第十二讲-弯曲切应力与强度条件

1、1第第5(2)5(2)章章 弯曲应力弯曲应力 梁的弯曲正应力梁的弯曲正应力 梁的弯曲切应力梁的弯曲切应力 梁的强度分析与设计梁的强度分析与设计 弯拉弯拉( (压压) )组合问题组合问题本章主要研究：本章主要研究：2中性轴过截面形心中性轴过截面形心zEIM 1z)(IMyy 中性轴位置：中性轴位置： 截面弯曲刚度）截面弯曲刚度）（zEIzWM max 抗抗弯弯截截面面系系数数）（zW 正正应力公式：应力公式： 中性层曲率：中性层曲率：(a) )( yEy (b) 0d AA (c) dMAyA pmax 对称弯曲对称弯曲 , 纯弯与非纯弯纯弯与非纯弯 惯性矩）惯性矩）（zI 应用条件：应用条件：

2、弯曲正应力回顾弯曲正应力回顾表面变形观察表面变形观察平面假设平面假设单向受力假设单向受力假设y 3 截面形心、静矩截面形心、静矩 惯性矩惯性矩 组合公式，平行移轴定理组合公式，平行移轴定理zy0A1A2)()(孔整zzzSSS)()()()(孔整孔整AASSyzzc负面积法截面几何性质截面几何性质4弯曲正应力的另一种推导方法弯曲正应力的另一种推导方法根据平面假设，令根据平面假设，令aby yd0AA dAyAM 0 ZMI 5第第5(2)5(2)章章 弯曲应力弯曲应力 1 弯曲正应力弯曲正应力 2 惯性矩与平行轴定理惯性矩与平行轴定理3 弯曲切应力弯曲切应力4 梁的强度条件梁的强度条件5 梁的

3、合理强度设计梁的合理强度设计 6 弯拉弯拉( (压压) )组合与截面核心组合与截面核心63 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁弯曲切应力矩形截面梁弯曲切应力 工字形等工字形等薄壁梁薄壁梁弯曲切应力弯曲切应力 弯曲正应力与切应力比较弯曲正应力与切应力比较 例题例题7 矩形截面梁弯曲切应力矩形截面梁弯曲切应力儒拉夫斯基（儒拉夫斯基（Jourawski）的贡献）的贡献1842年毕业于圣彼得堡交通工年毕业于圣彼得堡交通工程学院；程学院；1844年负责设计并制年负责设计并制造横跨维列比亚河的大桥，造横跨维列比亚河的大桥，9跨，每跨跨，每跨180英尺，距水面英尺，距水面170英尺，采用高度很大的木梁，英尺，

4、采用高度很大的木梁，木组合梁。木组合梁。判断：判断：梁内切应力非常重要，梁内切应力非常重要，不能忽略。不能忽略。断定：断定：固定端固定端mn上法向应力有使上法向应力有使OO面产生剪切的趋势。面产生剪切的趋势。max342bhQlTh 32TQlbbh max26Qlbh 8 矩形截面梁弯曲切应力矩形截面梁弯曲切应力假设假设 (y) / 截面侧边，并沿截面宽度均匀分布截面侧边，并沿截面宽度均匀分布问题问题狭窄矩形截面梁狭窄矩形截面梁(hb)，分析其弯曲切应力分布，分析其弯曲切应力分布思路思路由正应力的差确定切应力由正应力的差确定切应力9矩形截面梁弯曲切应力矩形截面梁弯曲切应力xFbydd1)(

5、bISFyzz)()(S Sz( )面积面积 对中性轴对中性轴 z 的静矩的静矩Fxb,Fxdd 0 dAFxMbISyzzdd)()( d* AyIMzzzIMS)( 10bISFyzz)()(S yhyhbSz2212)( 22S4123)(hybhFy AFSmax23 123bhIz 2242yhb可否取可否取 上部上部计算，结论是计算，结论是否相同？否相同？11截面翘曲与非纯弯推广截面翘曲与非纯弯推广切应变切应变非均布非均布 截面翘曲截面翘曲（abab（=，弯曲，弯曲 仍保持线性分布仍保持线性分布切应力非均布切应力非均布当梁上作用横向分布载荷时，只要当梁上作用横向分布载荷时，只要 l

6、 5h，纯弯，纯弯 公式仍足够精确公式仍足够精确当当FS= =常数时，常数时，简支梁受均布载荷，根据弹性理论，简支梁受均布载荷，根据弹性理论，22222max2234,53134145415SF SMyyyqIbhhItqlqlhbhbhl 22max225 ,3648lhqlqlbhbh 若若 12 薄壁梁弯曲切应力公式薄壁梁弯曲切应力公式y、z 轴主形心轴轴主形心轴假设 切应力平行于中心线切线切应力平行于中心线切线 切应力沿壁厚均匀分布切应力沿壁厚均匀分布13弯曲切应力公式)()()(SsISFszz Iz- 整个截面对整个截面对 z 轴的惯性矩轴的惯性矩Sz-截面截面 对对 z 轴的静矩

7、轴的静矩推导推导详见详见14 )4-(2)-(612)()(22220SSyhhhbIFISFyzzz 盒形盒形薄壁梁薄壁梁弯曲切应力弯曲切应力15 弯曲正应力与切应力比较弯曲正应力与切应力比较22max66bhFlbhFl bhF23max hlFbhbhFl43262maxmax 当当 l h 时，时， max max16 FxssFxd)d()( , 0 xFssdd)(1)( zzzIMSAIMyAF)(dd zzISxMss)(dd)(1)( )()()(SsISFszz Iz- 整个截面对整个截面对 z 轴的惯性矩轴的惯性矩Sz-截面截面 对对 z 轴的静矩轴的静矩17例例 3-1

8、 确定工字形截面梁的剪流分布确定工字形截面梁的剪流分布 例例 题题解：解：1. 翼缘剪流计算翼缘剪流计算 zzISFq)(Sf zzIhFhIF22SS 2. 腹板剪流计算腹板剪流计算 221Sw422)(yhhbIFyqz zzIySFq)(Sw 2)(hbySz yhyh22121 183. 剪流方向判断剪流方向判断0d 0S MF0d1 F0d2 F f 指向腹板指向腹板 w 与与 FS 同向同向194. 剪流分布图剪流分布图zIhbhFq8)(41Smaxw, 下翼缘的剪流下翼缘的剪流均指均指向腹板；向腹板；上翼缘的剪流上翼缘的剪流 均背离腹板均背离腹板 腹板上的剪流与剪腹板上的剪流与

9、剪力力 F FS S 同向同向 “视视”截面如管道，截面如管道， “视视”剪流如管流，连剪流如管流，连续流动；由续流动；由q qw w推及其他推及其他20解：解：1. 问题分析问题分析切应力分布对称于切应力分布对称于 y 轴，轴，A 处切处切应力为零应力为零, ,等价于开口薄壁截面等价于开口薄壁截面例例 3-2 确定闭口薄壁圆截面梁的切应力分布确定闭口薄壁圆截面梁的切应力分布2. 切应力分析切应力分析 zzISF)()(S 21 zzISF)()(S AySzd)( sindcos)(0 2000 RRRSz 30RIz 0SsinRF 0SmaxRF 22 例例 题题例例 3-3 FS =

10、15 kN，Iz = 8.84 10-6 m4，b = 120 mm， 20 20 mm， yC = 45 mm，求求 max、腹板与翼缘交腹板与翼缘交接处切应力接处切应力 a352maxm 100392)( .ybSC, z MPa 667maxSmax.ISFz, z 35-m 108.40)-2( Ca , zybbS MPa 137S.ISFzaa 解：解：23解：解：例例 3-4 已知梁段剪力已知梁段剪力F FS S，试分析铆钉之受力，试分析铆钉之受力12S2FFF 24212SFFF zzISMF11 zS 上翼板对上翼板对中性轴中性轴 z 的静矩的静矩zzISMF22 eFMMS

11、12 zzISeFF2SS 12S2FFF 254 梁的强度条件梁的强度条件 梁梁危险点处的应力状态危险点处的应力状态 梁的强度条件梁的强度条件 强度条件的应用强度条件的应用 例题例题26 梁梁危险点处的应力状态危险点处的应力状态实心与非薄壁截面梁实心与非薄壁截面梁a, c 点点处单向应力处单向应力b 点点处纯剪切处纯剪切27薄壁截面梁薄壁截面梁c , d 点点处单向应力处单向应力a 点点处纯剪切处纯剪切b 点点处处 , , 联合作用联合作用d28 梁的强度条件梁的强度条件 弯曲弯曲正应力正应力强度条件：强度条件： 弯曲切应力强度条件：弯曲切应力强度条件： , , 联合作用联合作用强度条件强度

12、条件max max max 最大弯曲正应力最大弯曲正应力 材料纯剪切许用应力材料纯剪切许用应力（详见第（详见第8章强度理论）章强度理论） 材料单向应力许用应力材料单向应力许用应力 max 最大弯曲切应力最大弯曲切应力29 梁梁强度条件的选用强度条件的选用 细长非薄壁梁细长非薄壁梁 短而高梁、薄壁梁、短而高梁、薄壁梁、 M 小小 FS大的梁大的梁maxmax max max max 考虑考虑 , , 联合作用的强度条件联合作用的强度条件30 例例 题题例例 4-1 简易吊车梁，简易吊车梁，F =20 kN，l = 6 m， = 100 MPa ， = 60 MPa，选择工字钢型号选择工字钢型号解

13、：解：1. 内力分析内力分析31lFlF)()(S FFF (0)SmaxS, lFM 1)(4maxFlM 2. 按弯曲按弯曲 条件选截面条件选截面 4 FlWz 选选 22a, Wz=3.0910-4 m43. 校核梁的剪切强度校核梁的剪切强度 maxmax,zzSIF MPa 1114 .44m 1003 .32例例 4-2 铸铁梁铸铁梁， y1 = 45 mm，y2 = 95 mm， t = 35 MPa ， c = 140 MPa，Iz =8.8410-6 m4，校核梁的校核梁的强度强度解：解：MD最大正弯矩最大正弯矩MB最大负弯矩最大负弯矩危险截面危险截面截面截面 D, B33da

14、BDyy,MM da 危险点危险点zDaIyM2 MPa 859-. zDbIyM1 MPa 328. zBcIyM2 MPa 633. MPa 859maxc,.a MPa 633maxt,.c c t a, b, c截面截面D截面截面B34例例 4-3 Fy =Fz =F = 1.0 kN，a = 800 mm，截面高截面高 h = 80 mm，截面截面宽宽 b = 40 mm， = 160 MPa ，校核梁强度校核梁强度解：解：1. 问题分析问题分析 分别位于分别位于x-y 与与x-z 平面的平面的两个对称弯曲的组合两个对称弯曲的组合 用叠加法求解用叠加法求解352. 内力分析内力分析危

15、险截面危险截面FaM,FaMzAyA 2截面截面AFy =Fz =F363. 应力分析应力分析FaM,FaMzAyA 2危险点危险点zzAyyAWMWM max 22662bhFahbFa MPa 5146. 4. 强度校核强度校核危险点处于单向应力状态危险点处于单向应力状态 max 分别作用分别作用 t,max与与 c,max, 且数值相等且数值相等=+d, f375 梁的合理强度设计梁的合理强度设计 梁的合理截面形状梁的合理截面形状 变截面梁与等强度梁变截面梁与等强度梁 梁的合理受力梁的合理受力38 梁的合理截面形状梁的合理截面形状 将较多材料放置在远离中性轴的位置，并注意塑性将较多材料放

16、置在远离中性轴的位置，并注意塑性与脆性材料的差异与脆性材料的差异tct yyc上下对称上下对称塑性材料梁塑性材料梁脆性材料梁脆性材料梁39 注重弯曲强度，兼顾腹板的剪切强度与稳定性注重弯曲强度，兼顾腹板的剪切强度与稳定性腹板不能过薄，以避免剪切破坏与失稳腹板不能过薄，以避免剪切破坏与失稳40 变截面梁与等强度梁变截面梁与等强度梁)()( xWxM弯曲等强条件弯曲等强条件FxxM )(6)()(2xbhxW 6)( bFxxh )(2)(3S xbhxF123)(hbFxh FxF )(S等强度梁等强度梁各截面具有同样强度的梁各截面具有同样强度的梁剪切等强条件剪切等强条件4142 梁的合理受力梁

17、的合理受力合理安排约束合理安排约束 a = ? F 最大最大43合理安排加载方式合理安排加载方式446 弯拉弯拉( (压压) )组合与截面核心组合与截面核心 弯拉弯拉( (压压) )组合的应力组合的应力 偏心压缩应力偏心压缩应力 截面核心截面核心 例题例题45 弯拉弯拉( (压压) )组合的应力组合的应力实例实例弯拉组合弯拉组合偏心拉伸偏心拉伸（外力平行（外力平行与偏离轴线）与偏离轴线）（横向载荷轴向载荷）（横向载荷轴向载荷）46弯拉（压）组合分析弯拉（压）组合分析AF N zIyMmaxM zWMAFmaxmax MN zIyMAFmax max 危险点处单向应力危险点处单向应力内力内力FN

18、，M47 偏心压缩应力偏心压缩应力外力向形心简化外力向形心简化弯压组合弯压组合zzyyIyMIzM M zyFeM yzFeM zyyzIyFeIzFeAF AF-N 48 截面核心截面核心zyyzIyFeIzFeAF 0 zyyzIyFeIzFeAF 偏心压缩的中性轴偏心压缩的中性轴01 zyyzIyeIzeA中性轴方程中性轴方程偏心距愈小，中性轴离形心愈远偏心距愈小，中性轴离形心愈远49截面核心概念截面核心概念 当中性轴与横截面边缘相切当中性轴与横截面边缘相切时，截面上各点处仅受压时，截面上各点处仅受压。中性轴中性轴 2 对应外力作用点对应外力作用点 ，点点、点、点、点、点构成一封构成一封闭边界闭边界，当外力作用于边界内当外力作用于边界内时，横截面上各点处仅受压。时，横截面上各点处仅受压。 使横截面仅受压之偏心压力使横截面仅受压之偏心压力作用点的集合，称为作用点的集合，称为截面核心截面核心 脆性材料杆偏心承压时，外力作用点宜控制在截面核脆性材料杆偏心承压时，外力作用点宜控制在截面核心内。心内。 中性轴中性轴 1 对应外力作用点对应外力作用点，50 例题例题例例 6-1 F = = 1010 kN，l = 2 m，e = l / 10， 3030 ， 160160 MPa，选择工字钢型