中考专题中线倍长法和截长补短

1、范文范例指导参考word版整理几何证明中常用辅助线(一)中线倍长法：例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。1已知：如图， ABC中，AD是 BC边上的中线，求证：AD c方式3:婚C。AD于F,JM，作BHAD的延长线于E B=ZDJ/*-、连接 BEBdCE例 3、 ABC中，AB=5, AC=3,新线 AD的取WOT例4、已知在 ABC中，AB=AC D在AB上，E在AC的延长线上，于 F,且 DF=EF 求证：BD=CE课堂练习： 已知CD=AB / BDA=/ BAD AE是4ABD的中线，方式1:延长AD到E,使 DE=AD连接BE方式2:间接倍长AA 延长 MD!ij

2、 N,使 DN=MDC C.连接CDNADDE交 BC BLACABcBCA范文范例指导参考word版整理图4-1作业:1、在四边形 ABCD, AB/ DC E为BC边的中点，/ BAEEAF, AF与DC的延长线相交于 点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论CB2、已知：如图， AABC中，/C=90。，CMAB于 M AT平分/BAC交 CMT D,交 BC于 T,过 D作 DE/AB 交 BC于 E,求证：CT=BE.3:已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且 BE=AC延长BE交AC于F, 求证：AF=EF（二）截长补短法教八年级上册课本中

3、，在全等三角形部分介绍了角的平分线的 性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形 下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.例1.已知，如图1-1 ,在四边形 ABCD3, BO AB AD=DC BD平分/ ABC求证：/ BAD/BCB180 .分析：因为平角等于180。，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺 少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补1-2短法”来实现.证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点 E,彳DFL BC于点F,如图1-2 B叶分/ ABC DE=

4、DF在 RtAADEW RtACDF,DE = DFAD =CDRtAADE RtCDFH。，. / DA巨/ DCF又/ BAB/DAE：180 , BAB/DCE180 ,即/ BAB/BCR180 .例2.如图2-1 ,AD/BG点E在线段AB上，/AD巨/CDE / DC巨/ECB求证：CD=AHBCCD上截取CF=CB分析：结论是CDADbBC可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 只要再证DSDA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的证明：在CD上截取CF=BQ如图2-2在 FCE BC印，CF =CBFCE = BCECE =CE .FCE BCE (SA

5、S , ./ 2=Z 1.又. AD/ BQ/ADG/BCB180 , ./ DCEZ CDE90 ,，/2+/3=90 , / 1 + 74=90 ,/ 3=/4.在 FDE AAD计，/FDE =/ADEDeBaBE . . ADDCBE即 DGBEABAEPE =PDUPEA =DCAE =DC在 RtAPE与 RtA CPD43,RtAAPEiRtCPDSAS), / PAEZ PCD又 / BAF+Z PAE180 ,./ BAR/BCR180例4.已知：如图 4-1 ,在ABC4 Z C= 2/B, / 1 =求证：A&AQCDAC至 E使 CE=CD分析：从结论分析，“截长”或“

6、补短”都可实现问题的转化，即延长或在AB上截取AF=AC证明：方法一（补短法）延长AC到E,使DGCE则/ CD号/ CED如图4-2 .Z ACB= 2/ E,. / ACB= 2/ B,/ B= / E,在 ABDW AE叶,.1 =，2.B EAD =AD. .AB坐 AED（AAS ,，AB=AE图4-3又 AEAC+CEAGDC AB=AGDC 方法二（截长法）在AB上截取 AF=AC如图4-3在 AFD AC加,AF - AC，/1 =/2AD =ADAFW ACDSAS , DF=DC / AFD= / ACD 又 / ACB= 2/B, / FDB= / B, FD=FB. A

7、B=AF+FB=AGFD, . .ADAGCD上述两种方法在实际应用中， 时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进 行分析。让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。作业：1、已知：如图， ABCDI正方形，/ FAD=/FAE求证：B&DF=AE2、五边形 ABCD呼，AB=AE, B（+DE=CD / ABG/AEB180 ,求证：AD平分/ CDE范文范例指导参考（三）其它几种常见的形式：1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。例1、如图1:已知 AD为 ABC的中线，且/ 1 = /2, /3=/4,求证：BE+ CF

8、EF.word版整理图62、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例：如图 2: AD 为ABC勺中线，且 / 1 = /2, /3=/4,求证：BE+ CF EF.外作等腰直角三角形，如图4,求证EF= 2AD练习：已知 ABC AD是BC边上的中线，分别以 AB边、AC边为直角边各向形3、延长已知边构造三角形：例如：如图6:已知AO BD, ADL AC于A , BCL BD于B,求证：AD= BC范文范例指导参考4、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 7: AB/ CD AD/ BC求证：AB=CD,/ 1 = / 2, CELBD

9、的延5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图 8:在 RtzXABC中，AB= AC Z BAC= 90 长于E 。求证：BD= 2CE.6、连接已知点，构造全等三角形例如：已知：如图9; AC BD相交于。点，且AB= DC AO BD求证/ A= / D.8、取线段中点构造全等三有形。例如：如图 10: AB= DC /A= /D 求证：/ ABC= / DCB.截长补短专题训练作业：1、如图，等腰梯形 ABCD, AD/ BC AB=DC E为AD中点，连接 BE CE(1)求证：BE=CE(2)若/ BEC=90 ,过点B作BHCD垂足为点F,交CE于点G,连接D

10、G求证：BG=DG+CD(1)若/ D=105 , / DAF35。.求/ FAE的度数；(2)求证：AF=CDfCF3、如图，直角梯形 ABCD43, AD/ BC Z B=90 , / D=45 .(1)若AB=6cm sin/BCA二三求梯形ABCD勺面积；5(2)若E、F、G H分别是梯形 ABCM边AB BC CD DA上一点，且满足CFD一2题图EF=GH / EFH至 FHG2.如图，DABC珅，E是BC边的中点，连接 AE F为CDi上一点，且满足/ DFA=2/BAE4、如图，梯形 ABCD43, AFAB,连接 EF.(1)若 EF AF, AF=4, (2)若点F是CD的

11、中点An口BF CAD/ BC 点 E 在 BC上,AE=BE 且 A DAB=6,求 AE 的长./ ，求证： CE=BE AD./、厅5.在DABCD中，对角线 BD_LBC, /BAD、 /CBD的平分线相交于点E/sBECG为BD延长线上一点且 AABG为等边三角形，,连接AE交BD于F ,连接GE.(1)若口 ABCD的面积为9方，求AG的长；(2)求证：AE = BE+GE.6.已知：如图，在矩形 ABCD中，AP -L PC. PC交 AD 于点 N ,word 版AC是对角线.点P为矩形外一点且满足 PPC7连接DP ,过点P作PM _L PD交AD于M . P PA/D整理MN D41(1)：右 AP = J5, AB= BC ,求矩形 ABCD 的面积;3(2)：若 CD = PM ,求证：AC = AP + PN .7、如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接 DP,过点B作BE_LDP交DP的延长线于点 E ,连接 AE