可交换矩阵的几个充要条件及其性质

1、可交换矩阵的几个充要条件及其性质在高等代数中,矩阵是一个重要的内容.由矩阵的理论可知,矩阵的乘法不同于数的乘法,矩阵的乘法不满足交换律，即当矩AB有意义时，矩阵BA未必有意义，即使AB,BA都有意义时它们也不一定相等但是当A,B满足一定条件是,就有ABBA,此时也称A与B是可交换的,可交换矩阵有许多良好的性质,本文主要研究矩阵可交换的几个条件及其常见的性质.本文矩阵均指n阶实方阵.§1矩阵可交换成立的几个充分条件定理(1)设A,B至少有一个为零矩阵,则A,B可交换；(2) 设A,B至少有一个为单位矩阵,则A,B可交换;(3) 设A,B至少有一个为数量矩阵,则A,B可交换；设A,B均为

2、对角矩阵,则A,B可交换；(5)设A,B均为准对角矩阵，则A,B可交换；设A*是A的伴随矩阵，则A与A*可交换；(7) 设A可逆,则A与A1可交换；(8) 设ABE,则A,B可交换.证(1)对任意矩阵A,均有AOOA,O表示零距阵，所以A,B至少有一个为零矩阵时,A,B可交换；(2) 对任意矩阵A,均有AEEA,E表示单位矩阵，所以A,B至少有一个为单位矩阵时,A,B可交换；(3) 对任意矩阵A,均有A(kE)(kE)A,k为任意实数，则(kE)为数量矩阵，所以A,B至少有一个为数量矩阵时,A,B可交换；(4) ,(5)显然成立；AA*AEAA,所以矩阵A与其伴随矩阵可交换；AA1EA1A,所

3、以矩阵A与其逆矩阵可交换；(8)当ABE时，A,B均可逆,且互为逆矩阵,所以根据可知A,B可交换.定理(1)设ABAB,其中,为非零实数，则A,B可交换,设AmABEJ其中m为正整数，为非零实数，则A,B可交换.证(1)由ABAB可得(AE)(B1E)E,即(AE)(BE)E,故依定理(8)得丄(BE)(AE)E,于是BAABEE,所以BAABAB;由AmABE得A(Am1B)E,故依定理(8)得(Am1B)AE,于是AmBAE,所以可得ABBA.定理(1)设A可逆,若ABO或AAB或ABA,则A,B可交换；设A,B均可逆,若对任意实数k,均有A(AkE)B,则A,B可交换.证(1)若ABO,

4、由A可逆得B(A1A)BA1(AB)O,从而BAO,故ABBA;若AAB,同理可得B(A1A)BA1(AB)E,故ABBA;若ABA,则BB(AA1)(BA)A1E,故ABBA.因A,B均可逆，故由A(AkE)B得AkE可逆，且B(AkE)1A,贝UAB(AkE)B(AkE)1AB(AkE)A(AkE)1'''''1''''1B(AAkA)(AkE)BA(AkE)(AkE)IIBA,两边取转置可得ABBA.或由11111111AB(AkE)B(AkE)AB(AkE)A(AkE)2B(AkA)(AkE)B(AkE)A(AkE

5、)1A1BA,两边取逆可得ABBA.§2矩阵可交换成立的几个充要条件定理下列均是A,B可交换的充要条件:(1) (AB)*A*B*;(2) (AB)'A'B'(3) A2B2(AB)(AB)(AB)(AB);222(4) (AB)2A22ABB2.证(1)因为(AB)*A*B*,两边同时取伴随矩阵可得ABBA;)因为ABBA,两边同时取伴随矩阵可得(AB)*A*B*;(2)因为(AB)'A'B',两边取转置可得ABBA;)因为ABBA,两边取转置可得(AB)'A'B'(3)因为(AB)(AB)A2ABBAB2,A

6、2B2(AB)(AB),所以ABBA;同理由(AB)(AB)A2ABBAB2,可证ABBA,)因为ABBA,且(AB)(AB)2A2ABBAB2,所以A2B2(AB)(AB);同理由(AB)(AB)A2ABBAB2,可证A2B2(AB)(AB);(4)因为(AB)2A2ABBAB2,又由条件知(AB)2A22ABB2,所以ABBA;)因为AB2BA,(AB)2AABBAB2,所以(AB)222A22ABB2;定理可逆矩阵A,B可交换的充要条件是(AB)1A1B1.证)因为(AB)1A1B1,两边取逆可得ABBA;)因为ABBA,两边取逆可得(AB)1A1B1;定理(1)设A,B均为(反)对称矩

7、阵，则A,B可交换的充要条件是AB为对称矩阵;(2)设A,B有一个为对称矩阵,另一个为反对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为反对称矩阵.证(1)设A,B均为对称矩阵，由定理(AB)'A'B'AB,因此AB为对称矩阵；若A,B均为反对称矩阵，则(AB)'A'B'(A)(B)AB,因此AB也为对称矩阵.若A,B中有一个为对称矩阵，不妨设A为对称矩阵，则B为反对称矩阵，则(AB)'A'B'A(B)AB,因此AB为反对称矩阵.定理设A,B均为对称正定矩阵，则A,B可交换的充要条件是AB为对称正定矩阵.证充分性由定理(1)可得

8、,下面证明必要性.因A,B为对称正定矩阵，故有可逆矩阵P,Q,使APP',BQQ',于是ABPP'QQ',P1ABP(P'Q)(P'Q)'所以P1ABP为对称正定矩阵，其特征值全为正数.而AB与P1ABP相似，从而AB的特征值也全为正数，因此AB为对称正定矩阵.§3可交换矩阵的一些性质定义(1)幕等矩阵：若A为矩阵，且A2A,则A幕等矩阵.(2) 幕零矩阵：若A为矩阵，且AkO(kZ*),则A为幕零距阵.(3) 幕幺矩阵：若A为矩阵，且AkE,E为单位矩阵，则A为幕幺矩阵.性质设A,B可交换,则有：AmBm(AB)(Am1Am2

9、BBm-1)(1) ；(Am1Am2BBm-1)(AB)n(AB)nC'AnkBk(矩阵二项式定理).k0ABmBmA,(AB)kAkBk,A1BBA1,其中m,k,l都是正整数；Af(B)f(B)A,其中f(B)是B的多项式,即A与B的多项式可交换；证(1)对m用数学归纳法可证得当m1时,明显成立.假设当mk时,有AkBk(AB)(Ak1Ak2BBk1),下证当mk1时结论也成立.Ak1(A(A(AkBk1(AB)(AkAk1B2bBk1)(AB)B),k1kB)(AB)(AAB)(Ak1Ak2BAk1BBk)(ABk)Bk1)故对一切正整数m,结论成立.(2) 用数学归纳法当n1时

10、,(AB)1A1B1AB,结论成立.假设当nk时，有kk(AB)AC：Ak1Bk-1k1kCkABB,F面证当nk1时结论也成立.由ABBA得AiBBjAi,于是(AB)k1(AB)k(AB)Ak1(C；1)AkB(Ck(AkC：AkCk1)A1Bk1iBiCk-1ABk1Bk1,Bk)(AB)k!ii1k!CkCki!(ki)!(i1)!(k1i)!k!(k1i)k!ii!(k1i)!(k1)!i!(k1i)!C：1.所以(AB)k1Ak1C：1AkBCk.klk1ABB故对一切正整数n,二项式定理成立.(3)由ABBA可得ABmABBm个BBABBB(m1)个BBBAm个BmA,同理可证(

11、AB)kAkBk,A1BBA1.由可证得.性质设A,B可交换,(1) 若A,B均为幕等矩阵,则AB,ABAB也为幕等矩阵；若A,B均为幕零距阵，则AB,AB均为幕零距阵；(3)若A,B均为幂幺矩阵,则AB也为幂幺矩阵；证由ABBA,A2A,B2B,(AB)2A2B2AB,及22222(ABAB)2A2B2(AB)22AB2A2B2BABABAB2AB2AB2AB2ABAB,即可证得；设AkO,B1O,取hmaxk,l,则(AB)hAhBhO,即AB为幕零距阵；令mmkl1,则(AB)mCmAmkBkO,所以AB为幕零距阵k0(3) 由ABBA,AkE,BkE,(AB)kAkBkE2E可证得；性

12、质设A,B可交换，若A,B分别为n阶Hermite正定矩阵和非负定矩阵，则AB为Hermite非负定矩阵；证因为(AB)hBhAhBAAB,所以AB是Hermite矩阵.又因为A0,所以存在n阶可逆Hermite矩阵C使AC2.于是C1(AB)CCBCCHBC,则AB与CHBC具有相同的特征值.由B0知CHBC0,故CHBC的特征值均为非负数，从而AB的特征值均为非负数.即AB0.性质AB与BA的特征多项式相等，即fAB()fBA(),从而AB与BA的特征值也相同(包括重数也一致).(2) 多项式|EAB|与|EBA|相等，即|EAB|EBA|.推论EAB与EBA的特征多项式相等.EAB与EB

13、A的特征多项式相等证因为|E(EAB)|(1)EAB|,|E(EBA)|(1)EBA|,由性质可知|(1)EAB|(1)EBA|,所以|E(EAB)|E(EBA)|.同理可证|E(EAB)|E(EBA)|.推论ABA与BAA的特征多项式相等.(2)ABA与BAA的特征多项式相等.证(1)因为ABAA(BE),BAA(BE)A.根据性质知A(BE)与(BE)A的特征多项式相等，故ABA与BAA的特征多项式相等同理可证ABA与BAA的特征多项式相等性质矩阵EAB与EBA的秩相等(0),即秩(EAB)=秩(EBA).特别地,秩(EAB)=秩(EBA).AB与BA的特征矩阵的秩相等(0),即秩(EAB

14、)=秩(EBA).特别地，秩(EAB)=秩(EBA).性质若A,B中有一个是可逆的，则AB与BA相似.证不妨设A可逆，由BAA1(AB)A知，AB与BA相似.性质(1)AB与BA同为可逆矩阵或同为不可逆矩阵.(2) |AB|BA|.(3) AB与BA的迹相等，即tr(AB)tr(BA).性质(1)ABBA不可能相似于kE(k0).(2)对可逆矩阵A,不可能有ABBAA.证(1)因为tr(ABBA)tr(AB)tr(BA)0,而tr(kEkn0(当k0时),由于相似矩阵的迹相等，所以ABBA不可能相似于非零矩阵kE.若存在可逆矩阵A,使ABBAA则BA1BAE,于是A1BABE,即B与BE相似,从而tr(BE)tr(B)ntr(B)这是不可能的.性质(1)设A,B同为(反)对称矩阵，则ABBA是对称矩阵，ABBA是反对称矩阵.设A,B有一个为对称矩阵,另一个为反对称矩阵,则ABBA是反对称矩阵,ABBA是对称矩阵.推论设A,B同为实(反)对称矩阵,则ABBA的特征值的实部为零.(2)设A,B有一为实对称矩阵,另一个为实反对称矩阵,则ABBA的特征值的实部为零.证(1)由性质(1)知ABBA是实反对称矩阵因为实反对称矩阵的特征值只能是零或纯