高中数学选修4-4-1.1平面直角坐标系上课讲义

1、xxz第一页，共22页。第二页，共22页。第三页，共22页。第四页，共22页。第五页，共22页。第六页，共22页。第七页，共22页。例例1.1.已知已知ABCABC的三边的三边a,b,ca,b,c满足满足(mnz)b2+c2=5a2,BE,CF(mnz)b2+c2=5a2,BE,CF分别为边分别为边AC,CFAC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究探究BEBE与与CFCF的位置关系。的位置关系。(A)FBCEOyx以以ABC的顶点为原点，的顶点为原点，边边AB所在所在(suzi)的直线的直线x轴，建立直轴，建立直角角坐标系，由已知，点坐标系，由已知，点

2、A、B、F的的坐标分别为坐标分别为解：解：A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( ,0 ).2cC设点 的坐标为,则点E的坐标为x y(x,y)（ ，）2 2.2222225|5|bcaACABBC由，可得到，222225().xycxcy即 22222250.xyccx整理得(,),(,),222xycBEcCFxy 因为2()()0.222xcyBE CFcx 所以因此，因此，BEBE与与CFCF互相互相(h xing)(h xing)垂直垂直. .第八页，共22页。第九页，共22页。根据几何特点选择适当的直角坐标根据几何特点选择适当的直角坐标(zh jio zu bi

3、o)系的一些规则：系的一些规则：（1）如果图形有对称中心，可以选择）如果图形有对称中心，可以选择(xunz)对称中心为坐标原对称中心为坐标原点；点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。第十页，共22页。xO 2 y=sinxy=sin2x二二. .平面直角坐标系中的伸缩平面直角坐标系中的伸缩(shn su)(shn su)变换变换思考思考(sko)：（1 1）怎样）怎样(znyng)(znyng)由正弦曲线由正弦曲线y=sinxy=sinx得到曲线得到曲线y=

4、sin2x?y=sin2x?第十一页，共22页。 在正弦曲线在正弦曲线y=sinx上任取一点上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，保持纵坐标不变，将横坐标将横坐标x缩为原来的缩为原来的 ，就得到正弦曲线，就得到正弦曲线y=sin2x.12通常把通常把 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。1坐标对应关系为：坐标对应关系为：112xxyy 上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即： 设设P(x,y)P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标保持纵坐标不变，将横坐标不变，将横坐标x

5、 x缩为原来缩为原来 ，得到点得到点12,p x y 第十二页，共22页。（2）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线(qxin)y=sinx得到曲线得到曲线(qxin)y=3sinx?写出其坐标变换。写出其坐标变换。O 2 y=sinxy=3sinxyx第十三页，共22页。在正弦曲线上任取一点在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标），保持横坐标x不变，将不变，将纵坐标伸长为原来的纵坐标伸长为原来的3倍，就得到倍，就得到(d do)曲线曲线y=3sinx。（2）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线得到曲线y=3sinx?写出写出其坐标其坐标(zubio)变换。变换。通常把通常把 叫

6、做平面直角坐标系中的一个坐标伸叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。长变换。223xxyy 设点设点P（x,y）经变换得到点为）经变换得到点为,pxy第十四页，共22页。（3）怎样）怎样(znyng)由正弦曲线由正弦曲线y=sinx得得到曲线到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。写出其坐标变换。O 2 y=sinxy=3sin2xyx第十五页，共22页。 在正弦曲线在正弦曲线y=sinx上任取一点上任取一点P(x,y)，保持纵坐，保持纵坐标不变，将横坐标标不变，将横坐标x缩为原来的缩为原来的 ，在此基础上，在此基础上，将纵坐标变为原来的将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线倍，就得到正弦

7、曲线y=3sin2x.12设点设点P（x,y）经变换）经变换(binhun)得到点为得到点为通常把通常把 叫做平面直角坐标系中的叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。一个坐标伸缩变换。3（3）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到得到(d do)曲线曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。写出其坐标变换。3123xxyy 第十六页，共22页。定义：设定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意是平面直角坐标系中任意(rny)一一点，在变换点，在变换(0):(0)xxyy 的作用下，点的作用下，点P(x,y)对应对应(duyng) 称称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。为平面直角坐标系中的

8、伸缩变换。 4注注 （1） （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。在同一直角坐标系下进行伸缩变换。0,0,p x y 第十七页，共22页。例例2：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩(shn su)变换变换后的图形后的图形(txng)。（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1 213xxyy 解： 由伸缩变换代入2x+3y=

9、01213xxyy得得x +y =023xxyy 22代入x +y =1得2249xy+=1 1222133xxxxyyyy 由 伸 缩 变 换得第十八页，共22页。1.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩(shn su)变变换：换：曲线曲线4x2+9y2=36变为曲线变为曲线0 xxyy 1解：设伸缩变换，22代 入 x +y =1得2 2221xy224936xy又1312则1312xxyy 得221xy第十九页，共22页。2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换在同一直角坐标系下经过伸缩变换 后，后，曲线曲线(qxin)C变为变为 ，求曲线，求曲线(qxin)C的的方程并画出图形。方程并画出图形。3xxyy 2299xy22得9x -9y =922即x -y =122x -9y =