第九章 流体动力学基础

1、第九章第九章 流体动力学基础流体动力学基础第一节第一节 描述流体运动的几个基本概念描述流体运动的几个基本概念第二节第二节 连续性方程连续性方程第三节第三节 流体运动微分方程流体运动微分方程第四节第四节 运动微分方程的积分运动微分方程的积分-伯努利方程伯努利方程第五节第五节 动量方程动量方程 （一）、欧拉法（一）、欧拉法 研究流体质点在通过研究流体质点在通过某一空间点某一空间点时时流动参数随时间的变化规律流动参数随时间的变化规律。 欧拉法在流体力学研究中欧拉法在流体力学研究中被广泛采用被广泛采用。第一节第一节 描述流体运动的几个基本概念描述流体运动的几个基本概念 欧拉法欧拉法 （二）（二）.拉格

2、朗日法拉格朗日法 分析分析每一个流体质点每一个流体质点的运动规的运动规律，律，很困难，因此，很少用。很困难，因此，很少用。拉格朗日法拉格朗日法 一、描述流体运动的两种方法一、描述流体运动的两种方法 二、迹线与二、迹线与流线流线（一）、迹线（一）、迹线 迹线：迹线：流体质点的流体质点的运动轨迹运动轨迹。 例如在流动的水面上撒一片木屑，木屑随水例如在流动的水面上撒一片木屑，木屑随水流漂流的途径就是某一水点的运动轨迹，也就是流漂流的途径就是某一水点的运动轨迹，也就是迹线。迹线的研究是属于迹线。迹线的研究是属于拉格朗日法的内容拉格朗日法的内容。流线的概念流线的概念（二）、流线（二）、流线 1.流线的概

3、念流线的概念：流场中：流场中同一时刻连续质点同一时刻连续质点流流动方向的空间曲线，在这条曲线上的各流体质动方向的空间曲线，在这条曲线上的各流体质点的速度方向都与该曲线点的速度方向都与该曲线相切相切，如图，如图4-5所示所示 流线可以流线可以形象地给出流场的流动状态形象地给出流场的流动状态。流线的引入是流线的引入是欧拉法欧拉法的研究特点。的研究特点。 (1)在在定常流动时，定常流动时，通过同一点的流线形状始终保通过同一点的流线形状始终保持不变持不变，而在非定常流动时，而在非定常流动时，通过同一点的流线形通过同一点的流线形状始终变化状始终变化。 (2)通过某一空间点在给定瞬间通过某一空间点在给定瞬

4、间只能有一条流线只能有一条流线，一般情况流线不能相交和分支。一般情况流线不能相交和分支。 (3)流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。 (4)通过流线，可以清楚地看出某时刻流场中各点通过流线，可以清楚地看出某时刻流场中各点的的速度方向速度方向和和速度的大小速度的大小。2.流线的基本特性流线的基本特性 3. 流线图流线图 可以可以形象地表示形象地表示整个流体的运动情况整个流体的运动情况，如图，如图为水槽中纸屑的流动情况。为水槽中纸屑的流动情况。 2.按运动状态分：按运动状态分： 定常、非定常流动；有旋、无旋流动；层流、定常、非定常流动；有旋、无旋流动；层

5、流、紊流流动；亚音速、超音速流动。紊流流动；亚音速、超音速流动。 3.按流动空间的坐标变量数分：按流动空间的坐标变量数分： 一元、二元、三元流动。一元、二元、三元流动。 1.按流体性质分：按流体性质分： 理想、实际流体的流动；可压缩、不可压缩理想、实际流体的流动；可压缩、不可压缩流体的流动。流体的流动。三、流动的分类三、流动的分类 1.定常流动定常流动 运动流体中任一点的流体质点的运动流体中任一点的流体质点的参数参数(压强、速度、密度和温度等压强、速度、密度和温度等)均均不随时不随时间变化间变化，而只随空间点位置不同而不同，而只随空间点位置不同而不同的流动。的流动。 （一）、定常流动和非定常流

6、动（一）、定常流动和非定常流动 2.非定常流动非定常流动 运动流体中任一点流体质点的运动流体中任一点流体质点的参数参数(压强、速度、密度和温度等压强、速度、密度和温度等)随时间变化而变化随时间变化而变化的流动。的流动。(=vv xyzpp xyzxyzT T xyz 、 、 ）、 、 ）（ 、 、 ）（ 、 、 ） （二）、一维、二维、三维流动（二）、一维、二维、三维流动 流体的运动参数分别是一个、两个、三个坐流体的运动参数分别是一个、两个、三个坐标的函数的流动。标的函数的流动。管内流动速度分布图管内流动速度分布图( , )xvf r xxvxav是二维流动。是二维流动。 若对每一个截面的若对

7、每一个截面的速度取平均值，则速度取平均值，则( )xavf x是是一维流动一维流动。绕过机翼的二元流动绕过机翼的二元流动有限翼展的机翼绕流有限翼展的机翼绕流急变流急变流缓变流缓变流缓变流缓变流缓变流缓变流缓变流缓变流缓变流缓变流急变流急变流急变流急变流急变流急变流急变流急变流缓变流和急变流缓变流和急变流四四 流管、流束、缓变流流管、流束、缓变流 急变流急变流 五、流量五、流量 平均流速平均流速 P103vaqvA平均流速平均流速 （一）、系统（一）、系统（或称或称体系）：许多流体质点的集体系）：许多流体质点的集合。合。它有确定的质量它有确定的质量，其形状和体积可能会随着其形状和体积可能会随着时

8、间的变化而变化时间的变化而变化。系统以外的物质叫。系统以外的物质叫环境环境。跟跟踪系统来研究流体的运动规律，是拉格朗日方法踪系统来研究流体的运动规律，是拉格朗日方法所采取的途径。所采取的途径。六、系统六、系统 控制体控制体 （二）、控制体：（二）、控制体：是是流场中的一个特定的空间流场中的一个特定的空间区域区域，它本身没有质量它本身没有质量，其形状不随着时间变其形状不随着时间变化化。欧拉法是采用控制体研究流体的运动规律欧拉法是采用控制体研究流体的运动规律的方法。的方法。 单位时间内单位时间内x方向流出流进的质量流量差：方向流出流进的质量流量差：dxdydzxxudydzdxxxu21xudyd

9、zdxxxu21xuMM)()()(左右ABCDA BCDdzdydxzyxo2dxxuvxxM2dxxuuxxNuxvzuyo在流场内取一微元六面体（如图），边长为在流场内取一微元六面体（如图），边长为dx,dy,dz，中心点中心点O流速为流速为（ ux,uy,uz ）以以x轴方向为例：轴方向为例：dxxu21uuxxMdxxu21uuxxN右表面流速右表面流速一、连续性微分方程一、连续性微分方程第二节第二节 连续性方程连续性方程左表面流速左表面流速0zuyuxutzyx)()()( 流体的连续性微分方程的一般形式：流体的连续性微分方程的一般形式： 质量守恒定律质量守恒定律：单位时间内流出与

10、流入六面体的流体质量差之总和应：单位时间内流出与流入六面体的流体质量差之总和应 等于六面体内因密度变化而减少的质量，即：等于六面体内因密度变化而减少的质量，即：dxdydztdxdydzzuyuxuzyx)()()(dxdydzxux)(X方向方向dxdydzzudxdydzyuzy)()(y方向：方向：z方向：方向：同理可得：同理可得：在在dt时间内因密度变化而减少的质量时间内因密度变化而减少的质量为：为：dxdydztdxdydztdxdydz)( 适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可压适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可压 缩流体。（不可压缩流体。（不可压 缩

11、流体缩流体 ）0t0)()()(zuyuxuzyx（1）可压缩流体恒定流动的连续性微分方程）可压缩流体恒定流动的连续性微分方程 适用范围适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。（2）不可压缩流体的连续性微分方程）不可压缩流体的连续性微分方程0zzuyyuxxu 物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量）物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ， 与流出的流体体积（质量）之差等于零。与流出的流体体积（质量）之差等于零。适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。适用范围：理想、实际、恒定流或

12、非恒定流的不可压缩流体流动。0)()()(zuyuxutzyx0t当为恒定流时当为恒定流时Const当为不可压缩流时当为不可压缩流时例：有两种二元流体，其流速可表示为：例：有两种二元流体，其流速可表示为： （1）ux= -2y, uy=3x；（2）ux=0, uy=3xy。试问这两种流体是不可压缩流体吗？试问这两种流体是不可压缩流体吗？解：解： （1）000)3()2(yxxyzuyuxuzyx符合不可压缩流体的连续性方程。符合不可压缩流体的连续性方程。是不可压缩流体。是不可压缩流体。（2）030)3()0(xyxyxzuyyuxuzx不符合不可压缩流体的连续性方程。不符合不可压缩流体的连续性

13、方程。不是不可压缩流体。不是不可压缩流体。 连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。在连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。在定常流动下定常流动下，通过流管任意有效截面的质量流量是常数。，通过流管任意有效截面的质量流量是常数。 1.对可压缩均质流体：对可压缩均质流体：1va1A1= 2va2A2式中式中 A1 、d2分别为分别为1、2两个有效截面的面积，两个有效截面的面积，m2； va1、va2分别为分别为A1和和A2上的平均流速，上的平均流速，m/s； 1、2分别为分别为1和和2处的流体密度，处的流体密度，kg/m3。一元管流的连续性方程一元管流的连续性方程 2.对不可压缩均质流体

14、：对不可压缩均质流体：A1va1=A2va2 说明一维总流在说明一维总流在定常流动定常流动条件下，沿流动方向的条件下，沿流动方向的体积流量体积流量为一个常数为一个常数，平均流速与有效截面面积成反比。，平均流速与有效截面面积成反比。0黏性流体：黏性流体：实际流体都具有黏性。既有黏性切应力，又有法向压应力。实际流体都具有黏性。既有黏性切应力，又有法向压应力。黏性流体黏性流体理想流体理想流体理想流体：理想流体：理想流体可忽略黏性。即无黏性切应力，只有法向压应力。理想流体可忽略黏性。即无黏性切应力，只有法向压应力。0 xyz第三节第三节 流体运动微分方程流体运动微分方程 理想流体的动水压强特性与静水压

15、强的特性相同：理想流体的动水压强特性与静水压强的特性相同：ppppzyx2dxxpp2dxxppABCDABCDdzdxdyp(x,y,z) ozxyMNO 从理想流体中任取一从理想流体中任取一(x,y,z)为中心的微元六面为中心的微元六面体为控制体，边长为体为控制体，边长为dx,dy,dz，中心点压强为中心点压强为p(x,y,z) 。受力分析受力分析(x方向为例方向为例)：1.表面力表面力理想流体，理想流体， =0左表面左表面dydzxpdxpApPMM)2(右表面右表面dydzxp2dxpApPNN)(一、理想流体运动微分方程一、理想流体运动微分方程流体平衡微分方程回顾流体平衡微分方程回顾

16、 一、流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程欧拉平衡方程欧拉平衡方程p(x,y,z) M2dyypp2dyypp 根据平衡条件，在根据平衡条件，在y方向有方向有 Fy=0，即：即：0)2()2(dxdydzYdxdzdyyppdxdzdyypp整理得：整理得：01ypYABCDABCDdzdxdyxyzo在平衡流体中取一微元六面体，边长分别在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为为dx，dy，dz，设中心点的压强为设中心点的压强为p(x,y,z)=p，对其进行受力分析：对其进行受力分析：y向受力向受力表面力：表面力：dxdzdyypp)2(dxdzdyypp)2(质量力：质量力：dxdydzY01

17、0101zpZypYxpX 流体平衡微分方程（即欧拉平衡方程）：流体平衡微分方程（即欧拉平衡方程）： 物理意义：处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表物理意义：处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与质量力分量彼此相等。压强沿轴向的变化率：面力分量与质量力分量彼此相等。压强沿轴向的变化率： 等于等于 该轴向单位体积上的质量力的分量该轴向单位体积上的质量力的分量（ X, Y, Z）。）。zpypxp,（1）x x方向（牛顿第二运动定律）：方向（牛顿第二运动定律）： maFdtdudxdydzdxdydzXdydzdxxppdydzdxxppx)2()2(zuuyuuxuutudtdu

18、xp1Xxzxyxxxx2.2.质量力质量力单位质量力在各坐标轴上分量为单位质量力在各坐标轴上分量为X,Y,ZX,Y,Z，质量力为质量力为 X X dxdydzdxdydz适用范围适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流或不可压缩流体。：恒定流或非恒定流，可压缩流或不可压缩流体。zuuyuuxuutudtduzp1Zzuuyuuxuutudtduyp1Yzuuyuuxuutudtduxp1Xzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx 理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）若加速度若加速度 等于等于0，则上式就可转化为，则上式就可转化为欧拉平衡微分

19、方程欧拉平衡微分方程0zp1Z0yp1Y0 xp1Xdtdudtdudtduzyx,三、黏性流体的运动微分方程三、黏性流体的运动微分方程1、黏性流体的特点、黏性流体的特点 （2）实际的流动流体任一点的动压强，由于黏性切应力的存在，各向大小不）实际的流动流体任一点的动压强，由于黏性切应力的存在，各向大小不 等，即等，即pxx pyy pzz。任一点动压强为：。任一点动压强为：)p p (p31pzzyyxxxzxzzxzyzyyzyxyxxyzuxuyuzuxuyu)()()(zu2ppyu2ppxu2ppzzzyyyxxx（1）实际流体的面积力包括：压应力和黏性引起的切应力。）实际流体的面积力

20、包括：压应力和黏性引起的切应力。 该切应力由广义牛顿内摩擦定律确定：该切应力由广义牛顿内摩擦定律确定：2、黏性流体的运动微分方程式、黏性流体的运动微分方程式 同样取一微元六面体作为控制同样取一微元六面体作为控制体。体。()yxyxyxdxdzdy dxdzyx方向（牛顿第二运动定律方向（牛顿第二运动定律 ）：）： maF yz yx pyy xz xypxx zx zypzz xy xz pxx yz yxpyy zy zx pzzdzdxdyxyz左右向压力左右向压力x向受力向受力质量力质量力前后面切力前后面切力上下向切力上下向切力xdudxdydzdt()zxzxzxdydxdz dydx

21、zXdxdydz()xxxxxxppdydzpdx dydzx 1 1） 不可压缩流体的连续性微分方程：不可压缩流体的连续性微分方程： 2 2）切应力与主应力的关系表达式）切应力与主应力的关系表达式zuuyuuxuutudtduuvzpZzuuyuuxuutudtduuvypYzuuyuuxuutudtduuvxpXzzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx222111 不可压缩黏性流体运动微分方程：不可压缩黏性流体运动微分方程：纳维埃纳维埃- -斯托克斯方程斯托克斯方程（Navier- Stokes，N-S)方程：方程：考虑条件：考虑条件：2x22x22x2x2zuyuxuu0z

22、uyuxuzyx拉普拉斯算拉普拉斯算符符 ，例：，例：2222222zyx1、恒定元流的伯努利方程恒定元流的伯努利方程流体的运动微分方程是描述流体运动的基本方程，用来解决流体的运动微分方程是描述流体运动的基本方程，用来解决流体问题时，必须对其进行积分，目前在数学上还不能对运流体问题时，必须对其进行积分，目前在数学上还不能对运动微分方程进行普遍的积分，只有在一些特殊的条件下，才动微分方程进行普遍的积分，只有在一些特殊的条件下，才有近似解。有近似解。（1）通过对）通过对欧拉运动微分方程进行积分欧拉运动微分方程进行积分 推导推导恒定元流的伯努利方程恒定元流的伯努利方程 定常流动；定常流动； 沿流线积

23、分；沿流线积分； 质量力只有重力；质量力只有重力； 不可压流体。不可压流体。第四节第四节 运动微分方程的积分运动微分方程的积分-伯努利方程伯努利方程zuuyuuxuutuzuyuxpfxzxyxxxxxx22221黏性流体的运动微分方程：黏性流体的运动微分方程：定常流动：定常流动：0tuxxuzuuxuyuuuxuxuxxuuxuuxuuxuuzuuyuuxuuzxzyxyzyxzzzzyyyyxzxyxx222222右边zuuyuuxuuuxpfxzxyxxxx21xuzuzuyuzxyyzx2121yuxuxyz21流体微团的旋转角速度为：流体微团的旋转角速度为：zyyzyzzyzyxzx

24、zyxyzyxuuuxuuuuuxxuzuuxuyuuuxuxux222222222222222右边代入原方程得：代入原方程得：zyyzxxzyyzxxuuuuxxpfuuuxuxpf2212212222dzuudzudzuzdzzpdzfdyuudyudyuydyypdyfdxuudxudxuxdxxpdxfyxxyzzxzzxyyzyyzxx221221221222222三个投影方程的两端分别乘以三个投影方程的两端分别乘以dxdx、dydy、dzdz 得：得：dzuudyuudxuuuuudzdydxxyyxzxxzyzzyzyxzyx右侧右侧zyxzyxzyxzyxuuudzdydxdz

25、udyudxuuddpdzfdyfdxf2212222以上三式求和以上三式求和0zyxzyxuuudzdydxzyxzyxzyxzyxuuudzdydxdzudyudxuuddpdzfdyfdxf22122220212222dzudyudxuuddpdzfdyfdxfzyxzyx若质量力只有重力若质量力只有重力gdzdzfdyfdxfzyx0212222dzudyudxuuddpgdzzyx若若沿流线积分，沿流线积分，行列式等于零，即：行列式等于零，即：不可压流体不可压流体常数常数两边积分得：两边积分得：chgugpzw22whgugpzgugpz2222222111黏性元流的能量方程黏性元流

26、的能量方程黏性元流的伯努利方程黏性元流的伯努利方程dzudyudxughdzyxw222：令令单位质量流体黏单位质量流体黏性力所作的微功性力所作的微功022whdgugpzd上式就是单位重量实际流体沿元流的能量方程式上式就是单位重量实际流体沿元流的能量方程式02102122222222dzudyudxugguddpgdzdzudyudxuuddpgdzzyxzyx z z 位置水头；位置水头； 单位重量流体单位重量流体 具有的位能（比位能）具有的位能（比位能） （m m液柱）液柱） 压力水头；压力水头； 单位重量流体单位重量流体 具有的比压能具有的比压能 （m m液柱）液柱） 速度水头；单位重

27、量流体具有的比动能（速度水头；单位重量流体具有的比动能（m m液柱）液柱）gpgu22（一）物理意义（一）物理意义gp1gp2（2 2）恒定元流能量方程各项的物理意义）恒定元流能量方程各项的物理意义沿流线伯努利方程又称微小流束的伯努利方程沿流线伯努利方程又称微小流束的伯努利方程理想流体总水头线为水平线，表明机械能守恒理想流体总水头线为水平线，表明机械能守恒 测压管水头；测压管水头； 单位重量流体单位重量流体 具有的比势能具有的比势能 H总水头；总水头； 单位重量流体的总机械能，总比能单位重量流体的总机械能，总比能212222211122HHgvgpzgvgpzgpzHgvgpz22（二）几何意

28、义（二）几何意义gp1gp2例题例题9-2 109单位重量流体相对于某参考单位重量流体相对于某参考面（基准面）所具有的位能面（基准面）所具有的位能 元流过流断面上某点相对于某元流过流断面上某点相对于某参考面的位置高度参考面的位置高度/ /位置水头位置水头 能量意义能量意义 几何意义几何意义 zgp单位重量流体所具有的压能单位重量流体所具有的压能 压强水头压强水头gugpz22gu22gpz单位重量流体所具有的总势能单位重量流体所具有的总势能 测压管水头测压管水头单位重量流体所具有的动能单位重量流体所具有的动能 速度水头速度水头单位重量流体所具有的总机械能单位重量流体所具有的总机械能 总水头总水

29、头wh单位重量流体的能量损失单位重量流体的能量损失损失水头损失水头whgugpzgugpz22222221112 2、恒定总流的能量方程、恒定总流的能量方程恒定元流能量方程：恒定元流能量方程：whgugpzgugpz2222222111上式就是单位重量流体沿元流的能量方程式。设元流的上式就是单位重量流体沿元流的能量方程式。设元流的流量为流量为dQdQ，单位时间内通过元流任一过流断面的流体重，单位时间内通过元流任一过流断面的流体重量为量为gdQgdQ，将上式中各项分别乘以，将上式中各项分别乘以gdQgdQ，则单位时间，则单位时间内通过元流两过流断面间流体的能量关系为：内通过元流两过流断面间流体的

30、能量关系为：gdQhgdQgugpzgdQgugpzw)2()2(222221112211dAudAudQ对总流过流断面进行积分：对总流过流断面进行积分：QwAAAAgdQhgdAgudAgugpzgdAgudAgugpz2211232222213111112)(2)(gdQhdAgugugpzdAgugugpzw222222112111)2()2(gdQhgdQgugpzgdQgugpzw)2()2(22222111的积分的积分Cgpz)(gudAgpzA)(一般而言，总流过流断面上的测压管水头的分布规律与过流断面上一般而言，总流过流断面上的测压管水头的分布规律与过流断面上的流动状态有关，若

31、是均匀流或缓变流，则同一断面上动压强的分的流动状态有关，若是均匀流或缓变流，则同一断面上动压强的分布规律与静压强相同，即：布规律与静压强相同，即： ，因此只要是缓变流断面，因此只要是缓变流断面，上式的积分可化为：上式的积分可化为：QwAAAAgdQhgdAgudAgugpzgdAgudAgugpz2211232222213111112)(2)(gQgpzdQggpzgudAgpzAA)()()(gdAguA23的积分的积分上式表示单位时间内通过过流断面上式表示单位时间内通过过流断面A A的流体总动能。由于的流体总动能。由于过流断面上的流速分布与流体内部结构和边界条件有关，过流断面上的流速分布与

32、流体内部结构和边界条件有关，一般难于确定。因此工程上常用平均速度取代点的速度，一般难于确定。因此工程上常用平均速度取代点的速度，由此产生的误差，通过引进动能修正系数由此产生的误差，通过引进动能修正系数加以改正。加以改正。 上式的积分可化为：上式的积分可化为：gQgvgAgvgdAguA22223322211232222213111112)(2)(AwAAAAgdQhgdAgudAgugpzgdAgudAgugpzQwAAAAgdQhgdAgudAgugpzgdAgudAgugpz2211232222213111112)(2)(gdQhQw的积分的积分上式表示单位时间内总流从过流断面上式表示单位

33、时间内总流从过流断面1 1- -1 1流至流至2 2- -2 2的总机的总机械能损失，可以用单位重量流体在该两断面间的平均机械能损失，可以用单位重量流体在该两断面间的平均机械能损失来表示，上式的积分可化为：械能损失来表示，上式的积分可化为：gQhgdQhwQwwh影响能量损失的因素较复杂，除了与流速的大小，过流断面的影响能量损失的因素较复杂，除了与流速的大小，过流断面的 尺寸及形状有关外，还与流道固体边壁的粗糙度等因素有关。尺寸及形状有关外，还与流道固体边壁的粗糙度等因素有关。gQgvgAgvgdAguA222233gQgpzgudAgpzA)()(将、三个积分代入公式中，可得总流的能量方程式

34、：将、三个积分代入公式中，可得总流的能量方程式：whgvgpzgvgpz222222221111QwAAAAgdQhgdAgudAgugpzgdAgudAgugpz2211232222213111112)(2)(gQhgdQhwQw（）恒定总流能量方程各项的物理意义（）恒定总流能量方程各项的物理意义总流过流断面上某点（计算点）总流过流断面上某点（计算点）单位重量流体的位能单位重量流体的位能 位置高度位置高度/ /位置水头位置水头 能量意义能量意义 几何意义几何意义 zp压强水头压强水头gvpz22gv22pz 单位重量流体所具有的单位重量流体所具有的平均平均势能势能 测压管水头测压管水头速度水

35、头速度水头单位重量流体的单位重量流体的平均平均机械能机械能 总水头总水头总流过流断面上某点（计算点）总流过流断面上某点（计算点）单位重量流体的压能单位重量流体的压能 总流过流断面上单位总流过流断面上单位重量流体的重量流体的平均平均动能动能 wh单位重量流体的单位重量流体的平均平均机械能损失机械能损失损失水头损失水头whgvgpzgvgpz222222221111（2 2）能量方程的图示与水力坡度）能量方程的图示与水力坡度水力坡度，水力坡度，J J 0.0. 单位长度的能量损失单位长度的能量损失dlgvgpzddldHdldhJw)2(2测压管坡度，测压管坡度，可正可负可为可正可负可为0. 0.

36、 dlgpzddldhJpp)(因为总水头总是沿程减小，总水头线必定是一条沿流程下降的线；因为总水头总是沿程减小，总水头线必定是一条沿流程下降的线；测压管水头线则可能沿流程下降也可能沿流程上升，也可能是一条水平线。测压管水头线则可能沿流程下降也可能沿流程上升，也可能是一条水平线。 whgvgpzgvgpz222222221111dldl（3 3）总流能量方程的推广）总流能量方程的推广两断面之间有分流或汇流两断面之间有分流或汇流根据能量守恒定理和连续性方程：根据能量守恒定理和连续性方程：322311233333222222211111)2()2()2(wwhgQhgQgvpzgQgvpzgQgv

37、pzgQ3223112333321222222211111)2)()2()2(wwhgQhgQgvpzQQggvpzgQgvpzgQ321QQQ02)2(2)2(32233332222223123333211111wwhgvpzgvpzQhgvpzgvpzQ）（）（3223333222223123333211112222wwhgvpzgvpzhgvpzgvpz两断面之间有机械能的输入和输出两断面之间有机械能的输入和输出wthgvgpzHgvgpz222222221111水泵或水轮机输入或输出的能量水泵或水轮机输入或输出的能量在管路中若有水泵或水轮机等水力机械，水流通过水在管路中若有水泵或水轮机

38、等水力机械，水流通过水力机械的叶片时将发生能量变换。力机械的叶片时将发生能量变换。只要在相应侧加上只要在相应侧加上或减去输入或输出的能量即可。或减去输入或输出的能量即可。 水泵：水泵：水流通过水泵的叶片时，叶片对水流作功，水流通过水泵的叶片时，叶片对水流作功， 使水流的能量增加。使水流的能量增加。水轮机：水轮机：水流通过水轮机的叶片时，水流对叶片作功，水流通过水轮机的叶片时，水流对叶片作功， 使水流的能量减少。使水流的能量减少。tH能量输入或输出水头能量输入或输出水头tHtH水泵取正号（能量增加）水泵取正号（能量增加）称为水泵的扬程称为水泵的扬程水轮机取负号（能量减少）水轮机取负号（能量减少）

39、常见的水泵和水轮机管路系统如图常见的水泵和水轮机管路系统如图wthgvgpzHgvgpz222222221111wthgvgpzHgvgpz222222221111已知：已知：如图抽水机管路，抽水量如图抽水机管路，抽水量Q Q= =0.06m0.06m3 3/s/s；管径；管径D=0.2mD=0.2m； 高位水池水面高于吸水池水面高位水池水面高于吸水池水面30m30m。 问：问：抽水机供给的总比能抽水机供给的总比能( (输入能量输入能量) )H Ht t为若干？为若干？解：解：此流体视为不可压缩无黏性流体此流体视为不可压缩无黏性流体 选取吸水池水面为基准面选取吸水池水面为基准面O O- -O

40、O及及 过水断面过水断面1 1- -1 1，并以高位水池水面，并以高位水池水面 为为2 2- -2 2gvagpHgvagpata23020222211米水柱30tH自自1 1- -1 1，2 2- -2 2列出伯努利方程列出伯努利方程由于断面由于断面1 1- -1 1，2 2- -2 2较大，较大，可近似可近似v v1 1= v= v2 2 =0 =02 23030B BA AO O( (1 1) )O O( (1 1) )2 2C C求水泵的扬程例题求水泵的扬程例题例题：例题：如图离心水泵流量如图离心水泵流量Q=20mQ=20m3 3/h/h；安装高度；安装高度H Hs s=5.5m=5.

41、5m， 吸水管内径吸水管内径d d2 2=100mm=100mm. . 求：求：水泵进水口水泵进水口2 2- -2 2处的真空度？处的真空度？解：解：选取吸水池水面为基准面选取吸水池水面为基准面1 1- -1 1及过流断面及过流断面2 2- -2 2gvgpgpa25.500222自自1 1- -1 1，2 2- -2 2列出伯努利方程列出伯努利方程1 11 12 22 2d d2 2H Hs s4222dvQggvppa)25.5(222已知：已知：如图为轴流式风机的吸入管，其内径如图为轴流式风机的吸入管，其内径D=0.3mD=0.3m， =12.6N/m=12.6N/m3 3， 由装在管壁

42、下边的由装在管壁下边的U U形测压管（内装水）测得形测压管（内装水）测得 h=0.25mh=0.25m。 问：问：此风机的风量此风机的风量Q Q为若干？为若干？解：解：此流体视为不可压缩无黏性流体，并假定单位重量流体自此流体视为不可压缩无黏性流体，并假定单位重量流体自A A点流点流 向向B B点。选取基准面点。选取基准面O O- -O O，过流断面，过流断面1 1- -1 1，2 2- -2 2，则：，则：hpppppppzzwaCBaABA21;0gvpzgvpzaa2222222111smAvQsmv/36.4/7 .613222自自1 1- -1 1，2 2-2-2列出伯努利方程列出伯努

43、利方程由于断面由于断面1 1- -1 1较大，可近似较大，可近似v v1 1=0=01 1o oo oB B2 22 21 1A Av v1 1C C气气水水 h hD D1、实际流体区别于理想流体有何特点？理想流体的运动微、实际流体区别于理想流体有何特点？理想流体的运动微 分方程与实际流体的运动微分方程有何联系？分方程与实际流体的运动微分方程有何联系？2、连续性微分方程有哪几种形式？不可压缩流体的连续性、连续性微分方程有哪几种形式？不可压缩流体的连续性 微分方程说明了什么问题？微分方程说明了什么问题？一般形式，恒定流，不可压缩流；质量守恒一般形式，恒定流，不可压缩流；质量守恒 实际流体具有黏

44、性，存在切应力；实际流体的运动微分方程中等式的实际流体具有黏性，存在切应力；实际流体的运动微分方程中等式的左边比理想流体运动微分方程增加了由于黏性而产生的切应力这一项。左边比理想流体运动微分方程增加了由于黏性而产生的切应力这一项。3、 欧拉运动微分方程组在势流条件下的积分形式的应用欧拉运动微分方程组在势流条件下的积分形式的应用 与沿流线的积分有何不同？与沿流线的积分有何不同？ 形式完全相同，但含义不一样。形式完全相同，但含义不一样。 势流条件下积分形式是针对理想流体的恒定有势流动中的任何质点，势流条件下积分形式是针对理想流体的恒定有势流动中的任何质点，而不局限于同一流线。它不适用于有旋流。而不

45、局限于同一流线。它不适用于有旋流。 沿流线积分形式是针对理想流体恒定流流动中同一条流线的质点。沿流线积分形式是针对理想流体恒定流流动中同一条流线的质点。它适用于有旋流。它适用于有旋流。 第五节第五节 动量方程动量方程1 1、积分形式的动量方程、积分形式的动量方程流体的运动方程流体的运动方程质点系的动量定理：质点系的动量定理： 系统的动量对时间的变化率等于作系统的动量对时间的变化率等于作 用于该系统上所有的外力之合。用于该系统上所有的外力之合。 FdtKddmKiniiuu1FddtduAndAdtddtdu把动量代入输运方程的随体导数公式把动量代入输运方程的随体导数公式AndAuudtuddt

46、d)(uFddtduFdAuudtuAn)(Fddtdu 控制体控制体（t）内动量随时间的变化率与）内动量随时间的变化率与 单位时间内经过控制体表面单位时间内经过控制体表面A（t）流出的动量之和）流出的动量之和等于作用于控制体上所有外力之和。等于作用于控制体上所有外力之和。u作用于控制体上的外力：作用于控制体上的外力：质量力质量力表面力表面力表面力：表面力：对于理想流体表面力只有压力，对于理想流体表面力只有压力， 粘性剪应力为零。粘性剪应力为零。dAnpA 指外法线方向，负号表示压力指外法线方向，负号表示压力n质量力：质量力：用用 f 表示，具有加速度的量纲表示，具有加速度的量纲dfdAnpf

47、dFdAvvdtvAAn)(积分形式的动量方程积分形式的动量方程FFdAuudtuAn)(（1 1）定常流动：）定常流动：动量不随时间变化动量不随时间变化dAnpfddAvvdtvAAn0)(单位时间内流出控制体的动量等于作用于控制体上的外力之和单位时间内流出控制体的动量等于作用于控制体上的外力之和积分形式的动量方程积分形式的动量方程dAnpfddAvvdtvAAn)(控制体控制体（t）内动量随时间的变化率与单位时间内经过控制体）内动量随时间的变化率与单位时间内经过控制体表面表面A（t）流出的动量之和等于作用于控制体上所有外力之和。）流出的动量之和等于作用于控制体上所有外力之和。在恒定流动时，

48、动量方程为：在恒定流动时，动量方程为：dAnpfddAuuAAn单位时间内流出控制体的动量等于作用于控制体上的外力之和。单位时间内流出控制体的动量等于作用于控制体上的外力之和。单位时间内控制体动量的增量等于作用于控制体上的外力之和。单位时间内控制体动量的增量等于作用于控制体上的外力之和。 2、恒定总流的动量方程及其应用恒定总流的动量方程及其应用dAnpfdFdAuudtAAn)u(恒定总流的动量方程可简化为一元流动的动量方程恒定总流的动量方程可简化为一元流动的动量方程控制体控制体任取一段总流任取一段总流1- -1、 2- -2之间的流体。之间的流体。1112221111222211221122

49、112121222121udtdAuudtdAuudtdAuudtdAuudmudmKKKKKKKKKd分析其中任一元流：分析其中任一元流：dt 时段内元流由时段内元流由 1-2 运动至运动至1-2 从而动量发生变化，动量的增量为：从而动量发生变化，动量的增量为：对于不可压流体：对于不可压流体：211212111222111222AAAAuudAuudAdtudtudAudtudAKd)()()()(11221122111122221111222212vvQdtvQvQdtvAvvAvdtdAvvdAvvdtKdAA恒定总流：恒定总流：总流可以看作是由无数元流组成，将元流总流可以看作是由无数元

50、流组成，将元流 动量的增量对总流过流断面进行积分，得：动量的增量对总流过流断面进行积分，得：用过流断面的平均流速用过流断面的平均流速 v 来代替上式中未知的点速来代替上式中未知的点速 u 分布，分布，由此产生的误差，通过引进动量修正系数由此产生的误差，通过引进动量修正系数加以改正。加以改正。1122AvAvQ总流的流量总流的流量)()()(112211221122zzzyyyxxxvvQFvvQFvvQF 方程的投影式：方程的投影式：两边同除两边同除 dt：不可压缩流体恒定总流的动量方程不可压缩流体恒定总流的动量方程不可压缩流体定常流动总流的动量方程是矢量形式的动不可压缩流体定常流动总流的动量方程是矢量形式的动量方程，为了计算方便，将它投影在三个坐标轴方向。量方程，为了计算方便，将它投影在三个坐标轴方向。外力与流速的符号规则：外力与流速的符号规则： 外力：外力：与选定的坐标轴方向相同者取正号，否则取负号。与选定的坐标轴方向相同者取正号，否则取负号。 流速：流速：与选定的坐标轴方向相同者取正号，否则取负号。与选定的坐标轴方向相同者取正号，否则取负号。FvvQdtKd)(1122)(1122vvQdtKd动量方程的右端是单位时间内动量方程的右端是单位时间内流出流出的动量的动量减去减去流入流入的动量。的动量。 动量