立体几何专题之三垂线定理

1、 高三同学在对立体几何的基本知识进行了系统的复习之后，对于比较重要的定理、概念以及在学习过程中感到难于掌握的问题进行综合性的专题复习是很必要的。在专题复习中应通过分类、总结，提高对所学内容的认识和理解。今天我和大家共同探讨高中立体几何中的三垂线问题。 学习三垂线定理中，感到困难的是分辨直线与直线之间的位置关系，加上往往题目中线条较多，加大了判断难度。另外，许多同学对定理内容不清楚，导致做题时思路混乱。我们首先来说明以下几点，以澄清定理内容： 对于平面的斜线OP，在平面内必存在射影OAPAOa 如果平面内的直线a垂直于斜线OP的射影OA，那么必垂直于斜线OP；反之也成立PAOa 满足条件（2）的

2、直线a必垂直于斜线及射影所确定的平面PAOa 运用三垂线定理及逆定理的规律：确定平面、找到斜线、找到（做出）垂线、连成射影、查面内线PAOa 关于三垂线定理及逆定理的图形，有以下三种情况：直线a可能过O点；直线a可能与OA相交；直线a可能与AO或OA的延长线相交PAOa 直线a可能过O点ABCDEFGo如图，已知在直角三角形ABC中， C=90 ，AC=18，BC=32，D是AB的中点，DE平面ABC，DE=12,求：E到AC、BC的距离221 16122 20 2015DFACDFACFEFEFACDFBCDERt DEFEFDFDEEACEBC解：作，连接， 根据三垂线定理可知，即 点到的

3、距离是，同理可求得到的距离是 。ABCDEFG 直线a可能与AO或OA的延长线相交ABCDABCDACBDADBC如图，已知在四面体中，求证：ABCDEFGO: AOBCDOBOCDEBOCOABACBCDABCDBECDCFBDOBCDDOBCGDGBCAD证明 作底面， 为垂足，连结并延长交于 ，则、分别为、在底面上的射影。，（三垂线定理的逆定理）同理可证：为的垂心，连并延长交于 ，则由三垂线定理知，BCABCDEFGO 平行于平面的直线a，如果垂直于斜线OP在平面内的射影OA，那么直线a也垂至于斜线OP，它在解某些较复杂的问题时可能化难为易PAOa587ABBDACABABABcmACB

4、DcmABcmCD如图，线段平行于平面 ，、为垂直于的两条相等的斜线，且分别在的两侧，若，和平面 的距离为，求的长ABCDA1B1OABCDA1B1O11111111111, 7 5 2.5 ABABACABBDABACBDACB DAABBcmAABBABABcmACOB DOAOcm分析：因为平面 ，又因为，则应想到也垂直于、在平面 内的射影、因为且，所以 因为直角直角（锐角、直角边），所以22112211 15 222 85ACACAAcmCDCOACAOcm因为所以 大家往往习惯于在水平放置地平面上运用三垂线定理，而在竖直或倾斜放置的平面上需用三垂线定理解题时，即使是很明显的问题，有时

5、也会感到力不从心。应明确的是，三垂线定理及其逆定理的适用与平面所在的位置无关。可做一些练习加深这种印象。111111ABCDABC DACABD如图，已知正方体，求证：平面ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D11111111111111 ADAAD DACADADADADACADACBDACABD证明：如图，连结，对于平面，是斜线，是它的射影，是面内直线，（三垂线定理）同理平面 应用这两个定理时，首先要明确是针对哪个平面应用定理，尤其是应注意此平面非水平面放置的情况，然后再明确斜线、垂线、斜线的射影及面内直线的位置，有时需要添加其中某些线，这样可以确保正确应用定理 判定空间中两条直线

6、相互垂直 求平面外一点到平面内一条定直线的距离 求二面角的平面角 判定空间中两条直线相互垂直PABCABC已知：正方体中截去以 为定点的一角得截面求证：所截得的是锐角三角形ABCP 判定空间中两条直线相互垂直 PPDABDABPRtPDDABCDCDABCDABCABABABCBCACBCACABCABCABC证明：过 作于 ，是，的垂足 在内，连结，由三垂线定理可知，为中边上的高线且满足垂足在内，同理可证中边、边上的高线的垂足也在、内的垂心在内，故为锐角三角形ABCPD 判定空间中两条直线相互垂直222222222222222222 cos2()()() 22 02 bcaCABbcxzxy

7、yzxzxyxxzxyCABABCACBACB证明：由余弦定理，为锐角，同理，也是锐角，为锐角三角形ABCP 求平面外一点到平面内一条定直线的距离 90oABCaDEAB ACABCDEAAABC已知：正的边长为 ， 、 分别为、的中点，将沿线段折成的二面角，此时 点变到 点的位置求： 点到的距离ABCDEFG 求平面外一点到平面内一条定直线的距离 3 236 446 4AAFDEAFDEFADEABCAFABCADEAFDEFDEAFBCGAGBCAGAGBCAGaAFFGaAGaABCa解：过 作， 平面平面，平面，是正三角形，又，为的中点，连结，并使其延长线交于 ，则，连结则，即 点到的

8、距离是ABCDEFG 求平面外一点到平面内一条定直线的距离 说明：这种求平面外一定点到平面内一条定直线的距离的问题，一般方法是过定点做平面的垂线，再过垂足作定直线的垂线，找到这条垂线与定直线的交点，则定点和交点的距离就是所求的距离。这种运用三垂线定理的练习十分多，比如上题可以转换成其他角度即为多个练习，同学们可以自己尝试一下。 求二面角的平面角1111112ABCDABC DEBCC DECDE已知：如图，是正四棱柱，侧棱长为， 底面边长为 ， 是侧棱的中点求：面与面所成二面角的正切值A1B1C1D1ABCDEF 求二面角的平面角 说明：运用三垂线定理及其逆定理是找出二面角的平面角的常用手段，应当熟练掌握，其过程是在二面角的一个面上找一点P，过P分别作棱和另