高一数学上册期中复习考试知识点和试卷

1、高一数学：解函数常见的题型及方法 假设函数y f g x的定义域为a,b，其函数y f x的定义域为g x在x a,b时的值域。主编：东平校区张忠兵一、函数定义域的求法函数的定义域是函数三要素之一，是指函数式中自变量的取值范围。 高考中考查函数的定义域的题目 多以选择题或填空题的形式出现，有时也出现在大题中作为其中一问。以考查对数和根号两个知识点居多。1、求具体函数y f x定义域求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含的运算有意义为准那么，列出不等式或不等式组，q然后 求出它们的解集，其准那么一般是： 分式中分母不为零 偶次方根，被开方数非负 对于y x0，要求x 0 指数式子中，底数大于

2、零且不等于1 对数式中，真数大于零，底数大于零且不等于1 由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束例：函数y二3 2 +(3的定义域为解：要使函数有意义，那么3x 22x 3x 30，0,所以原函数的定义域为0.x|x i，且i-评注：对待此类有关于分式、根式的问题，切记关注函数的分母与被开方数即可，两者要同时考虑， 所求“交集即为所求的定义域。2、求抽象函数的定义域假设函数y f x的定义域为a,b，其复合函数y f g x的定义域由不等式a g x b求出x的取 值范围，即为函数y f g x的定义域；例3：y f 2x 1的定义域为(-1，5,求函数y f x的定义域。解： -1

3、 v x< 5 -3 v 2x-1 < 9所以，函数y f x的定义域为x 3 x 9 .二、函数值域求解方法求函数的值域是高中数学根本问题之一，也是考试的热点和难点之一，由于求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，所以难度比拟大。以下是求函数值域的几种常用方法：1、 直接法：从自变量x的范围出发，推出y f(x)的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观 察，准确判断函数值域的方法。例：求函数yTl, x > 1的值域。.2,例：求函数y、x 1的值域。解：I . x 0，、, x 1 1，函数y丘1的值域为1,)。2、配方法：配方法式求“二次函数类值域的

4、根本方法。形如F(x) af2(x) bf(x) c的函数的值域问题, 均可使用配方法。例：假设函数y f(x)的定义域为1,2，那么f(log2x)的定义域为。211 1分析：由函数y f (x)的定义域为一,2可知：一 x 2 ；所以y f(log2x)中有一 log2 x 2 2 2 2解：依题意知：1 一-log2 x 2解之，得、2 x 42二 f (log 2 x)的定义域为x | . 2 x 4例：求函数yx2 4x2 ( x1,1)的值域。解：y2x 4x 2(x2)2 6，/ X 1,1， X2 3,1，1 (x 2)29 32(X 2)65，3 y5函数yx2 4x2 (

5、x1,1)的值域为3,5。3、函数的单调性法：确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性，求出函数的值域。1例：求函数y x丄在区间x 0, 上的值域。x分析与解答：任取x1, x2 0,，且x1 x2，那么f x1f x2x1X2 XM21X1X2，因为0X1x2，所以：x1 x20,x1x20，点评：对数式的真数为x，本来需要考虑x 0，但由于2x 4已包含x 0的情况，因此不再列出Xix2 时，x1x210,那么f X!f X2 ；当 y 1 时，：x R，二 (y 1)2 4(y 1)(y 3)0 ,X1x21时,X-|X21ymin 2解得1 y11E，又 y 1 , 1 y1

6、13于是：函数y4、反函数法: 的值域。1x 在区间xX利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数0, 上的值域为2,)。函数y2小xx 32XX 1的值域为y|1 y *求函数y3x4的值域。5x6解：由y3x4可得X5x6那么其反函数为4 6x y5x 33x4 ,其定义域为:例:4 6y5y 3，y 5x 6yy5、换元法：运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y ax b ex d ( a、b、c、d均为常数，且a 0 c 0)的函数常用此法求解。例：求函数y2x .12x的值域。解：令t(t 0 )，那么 x

7、1 t2t2当 t，即x(t扩3时，8y max函数54(耳。4,无最小值。6判别式法:把函数转化成关于x的二次方程F(x,y) 0 ;通过方程有实数根，判别式0 ,从而求得原函数的值域,形如y竺 “X G ( a1、32不同时为零)的函数的值域，常用此方法求解。a2X bx q例：求函数y2X2 X XX 3的值域。8、别离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用别离常数法，此类问题一般也可以利用反函数例：求函数y2x 52 解：由y %X变形得(y 1)x2 (y 1)x y 3 0 ,x 1当y 1时，此方程无解;函数y有界性法:例:解:(y1>X-的值域。51 7 -1 (2

8、x 5)-2 22x2x 5722x 5X的值域为 y | y 2x 5利用某些函数有界性求得原函数的值域。J的值域。X 1由函数的解析式可以知道,21)x (y 1),求函数y函数的定义域为R，对函数进行变形可得1),函数y匚的值域为y|X 11、求函数解析式的方法求函数的解析式是函数的常见问题 辨析,也是高考的常规题型之一，方法众多，下面对一些常用的方法1、配凑法：复合函数fg(x)的表达式，求f (x)的解析式，fg(x)的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。例：f(x-)x22 (x0)，求-f (

9、x)的解析式xx解：f(x-)(x1)22， x1 2xxxf(x)2 x2(x2)f (x)例:x 23 3x设f (x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x) g(x)f (x)为偶函数，g(x)为奇函数,1,试求f (x)和g(x)的解析式x 1x)g(x)2、换元法：复合函数fg(x)的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例： f(. X 1) x 2 x，求 f (x 1)解：令 t x 1，那么 t 1， x (t 1)2Q f C, x1)x2 . xf(t)(t1)222(t 1) t1,f(x)2 x1(x 1)f(x1)(x

10、1)21 x22x (x 0)f( x) f (x), g( x) g(x)1f (x) g(x)，x 1x替换x得：f( x) g(1f(x) g(x)x 1解联立的方程组，得f (x)，x 15、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意等条件时，往往可以对具有“任意性的变量进行赋 值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例：f(0)1，对于任意实数x、y，等式f(x y) f(x) y(2x y 1)恒成立，求f(x)3、待定系数法：假设函数类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法 例：f x是二次函数，且f x 1 f x 1 2x2 4x 4，求f x的解析式解：设f x2 ax

11、bxc, (a0)fx 1fx 12 ax22bx2a 2c2a2a1-2b4解得b22a2c4c1f x2 x2x 14、构造方程组法：假设的函数关系较为抽象简约，那么可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解 方程组求得函数解析式。1例： 设 f (x)满足 f (x) 2f() x,求 f (x)x1解 f(x) 2f( ) x x显然x 0,将x换成丄，得：x11f(A)2f(x)丄xx解联立的方程组，得：解Q对于任意实数x、y，等式f(x y) f(x) y(2x y 1)恒成立，不妨令 x y，那么有 f (0) f (x) x(2x x 1)以函数解析式为：f(x) x2 x 1

12、6、代入法：求函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例：函数y x2 x与y g(x)的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式解：设M(x,y)为yg(x)上任一点，且M (x , y )为M(x, y)关于点(2,3)的对称点x x2那么 2，解得:y y32点 M (x , y )在 y g(x)上2y x xxx 4把xx 4代入得：y 6 y26 y ( x 4)( x 4)整理得yx2 7x 62g (x) x 7x 6例：设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x 0时，f(x) 2x2 3x 1，试求函数f (x)的解析式解：设x 0，贝U x 0f x 2 x

13、 2 3 x 1v f(x)是定义在R上的奇函数f x f x故 f x 2x2 3x 1 x 0v f x f x，当 x 0 时，f 0022x 3x 1 x 0 f x 0 x 022x 3x 1 x 0四、判断具体函数单调性的方法1、定义法一般地，设f x为定义在D上的函数。假设对任何x1、x2 D，当x1 x2时，总有(1) f(xj f(X2)，那么称f x为D上的增函数；(2)f(xj f(X2),那么称f x为D上的减函数，。利用定义来证明函数y f (x)在给定区间D上的单调性的一般步骤：(1) 设元，任取 x1, x2 D 且 x-i x2 ;(2) 作差 f(xj f(X

14、2);(3) 变形(普遍是因式分解和配方)；(4) 断号(即判断f(xj f(X2)差与0的大小)；(5) 定论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。k例:用定义证明函数f(x) x - (k 0)在(0,)上的单调性。xkkf(X1) f(X2)(为)(X2)X1X2kX2(X1X2)k(X2 X1)%x2(X1X1 X2X2) k(-)x1x2(X1、/X1X2kX2)()，X1X2又0X1X2所以X1 X20，X1X20，当X1、X2(0八k时，X1X2k 0f (X1)f (X2)0,此时函数f(x)为减函数；当X1、X2C k,)时,X-|X2k 0f (x1)f(X2)0

15、,此时函数f(x)为增函数。综上函数f(x) X - (k 0)在区间(0,. k内为减函数；在区间(.k,)内为增函数。x2、函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表：函数 一次函数二次函数反比例函数函数表达式单调区间特殊函数图像y kx b(k 0)y ax2 bx c(a 0, a,b,c R)ky -x(k R且 k 0)证明：设 x1、X2(0,)，且 X1 x2，那么当k 0时，y在R上是增函数;当k 0时，y在R上是减函数。当a 0时，x 时y单调减,2ax 时y单调

16、增；2a当a 0时，x 时y单调增,2ax 时y单调减。2a当k 0时，y在x 0时单调减，在x 0时单调减；当k 0时，y在x 0时单调增，在 x 0时单调增。指数函数1X a aQyao 7KI 数 附 函劭 是 i 上 匡 RH 在寸 y B 时1 a a o 当 当-T-ajf - lb对数函数X 1ag a 10Q y a; 函 数2« 函 是 增 上 是 > 上 ， )(0 , 在 3yi 在y 时时1 a a O 。 当 当数A 1F几个常用的结论：假设f x、g x为增函数，那么有一下结论： f (x) +C为增函数；(C为常数) 当k 0时，kf x为增函数，

17、kf x为减函数； f x 0恒成立时，丄为减函数；f x 当f x 0， n 0， f x n为增函数； f(x) + g(x)为增函数； 当f(x)0、g(x) 0，那么f(x) g x为增函数。例:判断 f (x) x x3 log 2 x32x 1(x2 1) 5 的单调性。解：函数f (x)的定义域为(0,)，由简单函数的单调性知在此定义域内 x,x3,log 2x3均为增函数，因 为2x1 0, x2 1 0由性质可得2x1(x2 1)也是增函数；由单调函数的性质知 x x3 log2X为增 函数，再由性质知函数f(x) x x3 log 2 x3 2x1(x2 1)+5在(0,)

18、为单调递增函数。3、图像法用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。根据单调函数的图像特征，假设函数f(x)的图像在区间I上从左往右逐渐上升那么函数f (x)在区间I上是增函数；假设函数f (x)图像在区间I上从左往右逐渐下降例：如图1-1是定义在闭区间-5,5上的函数y f(x)的图像，试判断其单调性。解：由图像可知：函数 y f(x)的单调区间有-5,-2 )，-2,1 )，1,3 )，3,5 ).其中函数y f (x)在区 间-5,-2 )，1,3 )上的图像是从左往右逐渐下降的，那么函数 y f(x)在区间-5,-2 )，1,3 )为减函数； 函数y f(x)在区间-2,1 )，3,5

19、上的图像是从往右逐渐上升的，那么函数 y f(x)在区间-2,1 )，3,5 上是增函数。4、复合函数单调性判断法假设y f(u)是增函数，u g(x)是增(减)函数，贝U y f g(x)是增(减)函数。(2)假设y f (u)是 减函数，u g(x)是增(减)函数，贝U y fg(x)是减(增)函数。归纳此定理，可得口诀：同那么增，异那么减(同增异减)复合函数单调性的四种情形可列表如下：情形 调性 函数、第种情形第种情形第种情形第种情形内层函数u g(x)外层函数y f (u)复合函数y fg(x)判断复合函数yfg(x)的单调性的一般步骤:合理地分解成两个根本初等函数 y f(u),u

20、g(x)；分别解出两个根本初等函数的定义域；分别确定单调区间；假设两个根本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，那么y fg(x)为增函那么函数f(x)在区间I上是减函数。、数，假设为一增一减，那么y fg(x)为减函数(同增异减)；象法判断函数的奇偶性。求出相应区间的交集，既是复合函数 y fg(x)的单调区间以上步骤可以用八个字简记“一分，“二求，“三定，“四交。利用“八字求法可以解决一些复 合函数的单调性问题。例：求f (x) log a(3x2 5x 2) ( a 0且a 1)的单调区间。解：由题可得函数f(x) log a(3x2 5x 2)是由外函数y log a

21、 u和内函数u 3x2 5x 2符合而成。由题知函数f (x)的定义域是(，2)(-,)。内函数u 3x2 5x 2在(-,)内为增函数，在(，2)内 33为减函数。假设a 1，外函数y logau为增函数，由同增异减法那么，故函数f(x)在(*,)上是增函数；函数f(x) 在 ，2上是减函数。3、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论： 奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+禺函数=偶函数； 奇函数X奇函数=偶函数；奇函数X偶函数=奇函数；偶函数X偶函数=偶函数4、复合函数：函数g(x)，f(x) ，fg(x)的定义域都是关于原点对称的， 假设u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=fg(x)是奇

22、函数； 假设u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= fg(x) 是偶函数。 复合函数的奇偶性特点是：“内偶那么偶，内奇同外。故函数 f(x)在(1,)上是减函数；函假设0 a 1,外函数y logau为减函数，由同增异减法那么,数f (x)在 ，2上是增函数。五、判断函数奇偶性的方法：1、定义法：对于函数f(x)的定义域内任意一个 X，都有f 对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有f x 判断函数奇偶性的步骤： 、判断定义域是否关于原点对称； 、比拟f( x)与f (x)的关系， 、按照定义，下结论。例：判断以下函数的奇偶性fx2 3f xx解：函数定义域为xx 0f

23、x 函数f (x)是偶函数; 函数f (x)是奇函数；曰六疋奇.Tx yfX23xf xx为奇函数。x f xJ广东惠州高中一年级(上)期中考试数学科试题命题人：东平校区张忠兵一、选择题(每题5分，共50分)1.全集 U 1,2,3,4,5,6,7 , A 2,4,5 ，贝U GA ()A.B. 1,3,6,7 C. 2,4,6 D. 1,3,5,72、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于 y轴对称的函数是偶函数f xx2 2x 1x2 2x1 x0解：f Xx2 2x1 x0图像如右图所示由图像可知f x2 x2x 1为偶函数。说明：一般情况下,解答题要用定义法判断函数的例

24、：判断以下函数的奇偶性奇偶性，选择题、填空题可用图3.如果幕函数f(x) x的图象经过点二)，那么f (4)的值等于( )2A.16 B. 2 C.D.-16 21 14.设a 0.72, b 0.82 , c log3 0.7,那么( )A. c b ab. cab c . a b c d . b a c5 以下函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()1A.y = x 2 (x (0,+ %)B.y = 3x (x R)C.y = x 3 (x R)D.y = lg|x| (x丰 0)6.偶函数yf (x)在区间0 , 4上单调递减，那么有()二、填空题(每题5分，共20分)f ( )

25、Jx 4f (x)11 .八 x 1的定义域为12 .函数y f(x)的图象与函数y log3x ( x 0 )的图象关于直线y x对称，贝q函数f(x)的解析式为13. 函数y 丁5 j4x x2的单调递增区间是 14. 定义集合运算：A B z|z x y,x A, y B .设A 1,2 , B 0,2 ,那么集合A B的所有元素之和为一A. f (1)f(3)f( )B.近)f(1)f()C. f ()f( 1)f()D.3f( 1)f()f(3)7.在 b log a2 5a中，实数a的取值范围是()A a 5或a 2B 2a5C 2 a3或3a 5D 3a48.假设函数f(x)(4)x,x1,0,那么 f (log43)()4x,x0