天体运动中天体质量和密度的估算与天体表面重力加速度问题(解析版)

1、天体表面重力加速度问题与天体质量和密度的估算一、天体表面上的重力加速度问题重力是由于物体受到地球的万有引力而产生的，严格说重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力约等于万有引力，即mg=GR2m，这样重力加速度就与行星质量、半径联系在一起，高考也多次在此命题。计算重力加速度的方法(1) 在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mMGMmgGRi，得gR2(2) 在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度为gf，一GmM,GMmg_R+h2,得,g_R+h2R+h2R2(3) 其他星球上的物体，可参考地球上的情况做相

2、应分析.【典例1】宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m,距地面高度为h,地球质量为M,半径为R,引力常量为G,则飞船所在处的重力加速度大小为()A.0B.GMR+h2GMmR+h2D.GMh2【解析】飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即GMmR+h=mg,得g=GMR+h2,选项B正确。【答案】B【典例2】假设有一火星探测器升空后，先在地球表面附近以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后以线速度v'在火星表面附近环绕火星飞行。若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1：2

3、,密度之比为5:7。设火星与地球表面的重力加速度分别为g'和g。下列结论正确的是()A.g':g=1：4B. g':g=7：10C.v':v=D.v':v=【答案】CGAT【解析】在地球表面附近，万有引力等于重力，即瑠=帆G解得尸霊在火星表面附近，万有引力等于重力，即玮寻二叱解得g-7；y赵二卫二p扣=瓠用，火星与地球密度之比0：p=5：儿半径之比卅：疋=1：3联立解得呂；=5：14,选项扎E错误由万有引力提供向心力，则穿F，可得探测器在火星表面附近环绕火星飞亍的线速度与採测器在地域表面附近环绕地球飞行的线速度选项C正确，D错误。in=14'2-

4、【典例3】若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体,它们在水平方向运动的距离之比为2：/7。已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R。由此可知,1a.2rC.2R该行星的半径约为（）BlRd.¥r【答案】C【解析】做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，即x=v0t，在竖直方向上做自由落体运动，即h=|gt2,所以X=V°两种情况下，物体抛出的速度相同，高度相同，所以|行=7,根据公M行MmGMgR274'式GMmm=mg可得g=GRM，故=M"=7,解得R行=2R，故C正确。g地M地丁R2地【跟踪短训】1宇航

5、员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原地。已知该星球的半径与地球半径之比为R貝:星r地=1：4,地球表面重力加速度为g,设该星球表面附近的重力加速度为g，空气阻力不计。贝y（）A. g'：g=5：1B.g'：g=5：2C.M:M=1:20D.M:M=1:80星地星地【答案】D【解析】由速度变化的对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间7=牛，5t=2V0，因此得=71=5,ggg5t5A、B错误；由GR=mg得M=gR，因而着星=喘=（4）2=80,C错误，D正确。"地

6、9;“地2. 有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的（忽略其自转影响）（）A.fB.4倍C.16倍D.64倍【答案】DGMM3M9g3M（g【解析】天体表面的重力加速度g=-R2，又知P=V=4nR3，所以M=16n2p2G3，故M星=lg星J3=64°地9地D正确。3. 热爱天文科学的某同学从网上得到一些关于月球和地球的信息，如下表中所示。根据表格中数据,可以计算出地球和月球的密度之比为（）月球半径R0月球表面处的重力加速度g0地球和月球的半径之比R_4Ro4地球表面和月球表面的重力加速度之比6goA.3:2B

7、.2：3C.4：1D.6：1【答案】A【解析】在星球表面附近，万有引力等于重力，即G瞥畑解得星球质量心營地球和月球的底量之比誥=訂春由密度公式卫=善体积公式卩=討?3联立解得地球和月球的密度之匕曙=守等选项心正确勺4. 据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星。假设该行星质量约为地球质量的6.4倍，半径约为地球半径的2倍。那么，一个在地球表面能举起64kg物体的人，在这个行星表面能举起的物体的质量约为（地球表面重力加速度g=10m/s2）（）A.40kgB.50kgC.60kg【答案】AD.30kg【解析】在地球表面,GMmGM万有引力近似等于重力呀一mg，得gGM，因

8、为行星质量约为地球质量的6.4倍，其半径约为地球半径的2倍，则行星表面重力加速度是地球表面重力加速度的1.6倍，而人的举力m64可认为是不变的，则人在行星表面所举起的物体的质量为：m=1°=16kg=40kg,故A正确。5科幻大片星际穿越是基于知名理论物理学家基普索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的。电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们Mc2看到了迄今最真实的黑洞模样。若某黑洞的半径R约为45km,质量M和半径R的关系满足斎=芫（其中c=3x108m/s，G为引力常量），则该黑洞表面的重力加速度约为（）A.108m/s2B.1

9、010m/s2C.1012m/s2D.1014m/s2【答案】C【解析】黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，GMmMc2设黑洞表面的重力加速度为g,对黑洞表面的某一质量为m的物体，WGMm=mg，又有M=2G，联立解得C2g=2R，代入数据得重力加速度约为1012m/s2，故选项C正确。6.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（）B.1+R【答案】A根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部物体的引力为零。设地面处的重力扣速度为6地球质量対S

10、地球表面的物体用受到的重力近似等于万有引力故就壬=嗜设矿井底部处的重力加速度为乱等敦'地球“的质量为叭其半径6乳则矿井底部处的吻体剧受到的重力吨二晋,又jV=pVp-扣胚二-好、麻立解得：二1£亠对°7.月球是离地球最近的天体，已知月球质量为M,半径为R,引力常量为G,若忽略月球的自转，则关于在月球表面所做的实验，下列叙述正确的是（）A.把质量为m的物体竖直悬挂在弹簧测力计下，静止时弹簧测力计的示数为譽B以初速度v0竖直上抛一个物体，则物体经时间2nGM落回原处C. 把羽毛和铁锤从同一高度同时释放，则铁锤先落地D. 用长为l的细绳拴一质量为m的小球在竖直平面内做圆周

11、运动，则小球的最小动能为【答案】AD【解析】在月球表面，月球对物体的引力等于物体的重力，即尸二疇=皆，选项4正确3在月球表面，尸曙叹初速度门竖直上抛的物体落回原处的时间为匸譽酱，选项时昔误；月球周围没有空气羽毛和铁锤从同一高度同时被释放后同时落地；选项C错误：小球在竖直平面内他圆周运动在最高点时，若吨=话则其动能最小，?选顷D正确。二、中心天体质量和密度的估算(l)“g、R法”：已知天体表面的重力加速度g和天体半径Ro 由GMRm=mg得天体质量M=gRG。MM3g 天体密度p=V=4nGR。§nR3(2)“T、r法”：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。4n2r3GT

12、2。Mm4n2r由G_rr=mTT得天体的质量M=MM3nr3若已知天体的半径r,则天体的密度p=m=4=GT2R?3R若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R,则天体密度p=3nGT2可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T就可估算出中心天体的密度。【典例1】假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g;地球自转的周期为T引力常量为G。地球的密度为()A3ng0-gBGT2goB叫-g3nCC-GT2D迪D-GT2g【答案】B【解析】物体在地球的两极时，mg0=GMRm，物体在赤道上时，mg+m(T)2R=gGR，以上两式联立解

13、得地球的密度p=如0。故选项B正确，A、C、D错误。GT2g0-g【典例2】利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是()A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B. 人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C. 月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D. 地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离【答案】D【解析】由于不考虑地球自离则在地球表面附近有標FS故可得山譽Q页错误jA适卫星的向心力由万有引力提供，有律f越戶攀联立得山爲B项错误由万有引力提供月球塗地球运动的向心力，有出警二翊僚故可得"二翳C项错島同理，根捋地球绕衣阳做圆周运动的周期及地球与

14、太阳间的距离，可求出衣忸的岳量，但不可求出地球的JSS,D项正确。【跟踪短训】1. “嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟。已知引力常量G=6.67x10-iiNm2/kg2，月球半径约为1.74x103km。利用以上数据估算月球的质量约为（）A.8.1x1010kgB.7.4x1013kgC.5.4x1019kg【答案】DD.7.4x1022kg【解析】对“嫦娥一号”探月卫星，由于万有引力提供其做圆周运动的向心力，则GR+hm；2（R+h），整理得：M=GT2（R+h）3,代入数据可得M7.4x1022kg,D正确。2. “嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟.已知引力常量G=6.67x10-iiNm2/kg2,月球半径约为1.74x103km.利用以上数据估算月球的质量约为（）B.7.4x1013kgD.7.4x1022kgA.8.1x1010kgC.5.4x1019kg【答案】D【解析】天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力.“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律知:GMm4n2mrr2T24n2r3得M=GT2'其中r=R+h,代入数据解得M=7.4x102