信检测与分析答案

1、1如图所示一个理想的低通滤波器其传递函数H),输入一个零均值、方差为b2的白噪声(不相关随机变量)序列w(n)。0,1) 求解输出序列X(n)的功率谱密度P()并画出其图形;xx2)证明X(n)的自相关R(m)可以表达为:xxsin(吧2)R(m)=2b2xxm/2并画出其图形，根据图形说明该滤波器的作用；3)用两种方式说明E(X2)二2b2:A. E(X2)=r(0)xx1平B. E(X2)=JP)de2兀xx_兀解:1)由题意可知，零均值白噪声的功率谱为P()=b2，传递函数为H(°),www兀兀<®<22其它贝V，输出序列X(n)的功率谱密度Pxx(W)为

2、：4b2,P()=1H(e；®)|2b2=<wxx其功率谱密度图形如下图所示:2)因为自相关和功率谱密度互为傅里叶逆变换则：1兀/21兀/24021R(m)=P()ejmd二4o2ej®md二w购2兀xx2兀w2兀口jm兀/2兀/24o21兀兀4o21顾詁j2m-ej2m)=2Sin巧2sinmn/2二2022wm兀/2xxR(m)图为：由图形可知,该滤波器的波形为3)根据题意可得：sinmKZsinmKAA.E(X2)二r(0)二2o22|二lim2o22二2o2xxwm兀wm兀w/2心°/2B.E(X2)=fP)=丄f2d®=2c22兀xx2兀

3、，ww_兀一兀：22.如图所示，滤波器由下式所述y二x-x，其中输入是一个确定性信号nnn-1s二bn(b是个已知常量)和零均值随机白噪声序列d组成，其中噪声方差为c2,nn使用叠加原理计算：1) 计算输出中信号的成分并绘图；2) 计算噪声功率(即输出中噪声成分的方差)；3) 计算输出中噪声成分的功率谱密度函数并绘图4) 描述该滤波器的作用并评价其效果。解：1)当输入信号Sn=牛T时，由题可知UP一J-1，则y二bnb(n1)二bn输出信号图为：y(n)2) 对于均值为零的白噪声dn，其功率谱为Pdd=C2，输入白噪声后，输出功率谱为P(®)=1H(e>o)|2c2yy对于给滤

4、波器而言y=x-x，对其做Z变换，可得H(z)=1-Z-1nnn-1则H(ej©)=1e-j©IH(ej©)I2=H(ej©)H(e-j©)(1ej©)(1ej©)2ej©e-j©22cos©IH(ej©)I2H(ej©(e-j©)(1ej©)(1e-j©)2ej©e-j©22cos©则输出中噪声成分的功率谱密度函数为：P(©)=IH(ej©)I2Q2(22cos©)Q2yy输出中噪声成

5、分的方差为:r(0)-丄fxx2兀1P(©)d©yy2兀f(22cos©)o2d©223) 由2)可得，输出函数的功率谱密度函数为：P(©)=IH(ej©)I2q2(22cos©)Q2yy功率谱密度函数的图形为：3.一个AR模型描述的随机信号的功率谱密度函数定义如下P(©)xxq2©IA(©)I225IIe-j©+0.5ej2©I2其中q2表示输入序列的方差。©1) 当用白噪声激励该AR系统时，计算该系统的差分方程；2) 若在该系统后接一白化滤波器H'(z)

6、，求H'(z)的系统函数;解：1)当用才噪声激励该AR系统时，输出功率谱密度为P(®)|H(ej®)|2b2xx®根据已知条件得b2=25IH(ej®)I2=®I1e-+0.5e-j2®|2则系统的频率响应为：1H(ej®)=1e一j®+05e一j2®传递函数为：1H(z)=1z-1+05z-2所以有X(z)=W(z)-W(z)z-i+0.5W(z)z-2故系统的差分方程为：x(n)=w(n)一w(n一1)+0.5w(n一2)2)若在系统后加一白化滤波器H'(z),则白化滤波器的系统函数为

7、:H'(z)=1一z-1+0.5z-2H11z-1+0.5z-24.已知一ARMA模型描述的随机信号X，其自相关为R(m)，且其Z变换Snxxxx定义为：(z/3)(z-3)1S(z)=93，-<IzI<2xx(z-12)(z-2)21) 若输入为白噪声序列，请给出该ARMA模型所描述系统的传递函数H(z)，并回答：该系统是唯一的吗?2) 对于序列X(n)，求解其对应的稳定的白化滤波器。解：1)信号自相关的z变换为S(z)=|H(ej®)|2b2=H(z)H(z-1)|b2xxwz=ej®w9(z-13)(z一3)9(z-丿3)(!；-町3(z-止-13

8、)27(z-12)(z-2)(z-12)(1z一12)2(z-12)(1z一32H(z)H(z-1)(z-13)(1z3)(z-12)(1z一12)2则传递函数有：因此，该系统不是唯一的。H(z)2)白化滤波器的传递函数H'(z)=-，其极点和零点都要在单位圆内，对于1)中的4种系统的传递函数，其零极点在单位圆只有H(z)，所以白化滤波器为5. 已知一个由ARMA模型描述的随机信号，其定义如下x(n)=1.6x(n一1)一0.63x(n一2)+w(n)+0.9w(n一1)其中w(n)是一个方差为b2的白噪声序列。1) 确定该系统对应的白化滤波器及其零极点2) 求x(n)的功率谱密度函数

9、；解：1)根据题意，对x(n)做Z域变换X二1.6z-iX一0.63z-2X+W(z)+0.9z-W可得传递函数为：()X1+0.9z-1H(z)二二W(z)1-1.6z-1+0.63z-2则该系统对应的白化滤波器为：1W(z)1-1.6z-1+0.63z-2H'(7)=H(z)X(z)1+0.9z-1白化滤波器对应的零极点为：零点：z0.9,z0.712极点：z0.93)由1)知H(z)二X二1+0.9z_1W(z)1-1.6z-i+0.63z-2则：IH(ejw)|2=H(z)H(z-i)=H(ejw)H(e-jw)1.81+0.9e-j®+0.9ej®(1.8

10、10.9e-j®0.9ej®)(1.490.7e-j®0.7ej®)_1.81+1.8cos®(1.81-1.8cos®)(1.49一1.4cos®)所以X(n)的功率谱密度函数为：P(®)_IH(ejw)|2Q2_xxw1.81+1.8cos®Q2(1.81-1.8cos®)(1.49-1.4cos®)w6. 已知一个由AR模型描述的随机信号，其定义如下x(n)_x(n一1)一0.6x(n一2)+w(n)其中w(n)是方差为q2的白噪声，运用Yule-Walker方程求解如下自相关的

11、值®rxx(0),rxx(1),rxx(2)xxxxxx解：由题意x(n)_x(n-1)-0.6x(n-2)+w(n)通过移项可得x(n)一x(n一1)+0.6x(n一2)_w(n)由Yule-Walker方程可得:r(0)xxr(1)xxrxx则方程组为：r(-1)xxr(0)xxr(1)xxr(-2)xxr(-1)xxr(0)xxQ2w00'r(0)-r(-1)+0.6r(-2)_q2xxxxxxw<r(1)-r(0)+0.6r(-1)_0xxxxxxr(2)-r(1)+0.6r(0)_0xxxxxx上式解得Q2r(0)二wxx0.39Q2r(1)二wxx0.624

12、Q2r二wxx15.67设期望响应d是一个AR(1)过程，参数a=0.8458，激励零均值白噪声的方n1n差q2二0.27，由白噪声驱动的产生该过程的传递函数为H二。d经11+0.8458z-1n过一个信道后，其中信道传输函数为H(z)同样为AR(1)模型，在信道输出端加2入零均值白噪声v,其方差Q2=0.1信道输出x二s+v，和v不相关，且nvnnnnn11-0.9456z-11)设计N=2的维纳滤波器以估计d；n2)求最小均方差误差。解：1)由白噪声驱动的产生该过程的传递函数为H二11+0.8458z-1则ddnnn-1d的自相关r(m)=ndda/m/Q21-a2w=0.8458/m/x0.271-0.84582沁0.8458/m/则r(0)二1,ddr(1)二0.8458dd又因为d经过一个信道后，其中信道传输函数为H(z)同样为AR(1)模型则2s二0.9458s+dnn-1ns的自相关r(m)二r(m)*r(m)nssh2h2dd0.9458/m/10.94582*0.8458