2021届高考数学(新高考)仿真模拟卷(十五)(含答案)

1、2021届高考数学（新高考）仿真模拟卷（十五）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 已知a>0,b>0，贝lj“a>b”是“a+<b+"的abA充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2. 元二次方程ax2+2x+1=0（aO）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是Aa<0Ba>0Ca<-1Da>13设集合U二0丄3,5,6,8,A二1,5,8,B=2,则UIIA.

2、0,2,3,6b.0,3,6c1,2,5,8D.0471已知顶点在原点的锐角Q绕原点逆时针转过：后，终边交单位圆于P-，y，则sina的值为D.A.5.在二ABC中，若ab.bc+ab2二0，则二ABC的形状一定是A.等边三角形B直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形6.A.2a+3b已知a>0,b>0且a2-b+4<0，则a+b14B有最大值丁有最小值¥17C有最小值石D.17有最大值石7.已知三棱锥S-ABC的所有棱长都相等，点M是线段SB上的动点，点N是线段SC上靠近S的三等分点，若AM+MN的最小值为2近3，则三棱锥S-ABC外接球的表面积为A.27兀B

3、.81兀C.54兀D.108兀8已知函数f（x）=xlnx,x>0x+1,x<0若X丰x2且f（X）=f（x2），则|X-x2|的最大值为B2D1二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分错的得0分共20分全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选9若fx2+丄的展开式中x3的系数是-160,ax丿AB所有项系数之和为1C二项式系数之和为64D常数项为-32010已知a1，a2，a3,a4成等比数列,满足a+a+a+a-(a12342+a+a4几且a4>1，下列选项正确的是Aa>a13Ba>a34Ca>a12Da<a2411.已知正四棱柱ABCD-A1B

4、1C1D1的底面边长为2,侧棱-1，P为上底面£直££上的动点，给出下列四个结论中正确结论为A若PD二3，则满足条件的P点有且只有一个B若PD込，则点P的轨迹是一段圆弧C若PD平面ACB，则DP长的最小值为21D若PD平面ACB，且PD-忑，贝9平面BDP截正四棱柱ABCD-的外接球所得平面图形9兀的面积为壬12已知函数/(x)f2-2x，x<0°，以下结论正确的是If(x-2),x>0A函数f(x)在区间2,4上是减函数Bf(2020)+f(2021)=1C若方程f(x)-mx-1=0(mwR)恰有5个不相等的实根,f11)则mG-丁，-：

5、<46丿D若函数yf(x)-k在区间(-8,6)上有8个零点x(y8,iwN*)，则£x16iii1三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知不等式a-1<x<a+1成立的充分不必要条件是2<x<|，则实数a的取值范围是一14.若函数f(x)二xlnx+1的图象总在直线y=ax的上方，则实数a的取值范围是.15已知抛物线C：x2=-2py(p>0)的焦点F与+=1的一个焦点重合，过焦点F的直线与C84交于A,B两不同点,抛物线C在A,B两点处的切线相交于点M且M的横坐标为4,则弦长IAB=.厂B16.在ABC中，角A,b,C所对的

6、边分别为a,b,c.已知向量m=cosC,2cos21,n=(b,c4a)k2丿且m-n=0.D为AC边上一点，BD=75且AD=2CD.则cosB=,ABC面积的最大值为A一四、解答题(本大题共6小题，共70分)17.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,A为锐角，在以下三个条件中任选一个：(b-3c)cosA+acosB=0；Asin2a1+cosA一=b<2sinB并解答以下问题：(1) 若选(填序号)，求cosA的值；(2) 在(1)的条件下，若a=2，求ABC面积S的最大值.18. 已知数列a的前n项和S满足S=3a-3,bn=引吗巴+1(n&N*).nn

7、nn2(1) 求数列a,b的通项公式；nn(2) 记c=a-九b2，若数列c为递增数列，求九的取值范围.nnnn19. 为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在2,3),3,4),4,5),8,9),9,10)(单位：小时)的数据整理得到的数据绘制成频率分布直方图(如图).（口）由图中数据求Q的值，并估计从该校高三

8、年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在5，6）的概率；（口）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在2,3）和8,9）的人中任选3人，求其中在8,9）的人数X的分布列和数学期望；（口）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）20.如图，三棱柱ABC-£牛勺中，平面A】ACC丄平面ABC，ABC和A】AC都是正三角形，D是AB的中点.（1）求证：BC平面ADC；（2）求二面角A-DC-C的余弦值

9、.21已知点P是抛物线C：y2=4x的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PA、PB，其中A、B为切点.1）证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标；x2y2S（2）若直线AB交椭圆C:+匚=1于C、D两点，Ss2分别是PAB、PCD的面积，求甘的243】2S最小值.22.已知曲线f（x）二（x-3）ex+a（2lnx-x）（其中e为自然对数的底数）在x=1处切线方程为y=（1-e）x+b.（口）求a,b值；（口）证明：/（x）存在唯一的极大值点x0,且-2e一1<f（x0）<-5.参考答案1D2C3A4D5B6A7C8B9ABC10AD11ABD12BCD1314.(-8,1

10、)151616.9*15817.(1)答案见解析；(2)迈.解析】(1)若选，因为(b-3c)cosA+acosB=0，由正弦定理有:(sinB-3sinC)cosA+sinAcosB=0,即sinBcosA+cosBsinA=3sinCcosA,1若选，：sin2I+cos2A=-J29所以sinC=3sinCcosA，在abc中，sinC0，所以cosA=.1cos(B+C)1+cos2A=-，9ABC中，A+B+C=兀,1+cosA+cos2A=-1,91+cosA1-+2cos2A-1=石，36cos2A+9cosA-7=0,9cosA=317.cosA=3，或cosA=-a(舍)，若

11、选，a1+cosA因为b=页荷，由正弦定理有:sinA1+cosA，因为在ABC中，sinB0，sinB<2sinB所以J2sinA=1+cosA,又sin2A+cos2A=i，A为锐角，解得cosa=3.(2)由(1)可知，cosA=3,27一由sin2A+cos2A=1，A为锐角，得sinA=一3b2+e2a2二由余弦定理可知，2bca=2，3b2+3e2-12=2be二2bc+12二3b2+3c2±6bcbe<3，当且仅当b=c=3时等号成立.1ABC面积：S二一besinA02.2所以ABC面积S的最大值为P2.18.(1),b=3n+1；(2)n<136&

12、#39;解析】当n=1时，S1=叫-3，:a1=7当nA2时，S一Snn-1=3a3(3a3),n-1即a=3a-3a，nnn-1n2n-1又a1丰0,所以数列a为等比数列.3(3An-1b=3loga+1=3log322)e=nen+1n-e=-九(3An+1(3n+川，因为数列J为递增数列,一九(3n+4)2一3+X(3n+1)=-一九(18n+15)0对VneN*恒成立，即对VneN*恒成立18n+1518n+15neN*,九<f(n),min18n+15n+1f(n+1)_f(n)_18n+333(18n+15)=2n18n+33,若'f：)>1，则18n>2

13、1,.当n>2时，f(n+1)>f(n)；当n二1时,f(2)<f(1).f(n).=f(2)=舟,min1363即九的取值范围为九v.13619. （口）a=0.2；0.2；（口）分布列见解析，8；（口）5,6）.8解析】(口)因为(0.05+0.1+0.18+a+0.32+0.1+0.03+0.02)"=1,所以a=0.2.因为0.2x1x100=20,所以该天居家自主学习和锻炼身体总时间在5,6）的学生有20人.所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在5，6）的概率20为=0.2.100（口）由图中数据可知，该天居家自主

14、学习和锻炼身体总时间在2,3）和8,9）的人分别为5人和3人.所以X的所有可能取值为0,1,2,3.C35C2C115”X=0)二C3二丙，八1)二古二28,88C1C215C31P(X=2)=53二,p(x=3)=二-口2)C356，p(X3)C356-88所以X的分布列为:X0123P51515128285656所以数学期望E(X)=0丄+lx15+2X15+3丄=28285656(III)样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在5,6).20. (1)证明见解析；(2)13-解析】(1)如图，连接AC，交A1C于点E，连接DE,由于四边形A1ACC!是平行四边形，所

15、以E是AC的中点.因为D是AB的中点，所以DEBC1因为DEu平面ADC，BC严平面ADC,所以BC1/平面A1DC.(2)如图，取AC的中点O,连接AO，BO,根据ABC和AAC都是正三角形，得AO丄AC，BO丄AC.又平面AACC丄平面ABC，平面AACCc平面ABC=AC，所以AO丄平面ABC，于是AO丄BO.111111所以CD輕,一3,0I22丿，A-D專-2，"，DC1=(22丿设平面ADC的法向量为m=(x,y,z),则1m-CD=0'，即1m-AD=01込x-3Y=022._，令x=3，则y=J3,"x-y-J3z=022z二1，所以M=D设平面DC

16、C的法向量N=(a,B,C),n-CD=0，即1n-DC=01込A3b=02235_一a+b+£3c=022弓-2，0丿,°设AC=2，则AC,0,），C（0,1,0），Dc=-1，所以N=G,31）设二面角A-DC-的大小为0，由图易知0为锐角,1113因此二面角气DC-q的余弦值为13.21. (1)定点坐标为(，0)，证明见解析；(2)3.解析】(1)先证明出抛物线Y2=2px在其上一点(x0,Y0)处的切线方程为Y0Y=P(x+%),由于点(x0，Y0)在抛物线Y2=2px上，则Y0=2Px0，y2=2px联立1（），消去x得，Y2-2YY+2px=0，即Y2-2y

17、Y+Y2=°，yy=px+x000000所以，关于Y的方程Y2-2Y0Y+Y0=0有两个相等的实根Y=Y。，此时x=x0,因此，直线y0y=p（x+x0）与抛物线y2二2px相切，且切点为（xo,y°）.设点A（x，y）、B（x,y）,1122则以A为切点的切线方程为yiy=2（x+xi）,同理以B为切点的切线方程为y2y=2（x+x2）,'两条切线均过点P（1，t），二1122ty2（1+x）2xty20ty12（1+X），即2Xty20，2222所以，点A、B的坐标满足直线2xty20的方程，所以，直线AB的方程为2xty20，2dIAB|AB2d-CDCD在直

18、线AB的方程中，令y0，可得x1，所以，直线AB过定点（1,0）；S（2）设点P到直线AB的距离为d，则spabPCD由题意可知，直线AB不与x轴重合，可设直线AB的方程为xmy+1，设C(x3,*、D(x4,y4)由y24x()，得y2一4my一40，A16Vm2+1丿>0恒成立,xmy+1由韦达定理得y1+y24m，y1y24,由弦长公式可得12-J1+m2Jq+y2)z4yy4(m2+1),12由4+3I得(3m2+4)y2+6my90，A36m2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0恒成立.xmy+1由韦达定理得y3+y46m3m2+49y3y4=3m2+4由弦长公式得CD=+m2|yy412(m2+1)3m2+4SPABSPCDABCD4(m2+1)12G+m2)3m2+444m2+>3333m2+4当且仅当m0时，等号成立.S4因此，寸的最小值为3-222.(1)a=1,b=e2；(2)证明见详解【解析】2f(x)在x=1处切线