高等数学9-4 全微分

1、 二、函数可微的充分必要条件二、函数可微的充分必要条件第四节第四节 全微分全微分一、全微分的概念、全微分的概念 三、全微分在近似计算中的应用三、全微分在近似计算中的应用一元函数一元函数 的微分回顾的微分回顾)( xoxAyd( )yfx dx( )yf x可微可微微分微分规定规定( )Afxdxx 一、全微分的概念一、全微分的概念 定义定义: 如果如果 在定义域在定义域 D 的内点的内点 处的处的),(yxfz ( , )x y全增量全增量),(),(yxfyyxxfz可表示为可表示为, )(oyBxAz22)()(yx其中其中不依赖于不依赖于 ，仅与，仅与 有关，有关，,A B, xy ,

2、x y就称函数就称函数),(yxfz 在点在点 ( , )x y 处处可微可微，A xB y 称为函数称为函数),(yxf在点在点 ( , )x y处的处的全微分全微分, 记为记为yBxAfz dd规定：规定：() ,zdzoyBxA若函数在区域若函数在区域 D 内各点都可微内各点都可微,22)()(yx如果函数如果函数 在点在点 处处可微可微，则，则就称此函数就称此函数在在D,dxx dyy ),(yxfz ( , )x y则则ddzfAdBdxy当当 充分小时，有充分小时，有,zdz（由此可以利用微分进行近似计算）（由此可以利用微分进行近似计算）内可微内可微.2022-5-7 二、函数可微

3、的必要条件和充分条件二、函数可微的必要条件和充分条件 定理定理1 1( (可微的可微的必要必要条件条件) )d( , )( , )xyzfx y dxfx y dy因此，因此，如果函数如果函数 在点在点 ),(yxfz ( , )x y 处处可微可微，则，则 在点在点( , )f x y( , )x y处处连续连续； 在点在点( , )f x y( , )x y处处可偏导可偏导；且；且( , ),( , ),xyAfx yBfx ydzzzdxdyxy或或2022-5-7证明：证明：0lim( )A xB yo 由全微分定义由全微分定义 ，得，得zyx00lim0所以所以 在点在点( , )f

4、 x y( , )x y 处连续。处连续。 在在全增量全增量(,)( ,)()zf xx yyf x yA xB yo 0,y中令中令得得(, )( , )()xzf xx yf x yA x ox 2022-5-7续证续证(, )( , )()f xx yf x yoxAxx有有0(, )( , )limxf xx yf x yAx 所以所以( , )f x y在点在点 处对处对 可偏导，且可偏导，且( , )x yx( , )xAfx y同理可证，同理可证，( , )f x y在点在点 处对处对 可偏导，且可偏导，且( , )x yy( , )yBfx y进而知进而知d( , )( , )

5、xyzfx y dxfx y dy 在点在点( , )f x y( , )x y处可偏导，且处可偏导，且2022-5-7注注2: 定理定理1 的的逆命题逆命题不成立不成立 .如果二元函数如果二元函数连续，则此二元函数未必连续，则此二元函数未必可微。可微。即即如果二元函数如果二元函数可偏导，则此二元函数未必可偏导，则此二元函数未必可微。可微。注注1: 定理定理1 的的逆否逆否命题表明命题表明如果二元函数如果二元函数不连续，不连续，则则必不必不可微。可微。如果二元函数如果二元函数不可偏导，不可偏导，则则必不必不可微。可微。反例反例1： 由由第三节例第三节例2 2知，函数知，函数在点在点(0, 0)

6、处处不可偏导，不可偏导，从而从而不可微，不可微，但但连续。连续。因此连续未必因此连续未必可微。可微。22( , )f x yxy2022-5-7误区：误区：有些同学以为：由于有些同学以为：由于d( , )( , ),xyzfx y dxfx y dy所以当所以当 可偏导时，可偏导时， 一定可微。一定可微。( , )f x y( , )f x y这是错误的！这是错误的！反例反例2： 由第三节例由第三节例1 1知，函数知，函数在点在点(0,0)处处不连续，不连续，从而从而不可微，不可微，但但可偏导。可偏导。222222,0,( , )0,0,xyxyxyf x yxy因此可偏导未必因此可偏导未必可

7、微。可微。2022-5-7定理定理2 2( (可微的可微的充分必要充分必要条件条件) )如果函数如果函数 ),(yxfz ( , )x y 处处可偏导可偏导，则，则在点在点( , )f x y( , )x y处可微的处可微的充分必要条件充分必要条件为为( , )( , )( ),xyzfx yxfx yyo 即即2200( , )( , )lim0.()()xyxyzfx yxfx yyxy 22)()(yx其中其中本定理由可微的定义即可证明。本定理由可微的定义即可证明。在点在点讨论函数讨论函数),(yxf解：解： 故故因此因此,函数在点函数在点 处处不可微不可微 .例例1:0,2222yxy

8、xyx0, 022 yx在点在点 处的可微性。处的可微性。 (0,0)(0, 0)(0, 0)0,xyff 不存在，不存在，(0,0)22220000(,)(0,0)limlim()()()()xxyyfxyfxyxyxy 2200(0,0)(0,0)lim()()xyxyzfxfyxy ( , 0)(0,)0,f xfy讨论函数讨论函数),(yxf解：解： 故故因此因此,函数在点函数在点 处处可微可微 .例例2:22222,0 x yxyxy0, 022 yx在点在点 处的可微性。处的可微性。 (0,0)(0, 0)(0, 0)0,xyff(0,0)222220000(,)(0,0)()li

9、mlim0,()()()()xxyyfxyfxyxyxy 2200(0,0)(0,0)lim()()xyxyzfxfyxy ( , 0)(0,)0,f xfy2022-5-7 由例由例1和例和例2可知，讨论二元函数的可微性是一可知，讨论二元函数的可微性是一件不容易的事情。件不容易的事情。 试问，有没有比较简单和快捷的方法来判断二试问，有没有比较简单和快捷的方法来判断二元函数是否可微？元函数是否可微？定理定理3 (可微的可微的充分充分条件条件)yzxz,本定理的证明从略。本定理的证明从略。若函数若函数),(yxfz 的的偏导数偏导数则函数在该点则函数在该点可微分可微分.在点在点( , )x y

10、处处连续连续，注注1: 定理定理3 的的逆命题逆命题不成立不成立 . 即如果二元函数即如果二元函数可微可微，则此二元函数的则此二元函数的偏导数偏导数未必连续未必连续。2022-5-7例例3.3.设函数设函数,xyze解解: 由于由于xzyz,yxeyyxex 证明该函数处处可微，并求证明该函数处处可微，并求 求求在点在点 处的全微分；处的全微分；其其全微分；全微分； 处，且当处，且当 时的全微分时的全微分。 (2,1)(2,1)0.1,0.2xy 求在点求在点处处连续，处处连续，所以该所以该函数处处可微，并且函数处处可微，并且.xyxydzye dxxe dy22(2,1)(2,1)()2.x

11、yxydzye dxxe dye dxe dy222(2,1)0.1,0.20.1 2( 0.2)0.3.xydzeee 2022-5-7设函数设函数 在点在点 ),(yxfz ( , )x y 处处可微可微，则，则d.zzzdxdyxy分别称分别称 为为 在点在点 处关于处关于,zzdxdyxy( , )f x y( , )x yx和关于和关于 的的偏微分偏微分。 y结论：全微分等于所有偏微分之和。结论：全微分等于所有偏微分之和。udxx推广推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如例如, 三元可微函数三元可微函数),(zyxfu ud的全

12、微分为的全微分为udyyudzz例例4. 计算函数计算函数的全微分的全微分. 2sin2yzyuxe解解: 由于由于 ud1(cos)d22yzyzey2 dx xdyzyez12 ,cos,22yzyzuuyuxzeyexyz处处连续，所以该函数处处可微，且处处连续，所以该函数处处可微，且可知当可知当三三、全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用由全微分定义由全微分定义xy( , )( , )( )xyzfx yxfx yyo ),(yyxxf( , )( , )xyfx yxfx yy 较小时较小时,d( , )( , )xyzzfx yxfx yy zd及及有近似等式有近似等式:

13、),(yxf即即(可用于近似计算可用于近似计算) 半径由半径由 20cm 增大增大解解: 已知已知,2hrVV,100,20hr) 1(2005. 01002022V即受压后圆柱体体积减少了约即受压后圆柱体体积减少了约 .cm2003例例5. 有一圆柱体受压后发生形变有一圆柱体受压后发生形变,到到 20.05cm , 则则 rrh2hr 21,05. 0hr)cm(2003 高度由高度由100cm 减少到减少到 99cm ,体体积的近似改变量体体积的近似改变量. 求此圆柱求此圆柱dVVVrhrh 例例6.6.计算计算的近似值的近似值. 02. 204. 1解解: 设设, ,则则( , )xfx y取取则则)02. 2,04. 1(04. 102. 2f08. 102. 0004. 021( , )yfx y,1yxyxxyln( , )yf x yx1,2,xy0.04,0.02,xy (1, 2)(1, 2)(1, 2)xyffxfy 内容小结内容小结1. 微分微分( , )zf x yzAxBy ( , )d( , )dxyfx yxfx yy22)()(yx)( odz udxx),(zyxfu ududyyudzz2. 重要关系重要关系:可偏导可偏导可微可微偏导数连续偏导数连续连续连续( , )zf x y00000000l