波形与频谱分析(第一章)

1、2022-5-8波形、频谱与随机信号分析现代测试系统现代测试系统分析、建模与仿真分析、建模与仿真自动化学院自动化学院测控技术技术系测控技术技术系2022-5-8波形、频谱与随机信号分析第一章第一章 波形、频谱与随机过程分析波形、频谱与随机过程分析信息产业的三大支柱：信息产业的三大支柱：1. 1. 信息获取（传感器、仪器：量值信息）信息获取（传感器、仪器：量值信息）2. 2. 信息传递（通讯设备）信息传递（通讯设备）3. 3. 信息处理（计算机）信息处理（计算机）本课程主要是研究本课程主要是研究 “信息处理信息处理” 问题。问题。波形波形、频谱频谱与与随机信号随机信号处理是现代信息处理处理是现代

2、信息处理技术的主要内容之一技术的主要内容之一2022-5-8波形、频谱与随机信号分析1.1.1 1.1.1 观测数据的波形与频谱观测数据的波形与频谱 1.1.波形：波形：时间时间 横坐标横坐标、物理观测量（、物理观测量（幅值幅值） 纵坐纵坐标标，得到一种变化的图形，称之为，得到一种变化的图形，称之为时域波形时域波形；电、磁、光电、磁、光力、位移、速度、力、位移、速度、加速度加速度（机械量）（机械量）观测数据时间时间幅幅值值O1.1 1.1 波形与频谱的基本概念波形与频谱的基本概念2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 2.2.频谱：频谱：频率频率 横坐标横坐标、经数学变换后的物理观测量、经数

3、学变换后的物理观测量（如：（如：幅值幅值、相位相位、功率功率） 纵坐标纵坐标，得到一种变化的图，得到一种变化的图形或谱线，称之为频谱。形或谱线，称之为频谱。 3.3.波形分析：波形分析：一般是指对观测信号在一般是指对观测信号在时间域时间域和和幅值域幅值域里里进行分析进行分析 ，以得到描述观测信号的各种特征或关系以得到描述观测信号的各种特征或关系 。 例如：例如： 波形的起始时间与持续时间波形的起始时间与持续时间 波形的时间滞后波形的时间滞后 波形的畸变波形的畸变 波形与波形之间的相似程度波形与波形之间的相似程度 4.4.频谱分析：频谱分析：是对观测信号在是对观测信号在频率域频率域内进行分析，得

4、内进行分析，得到到 ： 幅值谱幅值谱/ /相位谱相位谱， 功率谱功率谱 ， 互谱密度互谱密度等等分析分析结果。结果。2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 5.5.波形与频谱的关系波形与频谱的关系：波形分析波形分析 频谱分析，即频谱分析，即式中，式中，X( () )是是 x( (t) )的的傅立叶变换傅立叶变换， x( (t) )是是 X( () )的的傅立叶傅立叶逆变换逆变换。 图图1-11-1直观地表示了直观地表示了时间域时间域和在和在频率域频率域观测信号之间的观测信号之间的有机联系。有机联系。谱分析谱分析的的数学工具数学工具 傅立叶级数傅立叶级数傅立叶积分傅立叶积分FTFTttXtxt

5、ttxXd)exp(j)(21)(d)jexp()()( 2022-5-8波形、频谱与随机信号分析t谱线谱线2f图图1-1 1-1 波形与频谱波形与频谱 （a a）时域波形）时域波形； （b b）时频关系）时频关系； （c c）频域谱线）频域谱线(b)(b)(a)(a)幅幅值值幅幅值值时域观测时域观测频域观测频域观测(c)(c)2f幅幅值值2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 绝大多数观测中是绝大多数观测中是看不到真实波形看不到真实波形的；的； 实际观测到的波形实际观测到的波形无法与真实波形进行比较无法与真实波形进行比较。 这样就可能把已这样就可能把已 “扭曲扭曲”的测试数据当作结果加以应

6、用！的测试数据当作结果加以应用！ 因此，因此，未经分析处理、修正反演未经分析处理、修正反演而简单地根据而简单地根据测试波形测试波形直接直接求得的求得的结果，结果，往往会产生很大的往往会产生很大的误差，误差，有时甚至会得出有时甚至会得出错误错误的结果的结果。 波形的分析与处理波形的分析与处理的目的之一的目的之一就是要避免出现这种情就是要避免出现这种情况。况。观测波形失真失真畸变畸变哈哈镜哈哈镜2022-5-8波形、频谱与随机信号分析.2 观测数据的类型与描述观测数据的类型与描述观测波形在在容差容差内内可重复可重复在在容差容差内内不可重复不可重复确定性确定性数据数据随机性随机性数据

7、数据观测波形周期性周期性数据数据非周期性非周期性数据数据简谐周期简谐周期数据数据复杂周期复杂周期数据数据准周期准周期数据数据瞬变瞬变数据数据2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 1. 1.简谐周期数据简谐周期数据: : 可用下列形式的函数来描述：可用下列形式的函数来描述：（.1）式中：式中： A 振幅振幅； f0 =1/ T 频率频率，表示波在，表示波在单位时间内单位时间内的的循环数循环数； T 周期周期，表示正弦波完成，表示正弦波完成一次循环一次循环所需的所需的时间时间； 0=2f0 角频率角频率； 相对时间原点相对时间原点的的初始相位初始相位（弧度）（弧度）。 例如例如

8、: :交流发电机的电压输出，偏心转子的振动交流发电机的电压输出，偏心转子的振动 从数据分析的角度出发，简谐数据是观测数据中最简单从数据分析的角度出发，简谐数据是观测数据中最简单的形式。的形式。 )cos()cos(2)()sin()sin(2)(0000tAtfAtxtAtfAtx或2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 2.2.复杂周期数据复杂周期数据: : 可用周期时变函数表示：可用周期时变函数表示：（.2） 与简谐周期波形一样，一个波经历的时间称为与简谐周期波形一样，一个波经历的时间称为周期周期 T，单位时间内单位时间内的的循环数循环数称为称为基频基频 f1 。显然，简

9、谐周期波是复杂。显然，简谐周期波是复杂周期波的一个特例。周期波的一个特例。 复杂周期波可以展成复杂周期波可以展成傅立叶级数傅立叶级数：（.3）1,2,),()( kkTtxtx)sin(2)cos(22)(1110tnfbtnfaatxnnn 2022-5-8波形、频谱与随机信号分析式中：式中：复杂周期数据还可以用复杂周期数据还可以用傅立叶级数傅立叶级数的的另一种表达形式另一种表达形式: （.4）其中其中1,2,/1d)sin(2)(2,d)cos(2)(20101 nfTttnftxTbttnftxTa1TnTn)2cos()(110nnntnfXXtx2,1

10、,;tg,212200 nabbaXaXnnnnnn2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 如果只考虑复杂周期数据的如果只考虑复杂周期数据的幅值谱幅值谱，则可用图，则可用图1-21-2所示的所示的离散谱线离散谱线来表示式（来表示式（.4）的）的幅频特性幅频特性。 3.3.准周期数据准周期数据: : 准周期数据是一种准周期数据是一种非周期数据非周期数据，可用下，可用下式表示为式表示为图图1-2 1-2 复杂周期数据的频谱（幅值谱复杂周期数据的频谱（幅值谱）X3X2X1X0幅幅值值ff0f1f2f32022-5-8波形、频谱与随机信号分析（.5）式中，式中，fn

11、/ fm（nm）在任何情况下都在任何情况下都不等于有理数不等于有理数。 当两个或多个无关联的周期性现象混合作用时，常常会当两个或多个无关联的周期性现象混合作用时，常常会出现准周期数据。出现准周期数据。 例如：多机组内燃机车在发动机不同步时的振动响应就是准周期数例如：多机组内燃机车在发动机不同步时的振动响应就是准周期数据。据。准周期数据准周期数据也可用图也可用图1-21-2所示的所示的离散谱线离散谱线来表示它的来表示它的幅值谱幅值谱，其差，其差别仅仅是别仅仅是各个分量的频率不再是有理数的关系各个分量的频率不再是有理数的关系。 4.4.瞬变非周期数据瞬变非周期数据: : 除了准周期以外的所有非周期

12、信号除了准周期以外的所有非周期信号都属于瞬变数据。瞬变数据与周期数据不同的一个重要特都属于瞬变数据。瞬变数据与周期数据不同的一个重要特征，就是它征，就是它不能用离散谱来表示不能用离散谱来表示（连续谱）（连续谱）。 )cos(2)(10 nnnntfXXtx2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 在多数情况下，瞬变数据可用傅立叶积分表示在多数情况下，瞬变数据可用傅立叶积分表示 （.6）式中，式中，| X()| 幅频特性，幅频特性，() 相频特性。相频特性。 二者均为二者均为连续谱连续谱。1.2 1.2 随机过程及其数学特征随机过程及其数学特征)(jje | )(|)(de)()

13、( XXttxXt或观测数据单个时间历程单个时间历程样本样本函数函数某一时间区间某一时间区间样本样本记录记录全部时间历程全部时间历程随机过程随机过程随机数据确定性变化规律2022-5-8波形、频谱与随机信号分析1.2.1 1.2.1 随机过程的基本数字特征随机过程的基本数字特征 随机过程的随机过程的分布函数族分布函数族能完善地刻画随机过程的能完善地刻画随机过程的统计特统计特性性，但在实际观测中，往往只能得到，但在实际观测中，往往只能得到部分样本部分样本，用这些样本，用这些样本来确定分布函数是困难的，甚至是不可能的，因而有必要引来确定分布函数是困难的，甚至是不可能的，因而有必要引入基本入基本数字

14、特征数字特征来来描述描述随机过程的随机过程的统计特性统计特性。 1.1.一阶矩或期望值一阶矩或期望值 给定给定实实或或复复随机过程随机过程 x( (t) )，固定，固定t，则，则 x( (t) )是一随机变量，其一阶矩一般与是一随机变量，其一阶矩一般与 t 有关，记为有关，记为（.1） 称称 mx( (t) )为随机过程为随机过程 x(t) 的的均值均值函数函数或或数学期望数学期望。)(E)(txtmx2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 2. 2.二阶矩与相关函数二阶矩与相关函数 将实或复随机变量将实或复随机变量x( (t) )的的二阶原二阶原点矩点矩记作记作 （1.2.

15、21.2.2） 称它为随机过程称它为随机过程 x( (t) )的的均方值均方值函数函数；而将随机过程；而将随机过程 x( (t) )的的二阶中心矩二阶中心矩分别记作分别记作 （.3）称它为随机过程称它为随机过程 x( (t) )的的方差方差函数函数 ；其中，；其中，x 称为称为均方差均方差或或标准差标准差，它表示随机变量，它表示随机变量 x( (t) )在在 t 时刻时刻相对于相对于均值均值的的平均偏平均偏离程度离程度。)(E)(22txtx22)()(E)(var)(tmtxtxtxx 2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 对于任意对于任意t1，t2，定义随机变量，定义随

16、机变量x(t1) 和和x(t2)的的二阶原二阶原点点混合矩混合矩（即（即自相关函数自相关函数，或简称，或简称相关函数相关函数）为）为 （.4） 式中，式中，x*( (t2) )是是 x( (t2) )的复共轭。类似地，还可定义随机变量的复共轭。类似地，还可定义随机变量x( (t1) )和和 x( (t2) )的的二阶中心二阶中心混合矩混合矩： （.5）通常，称它为随机过程通常，称它为随机过程 x( (t) ) 的的自协方差函数自协方差函数，简称，简称协方差协方差函数函数。 自相关函数和自协方差函数是自相关函数和自协方差函数是刻画刻画随机过程自身在随机过程自身在两

17、个两个不同时刻不同时刻的状态变量的状态变量之间的之间的统计依赖统计依赖关系关系。),()()(E),(212*121ttRtxtxttRxxx ),()()()()(E),(212*2*1121ttCtmtxtmtxttCxxxxx 2022-5-8波形、频谱与随机信号分析自相关函数和协方差函数之间具有如下关系：自相关函数和协方差函数之间具有如下关系：当当 t1=t2=t 时，上式变为时，上式变为 类似地，两个随机过程类似地，两个随机过程 x( (t) )和和 y( (t) )的的互相关函数互相关函数定定义为义为（.6）而它们的而它们的互协方差函数互协方差函数为为 （1.2.7

18、1.2.7）)()(),(),(2*12121tmtmttRttCxxxx)()()(222tmttxxx )()(E),(2*121tytxttRxy )()()()(E),(2*2*1121tmtytmtxttCyxxy 方差方差均方值均方值均值的平方均值的平方2022-5-8波形、频谱与随机信号分析其中其中my( (t) )是随机过程是随机过程 y( (t) )的的均值函数均值函数。 若两个随机过程若两个随机过程 x( (t) )和和 y( (t) )分别是为分别是为n 1和和m 1的列向量，用上标的列向量，用上标 H 表示表示共轭转置共轭转置，则它们的，则它们的自相关函数自相关函数和和

19、互相关函数互相关函数可表示为可表示为式中，式中，Rx( (t1，t2) )为为n n矩阵，矩阵，Rxy( (t1，t2) )为为n m 矩阵。矩阵。 相应的相应的协方差函数协方差函数和和互协方差函数互协方差函数也是也是矩阵函数矩阵函数。 3.3.不相关，正交，独立过程不相关，正交，独立过程 考虑两个随机过程考虑两个随机过程 x( (t) )和和y( (t) ) ： 如果如果x( (t) )和和y( (t) )是是不相关不相关的，则的，则互协方差互协方差函数函数为为0 0，即：，即：（.8）)()(E),();()(E),(2H1212H121tytxttRtxtxttRxyx

20、0)()(),(),(2*12121tmtmttRttCyxxyxy先乘后取均值与先乘后取均值与取均值后再相乘取均值后再相乘2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 如果如果 x( (t) ) 和和 y( (t) ) 正交正交，则，则相关函数相关函数为为0，即，即（.9） 如果两个随机变量如果两个随机变量 x(t) 和和 y(t) 独立独立，则有，则有（.10）其中，其中，p( (x) ), p( (y) )和和 p( (x，y) )分别表示随机变量分别表示随机变量 x( (t) )，y( (t) )的的概率密度函数概率密度函数及二者的及二者的联合概率密度函数

21、联合概率密度函数。 对于对于零均值零均值随机过程随机过程不相关不相关和和正交正交是是等价等价的的。上述关系上述关系很容易推广到很容易推广到 n 个随机过程，不赘述。个随机过程，不赘述。0),(21ttRxy)()(),(ypxpyxp 2022-5-8波形、频谱与随机信号分析1.2.2 1.2.2 平稳过程的基本数字特征平稳过程的基本数字特征 如果随机过程的如果随机过程的统计特性不随时间的推移而变化统计特性不随时间的推移而变化。严格。严格地说，对于某一实数域（通常是指时间域地说，对于某一实数域（通常是指时间域 ），如果对任），如果对任意意的的t1，t2，tn 和任意实数和任意实数h，当，当 t

22、1+h，t2+h，tn+h 时，时，n 维随机变量维随机变量x(t1)，x(t2)，x(tn) 和和 x(t1+h)，x(t2+h)，x(tn+h) 具有具有相同相同的的分布函数分布函数，则称随机过程，则称随机过程 x(t)，t 具有平具有平稳稳性，并称此过程为性，并称此过程为平稳随机过程平稳随机过程，简称，简称平稳过程平稳过程。2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 由平稳过程的定义，对于任意由平稳过程的定义，对于任意 t，t +T，一维随机变，一维随机变量量 x( (t) )和和 x( (t+) )同分布。取同分布。取= -t，则有，则有（.11） 同样，同样， x(

23、(t) )的的均方值函数均方值函数x2 和和方差函数方差函数x2 亦均为亦均为常常数数。在式（。在式（1.2.4）和（）和（1.2.5）中，令）中，令t2=t 和和 t1 t2=，就有，就有（.12） 这表明这表明平稳过程平稳过程的的相关函数相关函数和和协方差函数协方差函数仅是仅是时间差时间差 = t1 t2 的函数的函数。当。当x( (t) )为为零均值零均值平稳过程，就有平稳过程，就有常数 xxmxtxtm(0)E)(E)()()()(E),()()()(E),(*xxxxxxCmtxmtxttCRtxtxttR2)0()0()()(xxxxxRCRC和2022-5-8波

24、形、频谱与随机信号分析 满足式（满足式（.11）和（）和（.12）的随机过程称为）的随机过程称为弱平稳弱平稳过程过程或或广义平稳过程广义平稳过程；反之，则为；反之，则为非平稳过程非平稳过程。相对地，按。相对地，按分布函数分布函数定义的平稳过程称为定义的平稳过程称为严格平稳过程严格平稳过程。 类似地，类似地， 如果如果 Rxy(t1，t2) 只是只是时间差时间差 t1 t2=的的单变量单变量函数函数，记为，记为Rxy( () )，则称，则称 x( (t) ) 和和 y( (t) ) 是是平稳相关平稳相关的。的。 平稳相关过程平稳相关过程 x( (t) ) 和和

25、 y( (t) ) 的的互协方差函数互协方差函数可写成可写成 由上式可见，当由上式可见，当 x( (t) ) 和和 y( (t) ) 中有一个是中有一个是零均值零均值的，则的，则互互相关函数相关函数和和互协方差函数互协方差函数相等相等。 前面讨论的平稳和非平稳性概念，是指随机过程前面讨论的平稳和非平稳性概念，是指随机过程总体平总体平均均特性而言的。如果可用总体中的某个特性而言的。如果可用总体中的某个样本函数样本函数的的时间平均时间平均*)()(yxxyxymmRC 2022-5-8波形、频谱与随机信号分析来代替来代替总体平均总体平均 ,即对于任意即对于任意T，平稳过程，平稳过程 x( (t)

26、) 中的第中的第k个样本函数个样本函数xk( (t) )的的均值均值和和自相关函数自相关函数可分别表示成可分别表示成 （.13）（.14）则称此平稳过程具有则称此平稳过程具有各态历经性各态历经性或或遍历性遍历性（ergodicity）。）。 在大多数情况下，表示平稳物理现象的随机数据，一般在大多数情况下，表示平稳物理现象的随机数据，一般是是近似各态历经近似各态历经的。因此，如果能够事先确定某随机过程是的。因此，如果能够事先确定某随机过程是各态历经的，则各态历经的，则只要验证单个样本记录的平稳性，就可有效只要验证单个样本记录的平稳性，就可有效地判定该记录所属的

27、随机过程能否满足平稳性和遍历性。地判定该记录所属的随机过程能否满足平稳性和遍历性。xTkTxmttxTxkmd)(1lim)(0)(d)()(1lim),(0*xTkkTxRttxtxTkR2022-5-8波形、频谱与随机信号分析1.2.3 1.2.3 相关函数的性质相关函数的性质 假设假设 x(t) 和和 y(t) 是平稳相关过程，是平稳相关过程， Rx()，Ry() 和和Rxy()分别是它们的分别是它们的自相关函数自相关函数和和互相关函数互相关函数，则它们具有，则它们具有以下五个性质以下五个性质: Rx(0) = Ex2(t) =x2 0，表示平稳过程，表示平稳过程 x(t) 的的“平平均

28、功率均功率”。 Rx*(-) = Rx()； Rxy*() = Ryx(-)。 这些关系这些关系可以从它们的定义直接得到。可以从它们的定义直接得到。 关于关于相关函数相关函数和和互相关函数互相关函数有下列不等式：有下列不等式： 根据定义和根据定义和 Cauchy-Chwartz 不等式不等式|(0)|(0)| )(0)| )(|2yxxyxxRRRRR |和2022-5-8波形、频谱与随机信号分析可证得。可证得。 相关函数相关函数表示同一过程（或波形）表示同一过程（或波形）相差时刻相差时刻的的相似程相似程度度。在相关函数中还可以定义。在相关函数中还可以定义自相关系数自相关系数（或归一化协方（或

29、归一化协方差），即波形差），即波形 x(t) 的的协方差函数协方差函数与与均方差均方差之比之比：（.15） 互相关函数互相关函数表示表示两个过程两个过程（或波形）（或波形）相差时刻相差时刻的的相似相似程度程度。定义。定义互相关系数互相关系数为为（.16）|)(E|)(E|)(*)(|E222tytxtytx 2*)()(E(0)()(xxxxxxmtxmtxCC yxyxxyyxxyxymmRCCC*)(0)(0)()( 2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 显然显然, |x()| 1， |xy()|1。注意，许多教科书将。注意，许多教科书将xy() 定

30、义定义相关系数相关系数。 如果如果 x(t) 和和 y(t) 不相关，根据定义式（不相关，根据定义式（1.2.8），则有），则有xy() = 0。这表明随机变量。这表明随机变量 x(t)-mx 和和 y(t)-my 是是正交正交的，于是的，于是即即（.17） Rx()是是半正定半正定的，即对于任意数组的，即对于任意数组 t1,tn 和和任任意实或复值函数意实或复值函数 g(t) 都有都有)()E()()E(222yxyxmymxmymx 222yxyx 0)()()(1,* jjijixitgttRtg2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 如果如果Ru是半正定矩阵函数，那

31、么，对于是半正定矩阵函数，那么，对于 t1,tk 和和C1,Ck Cn,有有（.19） （5）如果平稳过程）如果平稳过程 x(t) 的概率分布函数满足的概率分布函数满足Px(t+T0)=x(t)=1则称它是则称它是周期周期为为T0的的平稳过程平稳过程。周期平稳过程周期平稳过程的的相关函数相关函数必必是是周期周期为为T0的的函数函数。.4 功率谱及其性质功率谱及其性质 首先给出首先给出傅立叶变换对重要定理傅立叶变换对重要定理，然后将，然后将确定性函数确定性函数的的功率谱密度功率谱密度的定义推广到的定义推广到随机过程随机过程，建立起，建立起相关函数相关函数与与功率

32、功率谱密度谱密度之间的之间的关系关系。0)(1,H jjijiuiCttRC2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 （1 1）帕塞瓦尔）帕塞瓦尔（Parseval）定理定理 假设确定性函数假设确定性函数 x(t)的傅立叶变换存在，即的傅立叶变换存在，即（.20）式中，式中，X() 称为称为 x(t) 的的频谱频谱，它一般是角频率的复函数。，它一般是角频率的复函数。 当当 x(t) 为实函数时，有为实函数时，有 其中，其中，X*() 表示表示 X() 的共轭函数。的共轭函数。 在在 x(t) 和和 X() 之间存在如下关系，即（之间存在如下关系，即（Parseval）定）定理

33、：理：（.21）teXtxtetxXttd)(21)(,d)()(jj )()(),()(* XXXXd| )(|21d)(22 Xttx2022-5-8波形、频谱与随机信号分析等式左边表示等式左边表示 x(t) 在时域上的总能量，而右边的被积函数在时域上的总能量，而右边的被积函数 |X()|2 称为称为 x(t) 的能谱密度。这样，的能谱密度。这样，Parseval定理又可理解定理又可理解为总能量的谱表达式。为总能量的谱表达式。（2 2）功率谱密度）功率谱密度 很多确定性函数的总能量是无限的，很多确定性函数的总能量是无限的，所以式（所以式（1.2.21）是无意义的。为此，选

34、有限时间）是无意义的。为此，选有限时间T，对，对x(t) 构造限时（截尾）函数：构造限时（截尾）函数： （.22） 令令T，则由式（，则由式（1.2.21）可以写出限时函数）可以写出限时函数 xT(t) 在区间在区间-T，T 上的总平均功率：上的总平均功率： TtTttxtxT|0|),()( d| )(|T21lim21d)(T21lim22TTTTTXttx2022-5-8波形、频谱与随机信号分析式中，式中，XT() 是是 XT (t) 在在区间区间 -T，T 上的傅立叶变换。上的傅立叶变换。 定义定义如果如果 （.23）则称则称x()为为x(t) 的的

35、功率谱密度函数功率谱密度函数，简称，简称谱密度谱密度；而；而x()d称为称为谱分布函数谱分布函数。 （3 3）平稳过程的谱密度）平稳过程的谱密度 考虑随机过程考虑随机过程 x(t)，当然，当然x2(t) 也是随机过程。对于随机过程直接使用上式是不方便也是随机过程。对于随机过程直接使用上式是不方便的，但只要对式的，但只要对式（.23）两边取两边取均值均值，就可得到适合于平，就可得到适合于平稳过程的平均功率表达式：稳过程的平均功率表达式：),(lim)(,| )(|T21),(2TXTxTxTx d)(21d)(T21limlim2xTTTTTttxP2022-5-8波形、频谱与

36、随机信号分析（.24）其中，将随机变量其中，将随机变量 x(t) 的谱密度定义为的谱密度定义为（.25） 对于平稳随机过程对于平稳随机过程x(t)，均方值函数，均方值函数EEx2( (t t)与时间无与时间无关，由式关，由式（.24）可知可知即即平稳过程平稳过程的的平均功率平均功率等于该过程的等于该过程的均方值均方值或或Rx(0)。d)(21d),(lim21d| )(|ET21lim21d)(ET21lim22 xxTTTTTTTXttx| )(E|T21lim),(lim)(2TTxTxXT 222d)(21d)(T21lim)(Exx

37、TTTttxtx p.472022-5-8波形、频谱与随机信号分析 (4(4）维纳）维纳- -辛钦（辛钦（Wiener-KhintchineWiener-Khintchine）公式）公式 谱密度的谱密度的一个重要性质表现在它与相关函数的关系上。具体地说，对一个重要性质表现在它与相关函数的关系上。具体地说，对于平稳随机数据，这两者可由傅立叶变换联系起来，即于平稳随机数据，这两者可由傅立叶变换联系起来，即 （1.2.261.2.26）（1.2.271.2.27） 证明证明 考虑式（考虑式（1.2.25），将），将x(,T )中的平方项写成二中的平方项写成二重积分，得到重积分，得到 d)()(j e

38、Rxxd)(21)(jeRxx TTttTTtTTtTTxtttxtxttxtetxT21)(j2*1*2j21j1dde )()(ET21de)(d)(ET21),(21212022-5-8波形、频谱与随机信号分析根据相关函数的定义，根据相关函数的定义，Ex(t1) x*(t2)=Rx(t1 t2)。故有。故有 令令 t1-t2=， t1= t，并将它们代入上式进行变量置换，则，并将它们代入上式进行变量置换，则在在图图1-31-3的的阴影区域阴影区域，有，有Rx()=常数。容易看出，该区域的常数。容易看出，该区域的面积面积等于等于(2T-|)d，而，而的变化范围为的变化范围为（-2T, 2T

39、）。因。因此此于是，由式（于是，由式（.25），可得），可得显然，上式成立的条件是显然，上式成立的条件是 TTttTTxxttettRT21)(j21dd)(T21),(21de)(|)|(2dde)(22j21j TTxTTTTxRTttR de)(de)()2|(1lim)(j22jxTTxTxRRT2022-5-8波形、频谱与随机信号分析对所考虑的平稳过程，这个条件必须加以检验对所考虑的平稳过程，这个条件必须加以检验, 证毕证毕。 d|)(|xR图图1-3 1-3 x x( () )的二重积分示意图的二重积分示意图02T-|t2 t1 t1 t2=+dt1 t2=ddT

40、-T-TT2022-5-8波形、频谱与随机信号分析在式（在式（1.2.27）中，令）中，令=0，则有，则有 因而，对于所有的因而，对于所有的，有，有x() 0。 如果随机变量如果随机变量 x(t)是实的，则是实的，则Rx()是实的是实的偶函数偶函数，因此，因此x()也是也是偶函数偶函数，即，即x()= x(-)。在这种情况下，基。在这种情况下，基本关系式（本关系式（1.2.261.2.26）和（）和（1.2.271.2.27）变成）变成 （1.2.281.2.28）（1.2.291.2.29） 按以上定义的谱密度按以上定义的谱密度x()对对的的正负值正负值都是有定义都是有定义的，故称为的，故称

41、为“双边谱密度双边谱密度”。0d)(21(0)2 xxxRd)cos()()(xxRd)cos()(21)(xxR2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 为了适应实际测量，考虑定义在为了适应实际测量，考虑定义在 0， 上的平稳过程上的平稳过程 x(t) ，定义，定义“单边谱密度单边谱密度”如下：如下： （1.2.301.2.30）在此，在此，XT() 是是 x(t) 的单边傅立叶变换。的单边傅立叶变换。 功率谱密度功率谱密度x()是在频域上描述随机过程是在频域上描述随机过程x(t)的统计的统计规律的最重要数字特征，它的物理意义表示规律的最重要数字特征，它的物理意义表示随机变量随机变量x(t)

42、的的平平均功率均功率在在频域频域上的上的分布分布。 （5 5）平稳过程的互谱密度）平稳过程的互谱密度 互谱密度函数是在频域上描互谱密度函数是在频域上描述两个随机过程之间的相关性的。在实际应用中，常常利用述两个随机过程之间的相关性的。在实际应用中，常常利用测控系统测控系统输入输出的互谱密度输入输出的互谱密度来确定来确定系统的传递特性系统的传递特性。 00,0),(2| )(E|1lim2)(2xTTxXTG2022-5-8波形、频谱与随机信号分析考虑两个平稳数据考虑两个平稳数据x(t) 和和y(t)，它们的互谱密度定义为，它们的互谱密度定义为 （1.2.311.2.31）式中，式中，XT()和和

43、YT()分别是分别是 xT(t) 和和 yT(t) 的傅立叶变换。容的傅立叶变换。容易证明，易证明，互相关函数互相关函数与与互谱密度互谱密度是一是一傅立叶变换对傅立叶变换对，即，即（1.2.321.2.32）（1.2.331.2.33）令令= 0，就有，就有 若若x(t)是通过一个双端网络的是通过一个双端网络的电压电压，y(t)是产生的输入是产生的输入电电流流，则，则Rxy(0)就等于输送到该网络的就等于输送到该网络的功率期望值功率期望值。)()()(ET21lim)(*yxTTTxyYX de)(21)(de)()(jjxyxyxyxyRR)()(Ed)(21(0)*tytxRxyxy 20

44、22-5-8波形、频谱与随机信号分析如果如果 x(t) 和和 y(t) 正交，则有正交，则有 （1.2.341.2.34）这时就有这时就有（1.2.351.2.35） 例例1-11-1 如果随机过程如果随机过程x(t)的均值为零，且的均值为零，且功率谱密度功率谱密度等于等于正常数正常数，即，即则称此过程为则称此过程为白噪声过程白噪声过程，它的功率（或能量）与频率无，它的功率（或能量）与频率无关，具有与关，具有与白色光白色光相同的能量分布性质。反之，相同的能量分布性质。反之，功率谱不等功率谱不等于常数的噪声称为于常数的噪声称为有色噪声有色噪声。0)(0,)( xyxyR)()()(),()()(

45、yxyxyxyxRRR 0)(,)(00 NNx2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 白噪声的相关函数为白噪声的相关函数为 图图1-41-4表示白噪声的相关函数和谱密度。可见，表示白噪声的相关函数和谱密度。可见，白噪声白噪声可可定义为定义为均值为零均值为零，且且相关函数为相关函数为函数函数的随机过程的随机过程x(t)。这个过程在这个过程在t1 t2时，时，x(t1) 和和 x(t2) 是不相关的。是不相关的。 )(de2de)(21)(0j0jNNRxx图图1-4 1-4 白噪声白噪声: (a) : (a) 相关函数相关函数 (b) (b) 谱密度谱密度N0N0( () )x( () )R

46、x( () )0 00 0( (a) )( (b) )2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 白噪声是一种白噪声是一种理想化理想化的数学模型，它的的数学模型，它的平均功率平均功率Rx(0)是是无限无限的。实用上，如果的。实用上，如果噪声噪声的的频谱频谱在一个在一个比比实际系统频带实际系统频带宽宽得多得多的的范围内范围内具有具有比较比较“平坦平坦”的的曲线曲线，就可，就可近似近似地当成地当成白白噪噪声声来处理。来处理。通常，把这种噪声称为通常，把这种噪声称为限带白噪声限带白噪声，它的谱密度，它的谱密度满足满足 对上式求傅立叶逆变换，可得对上式求傅立叶逆变换，可得 例例1-21-2 二进制伪随机

47、（二进制伪随机（Pseudo-noise）序列或）序列或 PN序列序列是是由由 1 和和 0 组成的序列，它的相关函数与白噪声很相似，它近组成的序列，它的相关函数与白噪声很相似，它近似为一个脉冲，但有一个似为一个脉冲，但有一个重复周期重复周期T。 |0,|,)(CxCCRxsinde21)(j 2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 最常用的最常用的PNPN序列序列就是就是 M 序列，可用图序列，可用图1-5带有线性反馈带有线性反馈的的 M 阶线性移位寄存器产生，其长度为阶线性移位寄存器产生，其长度为N = 2M-1比特，周比特，周期期 T =15t（M=4），其中），其中 t 为为时钟脉冲

48、时钟脉冲的的周期周期。在每个。在每个周期周期 T 产生产生 2M-1 个个 1，2M-1 个个 0，具有良好的平衡性。，具有良好的平衡性。 将由将由0，1组成的二进制序列变换为一个由组成的二进制序列变换为一个由-1，1组成组成的二进制序列。这个由的二进制序列。这个由-1，1组成的组成的等价序列等价序列 cn 称之为称之为双双极性序列极性序列。图图1-5 1-5 用于产生伪随机序列的用于产生伪随机序列的4 4阶移位寄存器阶移位寄存器时钟时钟（移位脉冲）（移位脉冲）t输出伪随机码输出伪随机码0，1，0，0，0 1T20 1T30 1T40 1T12022-5-8波形、频谱与随机信号分析周期周期T=

49、Nt，幅度，幅度A= 1的的M序列的自相关函数可用下式序列的自相关函数可用下式表示：表示： 因为因为序列序列cn是是周期性周期性函数，故其函数，故其自相关函数自相关函数RM()也也具有具有周期性周期性，如图，如图1-6所示。参数所示。参数 N 和和 t 决定了决定了M序列的特序列的特性。显然，性。显然，当当N ，RM() ()。由于由于RM()是是实的实的偶函数偶函数，故可根据式（，故可根据式（1.2.29）来计算它的谱密度，即）来计算它的谱密度，即可见，可见，M序列的功率谱密度函数是离散谱，且有一个序列的功率谱密度函数是离散谱，且有一个sinc 形形包络曲线，如图包络曲线，如图1-71-7所

50、示。所示。 tNtNtttNNRM1)(1)|1(1)(22/2)/sin(d)cos()|(1)(ttttttM 2022-5-8波形、频谱与随机信号分析Lt( (N-1) )t1/N0ttRM()1图图1-6 1-6 M M序列的自相关函数序列的自相关函数2/t2/（3t）OM( ()t3dB图图1-7 1-7 M M序列的功率谱密度函数序列的功率谱密度函数3dB3dB带宽带宽截止频率截止频率2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 （6 6）限时限带函数及采样定理）限时限带函数及采样定理 考虑实的周期函数或限考虑实的周期函数或限时函数时函数 x(t)。若时间函数若时间函数 x(t) 仅在

51、一段有限时间（仅在一段有限时间（0，T）内）内有非零值有非零值，则称为，则称为限时函数限时函数。限时函数。限时函数 x(t) 经周期延拓之经周期延拓之后，可化为周期函数，因此可表示为傅立叶级数：后，可化为周期函数，因此可表示为傅立叶级数：（1.2.361.2.36）其中其中 X(n) 称为称为 x(t) 在频率为在频率为n=2n / T 处的傅立叶系数，处的傅立叶系数，且满足且满足X(-n)= X*(n)。如果。如果 X(n)仅仅在以下频率范围仅仅在以下频率范围内才有非零值，则称内才有非零值，则称 x(t) 为为限时限带函数限时限带函数。这里，。这里，W表示频表示频带宽度（谱宽），带宽度（谱宽

52、），TW表示不超过表示不超过TW的最大整数。的最大整数。tetxTnXenXtxTtntnnd)(1)(,)()(0jj ,22TWnTWWWn 即2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 为方便起见，下面用为方便起见，下面用TW代替代替 TW 。将式（。将式（1.2.361.2.36）中）中的第一式可写成的第一式可写成 （1.2.371.2.37）式中，式中，X(n)=a(n)+jb(n)，通常，通常X(0)=0。 式（式（1.2.371.2.37）表明：完整地描述一个持续时间为）表明：完整地描述一个持续时间为T，谱宽，谱宽为为W的的限时限带实值函数限时限带实值函数，需要也仅需要，需要也仅需

53、要2TW个实数个实数a(n)和和b(n) 或或TW个复数个复数X(n)。这个结论实际上是。这个结论实际上是采样定理的另一采样定理的另一种叙述方式种叙述方式。在工程上，采样频率一般取为信号。在工程上，采样频率一般取为信号上限频率上限频率的的3 3 5 5倍倍。)sin()()cos()(2(0)()(0)()(1j*1jjtnbtnaXenXenXXenXtxnTWnntTWntTWTWntnnn 2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 （7 7）周期函数的帕塞瓦尔公式）周期函数的帕塞瓦尔公式 周期函数或限时限带函周期函数或限时限带函数的帕塞瓦尔公式可表示为数的帕塞瓦尔公式可表示为（1.2.3

54、81.2.38） 证明证明 由式（由式（1.2.361.2.36），并利用），并利用零均值零均值条件、实函数傅立条件、实函数傅立叶变换的叶变换的共轭对称性共轭对称性和和三角函数的三角函数的正交性正交性，可得，可得 式中，式中，Re表示取实部。如果表示取实部。如果x(t)是在是在（t-T，t）内被观测，内被观测，则式（则式（.24）中的积分区间（）中的积分区间（0，T）可改为（）可改为（t-T，t）。）。2102| )(|2d)( TWnTnXTttx21*1002| )(|2)()(Re2)()(d)expj()()(d)( TWnTWnTWTWnTmnTWTWnTWTWmT

55、nXTnXnXTnXnXTttmXnXttx2022-5-8波形、频谱与随机信号分析1.3 1.3 线性系统的时频分析线性系统的时频分析 假设施加于图假设施加于图1-81-8所示系统所示系统的输入信号为的输入信号为 x(t)，则系统产生，则系统产生的输出的输出 y(t) 为为（1.3.1)1.3.1)线性系统线性系统物理可实现物理可实现稳定的稳定的频率响应函数频率响应函数 H(j)脉冲响应脉冲响应函数函数 h(t)傅立叶变换傅立叶变换传递函数传递函数 H(s)s = + j |=0拉普拉斯变换拉普拉斯变换y( (t) )x( (t) )h( (t) )H( (j) )图图1-8 1-8 线性系

56、统的输入线性系统的输入- -输出输出 d)()(d)()()(thxhtxty2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 对于物理对于物理可实现的因果系统可实现的因果系统，其，其脉冲响应函数脉冲响应函数 h(t) 是实是实数，且对于数，且对于负的负的 t 取取零值零值。但在下面的讨论中不一定要作这。但在下面的讨论中不一定要作这样的假设。样的假设。1.3.1 1.3.1 线性系统的相关分析线性系统的相关分析 相关分析相关分析和和最小二乘法最小二乘法是系统分析和参数估计最常用的是系统分析和参数估计最常用的两种方法。这此仅介绍相关分析法。两种方法。这此仅介绍相关分析法。 （1 1）均值）均值 假设线性

57、系统的输入信号假设线性系统的输入信号x(t)是一平稳过是一平稳过程，对式（程，对式（1. 3.1）的两边取均值，则有）的两边取均值，则有显然，显然，y(t)的期望值是常数，由下式给出的期望值是常数，由下式给出 d)()(E)(Ehtxty2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 （1.3.2)1.3.2) （2 2）相关分析）相关分析 在式（在式（1.3.1）的两边同乘以）的两边同乘以 x*(t -)，得到得到（1.3.3)1.3.3)由于由于所以，在式所以，在式（.3）两边取期望值，就有两边取期望值，就有 xxymHhmm(0)d)( d)()()()()(*htxtxtxt

58、y)()()(E* xRtxtx d)()()()(E*hRtxtyx2022-5-8波形、频谱与随机信号分析 上式右边积分显然与上式右边积分显然与 t 无关，且等于无关，且等于 Rx() 与与 h()的卷的卷积。因而上式左边也与积。因而上式左边也与 t 无关。于是，根据互相关的定义，无关。于是，根据互相关的定义，得到得到（.4）将式（将式（.1）两边的复共轭两边的复共轭乘以乘以 y(t+)，有，有再取期望值再取期望值，又有，又有（.5）上式是令上式是令 = - 的结果。同样的推理，可类似地证明的结果。同样的推理，可类似地证明（.

59、6）)(*)()(hRRxyx d)()()()()(*htxtytyty)(*)(d)()()(* hRhRRyxyxy)(*)()(),(*)()(*hRRhRRxyyxxy 2022-5-8波形、频谱与随机信号分析合并以上二式，可得合并以上二式，可得 （.7） （3 3）功率谱）功率谱 利用卷积定理，式（利用卷积定理，式（.6）可写成）可写成 （.8）其中其中H*(j) 是是 h*(-) 的傅立叶变换。于是有的傅立叶变换。于是有（.9）上述关系可用图上述关系可用图1-91-9来表示。来表示。 （4 4）传递函数）传递函数 H

60、 (j)在平稳输入信号在平稳输入信号 x(t) 作用下，产作用下，产生的输出生的输出 y(t)。当用功率谱表示时，由式（。当用功率谱表示时，由式（.9）可得到增）可得到增益因子的估计：益因子的估计：)(*)(*)()(*hhRRxy)(j)()(),(j)()(*HHxyyxxy 2| )(j| )()()(j*)()(HjHHxxy 2022-5-8波形、频谱与随机信号分析（.10）上式只含有系统的上式只含有系统的幅频特性幅频特性。 为了求出系统的为了求出系统的相频特性相频特性()，还需要互谱分析。由，还需要互谱分析。由（.8）的第一式，可知