)( )sin()d(0)cossintiiiiiiiiiqq tQtqtt 01( )sin()dtiiiQt 012sinsin()dtiii vFtml STDU DYNAMICS OF STRUCTURES2221sinsin(/ )iiiiFi vi vttm i v lll (0/ )tl v 梁的响应为1( , )( ) ( )iiiy x tx q t 2212sinsinsin(/ )iiiiiFi vi vi xttmi v llll (0/ )tl v 其中括号内第一项为车辆载荷激起的受迫振动，第二项为伴生自由振动 当固有频率i 与激励频率/i v l 相等的时候将产生第

35、i阶共振，对应的车速为/ivl i 这时梁的振幅将随时间增长，直到车辆离开桥梁 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES当 /tl v 后 梁作自由振动 其广义坐标的初位移和初速度为 ( / )iq l v( / )iq l v 和其振动的响应可参考上例求得,此处略去例例:图示等截面简支梁0sinMt 中点处受集中力偶求梁的响应解解:简支梁的固有频率和简正模态函数为 2( )sinii xxml 2iiEIlS 力偶荷载用脉冲函数表示为 0( , )(/2)m x tMxl STDU DYNAMICS OF STRUCTURES广义坐标的动力学方程为 202cossin2iiiiiiqqQMtlm 其稳态响应为 02212cossin2iiiiqMtlm 因此有1( , )( ) ( )iiiy x tx q t 0221212sincossin2iii xiiMtmllm 02212cos