小学数学论文：例谈图形与几何教学中空间观念的培养

1、把握价值取向发展空间观念-4-例谈图形与几何教学中空间观念的培养摘要空间观念一直是课标提出的核心概念之一。小学图形与几何教学的课程核心目标在于，积累丰富的几何活动经验，培养学生的空间观念、形象思维和初步的推理意识。可以说，空间观念的培养始终贯穿于图形与几何的教学。然而，在实际教学中老师往往重视学生掌握有关图形与几何的基础知识、形成基本技能，而忽视发展学生的空间观念，偏离了图形与几何教学的核心价值。关键词空间观念、表象、几何建模空间观念是指物体的形状、大小、位置、方向、距离等形象在人脑中的表象。其主要表现为：能由形状简单的实物想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开

2、图之间的转化；能根据条件作出立体模型或画出图形。小学阶段是学生空间观念发展的初级阶段，是积累丰富的感性认识的重要时期。当前，小学图形与几何教学，其基本定位在于操作几何、直观几何。这既是小学生年龄特征所决定的，也是几何课程改革进步的必然。其实，与数与代数相比，图形与几何的课程更形象、具体，富有操作性。因此，在小学图形与几何课程目标的表述等方面，较多地使用了“经历”“探索”、“体验”等过程性目标动词；同时，图形与几何课程的指向也不仅仅停留在“几何”目标和价值上，而是放眼于小学生数学思维水平的整体提高，数学活动经验的积累和数学思想的渗透，还应涵盖培养学生的空间观念。在基于小学生认知水平之上的几何活动

3、中，这些目标完全可以实现。本文试求以长方体和正方体的体积（人教版五下）一课为例，从空间观念表现的“想象”、“分解与分析”、“描述和思考”、“作出和画出”四个层次及几何建模例谈学生空间观念的培养。一、“想象”长方体通过对长方体“三视图”的剖析，形成丰富表象想象是指由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图和展开图之间的转化。这种“想象”是在“表象”基础上经过概括、加工形成的，反映的是几何形态，丰富的表象资源是学生空间观念培养的前提和基础。学生从认识平面图形到立体图形，相对是比较困难的，原因是学生在辨认立体图形时，是在“平面”上研究“立体”，难于使学生形成直观的空

4、间形象。学生从不同角度观察长方体，其观察到的立体图形是不同的，然而，由于观察角度引起表象的变化，并不是长方体体积大小的本质属性。那么，该如何突破从“二维”到“三维”的飞跃，剥离由于观察角度引起的“形状变化”？课伊始，我们就力图去除这些非本质属性，为研究、探讨长方体体积公式做好铺垫。教学片段11. 出示：h麦长1厘米的正方体的体积是1立方厘米。（图1）（图2）（图3）（图4）（图5）2. 观察图1的体积是多少?设问：有什么好方法，一目了然体积是6立方厘米？（生演示移动的过程，变成图2）追问：用语言描述这个长方体。3移动尽量少的正方体，把图3也变成长方体，并使这个长方体长得“高高”的。（变成图4）

5、讨论：两个长方体有什么联系？（同一个长方体，摆的位置不同；形状一样，长、宽、高不同。）4.小结：刚才从两个不同角度观察同一个长方体，那么从第三种观察角度,又会是怎样一个长方体呢？请你对同桌描述一下这个长方体。（图5）（生：扁扁的，长摆3个，宽摆2个；一行摆3个，摆2行；一排摆3个，摆2排。）5师生小结：同一个长方体，由于观察的角度不同，它的长、宽、高会相互转化，但大小不变。片段1通过对不规则图形与长方体的转化，得出长方体比不规则图形更容易数清它体积的结论，更重要的是让学生通过想象得出第三种观察角度的图形，从三个不同的角度观察长方体，丰富学生对于长方体的表象积累。与标准三视图（俯视图、前视图和侧

6、视图）不同的是，本片段提到的“三视图”是指从三个不同方位观察长方体的立体图。使学生认识到：由于观察角度原因导致的长、宽、高相互转化，但体积不变。二、“分解”与“分析”长方体建立实物图形与模型框架的联系分解和分析即能从较复杂的图形中分解出基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系。这种“分解”和“分析”是一种思维活动，具有形象思维并伴有抽象思维的特点。这些特点表现在把握“相互转化”关系的基础上，刻画了根据图形特征在逻辑上对图形关系进行的分析和操作。一般传统的教学模式，会让学生用实物摆一摆，根据摆的结果归纳体积公式。对学生而言，把若干个小正方体摆成长方体并不困难，摆成不同形状也不困难，因为思维水平不

7、高，甚至有学生在摆出第一个长方体后就不愿意继续“摆”了。这种传统教学模式能顺利推导出长方体的体积公式，学生也能理解，但在学生空间观念培养上的表现是苍白无力的，而且不能解决的一个关键问题是：无法沟通摆成的实物图形与抽象的模型框架之间的联系。教学片段21.（出示图6）下面这个复杂的图形如果摆成长方体，会是怎样的？体积又是多少？（图7）（图6）（图8）生1：长摆4个，宽摆3个，体积是12立方厘米。生2：行摆4个，摆了3行，体积是12立方厘米。（出示图7）2师演示从图7中抽离出图8,这个长方体的体积又是多少？为什么？生：它和刚才的长方体是一样大小的，它里面可以摆12个小正方体。小结：一个长方体包含几个

8、1立方厘米的小正方体，它的体积就是几立方厘米。3师逐步演示拉伸长方体的高，形成图9。请思考：现在长方体的体积是多少呢？（24、36）小学生的年龄特征，决定了他们对图形的识别活动，处于依据表象为主的直观辨认水平，逐步向依据特征为主的初级概念判断水平发展，这种发展的中介，就是用语言概括、描述形体的特征。在片段2的教学中，对长方体实物进行分解和分析，描述长方体的特征，在头脑中建立长方体的表象，提炼出长方体的模型框架。对长方体体积的认识从“数”逐渐趋向于对长方体长、宽、高这一本质属性的分析，架起了实物模型与模型框架联系的桥梁。三、“描述”和“思考”估测体积过程一一探究影响长方体体积大小的因素描述和思考

9、是描述实物或几何图形的运动和变化，能采用适当的方式描述物体之间的位置关系，能运用图形形象地描述问题，利用直观来思考。这种思考是没有严格演绎逻辑的“形象化”的推理，是结合情景进行的思考。与传统的“摆一摆总结公式”教学模式相比，本课设计从长方体的形成入手，反其道而行，先有长方体模型框架，再描述如何摆。在估测长方体体积的过程中理顺关系、确定估测方法，逐渐逼近准确答案，直指影响长方体体积大小的本质属性一一长、宽、高。教学片段31出示：小正方体的体积是1立方厘米，下面的长方体体积是多少？请你估一估。（图10）（图10）（图11）（图12）可能会有：9立方厘米、15立方厘米、12立方厘米、16立方厘米、2

10、4立方厘米设问：你的估测有依据吗？生：估计长可以摆几个，宽摆几个，高摆几个有学生提出：我觉得比较难估测，最好把小正方体“拿”下来。讨论：“拿”下来放哪里呢？为什么？（“角”上）（图11）2把小正方体放在长方体的顶点位置，更有利于估测它的体积了，请你再估一估。生1：一行摆5个、摆2行、可以摆2层，5X2X2=20。生2：长摆6个、宽摆2个、高摆2个，6X2X2=24。生3：长是6厘米、宽2厘米、高2厘米，6X2X2=24。3师逐步出示图12:现在能准确知道它的体积吗？生：能确定了，6X2X3=36，这个长方体包含了36了小正方体，它的体积是36立方厘米。4那下图你能准确计算它的体积吗？（图13）

11、（图13）追问：还需要摆一摆吗？（不需要）心理学告诉我们，人的知觉具有选择性。研究表明，小学生观察时，各种几何要素，如点、线、面或者边、角等，给他们的知觉刺激强度具有相对性、差异性。一般来说，图形的整体形状、整体大小是强成分，而图形的局部细节是弱成分。在片段3的教学中，当两个图形分开时，学生的估测往往比较盲目，很难得出接近的结果。移动小正方体的位置放在合适的位置，利用小正方体为参考，借助它对长方体体积的形象思考。学生在估测时，利用两者的关系考虑长方体的长、宽、高与正方体棱长的长度关系，从立体图形的大小关系转到对应边倍数关系的本质属性上思考，在对估测过程的描述中逐步建立长方体体积计算方法。四、几

12、何建模一一概括体积计算公式，发展数学思维能力学生认识图形的特征，需要通过对感性材料进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括才能实现；在对图形进行变换，导出体积公式并加以应用的过程中，还需要做一些简单的推理。这些思维活动，既有对形体的定性分析、刻画，又有对形体的定量分析、计算，它们都有助于发展学生的数学思维能力，也有助于学生形成数形结合的数学思想方法。学生通过观察长、宽、高依次变化而引起体积变化的过程，进一步明确影响长方体体积大小的因素，自然概括体积公式。教学片段41你们觉得长方体的体积和什么因素有关？（长、宽、高）2师出示一长方体，分别拉伸它的长、宽、高，观察体积的变化。（图14）（图3. 把图

13、形旋转观察体积的变化，你找到这个长方体的长、宽、高吗？（用智能笔画出）（图14）4. 一般化结论：如果这个长方体的长是a，宽b,高h,怎样求它的体积。概括长方体的体积公式：V=abh。5. 基础练习（两个长方体、一个正方体的体积计算），同化概念，总结了立方体的体积公式。本环节通过对图形的拉伸、旋转，从不同的角度再次观察长方体，思考影响体积大小的因素。心理学证明，小学生的空间观念源于生活经验，因此他们更乐意接受标准形状，且处于标准位置的图形，有学生还有排斥非标准图形的倾向。教材一般的编排方式是：在引入新图形时，先配以标准图形，或接近于“标准”的图形，这有利于唤起学生的生活经验，缩短认知差距。但教

14、学中还必须注意适当使用变式图形，这既是教学需要和促进学生空间观念发展的需要，也是反映学生形体概念水平的评价指标之一。五、“画出”图形一一想象图形间的逻辑关系，发展空间想象能力画出图形即能根据条件画出图形，“画出”是一种实践活动，重视感知过的平面图形或空间物体。学生通过空间想象，在事物或图形的影响下，在言语的调节下，对头脑中已有空间表象经过改造、结合产生新表象，从而在头脑中“画出”新旧图形之间的联系。教学片段51抛出问题：一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的几倍？在你的头脑中想象着“画一画”，尝试着把它“拉一拉”。验证：出示学生画出了草图，再出示图15。思考：棱长扩大到原来的1

15、0倍呢，它的体积又扩大到原来的几倍呢？（1000倍）（演示图16）那棱长扩大到原来的N倍呢？（体积扩大到原来N的立方倍）（图15）（图16）2请你估测下这个长方体的体积，并对同桌说说你的方法。（注：图略，为香烟盒糊上白纸）生讨论后反馈它究竟多大，该怎么办？生：测量数据，记录为8.5厘米、5厘米、2厘米，计算结果为85立方厘米。出示第二个长方体（17厘米、10厘米、4厘米），请你估测它的大小，把答案写出来，比一比谁估得最准确。（师将两个长方体放在一起）生：我估计680立方厘米，因为我感觉这个长方体和之前那个比较，长、宽、高是两倍关系，85X2X2X2=680O师生评价方法那如果让你估计这个教室空间的大小呢？你会怎么去估？生：估长、宽、高各几米；估有几个讲台的大小；估有几个1立方米在片段5的教学中，学生通过在头脑中画一画、拉一拉等系列想象过程，链接新授过程的诸环节，“画出”两个立方体体积关系。不但简化了正方体棱长变化引起体积变化规律的探究过程，也使学生对于立方数的理解充分建立在“长X宽X高”的连乘基础上，软件的直观演示更是丰富了学生头脑中对于两个图形关系的表象。学生在估测立体图形体积时也会选择这种比较的策略，比较两个立体图形，想象它们的位置关系，大小上的逻辑关系。这样，估测就能基于几何直观，联想也有表象基础，使空间观念从感知不断发展上升为一种可以把握的能力。