13常微分方程试卷A及答案

1、盐城师范学院考查试卷 2014-2015学年第一学期 数学科学学院金融数学专业常微分方程试卷A 班级学号姓名 一、单项选择题(在每小题的 4个备选答案中，选出一个最佳答案，共 5小题；每 小题 3分，共 15分) 1 .方程曳yx不是() dxxy (A)齐次微分方程.(B)贝努利彳分方程. (C)变量分离方程.(D)非线性彳分方程. 2 .微分方程yxyy0满足条件y(0)0的解有() (A)1个.(B)2个.(C)3个.(D)无穷多个. 3 .微分方程yy2y0的基本解组ex,e2x的朗斯基行列式的值为() (A)3ex.(B)3ex.(Cex.(D)ex. 4 .微分方程yyex1的一个

2、特解应具有形式() (A)axexb.(B)aexb.(C)aexbx.(D)axexbx. 21 5.可以成为微分方程组x21x的基解矩阵是() 02 101tt101 (A)e2t10.(B)e2t.(C)e2t.(D)e2t01. 0101011t 、填空题(本大题 5空，每空 3分，共 15分) 1 .当 k时，y2xsecx是微分方程yytanxksecx的解. 2 .微分方程(x2y2x)dxxydy0有积分因子. 3 .微分方程电2x与直线y2x3相切的解是dx. 4 .通解为(c1C2x)exC3e2x的三阶常系数齐线性微分方程为 5 .证明微分方程组xA(t)xf(t),ta

3、,b满足初值条件x(t0) 三、计算题(本大题共 5小题，每小题 10分，共 50分) 1.设f(x)连续，且满足f(x)xf(t)dtex,求f(x). 的解的存在唯 性定理时所构造的皮 卡逐步逼近向量函数序列为 dy2、,2 2,利用解的存在唯一性定理确定初值问题最xy，(x，y)R，的解的存在区 y(1)o 间， 并求第二次近似解，这里R(x,y)|x11,y1. 3,解方程x(x)20, 3xyz,x5yz,xy3z.4. 求解方程y2y, x yxe 5.解方程组 dx dtdydt dz dt 四、应用题（本大题共 1题，共 10分） 求一曲线，使其具有性质：曲线上每一点处的切线，

4、切点到原点的向径以及X轴围成一个等腰三角形（以X轴为底），且通过点（1,2）. 五、证明题（本大题共 1题，共 10分） 设A为nn常数矩阵，为微分方程组xAx的定义在（,）上的标准基解矩阵，所谓标准是指（t）还满足E,试证明：t（,），有（tt。）%。），其中t。（，）为某一确定的值. 盐城师范学院 2014-2015学年第一学期期末考查 常微分方程试卷 A参考答案及评分标准1 、单项选择题（本大题共 5题，每题 3分，共 15分） 题 号 1 2 3 4 5 答 案 C D A A B 、填空题（本大题共 5空，每空 3分，共 15分） 12;2.cx(c等于1或c0,1都对)； 3.yx

5、24;4.y4y5y2y 0； 5.k(t) 0(t), t A(s)k1(s)f(s)ds,t0 atb,k1,2, 三、 计算题（本大题共 5题，每题 10分, 共 50分） 1.解：所给积分方程两边关于x求导，得 f(x)f(x)ex, 分） 由积分方程还可以得到f（0）1.上述方程为一阶线性微分方程，它的通解为(4 dxxdxx f(x)e(cexedx)ex(cx), 我们可以作如下的近似解表达式: V,由后一方程积分后得 x1 Gtc2 (8 分） 由f(0)1知c1,故f(x)(x1)ex. (10 分） 1.解：这里Mmax (x,y)R f(x,y)4,hmin ba,一 、

6、，1、 min1,- 4由解的存在唯 一性定理知该初值问题的解的存在区间为 (5 yo(x) 0,V1(x)1 2 V。()d y2(x) V121()d 11 (10 分） 6318 42 3.解: y,直接计算可得x y曳，代入原方程，得 dx dy_2 dx1 -y20, x (4 分） 即xc(x1)2,积分得x1 1，其中c1c,c2为不同时为零的任意常 Gtc2 数.(8 (10分) 4 .解：所给方程的特征方程为k22k10,解之得特征根为g 因1是特征根，所以可设特解为 axbex 分） 求导得 代入所给方程得 5 .解：所给方程组的特征方程为 detEA 原方程的通解为x1

7、qtc2 1.(3分) (5 -3 yax (3ab)x2 3 ax(6a b)x2 (6a4b)x 2bex 6ax xx 2bexe 比较系数得a 0, 则特解为y (7 分） 于是原方程通解为 x eC1 c2x (10 3)( 解之得特征根为12,2 3, 36. (3 分） 1 解方程组（iEA）u0得与i对应的特征向量为u0,0； 1 1 解方程组（2EA）u0得与2对应的特征向量为u1,0； 1 1 解方程组（3EA）u0得与3对应的特征向量为u2,0.（9 1 于是所求方程组的通解为 x111 yc10e2tc21e3tc32e6t z111 分） 四、应用题（本大题共 1题，

8、共 10分）解：设所求曲线方程为yy（x）,（x,y）为其上的任一点，则过该点曲线的切线方程 Yyy(xx), (3 分） 分） (10 它与 X轴的交点的坐标为（x,0）,由题意有y v2M)2y2,即y、. yx 处的切线为y2x和点(1,2)处的向径所在的直线重合，这与题设相矛盾.所以 有 (7 分) 它的通解为xyc,将条件y(1)2代入得所求曲线方程为 分)五、证明题(本大题共 1题，共 10分) 证明：因为为所给方程组的解，所以t(,)，有 (t)A(t), 又矩阵A为nn常数矩阵，所以t(,)，有 (tto)A(tto),(4 分) 且有det(toto)E10,则(tto)也是所给方程组的基解矩阵.因而存在常 数方阵C使t(,)，有 (tto)(t)C.(7 分) 因所求曲线经过点（1,2）,显