第九章 弯曲变形

1、1弯弯 曲曲 变变 形形第第 九九 章章目录2第九章第九章 弯曲变形弯曲变形9-2 9-2 挠曲线微分方程挠曲线微分方程9 9-3 -3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形9 9-4 -4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形9 9-5 -5 简单超静定梁简单超静定梁目录目录目录9-1 9-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题39.1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题7-1目录4目录9.1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题5目录9.1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题69.29.2 挠曲线微分方程挠曲线微分方程1.1.基本概念基本概念挠曲线方程：挠曲线方程：)

2、(xyy 由于小变形，截面形心在由于小变形，截面形心在x x方向的位移忽略不计方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠度转角关系为：tanydxdy挠曲线挠曲线yxxy挠度挠度转角转角挠度挠度y y：截面形心：截面形心在在y y方向的位移方向的位移y向上为正向上为正转角转角：截面绕中性轴转过的角度。：截面绕中性轴转过的角度。逆钟向为正逆钟向为正7-2目录72.2.挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：推导弯曲正应力时，得到：z zEIEIM M1 1忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响zEIxMx)()(1 目录9.29.2 挠曲线微分方程挠曲线微分方程8由数学知识可

3、知：由数学知识可知：3222)(1 1dxdydxyd 略去高阶小量，得略去高阶小量，得221dxyd 所以所以zEIxMdxyd)(22 2M(x) 0M(x) 0Od ydx2 0 xyM(x) 0Odxd y 022yxM(x) b。解解1 1）由梁整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得：lFaFlFbFFByAyAx ,02 2）弯矩方程）弯矩方程 axxlFbxFxMAy 11110 ,AC AC 段：段： lxaaxFxlFbaxFxFxMAy 222222),()(CB CB 段：段：目录maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB9.39.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯

4、曲变形153 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分112112)(xlFbxMdxydEI 1211112)(CxlFbxEIdxdyEI 1113116DxCxlFbEIy AC AC 段：段：ax 10)()(2222222axFxlFbxMdxydEI 2222222)(22)(2CaxFxlFbxEIdxdyEI 2223232)(662DxCaxFxlFbEIy CB CB 段：段：lxa2目录maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB9.39.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形164 4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数0)(,22

5、 lylx0)0(, 011 yx代入求解，得代入求解，得位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件)()(,2121aaaxx )()(,2121ayayaxx lFbFblCC661321 021 DD目录maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB9.39.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形175 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程)(6222211bllFbxlFbEI 12231)(661xbllFbxlFbEIy AC AC 段：段：ax 10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI22232322)(6)(66xbllFbaxFx

6、lFbEIyCB CB 段：段：lxa2目录maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB9.39.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形186 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度令令 得，得，0 dxd )(6,maxalEIlFablxB 令令 得，得，0 dxdy)(39)(,3322max22EIlblFbyblx 目录maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB9.39.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形19讨讨 论论积分法求变形有什么优缺点？积分法求变形有什么优缺点？目录9.39.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形209 9-4 -4 用叠加

7、法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形)(22xMEIydxydEI 设梁上有设梁上有n n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为为M(x)M(x)，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为y y，则有：，则有： )(xMEIyii 若梁上只有第若梁上只有第i i个载荷单独作用，截面上弯矩个载荷单独作用，截面上弯矩为为 ，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为 ，则有：，则有：i iy)(xMi由弯矩的叠加原理知：由弯矩的叠加原理知：)()(1xMxMnii 所以，所以，)( )( 11xMyEIyEIniinii 7-4目录21故故 )( 1 niiyy由于梁的边界条件不变，因此由于

8、梁的边界条件不变，因此,1niiniiyy1重要结论：重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是这就是计算弯曲变形的叠加原理计算弯曲变形的叠加原理。目录9 9-4 -4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形22例例3 3 已知已知简支梁受力如图示，简支梁受力如图示，q q、l、EIEI均为已知。均为已知。求求C C 截面截面的挠度的挠度y yC C ；B B截面的转角截面的转角 B B1 1）将梁上的载荷分解）将梁上的载荷分解321CCCCyyyy 3

9、21BBBByC1yC2yC32 2）查表得）查表得3 3种情形下种情形下C C截面的挠度截面的挠度和和B B截面的转角截面的转角。见教材。见教材 P220P220EIqlB2431EIqlB1631EIqlB333EIqlyC384541EIqlyC4842EIqlyC1643解解目录9 9-4 -4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形23yC1yC2yC33 3） 应用叠加法，将简单载荷应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和作用时的结果求和 )(3841116483845444431EIqlEIqlEIqlEIqlyyiCiC)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEI

10、qliBiB目录9 9-4 -4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形24例例4 4 已知：已知：悬臂梁受力如图悬臂梁受力如图示，示，q q、l、EIEI均为已知。均为已知。求求C C截面的挠度截面的挠度y yC C和转角和转角 C C1 1）首先，将梁上的载荷变成）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形有表可查的情形 为了利用梁全长承受均为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效了不改变原来载荷作用的效果，在果，在AB AB 段还需再加上集段还需再加上集度相同、方向相反的均布载度相同、方向相反的均

11、布载荷。荷。 Cy目录9 9-4 -4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形25Cy2Cy1Cy2By,841EIqlyC ,248128234222lEIqlEIqllyyBBC EIqlC631EIqlC4832 EIqlyyiCiC384414213 3）将结果叠加）将结果叠加 EIqliCiC4873212 2）再将处理后的梁分解为简单）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自载荷作用的情形，计算各自C C截截面的挠度和转角。面的挠度和转角。 目录9 9-4 -4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形26讨讨 论论叠加法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优缺点？目录9 9-

12、4 -4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形271.1.刚度条件刚度条件,maxmax yy建筑钢梁的许可挠度建筑钢梁的许可挠度：1000250ll机械传动轴的许可转角机械传动轴的许可转角：30001精密机床的许可转角：精密机床的许可转角：500017-5目录9 9-4 -4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形28 根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B B 处转角不超过许用数值。处转角不超过许用数值。 B1 1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B B 处的转角为：处的转角为： EIFlaB3解解目录

13、例例5 5 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F F20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa。轴承。轴承B B处的许可转处的许可转角角 =0.5 =0.5。根据刚度要求根据刚度要求确定轴的直径确定轴的直径d d。9 9-4 -4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形29例例6 6 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F F20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa。轴承。轴承B B处的许可转处的许可转角角 =0.5 =0.5。根据刚度要求根据刚度要求确定轴的直径确定轴的直径d

14、 d。B2 2）由刚度条件确定轴的直径：）由刚度条件确定轴的直径： B 111mmm101115 . 010206318012102064318064342934EFlad目录 1803EIFla EFlaI3180 EFlad31806449 9-4 -4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形302.2.提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施1 1）选择合理的截面形状）选择合理的截面形状目录 从梁的刚度方面考虑，比较合理的截面形状，从梁的刚度方面考虑，比较合理的截面形状，是使用较小的截面面积是使用较小的截面面积A A，却能获得较大惯性矩，却能获得较大惯性矩I I的的截面。截面。梁的刚度条件梁的刚度

15、条件 合理刚度设计合理刚度设计梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施312.2.提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施2 2）选择合理的材料）选择合理的材料 影响梁强度的材料性能是极限应力影响梁强度的材料性能是极限应力u u，而影响，而影响梁刚度的材料性能则是弹性模量梁刚度的材料性能则是弹性模量E E。故从梁的刚度方。故从梁的刚度方面考虑，应以弹性模量的高低来确定材料的选择。面考虑，应以弹性模量的高低来确定材料的选择。3 3）梁的合理加强：）梁的合理加强： 对于梁的危险区采取局部加强的措施。对于梁的危险区采取局部加强的措施。如采用超静定结构。如采用超静定结构。梁的刚度条件梁的刚

16、度条件 合理刚度设计合理刚度设计梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施32采用超静定结构采用超静定结构梁的刚度条件梁的刚度条件 合理刚度设计合理刚度设计梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施33采用超静定结构采用超静定结构4 4）梁跨度的选取：）梁跨度的选取： 如缩短梁的跨度，可以减小梁的挠度如缩短梁的跨度，可以减小梁的挠度梁的刚度条件梁的刚度条件 合理刚度设计合理刚度设计梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施34改善结构形式，减少弯矩数值改善结构形式，减少弯矩数值改改变变支支座座形形式式目录5 5）合理安排梁的约束与加载方式：

17、）合理安排梁的约束与加载方式： 梁的刚度条件梁的刚度条件 合理刚度设计合理刚度设计梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施35改善结构形式，减少弯矩数值改善结构形式，减少弯矩数值改改变变载载荷荷类类型型梁的刚度条件梁的刚度条件 合理刚度设计合理刚度设计梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录%5 .6212CCwwEIFlEIFl24054833369 9-5 -5 简单超静定梁简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁1.1.基本概念：基本概念：超静定梁：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁支反力数目大于有效平衡方程数

18、目的梁多余约束：多余约束：从维持平衡角度而言从维持平衡角度而言, ,多余的约束多余的约束超静定次数：超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。多余约束或多余支反力的数目。2.2.求解方法：求解方法：解除多余约束，建立相当系统解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变比较变形，列变形协调条件形协调条件由物理关系建立补充方程由物理关系建立补充方程利用利用静力平衡条件求其他约束反力。静力平衡条件求其他约束反力。相当系统：相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统用多余约束力代替多余约束的静定系统7-6目录37 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA解解例例6

19、 6 求梁的支反力，梁的抗弯求梁的支反力，梁的抗弯刚度为刚度为EIEI。 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA1 1）判定超静定次数）判定超静定次数2 2）解除多余约束，建立相当系统）解除多余约束，建立相当系统(d)ABCFByABFC0)()(ByFBFBByyy目录3 3）进行变形比较，列出变形协）进行变形比较，列出变形协调条件调条件9 9-5 -5 简单超静定梁简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁384 4）由物理关系，列出补充方程）由物理关系，列出补充方程 EIFaaaEIaFyFB314)29(6)2()(32

20、EIaFyByFBBy38)(303831433EIaFEIFaBy所以所以FFBy474 4）由整体平衡条件求其他约束反力）由整体平衡条件求其他约束反力 )(43),(2FFFaMAyA目录 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFCA AM MA Ay yF F39例例7 梁梁AB AB 和和BC BC 在在B B 处铰接，处铰接，A A、C C 两端固定，梁的抗弯刚度两端固定，梁的抗弯刚度均为均为EIEI，F F = 40kN= 40kN，q q = 20kN/m = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。画梁的剪力图和弯矩图。 从从B B 处拆开，使超静定结构变处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。成两个悬臂梁。变形协调方程为：变形协调方程为：21BByyBBFFFByB1 FByB2物理关系物理关系EIFEIqyBB3484341 EIFEIFyBB3424362322 解解9 9-5 -5 简单超静定梁简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁40FB FByB1yB2kN75. 848420461040