第一章_数制与码制

1、1.2 带符号数的代码表示带符号数的代码表示1.4 编码编码 1.1 数制数制1.3 数的定点和浮点表示数的定点和浮点表示1.1 数制数制 多位数中每一位的构成（指用哪些码）方法以多位数中每一位的构成（指用哪些码）方法以及从低位到高位的进位规则称为及从低位到高位的进位规则称为数制数制。 日常生活最常用的是十进制、七进制（星期）等日常生活最常用的是十进制、七进制（星期）等。 数字电路中使用的是二进制和十六进制数字电路中使用的是二进制和十六进制。 十进制使用十个数码：十进制使用十个数码：0 09 9表示方式表示方式： (N)(N)1010 ，(N)(N)D D计数的基数是计数的基数是1010，进位

2、规则是，进位规则是“逢十进一逢十进一”例：例：(3456.789)(3456.789)1010位号位号 3 2 1 0 -1 -2 -33 2 1 0 -1 -2 -3十进制数十进制数位权位权 10103 3 10 102 2 10101 1 10100 0 1010-1 -1 1010-2-2 10 10-3-31010i i 称为第称为第i i位的权位的权注意：小数点的前一位为第注意：小数点的前一位为第0 0位，即位，即i=0i=0 .任意一个十进制数任意一个十进制数D D可按可按“权权”展开为：展开为： D=D=k ki iX10X10i i任意一个十进制数任意一个十进制数N N可按位计

3、数法表示为：可按位计数法表示为：(N)(N)1010= =(a(an-1n-1a an-2n-2aa1 1a a0 0.a.a-1-1a a-2-2aa-m-m) )1010任意一个十进制数任意一个十进制数N N可按权展开式表示为：可按权展开式表示为：(N)(N)1010= =a an-1n-11010n-1n-1+a+an-2n-21010n-2n-2+a+a1 110101 1+a+a0 010100 0+a+a-1-11010-1-1+a+a-2-21010-2-2+a+a-m-m1010-m-m = =a ai iX10X10i ii=-mi=-mn-1n-12 2、二进制、二进制 计

4、数的基数是2，进位规则是“逢二进一”其中k ki i是第i位的数码（0或1）2 2i i 称为第i i位的权 如：( (1 10 01 10 0. .1 11 1) )2 2= =1 12 23 3+ +0 02 22 2+ +1 12 21 1+ +0 02 20 0 + +1 12 2-1-1+ +1 12 2-2-2 = =（10.75)10.75)1010下标2和10分别代表二进制数和十进制数，有时也用B（Binary）和D（Decimal）代替下标2和10 如：1010.11B=10.75D1010.11B=10.75D任意一个二进制数D可按“权”展开为： D=D=k ki iX2X

5、2i i二进制仅使用0 0和1 1两个数码表示方式表示方式： (N)(N)2 2 ，(N)(N)B B 二进制数的运算规则如下：二进制数的运算规则如下： 加法规则加法规则 0+0=0 0+1=1 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 1+0=1 1+1=0 减法规则减法规则 0-0=0 1-0=1 0-0=0 1-0=1 1-1=0 0-1=1 1-1=0 0-1=1 乘法规则乘法规则 0 00=0 00=0 01=0 1=0 1 10=0 10=0 11=1 1=1 除法规则除法规则 0 01=0 11=0 11=11=1 “逢二进一逢二进一”“借一有二借一有二” 例如：例如：二进

6、制数二进制数A=11001A=11001，B=101B=101，则，则A+BA+B、A-BA-B、A AB B、A AB B的运算为的运算为 因为二进制中只有因为二进制中只有0 0和和1 1两个数字符号，可以用电子器件两个数字符号，可以用电子器件的两种不同状态来表示一位二进制数。例如，可以用晶体管的两种不同状态来表示一位二进制数。例如，可以用晶体管的截止和导通表示的截止和导通表示1 1和和0 0，或者用电平的高和低表示，或者用电平的高和低表示1 1和和0 0等。等。所以，所以，在数字系统中普遍采用二进制。在数字系统中普遍采用二进制。 二进制的优点二进制的优点: : 运算简单、物理实现容易、存储

7、和传送运算简单、物理实现容易、存储和传送方便、可靠。方便、可靠。 二进制的缺点：二进制的缺点：数的位数太长且字符单调，使得书写、数的位数太长且字符单调，使得书写、记忆和阅读不方便。记忆和阅读不方便。 因此，人们在进行指令书写、程序输入和输出等工作时，因此，人们在进行指令书写、程序输入和输出等工作时，通常采用八进制数和十六进制数作为二进制数的缩写。通常采用八进制数和十六进制数作为二进制数的缩写。 3 3、八八进制进制 计数的基数是8，进位规则是“逢八进一”其中k ki i是第i位的数码（07 7）8 8i i 称为第i i位的权 任意一个八进制数D可按“权”展开为： D=D=k ki iX X8

8、 8i i八进制使用0 07 7共共8 8个个数码表示方式表示方式： (N)(N)8 8 ，(N)(N)O O4 4、十六进制、十六进制 任意一个十六进制数D可按“权”展开为：D=D=k ki iX16X16i i 如：(2 2F F. .8 8)1616= =2 216161 1+ +151516160 0+ +8 81616-1-1= =(47.547.5)1010二进制、十六进制数广泛应用于数字电路计数的基数是16，进位规则是“逢十六进一” 十六进制使用0 09 9、A A（10）、B B（11）、C C（12）、D D（13）、E E（14）、F F（15）共16个数码表示方式表示方式

9、： (N)(N)1616 ，(N)(N)H H5 5、数制转换、数制转换(1) (1) 非十进制非十进制-十进制转换十进制转换将二进制数按“权”展开，然后把所有各项按十进制数相加a a. .二进制二进制十进制转换十进制转换例：(1 10 01 11 1)2 2= =1 12 23 3+ +0 02 22 2+ +1 12 21 1+ +1 12 20 0= =(1111)1010请熟记2 2的010次方所对应的十进制数：1 1，2 2，4 4，8 8，1616，3232，6464，128128，256256，512512，1024 1024 (1 10 01 11 10 0. .1 10 01

10、 1)2 2= =1 12 24 4+ +0 02 23 3+ +1 12 22 2+ +1 12 21 1+ +0 02 20 0+ +1 12 2-1-1+ +0 02 2-2-2+ +1 12 2-3-3= =(22.62522.625)1010b b. .八八进制进制十进制转换十进制转换将八进制数按“权”展开，然后把所有各项按十进制数相加例：(127.53)8=182+281+780+58-1+38-2 =(87.671875)10c c. .十六进制十六进制十进制转换十进制转换 只要将十六进制数按公式展开，然后把所有各项按十进制数相加，即转换成十进制数。也可先将十六进制数转换成二进制

11、数，再转换成十进制数。例：(3F)16或：(3F)16=(111111)2=125+124+123+122+121+120=(63)10=3161+15160=(63)10例：例：(5C1.0B)16=5162+12161 +1160 +016-1 +1116-2 =(63)10(2) 十进制十进制-非十进制转换非十进制转换a a. .十进制十进制二进制转换二进制转换 十进制整数(N)10转换成等值二进制数(Kn-1Kn-2K1K0)2，可写成下列等式：(N)10=Kn-12n-1+Kn-22n-2+K121+K020=2(Kn-12n-2+Kn-22n-3+K120) +K0 十进制小数(N

12、)10转换成等值二进制数(0.K-1K-2K-m)2，可写成下列等式：(N)10=K-12-1+K-22-2+K-m2-m2(N)10=K-1+(K-22-2+1+K-m2-m+1 ) 2 44 余数 低位 2 22 0=K0 2 11 0=K1 2 5 1=K2 2 2 1=K3 2 1 0=K4 0 1=K5 高位 0.375 2 整数 高位 0.750 0=K1 0.750 2 1.500 1=K2 0.500 2 1.000 1=K3 低位整数部分采用除除2取余取余法，先得到的余数为低位，后得到的余数为高位。小数部分采用乘乘2取整取整法，先得到的整数为高位，后得到的整数为低位。所以：(

13、44.375)10(101100.011)2方法： 除除2取余、乘取余、乘2取整取整原理：将整数部分和小数部分分别进行转换。 整数部分采用除2取余法，小数部分采用乘2取整法。转换后再合并。b b. .十进制十进制八八进制转换进制转换整数部分“除除8取余取余”，小数部分“乘乘8取整取整”。c c. .十进制十进制十六十六进制转换进制转换整数部分“除除16取余取余”，小数部分“乘乘16取整取整”。将十进制数展成ki2i的形式 例：(123)10=64+32+16+8+0+2+1 注意：注意：不要漏掉不要漏掉0得到二进制数:knkn-1k1k0（有小数时还会有k-1）=(1111011)2=164+

14、132+116+18+04+12+11请熟记2的010次方所对应的十进制数：1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024 (3) (3) 二进制二进制十六进制转换十六进制转换 十六进制实际上也应属于二进制的范畴例：（10111011001.111）2将4位二进制数（恰好有16个状态）看作一个整体时，它的进位关系正好是“逢十六进一逢十六进一”所以只要以小数点为界，每4位二进制数为一组（高位不足4位时，前面补前面补0，低位不足4位时，后面补后面补0），并代之以等值的十六进制数，即可完成转换 =（5D9.E）16=（0101，1101，1001.1110）2(4) (4) 十六

15、进制十六进制二进制转换二进制转换将每1位十六进制数代之以等值的4位二进制数例：(8AF.D5)16=(100010101111.11010101) 2 几种进制数之间的对应关系几种进制数之间的对应关系 十进制数 二进制数 八进制数 十六进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

16、A B C D E F 1.2 带符号数的代码表示带符号数的代码表示 数由两部分组成：符号和绝对值。 机器中使用的二进制数码的最高位最高位表示符号，即符号位，且0表示正，1表示负，其余各位用来表示绝对值，并称为数值位。 如： N1 = +1001 N2= - 10010 1 1001 1001 将数值部分及符号部分统一用代码表示的带符号数称为机器数机器数。例：01001，11001 把原来的数值形式称为真值真值。 例：+1001，-1001 计算机中的三种码制：原码、反码和补码。 原码表示方法是将符号位用数值原码表示方法是将符号位用数值0表示正号，表示正号，1表示负号表示负号。 如： N1 =

17、 +1001101 N2= - 1001101 N1原 = 01001101 N2原=11001101 一个一个n位的整数位的整数N的原码（包含一位符号位）一般表示式为：的原码（包含一位符号位）一般表示式为：N原= N 0N2n-1 2n-1-N -2n-1N0 如： N= -111， 则 N原=24-1-N=1000-(-111)=1111 定点小数原码一般表示式为：定点小数原码一般表示式为：N原= N 0N1 1-N -1N0 如： N= -0.101， 则 N原=1-N=1-(-0.101)=1.101 定点小数，通常小数点定在最高定点小数，通常小数点定在最高位位的左边，这时，数值小于的

18、左边，这时，数值小于1. 从原码的一般表示式中可以看出： （1）当N为正数时，N原和N的区别只是增加一位用0表示的符号位，由于在数的左边增加一位0对该数的数值并没有影响，所以N原就是N本身。 （2）当N为负数时，N原和N的区别是增加一位用1表示的符号位。 （3）在原码表示中，有两种不同形式的0，即： +0原=0.00 - 0原=1.00 原码的运算： 符号位仅仅用来表示数的正、负，不参加运算不参加运算。 参加运算的只是数值部分。 两数相加，如果同号，则数值相加，符号不变；如果异号，则进行减法，相减时，须先比较两数绝对值大小，然后从绝对值较大的数中减去绝对值较小的数，差值的符号与绝对值较大的数的

19、符号一致。 【例例1-6】 试利用原码求26-21，设字长为8位。00011010 00010101 - 00000101 26-21原=00000101 【例例1-7】 试利用原码求21-26，设字长为8位。00011010 00010101 - 00000101 21-26原=10000101 缺点：缺点： 采用原码运算，为了判断是同号还是异号、比较数的绝对值大小等，增加机器中设备和降低运算速度。 0有两种不同形式的表示方式。 正数：反码与原码相同； 负数：反码是将原码的数值位按位取反按位取反，即“1”变“0”，“0”变“1”，而符号位为1。 例： N1=+1001101， 则 N1反=0

20、1001101 例： N2= -1001101， 则 N2反=10110010反码的形成规则是：N反= N 0N2n-1 (2n-1)+N -2n-1N0 a. 一个n位的整数N(包含符号位)的反码表示式为：N反= N 0N1 (2-2-m)+N -1N0 b. 定点小数，若小数部分的位数为-m，反码表示式为： 例： N=-1001，则 N反=25-1+N=100000-1+(-1001)=10110 例： N=-0.1001，则 N反=2-2-4+N=10-0.0001+(-0.1001)=1.0110从反码的一般表示式中可以看出： (1) 当N为正数时，N反与N原相同； (2) 当N为负数

21、时，N反符号位为1，数值部分是将原码数值位按位取反； (3) 在反码表示中，有两种不同形式的0，即： +0反=0.00 - 0反=1.11反码的运算： (1) 把A与B(减去运算为-B)均表示成反码形式； (2) 两个反码相加/减，且把符号位也看成二进制数的最高位参与运算参与运算； (3) 若结果中最高位有进位，则将该进位与和数的最低位再相加(循环进位)。运算结果仍为反码。 设A和B依次为被加数（或被减数）或加数（或减数）。运算规则是： A+B反=A反+B反 A-B反=A反+-B反【例例1-8】 试利用反码求26-21，设字长为8位。00011010 11101010 + 100000100

22、26-21反=26反+-21反=00000101 26反=00011010 -21反=11101010 26反+-21反：1 + 00000101 【例例1-9】 试利用反码求21-26，设字长为8位。00010101 11100101 + 11111010 21-26反=21反+-26反=11111010 21反=00010101 -26反=11100101 21反+-26反： 正数：补码与原码相同； 负数： 符号位为1，数值位按位取反，然后在最低有效位上加1 。 例： N1=+1001101， 则 N1补=01001101 例： N2=-1001101， 则 N2补=10110011补码的

23、形成规则是：N补= N 0N2n-1 2n+N -2n-1N0 a. 一个n位的整数N(包含符号位)的补码表示式为：N补= N 0N1 2+N -1N0 b. 定点小数，补码表示式为： 例： N=-1001，则 N补=25+N=100000+(-1001)=10111 例： N=-0.1001，则 N补=2+N=10+(-0.1001)=1.0111从补码的一般表示式中可以看出： (1) 当N为正数时，N补与N原相同； (2) 当N为负数时，N补符号位为1，数值部分是将原码数值位按位取反然后加1； (3) 在补码表示中，0的表示式是惟一的，即： +0补=0.00 - 0补=0.00补码的运算：

24、 设A和B依次为被加数（或被减数）或加数（或减数）。运算规则是： A+B补=A补+B补 A-B补=A补+-B补 运算步骤与反码相似，但不进行循环移位，进位自动丢失。【例例1-10】 试利用补码求26-21，设字长为8位。00011010 11101011 + 100000101 26-21补=26补+-21补=00000101 26补=00011010 -21补=11101011 26补+-21补：（自动丢失） 【例例1-11】 试利用补码求21-26，设字长为8位。00010101 11100110 + 11111011 21-26补=21补+-26补=11111011 21补=000101

25、01 -26补=11100110 21补+-26补： 在计算机中，带符号数均用补码表示在计算机中，带符号数均用补码表示和存储和存储。原因在于，原因在于，使用补码，可以将符号位和数值位统一处理，使用补码，可以将符号位和数值位统一处理，从而简化运算从而简化运算规则规则；同时，；同时，使减法运算转换为加法运算使减法运算转换为加法运算，加法和减法也可，加法和减法也可以统一处理，其转换过程都是在计数机的最底层进行的，以统一处理，其转换过程都是在计数机的最底层进行的，进进一步简化计算机中运算器的线路设计一步简化计算机中运算器的线路设计。 补码表示的两数运算后的结果依然是补码。补码表示的两数运算后的结果依然

26、是补码。 将补码再次求补，得到的结果为原码。将补码再次求补，得到的结果为原码。N补补=N原：N补补=N原： 在计算机中，带符号数均用在计算机中，带符号数均用补码补码表示。表示。 加减法几乎都采用加减法几乎都采用补码补码运算。运算。当数码表示不同的对象（或信息）时被称为代码 。如：邮政编码、汽车牌照、房间号等，它们都没有大小的含意。为了便于记忆和处理（如查询），在编制代码时总要遵循一定的规则，这些规则就叫做码制。1.4 编码编码 利用若干位二进制数码来表示一位十进制数的利用若干位二进制数码来表示一位十进制数的方法，称为十进制数的二进制编码，简称二方法，称为十进制数的二进制编码，简称二-十进十进制

27、编码，即制编码，即BCD（binary coded decimal）码。）码。 一位十进制数有一位十进制数有0-9共共10个不同数码，需用四个不同数码，需用四位二进制数才能表示。四位二进制数有位二进制数才能表示。四位二进制数有16种不同种不同的组合。的组合。 从从16种组合状态中取种组合状态中取10种状态来表示种状态来表示0-9的编的编码。码。(1) 8421BCD码码 84218421码中四位二进制数码从左到右的权依次为：码中四位二进制数码从左到右的权依次为：8 8、4 4、2 2、1 1，因此被称为，因此被称为8421BCD8421BCD码。码。 它是一种有权码。它是一种有权码。 8421

28、8421码是最常用的码是最常用的BCDBCD码。码。 另外，每个代码的数值恰好等于它所表示的十进另外，每个代码的数值恰好等于它所表示的十进制数的大小。制数的大小。 84218421码具有奇偶特性，当十进码具有奇偶特性，当十进制数为奇数值时，其所对应的二进制数为奇数值时，其所对应的二进制码的最低位为制码的最低位为1 1；当十进制数为；当十进制数为偶数值时，其所对应的二进制码的偶数值时，其所对应的二进制码的最低位为最低位为0.0.因此，采用因此，采用84218421码容易码容易判别奇偶。判别奇偶。注意：注意： 8421 8421码中没有码中没有10101111代码。代码。 两个两个84218421

29、码相加，和超过码相加，和超过1010，要进行加，要进行加6 6（01100110）校正。）校正。(2) 2421码码 2421 2421码码也是一种有权码，也是一种有权码，2421码中从左到右的权依次为：2 2、4 4、2 2、1 1。注意：注意： a. a. 编码方案不唯一（如十进制数编码方案不唯一（如十进制数“5”“5”可以编码为可以编码为“1011”“1011”或或“0101”“0101”）；）； b. b. 0 09 9、1 18 8、2 27 7等数字编码互为按位取反结果，等数字编码互为按位取反结果，这有助于十进制的运算简化这有助于十进制的运算简化。 余余3 3码码被看成被看成4 4

30、位二进制数时，位二进制数时，它的每一个码组所它的每一个码组所表示的表示的数比相应的数比相应的84218421码组所表示的数多码组所表示的数多3 3，故称为余，故称为余3 3码。码。(3) 余余3码码2. 2. 余余3 3码与十进制数码与十进制数进行进行转换转换时时，每位十进制数，每位十进制数字字的编码的编码都应余都应余3 3。例如，。例如， (256)(256)10 10 = (0101 1000 1001)= (0101 1000 1001)余余3 3码码 (1000 1001 1001 1011)(1000 1001 1001 1011)余余3 3码码 = (5668)= (5668)10

31、 10 注意注意:1.余余3码中不允许出现码中不允许出现0000、0001、0010、1101、1110 和和1111六种状态。六种状态。 如果将两个余如果将两个余3 3码相加，所得的和将比十进制数和所对码相加，所得的和将比十进制数和所对应的二进制数多应的二进制数多6 6，因此所产生的和要进行修正之后才是正，因此所产生的和要进行修正之后才是正确的余三码。确的余三码。 修正方法是：如果相加后的和没有进位输出，则和数需修正方法是：如果相加后的和没有进位输出，则和数需要减速要减速3 3才能保持余才能保持余3 3，如果有进位输出，则和数需要加，如果有进位输出，则和数需要加3 3才才能保持余能保持余3

32、3。如果有进位，则结果加如果有进位，则结果加3 3；如果无进位，则结果；如果无进位，则结果减减3 3。例如：例如：2+3=52+3=5 10111011+ + 3 3 （01100110）余余3 3码码 5 5 （10100000）余余3 3码码 2 2 （01010101）余余3 3码码- - 00110011例如：例如：8+3=118+3=11+ + 3 3 （01100110）余余3 3码码+ + 00110011 1 1000100011 1 1 1 1 1（01010000）余余3 3码码 8 8 （1011011 1）余余3 3码码 余余3 3循环码循环码是一种无权码，其是一种无权

33、码，其特点特点是：每两个相邻编码是：每两个相邻编码之间只有一位码元不同。这一特点使数据在形成和传输时不之间只有一位码元不同。这一特点使数据在形成和传输时不易出现错误。易出现错误。种类编码十进制数几种常见的BCD码(1) 奇偶校验码奇偶校验码 一种通过增加冗余位使得码字中1的个数恒为奇数或偶数的编码方法，它是一种检错码。奇偶校验码奇偶校验码要传送的要传送的信息本身信息本身位数不限位数不限奇校验奇校验偶偶校验校验1100100101001001 2 2编码方式：有两种编码方式。编码方式：有两种编码方式。 奇检验：奇检验：使信息位和检验位中使信息位和检验位中“1 1”的个数共计为奇数；的个数共计为奇

34、数； 偶检验：偶检验：使信息位和检验位中使信息位和检验位中“1 1”的个数共计为偶数。的个数共计为偶数。其利用的是编码中1的个数的奇偶性作为依据，所以不能发现偶数位错误。(2) 格雷码格雷码 在一组数的编码中，若任意两个相邻的代码只有一位二进制数不同，则称这种编码为格雷码格雷码（Gray Code），另外由于最大数与最小数之间也仅一位数不同，即“首尾相连”，因此又称循环码循环码或单位距离码，单位距离码，也称做反射码反射码。 例如，按自然数递增计数，若采用8421码，则数0111变到1000时四位均要变化，而在实际电路中，4位的变化不可能绝对同时发生，则计数中可能出现短暂的其它代码（1100、1

35、111等）。在特定情况下可能导致电路状态错误或输入错误。使用格雷码可以避免这种错误。格雷码有多种编码形式。 格雷码是一种具有反射特性和循环特性的单步自补码，其循环和单步特性消除了随机取数时出现重大错误的可能，其反射和自补特性使得对其进行求反操作也非常方便，所以，格雷码属于一种可靠性编码，是一种错误最小化的编码方式是一种错误最小化的编码方式，因此格雷码在通信和测量技术中得到广泛应用。 表中典型格雷码具有代表性。若不作特别说明，格雷码就是指典典型格雷码型格雷码，它可从自然二进制码转换而来。 计算机存储和处理的数据并不都是数字，还计算机存储和处理的数据并不都是数字，还有字母、运算符号及其他特殊符号，

36、这些数字、有字母、运算符号及其他特殊符号，这些数字、字母和符号统称为字符，通常用二进制代码来表字母和符号统称为字符，通常用二进制代码来表示，即字符代码。示，即字符代码。如：如：ASCIIASCII码码。 ASCII ASCII将字母、数字和其它符号编号，并用将字母、数字和其它符号编号，并用7 7比特的二进制来表示。通常会额外使用比特的二进制来表示。通常会额外使用1 1个扩充的个扩充的比特，以便于以比特，以便于以1 1个字节的方式存储。个字节的方式存储。 000 001 010 011 100 101 110 111 000 001 010 011 100 101 110 111 NUL DEL SP 0 P NUL DEL SP 0 P 、 p p SOH DC1 ! 1 A Q a q SOH DC1 ! 1 A Q a q STX DC2 2 B R b r STX DC2 2 B R b r ETX DC3 # 3 C S c s ETX DC3 # 3 C S c s EOT DC4 $ 4 D T d t EOT DC4 $ 4 D T d t ENQ NAK % 5 E U e u ENQ NAK % 5 E U e u ACK SYN & 6 F V f v ACK SYN & 6 F V f v BEL E