高三复习指数对数函数及其应用老师版

1、v1.0 可编辑可修改指数对数函数及其应用、指数运算一）指数与指数幂的运算1根式的概念：一般地，如果 xna，那么 x叫做 a的n次方根，其中n >1，10第 14 页 共 12 页且nN*负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0 ，记作 n 00。当n是奇数时， n an a，当 n是偶数时，|a|a (a 0)a (a 0)mn 1 1 aamnnam (a0,m,n N ,n 1)0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义例题 1：（ -5）22833134364 4812分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定： m n n mN ,n 1) ，a n a （a 0,m

2、,n3实数指数幂的运算性质1) ar as ar s a 0,r,sR；r s rs2) (a ) a(a 0,r,s R)；3) ab r ar br a 0,b 0,r R例题 2：若 10x 3,10y 4，则10x y例题 3：若 a 0，且 m,n为整数，则下列各式中正确的是mA、am an a n Bnmananm、aam n、1例题 4：若 102x 25，则 10 x 等于A、15二)指数方程计算1501625例题 1：解下列方程1)92x1 3 x2)9x 83x3)16x 36x 2 81x例题2：若 x1,x2为方程 2 x(12) x1的两个实数解，则x1x2例题3：若

3、 32x 9 10 3 x，1的值。例题4：若关于 x 的方程 9x(a 4) 3x 4 0 有实数解，求实数 a 的取值范围（三）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 y a （a 0,且a 1） 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1 2、指数函数的图象和性质a>10<a<1定义域 R定义域 R值域 y> 0在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定点（ 0， 1）值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定点（ 0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还

4、可以看出：（1）在a，b上，f（x） ax（a 0且a 1）值域是f（a）,f（b） 或f（b）,f（a）；a；2)对于指数函数 f(x) a (a 0且a 1)，总有 f(1)例题 5：函数 y 2x 1 是( A2x 1A、奇函数B 、偶函数)C 、既奇又偶函数 D 、非奇非偶函数例题 6：设 f(x) 4x4 a，且 f (x)的图象过点 (12,21)，1)求 f(x) 表达式， 例题 9：求函数 y2 x 3x 4 的定义域、值域和单调区间 解：要使函数有意义，则只需 x2 3x40，即 x23x 40，解得 4x1. 函数的定义域为 x| 4x1 2)试求 f 201112 f 3

5、2011 2011f 22000191 f 22001101 的值例题 7：设a R， f(x)a 2xa22x 1(xR) ，试确定 a的值，使 f(x)为奇函数2 2 3 2 25令 t x23x4，则 t x23x4( x2) 2 4，25 3当 4 x 1时， t max 4 ，此时 x 2， t min 0，此时 x4或 x1.25 2 50t 4. 0 x23x42.函数 y(1) x2 3x 4 的值域为 2，1 28由 t x23x4( x23) 2 245( 4 x 1)可知，3当 4x 2时， t 是增函数，3当 2 x1 时， t 是减函数根据复合函数的单调性知：y (1

6、) x 3x 4在 4， 3上是减函数，在 3，1上是增函数2 2 233函数的单调增区间是 2，1 ，单调减区间是 4， 2例题 10：若函数 ya2x2ax1(a>0且 a1)在 x1,1 上的最 大值为 14，求 a 的值解：令axt ， t >0，则 yt 22t 1（ t 1） 22，其对称轴为 t 1.该二次函数在 1， ） 上是增函数x 1 2若 a>1，x1,1 ，ta ，a ，故当 ta，即 x 1时， ymax a22a 114 ， a解得 a3（a5 舍去）若 0<a<1， x 1,1 ，x 1 1 taa， ，故当 t ，即 x 1时， a

7、a12 ymax （ 1） 2 14.a11 a 3或 5（ 舍去 ）1 综上可得 a 3 或 3.、对数函数一）对数1对数的概念：一般地，如果a x N （a 0,a 1） ，那么数 x叫做以a为底N的对数，记作： x logaN（a 底数，N 真数， logaN 对数式） 说明：1 注意底数的限制 a 0，且 a 1；x2 a N log a N x ；loga N3 注意对数的书写格式两个重要对数：常用对数：以 10为底的对数 lgN ；2 自然对数：以无理数 e 2.71828 为底的对数的对数 ln N （二）对数的运算性质如果a 0，且 a 1，M 0， N 0，那么：loga M

8、 loga N；logaMnn log a M(n R)注意：换底公式logcblog a blogca （a 0，且 a 1；c 0，且 c 1；b 0）利用换底公式推导下面的结论logam bn1) amn loga blogab2)1logbaB.5 C. 62D例题 2：log89 的值是(log23）A2B 1 C 3 D 232例题 1：若 xlog2 31，则 3x 9x的值为 :例题 3：已知 lg2= a，lg3= b，则 lg 12等于( ) lg152a ba 2b2a ba 2bABCD1ab1 a b1ab1ab(二)简单的指数对数方程例 1 解下列方程：1) 5xx

9、2 13x 12) log5(x1) log0.2(x 3)2)3)4)5)3) log (16 3x) (x 2)4) xlgx 2 1000两边取对数得 x 1 lg5解得 x1或 log 315 ，由原方程得：log5(x2x1)2x经检验，只有 x1原方程可转化为 x经检验，只有 x2两边取对数， lg xlg x1 lg3 ，即x 1 lg51 lg3 0 ，所以原方程的解为x1或 xlog 315log 5(x 3) 1 8 0 x1 4,x2x1log5(x21)(x 3) 14 符合，所以原方程的解为2 16 3x (x3符合，所以原方程的解为2 lg1000, (lg x)2

10、4.2)22lg163。x33x x14,x2 30,解方程得 lg x 1, lg x 3,x 10 或 x ，经检验都是方程的根。 1000例题 2：已知关于 x 的方程 32x 1 （m 1）（3x 1 1） （m 3）3x 0（m R）. （1）当 m=4时，解此方程；（三）对数函数1、对数函数的概念：函数 y loga x（a 0，且 a 1）叫做对数函数，其中 x是 自变量，函数的定义域是（ 0，+）注意： 1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y log xy 2log2x，y log5 5 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数2 对数函数对底数的限制：

11、 （a 0，且 a 1）2、对数函数的性质：a>10<a<12.521.51110.511101-1.5-2-2.5定义域 x> 0定义域 x> 0值域为 R值域为 R在 R 上递增在 R 上递减函数图象都过定点（ 1，0）函数图象都过定点（ 1， 0）例题 4：设集合 A x|x2 1 0, B x|log2x 0|,则A B等于()Ax|x 1 Bx|x 0Cx|x 1Dx| x1或x 1例题 5：函数 y= log 1（2x 1） 的定义域为（）211A（ 1，） B 1， ）C（ 1，1 D（ ， 1）22例题 6：函数 y log a（2x 5） 1 恒

12、过定点 （ ）A , 1) B ( 3, 1 ) C ( , 0 ) D ( 1, 0 ) 例题 7：函数 y 3 log3 x 的定义域为()A、( ,9 B、 (0,27C 、 (0,9 D、( ,27例题 8：已知函数 f（x）=lg（a2 1）x2（a1）x1，若 f（x） 的定义域为 R， 求实数 a 的取值范围 .例题 9、已知函数xx10xxf (x) x10x1100 x，判断 f(x)的奇偶性和单调性。10x 10 x f(x) 10x 10 x102x 1102x 1,xR，f(10 x 10xx) 10 x 10x102x 1102x 1 f(x), x R f (x)

13、是奇函数2) f (x) 11002x102x1,x R.设 x1,x21) ，且 x1 x2 ，则 f (x1) f (x2 )102x1 1102x1 1102x2 1102x2 12(102x1 102x2 )1)(102x1 1)(102x20， ( 102x1102x2) f (x) 为增函数。例题 10、已知函数 f (x23)lgx22x，6(1) 求 f (x) 的定义域；(2) 判断 f(x)的奇偶性。21) f (x2 3) lg 2xxx2lg x2 3333， f (x)lg xx 33x3又由2x2x0得6x2 3 3， f ( x)的定义域为 3,2) f (x) 的定义域不关于原点对称，f (x) 为非奇非偶函数。2例题 11：已知函数 f(x) log3 mx 2 8x x1n 的定义域为 R ，值域为 0,2，求 m,n的值由 f (x)