圆周运动知识点及例题

1、二、匀速圆周运动的描述1线速度、角速度、周期和频率的概念线速度V是描述质点沿圆周运动快慢的物理量，是矢量，其大小为v二S二眩其方向沿轨迹切线，国际单位制中单位符号是m/s；(2) 角速度3是描述质点绕圆心转动快慢的物理量，是矢量，其大小为二兰在国际单位制中单位符号是rads；(3) 周期T是质点沿圆周运动一周所用时间，在国际单位制中单位符号是s；(4) 频率f是质点在单位时间内完成一个完整圆运动的次数，在国际单位制中单位符号是Hz；(5) 转速n是质点在单位时间内转过的圈数，单位符号为r/s，以及r/min.2、速度、角速度、周期和频率之间的关系线速度、角速度、周期和频率各量从不同角度描述质点

2、运动的快慢，它们之间有关系v=r二2吋。3.由上可知，在角速度一定时，线速度大小与半径成正比；在线速度一定时，角速度大小与半径成反比.三、向心力和向心加速度1. 向心力(1) 向心力是改变物体运动方向，产生向心加速度的原因.(2) 向心力的方向指向圆心，总与物体运动方向垂直，所以向心力只改变速度的方向.2. 向心加速度(1) 向心加速度由向心力产生，描述线速度方向变化的快慢，是矢量.(2) 向心加速度方向与向心力方向恒一致，总沿半径指向圆心；向心加速度的大小为公式：1线速度V=s/t=2nr/T2角速度=O/t=2n/T=2nf3. 向心加速度a=V2/r=2r=(2n/T)2r4. 向心力F

3、=mV2/r=m2r=mr(2n/T)2=mv=F.心合5周期与频率：T=1/f6角速度与线速度的关系：V=a7角速度与转速的关系=2nn(此处频率与转速意义相同)8主要物理量及单位：弧长s:米(m)；角度：弧度(rad)；频率匸赫(Hz)；周期T：秒(s)；转速n：r/s；半径r：米(m)；线速度V：(m/s)；角速度：(rad/s)；向心加速度：(m/s2)。二、向心力和加速度1、大小F=m2rF=mrV24兀2向心加速度a：(1)大小：a二一=w2r=r=4兀2r(2)方向：总指向圆心，时刻变化(3)rT2物理意义：描述线速度方向改变的快慢。三、应用举例(临界或动态分析问题)提供的向心力

4、需要的向心力mr=圆周运动近心运动V离心运动=0切线运动1、火车转弯如果车轮与铁轨间无挤压力，则向心力完全由重力和支持力提供mgtana=mnv=y：grtana,v增加,外轨挤压，如果v减小，内轨挤压Nsin0=mgNcos0=m32rntan0=n=2rrtan0例：小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的。（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。mgtan0=mv2Rsin0=mRsin032，由此可得:igRtan0sin0,T=2兀Rcos04、绳杆球这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率

5、最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有F+mg=罟mg即v莎，否则不能通过最高点。-_21 弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有：mg-F=mg,:,vJgR时物体受到的弹力必然是向下的；当v莎时物体受到的弹力必然是向上的；当v=/gR时物体受到的弹力恰好为零。当弹力大小Fmg时，向心力只有一解：F+mg；当弹力F二mg时，向心力等于零。四、牛顿运动定律在圆周运动中的应用（圆周运动动力学问题）v24兀21向心力

6、（1）大小：F=ma=m=m32R=mR=m4兀2f2RRT2（2）方向：总指向圆心，时刻变化2.处理方法：一般地说，当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢。做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律：F=ma在列方程时，根据物体的受力分析，在方程左边写出外界给物体提供的合外力，右边写出物体需要的向心力（可选用mv2或m2R或

7、mf竺丫r等各种形式）。【例1】如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h的A处静止开始下滑，沿轨道ABC运动后进入圆环内作圆周运动。已知小球所受到电场力是其重力的3/4,圆滑半径为R，斜面倾角为s=2R。若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h至BC少为多少？解析：小球所受的重力和电场力都为恒力，故可两力等效为一个力F，如图所_JLEC示。可知F=1.25mg，方向与竖直方向左偏下37，从图6中可知，能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过D点，若恰好能通过D点，即达到D点时球与环的弹力恰好为零。由圆周运动知识得：F=m-R即：1.25mg=

8、mdR由动能定理：mg（h-R-Rcos37）31mgx(hcot0+2R+Rsin37)=mv2o=6.5rad/s1o=2.9rad/s2所以2.9rad/so6.5rad/s联立、可求出此时的高度h。五、综合应用例析【例2】如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔0吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到0点的距离为0.2m.若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心0旋转的角速度s的取值范围.解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止一一具有与转盘相同的角速度.A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合

9、成.角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心0；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心0.对于B，T=mg对于A，T+f=Mro2T-f=Mr212【例3】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）.在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）.A球的质量为m，B球的质量为m.它们沿环形12圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为V.设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m、m：R与v应满足的关系式是.120解析：A球通过圆管最低点时，圆管对球的压力竖直向上，所以球对圆管的压力竖直向下.若

10、要此时两球作用于圆管的合力为零，B球对圆管的压力一定是竖直向上的，所以兀;尸蔦gr：圆管对B球的压力一定是竖直向下的.最高点时根据牛顿运动定律对于A球，N厂曙=化斎、V2对于B球，N+mg=m-222R又N=N12V2解得(mm+5m)g=012R12解析：设圆周的半径为R，则在C点：mg=m器【例5】如图所示，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C,滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A,试求滑块在AB段运动过程中的加速度.离开C点，滑块做平抛运动，则2R=gt2/2vt=sCABL由B到C过程：mv2/2

11、+2mgR=mv2/2CB_由A到B运动过程：2=2a由式联立得到：a=5g/4例6、如图所示，M为悬挂在竖直平面内某一点的木质小球，悬线长为L,质量为m的子弹以水平速,度V0射入球中而未射出，要使小球能在竖直平面内运动，且悬线不发生松驰，求子弹初速度V0应满足的条件。分两种情况：(1) 若小球能做完整的圆周运动，则在最高点满足：(m+M)g5gL.0m(2) 若木球不能做完整的圆周运动，则上升的最大高度为L时满足:1 m+M(m+M)V2(m+M)gL解得：V2gL.2 10m所以，要使小球在竖直平面内做悬线不松驰的运动，V0应满足的条件是:m+Mm+MV0FgL或V02m,重力加速度取10

12、m/s2，求从棒开始运动到重心恰在A正上方需多长时间？解析：棒开始与A、B两轮有相对滑动，棒受向左摩擦力作用，做匀加速运动，末速度v=伽=8X0.2v1m/s=1.6m/s，加速度a=“g=16m/s2,时间右=&=1s，此时间内棒运动位移s1=2at2=0.8m.此后棒与A、B无相对运动，棒以v=mr做匀速运动，再运动s2=ABs1=0.8m,重心到A正上方时间t2=才=05s，故所求时间t=t+t2=15s.答案：15s57a牡Z甲c图4215在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用长H=50m的悬索（重力可忽略不计）系住一质量m=50kg的被困人员B，直升机A和被困人员B以v0=10m/s的

13、速度一起沿水平方向匀速运动，如图4215甲所示某时刻开始收悬索将人吊起，在5s时间内，A、B之间的竖直距离以2=50纽单位：m)的规律变化，取g=iom/s2.(1) 求这段时间内悬索对被困人员B的拉力大小.(2) 求在5s末被困人员B的速度大小及位移大小.(3) 直升机在t=5s时停止收悬索，但发现仍然未脱离洪水围困区,为将被困人员B尽快运送到安全处，飞机在空中旋转后静止在空中寻找最近的安全目标，致使被困人员B在空中做圆周运动，如图乙所示此时悬索与竖直方向成37角，不计空气阻力，求被困人员B做圆周运动的线速度以及悬索对被困人员B的拉力.(sin37。=06,cos37=0.8)解析：被困人员

14、在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上被困人员的位移y=HT=50(50t2)=t2,由此可知，被困人员在竖直方向上做初速度为零、加速度a=2m/s2的匀加速直线运动，由牛顿第二定律可得Fmg=ma,解得悬索的拉力F=m(g+a)=600N.(2) 被困人员5s末在竖直方向上的速度为vy=at=10m/s,合速度v=；V2+v2=10；2m/s，竖直方向上的位移y=1at2=25m,水平方向的位移x=v0t=50m，合位移s=Jx2+y2=25;5m.(3) t=5s时悬索的长度V=50y=25m，旋转半径r=Vsin37，由=mgtan37。，解得V二寻恵m/s此时被困人员B的受力情况如右

15、图所示，由图可知Feos37=mg,解得=C0s37=625N.答案：(1)600N102m/s255m625N6.如图4226所示，小球从光滑的圆弧轨道下滑至水平轨道末端时，光电装置被触动，控制电路会使转筒立刻以某一角速度匀速连续转动起来转筒的底面半径为已知轨道末端与转筒上部相平，与转筒的转轴距离为厶且与转筒侧壁上的小孔的高度差为h；开始时转筒静止，且小孔正对着轨道方向.现让一小球从圆弧轨道上的某处无初速滑下，若正好能钻入转筒的小孔(小孔比小球略大，小球视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g)，求：(1) 小球从圆弧轨道上释放时的高度为H；(2) 转筒转动的角速度g1解析：(1)设小球离开轨

16、道进入小孔的时间为仇则由平抛运动规律得h=2gt2,L_R=v01小球在轨道上运动过程中机械能守恒，故有mgH=2mv2联立解得:i件,h=LR.(2)在小球做平抛运动的时间内，圆筒必须恰好转整数转，小球才能钻进小孔,即曲=2nn(n=12,3)所以m=nn：薯(“=12,3)答案：卑評2Sn样=123、圆周运动的应用专题知识简析一、圆周运动的临界问题1圆周运动中的临界问题的分析方法首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值.V2.特例（1）如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周

17、运动过最高点的情况：注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv2/Rfv临界=殛（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度V”工IRg临 能过最高点的条件：心、显，当V瓦时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力. 不能过最高点的条件：VVV（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）临界（2）如图（a）的球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力.当v=0时，N=mg（N为支持力） 当OVv

18、V你g时，N随v增大而减小，且mgN0,N为支持力. 当v=./Rg时，N=O当v/Rg时，N为拉力，N随v的增大而增大（此时N为拉力，方向指向圆心）注意：管壁支撑情况与杆子一样若是图（b）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动.因为轨道对小球不能产生拉力.注意：如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度VQvgR。要具体问题具体分析，但分析方法是相同的。水流星模型（竖直平面内的圆周运动）竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动研究物体通过最高点和最低点的情况并且经常出现临界状态。（圆周运动实例）火车转弯汽车过拱桥、凹桥3飞机做俯冲

19、运动时，飞行员对座位的压力。物体在水平面内的圆周运动（汽车在水平公路转弯，水平转盘上的物体，绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转）和物体在竖直平面内的圆周运动（翻滚过山车、水流星、杂技节目中的飞车走壁等）。万有引力卫星的运动、库仑力电子绕核旋转、洛仑兹力带电粒子在匀强磁场中的偏转、重力与弹力的合力锥摆、（关健要搞清楚向心力怎样提供的）所受重力和支持力的合力F合提供向心力。（1）火车转弯：设火车弯道处内外轨高度差为h，内外轨间距L，转弯半径R。由于外轨略高于内轨，使得火车hv2由F=mgtan0mgsin0=mg=m合LR得v0=（v0为转弯时规定速度）0L0 当火车行驶速率V等于V0时，F

20、F向，内外轨道对轮缘都没有侧压力0合向 当火车行驶V大于V0时，F，内轨道对轮缘有侧压力，F-N=mv2/R0合向合即当火车转弯时行驶速率不等于v0时，其向心力的变化可由内外轨道对轮缘侧压力自行调节，但调节程度不宜过大,以免损坏轨道。（2）无支承的小球，在竖直平面内作圆周运动过最高点情况:临界条件：由mg+T=mv2/L知，小球速度越小，绳拉力或环压力T越小，但T的最小值只能为零，此时小球以重力为向心力，恰能通过最高/7点0即mg=mv*2/R临结论：绳子和轨道对小球没有力的作用（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度），只有重力作向心力，临界速度/ 能过最高点条件：V三V临（当V三V临时，绳、轨

21、道对球分别产生拉力、压力）临临 不能过最高点条件：VvV临（实际上球还未到最高点就脱离了轨道）临最高点状态:mg+T=mv高2/L（临界条件T.=0,临界速度V临=詡,V三V临才能通过）冋1|临|临最低点状态:T2-mg=mv2/L高到低过程机械能守恒:1/2mv2=1/2mv亠2+mgh低低LT2-T1=6mg（g可看为等效加速度）半圆：mgR=1/2mv2T-mg=mv2/R（3）有支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点情况:U2当V=0时，N=mg（可理解为小球恰好转过或恰临界条件：杆和环对小球有支持力的作用（由mg-N=陀知）好转不过最高点） 当0vN0 当v=gR时，N=0 当v、

22、gR时，N向下（即拉力）随v增大而增大，方向指向圆心。当小球运动到最高点时，速度v亦时，受到杆的作用力N（支持）但N莎时，小球受到杆的拉力N作用恰好过最高点时，此时从高到低过程mg2R=l/2mv2低点：T-mg=mV2/R=T=5注意物理圆与几何圆的最高点、最低点的区别（以上规律适用于物理圆，不过最高点，最低点,g都应看成等效的）2解决匀速圆周运动问题的一般方法（1）明确研究对象，必要时将它从转动系统中隔离出来。（2）找出物体圆周运动的轨道平面，从中找出圆心和半径。（3）分析物体受力情况，千万别臆想出一个向心力来。（4）建立直角坐标系（以指向圆心方向为x轴正方向）将力正交分解。v22兀5)建

23、立方程组Q工F=m=m2R=m()2RxRT工F=0y3.离心现象离心运动概念：做匀速圆周运动的物体，在所受合力突然消失或者不足于提供圆周运动的所需的向离心的运动的条件逐渐提供给圆心的做圆周运动的向心称不足或消运动（离心运动两种现象） 当F合=0时，物体沿切线方向飞出。口v2 当FVms2r或FVm时，物体逐渐远离圆心。合合r离心现象的本质物体惯性的表现“远离”不能理解为沿半径方向“背离心现的实例：用提供的力与需要的向心力的关系角度解释离心现象应用:雨伞、链球、洗衣机脱水筒脱水、离心分离器、离心干燥器、离心测速计等离心运动的应用和防止措施应用:增大线速度V或角速度3；减小提供的向心力F供供防止:减小线速度V、角速度3或转速；增加提供做圆周运动所需的向心力F供供（1）离心运动的概念：做匀速圆周运动的物体，在所受合力突然消失或者不足于提供圆周运动的所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动称作为离心运动.注意：离心运动的原因