MATLAB求解微分方程实验ppt课件

1、1实验实验Experiments in Mathematics微微 分分 方方 程程 求求 解解2实验目的实验目的实验内容实验内容MATLAB2、学会用、学会用Matlab求微分方程的数值解求微分方程的数值解.实验软件实验软件1、学会用、学会用Matlab求简单微分方程的解析解求简单微分方程的解析解.1 1、求简单微分方程的解析解、求简单微分方程的解析解. .2、求微分方程的数值解、求微分方程的数值解.3微分方程的解析解微分方程的解析解 求微分方程组的解析解命令:dsolve(方程方程1, 方程方程2,方程方程n, 初始条件初始条件, 自变量自变量)留意： y Dy，y D2y 自变量名可以省

2、略，默许变量名t。例11)0(,12yydxdy输入：y=dsolve (Dy=1+y2) y1=dsolve(Dy=1+y2,y(0)=1,x)输出：y= tan(t-C1) 通解 y1= tan(x+1/4*pi) 特解MATLAB软件求解5例2 常系数的二阶微分方程0)0( , 1)0(, 032 yyyyyy=dsolve(D2y-2*Dy-3*y=0,x)y=dsolve(D2y-2*Dy-3*y=0,y(0)=1,Dy(0)=0,x)输入：y = C1*exp(-x)+C2*exp(3*x)y = 3/4*exp(-x)+1/4*exp(3*x)结果：6x=dsolve(D2x-(

3、1-x2)*Dx+x=0, x(0)=3,Dx(0)=0)例3 非常系数的二阶微分方程0)0( , 3)0(, 0)()( )(1 ()( 2xxtxtxtxtx无解析表达式！7x=dsolve(Dx)2+x2=1,x(0)=0)例4 非线性微分方程0)0(, 1)()( 22xtxtxx = sin(t) -sin(t)假设欲求解的某个数值解，如何求解？t=pi/2; eval(x)MATLAB软件求解8输入：x,y=dsolve(Dx=3*x+4*y,Dy=-4*x+3*y) x , y = d s o l v e ( D x = 3 * x + 4 * y , D y = -4*x+3*

4、y,x(0)=0,y(0)=1)例51)0(0)0(3443yxyxdtdyyxdtdx输出： x =-exp(3*t)*(C1*cos(4*t)-C2*sin(4*t) y =exp(3*t)*(C1*sin(4*t)+C2*cos(4*t) x =exp(3*t)*sin(4*t) y =exp(3*t)*cos(4*t)MATLAB软件求解9解解 输入命令输入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z, . Dy=4*x-5*y+3*z,. Dz=4*x-4*y+2*z, t); x=simple(x) % 将将x简化简化 y=simple(y) z=simple(

5、z)结 果 为：x =C3*exp(2*t)+exp(-t)*C1 y =C2*exp(-2*t)+C3*exp(2*t)+exp(-t)*C1 z =C2*exp(-2*t)+C3*exp(2*t)10微分方程的数值解微分方程的数值解一常微分方程数值解的定义一常微分方程数值解的定义 在消费和科研中所处置的微分方程往往很复杂且大多得不出普通解。而在实践上对初值问题，普通是要求得到解在假设干个点上满足规定准确度的近似值，或者得到一个满足准确度要求的便于计算的表达式。因此，研讨常微分方程的数值解法是非常必要的。因此，研讨常微分方程的数值解法是非常必要的。的相应近似值求出准确值，值处，即对的若干离散

6、的开始其数值解是指由初始点，：对常微分方程nnnyyyxyxyxyxxxxxxyxyyxfy, )(,),(),( )(),( 2121210000返 回11二建立数值解法的一些途径二建立数值解法的一些途径001)()( , 1, 2 , 1 , 0 , yxyx,yfynihxxii解微分方程：可用以下离散化方法求设1、用差商替代导数、用差商替代导数 假设步长h较小，那么有hxyhxyxy)()()( 故有公式：1-n,0,1,2,i )(),(001xyyyxhfyyiiii此即欧拉法。122、运用数值积分、运用数值积分对方程y=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有

7、：)(,()(,(2)(,()()(11111iiiiiixxiixyxfxyxfxxdttytfxyxyii实践运用时，与欧拉公式结合运用：, 2 , 1 , 0 ),(),(2),()(11)1(1)0(1kyxfyxfhyyyxhfyykiiiiikiiiii的计算。然后继续下一步，取时，当满足，对于已给的精确度）（ y y 2i111i)(1)1(1kikikiyyy此即改良的欧拉法。故有公式：)(),(),(200111xyyyxfyxfhyyiiiiii133、运用泰勒公式、运用泰勒公式 以此方法为根底，有龙格-库塔法、线性多步法等方法。4、数值公式的精度、数值公式的精度 当一个数

8、值公式的截断误差可表示为Ohk+1时k为正整数，h为步长，称它是一个k阶公式。k越大，那么数值公式的精度越高。欧拉法是一阶公式，改良的欧拉法是二阶公式。龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。返 回14三用三用Matlab软件求常微分方程的数值解软件求常微分方程的数值解t，x=solverf,ts,x0,optionsode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程写成的m-文件名ts=t0,tf，t0、tf为自变量的初值和终值函数的初值ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算

9、法自变量值函数值用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6),命令为：options=odesetreltol,rt,abstol,at, rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.15 1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量方式写成。 2、运用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必需等价地变换成一阶微分方程组。留意留意:( )(1)(1)( , , ,)(0), (0),(0)nnnyf t y yyyyy 选择一组形状变量(1)12,nnxy xyxy 122312,( ,)nnxxxxxf t x xx16留意1

10、、建立、建立M文件函数文件函数 function xdot = fun(t,x,y) xdot = x2(t)；x3(t)；f(t, x1(t), x2(t),xn(t)；2、数值计算执行以下命令、数值计算执行以下命令 t,x1,x2,xn=ode45(fun,t0,tf,x1(0),x2(0),xn(0)122312,( ,)nnxxxxxf t x xx17解解: 令令 y1= x，y2= y1= x1、建立m-文件vdp1000.m如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(

11、2)-y(1); 2、取t0=0，tf=3000，输入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-)3、结果如图050010001500200025003000-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5218解解 1、建立、建立m-文件文件rigid.m如下：如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，输入命令： T,Y=ode45(rigid,0 1

12、2,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)3、结果如图024681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*线，y3的图形为“+线.19例例9 Van der pol 方程：方程：0)0( , 3)0(0)()( )(1 ()( 2xxtxtxtxtx令令 y1=x (t), y2 = x(t) 0)0(3)0()1(211221221yyyyyyyy该方程无解析解！201编写M文件 ( 文件名为 vdpol.m): function dy = vdpol(t,y); dy

13、=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=(1-y(1)2)*y(2)-y(1); % 或 dy=y(2);(1-y(1)2)*y(2)-y(1);2编写程序如下:vdj.m t,y=ode23(vdpol,0,20,3,0); y1=y(:,1); % 原方程的解 y2=y(:,2); plot(t,y1,t,y2, - ) % y1(t),y2(t) 曲线图 pause, plot(y1,y2),grid % 相轨迹图，即y2(y1)曲线21 蓝色曲线 y1；原方程解 红色曲线 y2；05101520-3-2-10123Time,Secondy(1)and y(2)Va

14、n Der Pol Solution 计算结果22-3-2-10123-3-2-10123y1y2相轨迹图23例10 思索Lorenz模型：)()()()()()()()()()()()(321233223211txtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtx其中参数=8/3，=10，=28解：1编写M函数文件(lorenz.m); 2) 数值求解并画三维空间的相平面轨线； (ltest.m)241、 lorenz.mfunction xdot=lorenz(t,x)xdot=-8/3,0,x(2);0,-10,10;-x(2),28,-1*x;2、ltest.mx0=0 0 0.1;t,x=

15、ode45(lorenz,0,10,x0);plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*,t,x(:,3),+)pauseplot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3),grid on250246810-20-10010203040500204060-20020-20-100102030图中，x1的图形为实线(蓝，x2的图形为“* 线(绿)，x3的图形为“+线红。取t0，tf=0，10。计算结果如以下图：计算结果如以下图：26曲线呈震荡发散状三维图形的混沌状05101520-200204060050-20020-50050010203040-40-200204060050-20020-50050假设自变量区间取0，20、0，40，计算结果如下：27察看结果： 1、该曲线包含两个“圆盘，每一个都是由螺线形轨道构成。某些轨道几乎是垂直地分开圆盘中一个而进入另一