一种线性回归方法的实际应用

1、线性回归方法的一种实际应用摘要：按常规方法对一定养护时间内地聚合物的抗压强度进行测试，耗费时间长，投入成本高，不能满足设计和经济的要求。为科学反映真实内在规律性，达到数据准确可靠且操作快捷方便的目的，提出对待一组常规的抗压强度的测量数据应用一元线性回归数据处理方法，通过最小二乘法原理来处理养护时间与抗压强度两个变量之间的关系，最后得出数学模型。该方法在工程领域有着一定的应用前景。关键词：一元线性回归；最小二乘法原理；数学模型0引言近年来，地聚合物作为一种新型胶凝材料在工程中得到了广泛应用。地聚合物是一种在低于150°C甚至常温条件下养护通过缩聚反应得到的一种新型无钙基无机铝硅胶凝材料

2、。与传统硅酸盐水泥相比，地聚合物具有高强度、高韧性、耐腐蚀、耐火、固封重金属等优异性能，在建筑材料、固封核废料、废弃物处理和航空航天材料等领域具有巨大的应用前景1,2。然而，在掺比确定的情况下，养护28天之前的地聚合物的抗压强度与养护时间之间存在一定的关系，而定时测量的方式存在过程繁琐，持续时间长的缺点。因此，为减少不必要的时间浪费，可通过相关技术对地聚合物的强度进行预测。1一元线性回归的应用一元线性回归分析是研究两个变量之间的线性相关关系，这种相关关系不是确定的函数关系，即给出自变量的值不能确定因变量的值。一元线性回归模型在实际生活中有很多应用，如某种新商品的销售收入与广告费用之间的密切关系

3、，两者之间的变化趋势可以通过一元线性回归进行模拟，达到通过广告费用预测销售收入的效果2。用数学上的回归分析数理统计方法，对一系列测量数据进行处理，可以得出比较符合事物内部规律的数学表达式，能够比较科学客观地解决各变量之间的内在关系3。在制备出20x20x20mm尺寸的偏高岭土基地聚合物试块后，实验人员将试块放入温度为60C，相对湿度90%的养护箱中进行养护，对养护1至10天的样品进行抗压强度测试，记录数值。测试时，取三个试块的平均值作为最终试块的抗压强度。2测量数据的采集将地聚合物置于压力机中心并使位置对中，然后用500N/S的加载速度缓缓作用于地聚合物上，直到试件破坏，记录破坏时的极限荷载。

4、为了减小实验误差，每种样品均测试三个平行试样的强度，以平均值作为最终的强度结果。经过测试，前10d偏高岭土基地聚合物固化体的强度如表1所示。表1一组特定养护时间内的抗压强度数据养护时间(d)12345678910抗压强度(Mpa)23.5225.6229.2033.4536.6240.4242.2445.3848.3853.483建立一元线性回归方程的数学模型及数据处理从表1的数据中可以直观地发现，偏高岭土地聚合物样品的抗压强度和养护时间之间基本成线性关系，因此，按照一元线性回归方程的数据计算方法，另一元线性方程的表达式为y=bx+a(1)为了对上式中相应的参数进行求解，计算所需数据x2、y2

5、、xyi，计算结果以表2的iiiia二y-bxlxylxx根据最小二乘法的原理，系数b中的:形式表达。序号xyx2y2xyi1123.52i1i553.190423.522225.624656.384451.243329.209852.640087.604433.45161118.9025133.805536.62251341.0244183.106640.42361633.7764242.527742.24491784.2176295.688845.38642059.3444363.049948.38812340.6244435.42101053.481002860.1104534.80工5

6、5378.3138515200.21492350.72由上表可得x=55/10=5.5,y=378.31/10=37.831；式(1)中两个系数a和b分别为lxX=昱x210x2=385-10x5.52=82.5xxii=1l=近xy10xy=2350.72-10x5.5x37.831=270.051xyiii=1lyy=兰y2102=15200.2149-10x37.8312=888.36939yyii=1l因此系数b=亠=270.051/82.5=3.278909091lxxa=ybx=37.831-3.278909091x5.5=19.797即所求的一元线性回归方程为y=19.797+3

7、.278909091x将上式精确到千分位，则为y=19.797+3.279x4一元线性回归方程式的可靠性检验该一元线性回归方程的可靠性，依据参考文献2，可以通过以下三种方法进行显著性检验。(1)F检验法：(取选定的显著性水平a=0.05，即置信概率为95%)Ho：b=0,H1：bO(n2)S2F检验法中H0的拒绝域为、'R>F(1,n2),其中S2和S2分别表示该数据0S21-aREE的回归平方和与残差平方和,且有：S2=b2lxx=3.2792x82.5=887.0268825S2=lyyb2lxx=888.36939-887.0268825=1.3425075Eyyxx(n2

8、)S2因此：R=8x887.0268825/1.3425075=5285.792F(1,n2)=F(1,8)=5.32S21-a0.95E成立。则拒绝H。，说明偏高岭土基地聚合物的养护时间与抗压强度之间的线性关系显著。(2)t检验法：(取选定的显著性水平Q=0.05，即置信概率为95%)bJ(n2)1若采用t检验法，则H0的拒绝域为竺>t(n2)。0s1-a2而竺=3.279x：8x82.5/辺.3425075=72.703450731(n2)t(8)=2.306S_,a=0.9751-E2成立。因此拒绝H0,说明偏高岭土基地聚合物的养护时间与抗压强度之间的线性关系显著。(3)相关系数(

9、r)检验法：(取选定的显著性水平a=0.05，即置信概率为95%)若采用相关系数检验法，则H0的拒绝域为r>r(n2)。因为0ar=270.051/888.36939x82.5=0.998>r(n2)=r(8)=0.632成立，因此拒lla0.05yyxx绝H0,说明偏高岭土基地聚合物的养护时间与抗压强度之间的线性关系显著。5回归方程式的预测与控制根据计算出的一元线性回归方程式y=19.797+3.279x，可以快速方便地预测偏高岭土基地聚合物养护时间所对应的抗压强度，并能估计养护时间所对应抗压强度的区间。例如当养护时间为15d时，抗压强度的预测值为y=19.797+3.279x=

10、19.797+3.279x15=68.982Mpa.此时，置信度为95%的预测区间为-（x0），y+（xo），其中5（x）=c（x）t（n2），又因为s（x）=oo1ao1-2.1（X一x）21+onlXX1（15-5.5）21+忆+825丄工3425075=0.4097（n一2）8=1.4812，t（n一2）=t（8）=2.036，a1a0.975125（x）=a（x）t（n一2）=0.4097x1.4812x2.036=1.2355o0-a12=（67.7465，70.2175）即有95%的把握估计当偏高（y-5（x）,y+5（x）从而得到00岭土基地聚合物养护时间为15d时，对应的抗压强度的范围在67.7465Mpa到70.2175Mpa之间。综上所述，偏高岭土基地聚合物的养护时间与其拉抗压强度的关系呈线性相关，并在28d以内，养护时间对抗压强度有着显著的影响，但在28d以后，由于地聚合物样品各方面的性能均已稳定，养护时间对抗压强度的影响逐渐减小，需重新选取回归方程对强度进行预测。6结束语以上运用一元线性回归的分析方法，构建了简单的分析模型，求出模型参数，并