材料电子硕士

1、材料电子硕士参考书参考书1.1.石德珂石德珂 材料物理材料物理2.2.余永宁余永宁 金属学原理金属学原理4.4.杨尚林杨尚林 材料物理学材料物理学5.5.约翰约翰DD费豪费豪 物理冶金学基础物理冶金学基础 6.6.冯冯 瑞瑞 金属物理学金属物理学主要内容主要内容l材料的电子理论材料的电子理论l位错理论位错理论l晶体的塑性变形晶体的塑性变形l材料强化及其机理材料强化及其机理l相图相图l固态相变固态相变材料的电子理论基础材料的电子理论基础主要内容主要内容材料的量子力学基础材料的量子力学基础自由电子理论自由电子理论能带理论能带理论第一节第一节 材料的量子力学基础材料的量子力学基础量子力学量子力学描述

2、微观粒子（电子、质子、中子、原子、分子描述微观粒子（电子、质子、中子、原子、分子 等）运动规律的理论等）运动规律的理论. .材料的许多性质材料的许多性质( (电学、磁学、光电学、磁学、光 学等）的现代理论都是量子力学为基础的。学等）的现代理论都是量子力学为基础的。内容：波粒二象性；薛定谔方程；量子力学应用；力学量内容：波粒二象性；薛定谔方程；量子力学应用；力学量 的算符表示。的算符表示。n波粒二象性波粒二象性物质物质( (微观粒子微观粒子) )同时具备波动性及粒子性同时具备波动性及粒子性 德布罗意德布罗意( (1892189219891989年年) )关系式：关系式： (1.1)式中，E-能量

3、；p-动量 ；-频率；-波长；h-普朗克常数*E E、PP粒子的特性；粒子的特性；、波动的特性波动的特性；hEhp波矢波矢 (方向波传播的方向；大小单位长度内所包含波的相角数) ： 波矢的量纲（m-1)与倒格子矢量相同，所以倒易空间也称为波矢空间。 用波矢代替波长用波矢代替波长,德布罗意德布罗意( (1892189219891989年年) )关系式关系式(1.1)式为式为: *式子左边的动量反映了粒子性，右边的波矢反映了波动性式子左边的动量反映了粒子性，右边的波矢反映了波动性。波矢空间有时波矢空间有时也称为动量空间。也称为动量空间。 *动量为动量为p的粒子与一个波相对应的粒子与一个波相对应,粒

4、子的运粒子的运 动方向与波的传播方向一致。动方向与波的传播方向一致。矢量沿波运动方向的的单位nnk22,)2hhpnkkhD irac式 中 ，称 为 狄 拉 克 （常 数 。n薛定谔方程与测不准关系薛定谔方程与测不准关系 波函数波函数描述粒子的运动状态(波)的函数（其模的平方对应于粒子出现的几率 ），波函数是空间和时间的函数，并且是复数，即 = (x，y，z，t) 自由粒子(动量、能量不随时间或位置改变）的波函数： （描述自由粒子的波是平面波） 波函数的性质：波函数的性质：波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变（粒子在空间各点出现的几率总和等于1，所以粒子在空间各点出现的几率只决定于波函

5、数在各点强度的比例，而不决定于强度的绝对大小）。常数、 AAetrerpEtiEtpxhi0)()(20,玻恩统计解释玻恩统计解释（波函数的统计意义）波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）与在这一点找到粒子的几率成正比。 设在给定时刻，在空间某点体积元dv内发现该粒子的几率为： 2*2),(几率密度CdvFzyxt。CdvCdvCF点发现粒子的几率）：和（在时刻比例常数的共轭函数；波函数的标准化条件和归一化条件波函数的标准化条件和归一化条件波函数的标准条件波函数的标准条件在整个空间内，波函数必须是有限的、单值的和连续的有限的、单值的和连续的。波函数归一化条件波函数归一化条件某时刻在整个空

6、间粒子出现的总几率为1：根据波函数的性质（波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变），现把开方后乘上 ，用表示所得函数： 则波函数和所描写的是同一状态，那么： (1.2)和(1.3)式为归一化条件， 换成的步骤成为归一化，称为归一化常数， 称为归一化波函数称为归一化波函数。dvCCdvCdvC22212 . 11为：则，比例常数C3 . 11222dvCdvCdvC测不准关系两个力学量不能同时具有确定值测不准关系两个力学量不能同时具有确定值位置x和动量p的测不准关系：的不确定范围就越大。的不确定范围越小，不能同时有确定值和不能同时等于零，则和，xxzyxpxpxxpxhpzhpyhpx,22

7、2离子以动量从狹缝左边沿方向运动，穿过窄缝后打在屏幕上。粒子穿过窄缝时x坐标的不确定范围是：粒子穿过窄缝前是沿y轴运动的，沿方向x的动量px等于零。穿过窄缝时产生衍射，动量px的不确定范围是：得：考虑次级衍射时： 则：可知，狹缝越窄粒子坐标x不确定的范围x越小，则动量px的不确定范围px就越大。 1dx 2222sindhdhdpppx 32hpxxdhpx22hpxx2dyx薛定谔方程波函数满足的基本方程薛定谔方程波函数满足的基本方程 （决定粒子状态变化的方程）（决定粒子状态变化的方程）薛定谔方程的一般形式为薛定谔方程的一般形式为: :式中，令 哈密顿算符。则薛定谔方程简写为： *薛定谔方程

8、不是从数学上推导或证明出来得。它反映了微观粒子的运动规律，其正确性是由在各种具体条件下从方程得出的结论和实验结果相比较来验证的。一一维自由粒子的薛定谔方程为（维自由粒子的薛定谔方程为（V(x)=0):粒子在力场中的势能；Vzyx2222H(1.4) (1.5)(1.6)定态薛定谔方程定态薛定谔方程 由于势能与时间无关，薛定谔方程可进行简化设方程的一种特解为：代入薛定谔方程：可知，方程左边是时间的函数，而右边是坐标的函数，所以当两边都等于同一个常数时，等式才成立。用表示该常数，则由等式左边：由等式右边：EfdtdfiVmdtdffi2221 tfzyxtzyx,.,EVm222(1.7)薛定谔方

9、程的特解： 这种形式的波函数所描述的状态称为定态定态，在定态中几率密度与时间无关： 函数 由方程(1.7)和具体问题中波函数应满足的边界条件得出 。方程(1.7)称为定态薛定谔方程。定态薛定谔方程。 * *因此，当粒子所在的势场不随时间变化时，粒子在空间出现的概率也不随时间变化，而且力学量的测量值的几率因此，当粒子所在的势场不随时间变化时，粒子在空间出现的概率也不随时间变化，而且力学量的测量值的几率分布和平均值都不随时间变化。粒子的这种状态称为定态。定态薛定谔方程的每一个解就代表粒子的一个稳定状分布和平均值都不随时间变化。粒子的这种状态称为定态。定态薛定谔方程的每一个解就代表粒子的一个稳定状态

10、。态。 Etiezyxtfzyxtzyx,.,zyx,2*2EtiEtieeEVm222n量子力学的应用量子力学的应用 一维势阱问题一维势阱问题 势阱在某一定区域内，势能有固定的值。 设一粒子处于势能为V的势场中，沿x方向做一维运动，势能满足下列边界条件： 求在势阱中粒子的波函数及粒子被允许具有的能量：解：由于与时间无关，是一定态问题，求解定态薛定谔方程 xVaxxxVax，和，000 0 a xV02222222ExmVEVm等于零，则方程为：势阱内本题是一维问题，且在解方程（二阶常系数微分方程），该方程的通解为：根据边界条件可得出，在一维势阱中粒子的波函数和允许的能量： 相邻能级差： n=

11、(1,2,3,) 讨论：讨论： 势阱中粒子的能量E是量子化的，n是能量量子数。 能级差E与量子数成正比，与粒子质量和势阱的宽度成反比。 如a小到原子 尺度，能级差就非常大，因而电子在原子内运动时，能量的量子化就特别显著。 如在宏观线度时，能级差就很小，能量的量子化就不显著，可把粒子的能量看作是连续的。 mEkkxCx2sin式中， axnaxsin2manEn22222221212manEEEnn 线性谐振子的运动线性谐振子的运动（粒子在一维势场中受弹性恢复力的作用，在平衡位置两边往复运动） 非常重要的物理模型，表征双原子的震动及晶体中晶格原子的震动 已知：谐振子的势能场： 代入薛定谔方程，得

12、到谐振子的运动微分方程： 固有频率弹性系数；式中，0202220224221kmkxmkxxVExmdxdmEVm220222222222解方程得波函数： 对应的谐振子的能量为： （ n=0,1,2,3,)相邻能级差：可见谐振子的能量是量子化的 222021nnnnnnnnnnN eHmxaxNHdHeed 式中，；归一化常数；厄米多项式021hnEn01nnEEE 贯穿势垒问题贯穿势垒问题量子隧道效应量子隧道效应（微观粒子的总能量E小于势垒高度时，还能穿透势垒的象）量子隧道效应可解释粒子的衰变、金属电子的冷发射等现象 设能量为的粒子在势能为V的势场中，沿方向x由左向右做一维运动，V满足下列边

13、界条件： EVxVxaXVxVax00000已知：时；或当时；当 0 a xV(x)V0 0 a xV(x)V0 0 a xV(x)V0 0 a xV(x)V0将势能空间分为三个区域，根据边界条件，可求出三个区域的解。 增大而减小。或高度随势垒的宽度可见，穿透系数。入射波几率密度的比值穿透波几率密度与射粒子数的比值。等于贯穿势垒的粒子数与入穿透系数零。区找到粒子的几率不为区，即在达可见粒子可穿过势垒到函数中的系数。连续的条件，可求出波和根据波函数及其微商在透射波的振幅。式中，区：反射波振幅。透射射波振幅，；式中，区：反射波振幅。入射波振幅，；式中，区：022200201002200211220

14、22VaTeADTTaxxDDexBBEVmkBeeBxAAmEkAeeAxaEVmxikxikxikxikxik讨论： 经典力学的观点：经典力学的观点：如果粒子的总能量E小于势垒高度，粒子只能在区或区中运动，不能由区穿过势垒区过渡到区中。只有E大于势垒高度时，才可能由区越过势垒区到达区。 量子力学的观点：量子力学的观点：对于总能量E小于势垒高度的粒子，在区，其波函数也不等于零，则粒子穿过势垒的几率也不等于零，即粒子可由区越过势垒区到达区中，并且粒子穿过势垒后的能量仍保持在区的能量n力学量的算符表示力学量的算符表示量子力学中力学量的特点：当微观粒子处于某一状态时，它的力学量（如坐标、动量、能量

15、）一般不具有确定的数值，而具有一系列可能的值，每一个可能的值以一定的几率出现。知道了粒子处于某一状态时的力学量所具有的各个可能值的几率后，就可以计算出力学量的平均值。为了反映上述特点，在量子力学中引入算符来表示力学量。算符设某一种运算把函数变成函数：例如：算符的本征值、本征函数和本征值方程本征值的数目可能是有限，也可能是无限的；对应于一个本征值算符可能不止一个相互独立的本征函数；如果有f个本征函数U1，U2，Uf属于同一个本征值，且不能找到f个常数C1，C2，Cf，使等式U1 C1 U2 C2 Uf Cf成立则称本征值是简并的，简并度为f。算符； FVUF算符，算符；VUxVxU,本征值方程本

16、征值方程的称为方程，的称为，的称为算符为常数，则，如果FUUFFUFUUF本征函数本征函数本征值本征值重要算符用算符表示定态薛定谔方程VTHzyxmmmpTzyxip：能量算符哈密顿算符动能算符：，动量算符：)(2222222222222的本征函数。能量算符的本征值；能量算符HHEEH第二节 金属自由电子论内容：经典自由电子论；量子自由电子论 经典自由电子论经典自由电子论假设金属有自由电子。金属中的原子不是靠化学键，而是靠金属中运动的自由电子的静电吸引结合在一起的。这些自由电子服从经典力学运动规律。主要成就：成功解释了金属的导电性和导热性 解释了热导率与电导率的比值是常数（魏德曼-弗朗兹定律）

17、 金属不透明，有光泽主要问题：过高估计了自由电子的比热（2/3）。实验证明，电子贡献的比热要比2/3小两个数量级，即金属中的自由电子对比热几乎没有贡献，经典电子理论对此无法解释。n 量子自由电子论量子自由电子论金属中自由电子的运动应服从量子力学规律和相应的能量分布规律。一维的量子自由电子论假设一个自由电子在一维（长度为）的金属中运动，受到一个均匀势场的作用，其势能函数（x），则匀的。电子在金属中分布是均率处处相等在金属中找到电子的几几率：金属中某出找到电子的方程的解：薛定谔方程为：,111)10)2(2222222LeLeLaeLdxdxixixi 2, 2, 1,22,21),2222, 2

18、, 1,2202sin12cos,2sin2sin2cos2cos12cos1,)222222NnmLhnmhEhmvpmvEcaaNNaNLLNNnnLnLLLLxLxLLxxLxLxxLxxLb则：已知：能级是原子间距。，最小波长最大波长为分立值。不能连续变化，只能取可见，波长金属环中的原子数式中，；则：，必须使：要满足边界条件；则：卡曼条件周期性边界条件或波恩即处电子的波函数相等和在环的周长为个圆环假设把一维晶体弯成一允许波长aaa a三维的量子自由电子论22222222222)(),22xyzxyzxyzaLhn hEnnnnnnnmLmLnnnXYZKKK能级边长为 的三维立方晶体，

19、电子在所有方向运动，电子允许的能级：式中， ， ， 分别是在 ， ， 方向上的量子数，并且取整数值。但n不一定取整数值，不能用表示整个空间的量子数，因此需要引入新的量子数表示这些能级。引入波矢量 ，将原来的能量空间转换成 空间。电子在能量空间出现的几率变成在 空间出现的几率。222222222222222)1,(),1()()222222123(xyzxyzxyzxyzxb KKKKKKKKhn hhnhhhEnnnKKKKmLmLmLmmmKKKLLLK空间电子能级波矢量方向为波的传播方向 大小为单位长度内的波数 。波矢量 在正交坐标系中的投影为。该空间称为 空间。在 空间的能级为：，分别取

20、，组成的数组，)(0 0 0)yzxyzKKKKKK，确定一个允许能级。空间由能级点构成。当，取值为零时，点 ， ，代表基态，即自由电子系统能量最低的状态，也是最稳定的状态。自由电子统计分布 2222222)42482,24422aN EEKEEdEdZVK dKVEEdEdZVK dKVK dKhh KdEdKdKdZVK dKmm状态密度在 附近单位能量间隔内电子状态的数目以 的零点为球心作一个球面，球面是等能面，球面上每个点所代表的能级有相同的能量。能量在 和间的能级数为：式中，体积。每个能级可容纳自旋反平行的两个电子，则在 和间的状态数为：则： 3 21 231 23 21 21 22

21、2302m22884000fVEdEhmmEdZVmKVmN EVEdEhhhhN EEKEKK则状态密度为：可见，和 为抛物线关系，如图所示。图中影线部分是时被电子占据的能级，是在时电子填充的最高能级，称为时的费米能。0fE ENE 电子密度式中，得出：由：求的能态都是空的。子，所有高于的能量状态都添满了电时，所有低于表明在时：；时：时电子的分布情况系统中电子的总数：间的电子数为：在电子数目。附近单位能量间隔内的时，分布在能量在温度电子密度分布时的费米能。的状态的几率为：电子处于能量为VMnnmEdEENEfMEEEKEfEEEfEEKTcdEENEfdETEMMdETEMdMdEEEENE

22、fTEMETTEMcTKEeTEfEbeefEffffffkTEEff,)3(2000 ,10 ,0),),11,)32220000000000 02830000110/1132,50300201,11,2fffEfE EkTfffmEEEdMEM E T dEEMMKkTTKTKEETef E TEEf E TEE讨论：一般金属中的电子密度约为量级，则约为几个到十几个电子伏特。每个电子的平均能量：结果表明：即使在，电子仍有有相当大的平均能量或动能，而经典理论得出电子的平均动能为，当时为 。时当 比低几个k 时，当时，当 比高几个k1,001102fE EkTffBfffTef E TTKEE

23、K TEEE时，表明在时，有一部分在费米能附近能量低于的电子，获得大小为数量级的热能而跃迁到了能量高于的能态上去了，使得之下附近能态被电子占据的几率小于 ，而其之上被电子占据的几率大于 。能态被电子占据的几率正好是 。 20000002000,1121(20000.2110)132540fffffffffBfEkTMf E TN E dEEEETETKTeVEeVEEkTEEdMEK TMEKTK求：由得出：讨论：由于一般温度下k即使时，k，仍远小于 （），可认为。每个电子的平均能量：（）第一项为时电子的的平均能量；第二项表示热激发的能量。因为在温度时， 0002013440101%4ffff

24、fEkTTEkTTTETeVEeVkTE只有附近大约k 能量范围内的电子受到热激发，被激发的电子数目与总电子数目之比约为，每个激发电子获得的热能为k ，故金属中平均每个电子的热激发能应正比于k（）。在室温下，k，而单价金属的，被激发的电子数目与总电子数目之比约为，可见，加热金属，只有很少的电子（）吸收热能。这就是自由电子的比热比经典理论估计的小得多的原因。200/2ffk TUkTCCAkTTABTTEE 电子比热 与温度成正比。（）总总结结1.薛定谔方程(第一性原理)想牛顿力学方程一样，没有数学推导和严格的证明，其正确性是因为它导出的结果和实验相符，从而表明它反映了微观离子运动的普遍规律。2

25、.上述量子自由电子理论的假设金属晶体中的势场是均匀的,即V(x)=常数实际上是非均匀的势场。单电子性质（忽略了电子与离子，以及电子与电子间的相互作用）。每个电子变成了独立粒子，整个金属晶体中的电子构成一个独立的粒子系统一个多体问题转化成了单体问题。第三节 金属能带理论内容：本节将考虑点阵周期场对电子运动的影响，从而导出能带理论，并运用能带理论解释导体、半导体和绝缘体的区别。近自由电子近似模型假设：晶体中的电子近似于自由的；点阵势场是个周期性函数，且周期势场随 空间位置的变化比较小，可当作微扰来处理。薛定谔方程周期势函数 ，是周期性函数。式中，02222xVExVdxdm axVxVaVeVeV

26、VxVanxinnnanxinnn，即性变化，周期为，称为微扰项，且周期式中，0/21/210电子的能量解上述方程，可得出电子的能量：讨论曲线 曲线呈抛物线,在处 能量不连续,发生突变允带和禁带允带电子能够占据的能量区域(能级是不连续的)，也称为布里渊区。禁带不允许电子占据的能量区域，也称为能隙。 , 3 , 2 , 1,220022nanKVEVVmKhEnn式中，, 3 , 2 , 1,2nanK。是禁止的，其宽度为。在两个能级间的能态占据只能，添满后，多余的电子的能级首先被电子占据时，当nnnVVEVEanK2200从而出现能隙。点高于自由电子，电子，而点的电子能量低于自由图中，发生全发

27、射，使得，（反射条件时，电子波满足布拉格产生禁带的原因。BAdnananKanK)sin22122n导体、半导体与绝缘体区别 满带满带添满电子的允带。当满带中的电子从它原来占据的能级转移到同一能带中其它能级时，因受泡利不相容原理的限制，必有另一个电子作相反转移，总效果与没有电子转移一样。即外电场不能改变电子在满带中的分布，所以满带中的电子不能起导电作用；空带空带完全没有电子的允带；导带导带(价带价带) 电子未添满的允带。在外电场的作用下，导带中的电子可以进入同一能带中未被填充的稍高的能级，这个转移过程没有反向的电子转移与之抵消。所以导带中的电子具有导电作用。半导体的禁带宽度（约 1eV ）比绝

28、缘体的（约6eV ）小，因而满带中的部分电子受热运动的影响，可越过禁带进入上面的空带形成自由电子，从而产生导电能力。晶体能带简图 (a)绝缘体(b)半导体 (c)导体n布里渊区理论描述能带结构的模型布里渊区理论描述能带结构的模型 布里渊区布里渊区 布里渊区的布里渊区的(几何几何)定义：定义：倒易点阵（倒格子）中，由倒易矢量（倒格失）的垂直平分面所包围的区域。围绕原点的最小区域称为第一布里渊区(又称简约布里渊。第一布里渊区外面，有若干块对称分布且不连续的较小区域分别组成第二、第三等里渊区。 布里渊区的性质：布里渊区的性质：每个布里渊区占据倒格子空间的体积相同，都等于倒格子元胞的体积，即第一布里渊

29、区的体积. 例如：一维点阵的布里渊区 二维正方点阵的布里渊区 描述波运动状态的波矢量（），与倒格矢的量纲（ m-1 ）一致，因此可在倒空间中描述波矢量，此时倒空间又称波失空间或状态空间所以晶体中电子的运动可用倒空间或波失空间进行简洁、直观地描述。 布里渊区的物理意义：布里渊区的物理意义：允许电子具有的能量区域。布里渊区的电子填充与能带结构布里渊区的电子填充与能带结构分析二维正方点阵的第一布里渊区布里渊区的边界平行于产生该布里渊区的晶面。图中任意一点都有一个特定的x、y，代表电子在点阵中的一个特定的运动状态。等能线（相同能级的各个方向的点连线），不能穿过里渊区边界，在这里能量是不连续的。 上图可看成是一个接近抛物线的洼地的等高线图（高度代表能量），布里渊区的边界就代表一个垂直的峭壁（能隙的宽度）2nKaK 由上述讨论可知，当时，电子产生布拉格反射，从而出现能隙，将 空间划分为不同的区域，这些区域称为布里渊区。2kn能带结构在布里渊区边界有能隙n禁带宽度，但实际晶体不一定有禁带两个布里渊区可能发生重叠即第二区的一些最低能级低于第一区的一些最高能级。边界处的能隙间隔很大，两个区不相重叠。例如：假设： neV(在10方向的能隙)， .eV ，.eV则：.eV （第二区的最低能级）可知，高于（第一区的最高能级），此时的能带结构如图a所示边界处的能隙间隔不大，两个区重叠。例如：假设： n