第三章晶体振动和晶体的热学性质

1、第三章第三章 晶体振动和晶体的热学性质晶体振动和晶体的热学性质一、晶体振动一、晶体振动1.晶体振动晶体振动 晶体中的原子并不是在各自的平衡位置上固晶体中的原子并不是在各自的平衡位置上固定不动，而是为绕其平衡位置作振动。定不动，而是为绕其平衡位置作振动。2.振动的特点振动的特点 晶体中各原子的振动是相互联系的。晶体中各原子的振动是相互联系的。3.振动模式振动模式 用格波表述原子的各种振动模式用格波表述原子的各种振动模式二、晶体振动的分类二、晶体振动的分类(根据振动的剧烈程度分类根据振动的剧烈程度分类)1.晶格振动晶格振动原子在平衡位置附近的微振动。原子在平衡位置附近的微振动。2.空位或间隙原子空

2、位或间隙原子少数原子脱离其格点的振少数原子脱离其格点的振动。动。3.熔解熔解温度相当高，整个晶体瓦解，即长程温度相当高，整个晶体瓦解，即长程序解体。序解体。三、晶格振动的特点三、晶格振动的特点1.当原子间相互作用微弱时，原子的振动可近似当原子间相互作用微弱时，原子的振动可近似为相互独立的简谐振动。为相互独立的简谐振动。2.由于晶体的周期性，振动模式所取的能量值不由于晶体的周期性，振动模式所取的能量值不是连续的，而是分立的。是连续的，而是分立的。3.可以用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而可以用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的振动模式。简谐振子的能量用能量量子又分立的振动模式。简谐

3、振子的能量用能量量子(称为声子，称为声子， 微振动模式的角频率。微振动模式的角频率。) )描述。描述。振子之间不会发生相互作用，即不能有能量的交振子之间不会发生相互作用，即不能有能量的交换。声子一旦被激发出来，它的数目就一直保持换。声子一旦被激发出来，它的数目就一直保持不变。不能把能量传递给其它频率的声子。不变。不能把能量传递给其它频率的声子。4.如果原子间的相互作用稍强时，就必须考虑非简如果原子间的相互作用稍强时，就必须考虑非简谐效应谐效应声子间发生能量的交换。声子间发生能量的交换。5.晶体的宏观性质，例如，比热、热膨胀和热传导晶体的宏观性质，例如，比热、热膨胀和热传导等都与晶格振动有关。等

4、都与晶格振动有关。3.1 一维原子链的振动一维原子链的振动一、一维布喇菲晶格的振动一、一维布喇菲晶格的振动1.原子的运动方程原子的运动方程(1)振动示意图振动示意图m为原子质量；为原子质量；xn为位移。为位移。 n-2 n-1 n n+1 n+2nx1 nx2 nx1 nx2 nxnnxx 1 第第n个原子和第个原子和第n+1个原子间的相对位移。个原子间的相对位移。(2)两原子间的相互作用力两原子间的相互作用力U(a)：平衡时两原子间的互作用势能；：平衡时两原子间的互作用势能；U(a+)：产生相对位移：产生相对位移后的互作用势能。后的互作用势能。把把U(a+)在平衡位置附近用泰勒级数展开，可得

5、：在平衡位置附近用泰勒级数展开，可得： 22221 aadrUddrdUaUaU项项。泰泰勒勒展展开开式式中中只只保保留留到到很很小小，所所以以，且且当当振振动动很很微微弱弱时时，由由于于20 adrdU 22221 adrUdaUaU。恢复力系数。恢复力系数。恢复力：恢复力：0221222222 aaadrUddrUddrUdddUfrramrUfOO0间距增大间距增大0间距缩小间距缩小f f a)f 0斥力斥力(rmn222 n12 n22 nfnf2正方向正方向m(2n+1)原子受原子受力分析力分析 nnnxxf2122 122222 nnnxxf 12222222122 nnnnnnx

6、xxfff 合合力力：M(2n+2)受受力分析力分析 122212 nnnxxf 223232 nnnxxf 2212323212222 nnnnnnxxxfff 合合力力：22 n12 n32 nf12 nf正方向正方向32 n(3)运动方程运动方程 1222221222 nnnnxxxdtxdm NnxxxdtxdMnnnn, 3, 2, 1 22212322222 tnqintnqinBexAex 22221212(3)位移表达式位移表达式(运动方程的解运动方程的解)2.和和q的关系的关系色散关系色散关系(振动频谱振动频谱)。把位移。把位移表达式代入相应的运动方程，通过整理，可以得表达式

7、代入相应的运动方程，通过整理，可以得到到和和q的色散关系。的色散关系。(1)m(2n+1)原子原子: 1222221222 nnnnxxxdtxdm tnqinAex 1212 0cos222 BqaAm (2)M(2n+2)原子原子同理可得：同理可得： 02cos22 BMAqa 02cos2 0cos2 2 22BMAqaBqaAm (3)和和q的关系的关系色散关系色散关系(振动频谱振动频谱) 此方程组中，此方程组中，A、B若有异于零的解，其系数若有异于零的解，其系数行列式必须等于零。行列式必须等于零。 02 cos2cos2 2 22 Mqaqam 0sin422224 qamMMm 2

8、12222cos2qaMmmMmMMm (4)结果分析结果分析 由于由于 和和 q 存在两种不同的色散关系，即存存在两种不同的色散关系，即存在两种独立的格波，所以一维复式晶格中存在则在两种独立的格波，所以一维复式晶格中存在则两种不同的格波，分别有着各自的色散关系。两种不同的格波，分别有着各自的色散关系。 声声学学波波 2122212cos2qaMmmMmMMm 光光学学波波 2122222cos2qaMmmMmMMm 3.2的周期性的周期性 由于由于是是q的周期函数，为了保证的周期函数，为了保证和和q的一的一一对应关系，通常把一对应关系，通常把q的取值范围定在：的取值范围定在： aa 2,2

9、4. 1和和2简析简析(1) 1极大值极大值 2122212cos2qaMmmMmMMm 2122222cos2qaMmmMmMMm mmaqmMMmMmmMq 22222, 0min22min2max22max2 ，则则有有如如果果；则则有有：如如果果(2) 2极小值极小值MMaqq 22200, 0max12max1121 ，则则有有如如果果则则有有：如如果果(3)结论结论所所对对应应的的格格波波的的频频率率。小小于于所所对对应应的的格格波波的的频频率率恒恒即即；21min2max1 声学波声学波1支格波可支格波可以用声波来激发，称为声以用声波来激发，称为声频支格波。简称频支格波。简称声学

10、波声学波。光学波光学波2支格波可支格波可以用光波来激发，称为光以用光波来激发，称为光频支格波。简称频支格波。简称光学波光学波。Oqa2 a2 m 2 M 2 21 2 光光学学波波声声学学波波三、声学波和光学波的物理意义三、声学波和光学波的物理意义1.一维复式格子和布喇菲格子中声学波的关系一维复式格子和布喇菲格子中声学波的关系(1) 和和q的关系的关系 21222122212212221sin411 sin212211 2cos2211 2cos2mMqaMmmMMmmMqaMmMmmMMmmMqaMmMmmMMmqaMmmMmMMm 。可可得得：，如如果果，利利用用12111sin422 x

11、xxmMqaMm qamMmMqaMmmMMm22221sin2 sin211 qamMsin21 (2)结论结论一维复式格子中的声学波和一维布喇菲格子中一维复式格子中的声学波和一维布喇菲格子中的声学波在形式上是相同的。具有相似的波形；的声学波在形式上是相同的。具有相似的波形；一维布喇菲晶格中只有声学波。一维布喇菲晶格中只有声学波。2sin221qam 2.声学波的物理意义声学波的物理意义(1)声学波中，相邻两原子声学波中，相邻两原子(M和和m)的振动情况的振动情况 0222;,2,2:,2,2:0cos 02cos2 0cos22212max12121121 mMmmmqaaaqqamqaB

12、ABqaAm一一般般情情况况下下：可可得得：由由方方程程：结论结论相邻原子相邻原子是沿着是沿着同一方向同一方向振动的。当波长很长振动的。当波长很长时，声学波实际上是代表原子质心的振动。声学波描述时，声学波实际上是代表原子质心的振动。声学波描述的是晶体中不同原胞之间的振动情况。的是晶体中不同原胞之间的振动情况。n)(横横波波图图声声学学波波中中原原子子振振动动示示意意(2)两种特殊振动两种特殊振动 体体，其其质质心心来来回回振振动动。原原胞胞的的振振动动如如同同一一个个刚刚时时：12cos2 0211 mqaBAq 原子振动。原子振动。原子保持不动，原子保持不动，原胞中原胞中时：时：)2()12

13、(00/222cos2 21nMnmAMmaaBAaq n10, , 01 BAq n, 0 , 0,21 BAAaq 0122222, 0cos0cos2202cos22min22222222 mMmMMMqaqaMBABMAqa ；一般情况下：；一般情况下：可得：可得：由方程：由方程：3.光学波的物理意义光学波的物理意义(1)光学波中，相邻两原子光学波中，相邻两原子(M和和m)的振动情况的振动情况结论结论相邻两种不同的原子相邻两种不同的原子振动的方向是相反振动的方向是相反的。当波长很长时，原胞质心保持不动。光学波的。当波长很长时，原胞质心保持不动。光学波描述的是同一原胞中各原子之间的相对振

14、动情况。描述的是同一原胞中各原子之间的相对振动情况。n)(横波横波动示意图动示意图光学波中元胞中原子振光学波中元胞中原子振(2)两种特殊振动两种特殊振动 。而而大大原原子子振振动动的的幅幅度度小小小小原原子子振振动动的的幅幅度度大大，原原胞胞的的质质心心保保持持不不动动，折折合合质质量量；时时：0;cos2/22 ,/20221max2 MBmAmMqaMBAq 原子振动。原子振动。原子保持不动，原子保持不动，原胞中原胞中。即：即：时：时：)12()2(0;2cos2/22/2 22212min nmnMBaamMBAmaq n mMBAq 221max2,/2 , 0 n , ,/2,222

15、1min2 BAmaq 四、周期性边界条件四、周期性边界条件(波恩波恩-卡门边界条件卡门边界条件) 1.波恩波恩-卡门边界条件卡门边界条件 对于有限的对于有限的(N个原子组成个原子组成)原子链，晶体两原子链，晶体两端原子的受力情况和内部的有所不同。端原子的受力情况和内部的有所不同。 1 2 3 n-1 n n+1 n+2 N-1 N(1)各原子受力分析即运动方程各原子受力分析即运动方程n号原子：号原子：n1 nf1 nf nnnnnnnnnnxxxdtxdmxxxfff2211221111 运动方程：运动方程：1号原子号原子 122121221xxdtxdmxxff 运动方程：运动方程：N号原

16、子号原子同理可得：同理可得：2f12 NNNxxdtxdm 122 运动方程：运动方程：结论结论由于所有原子的方程都是联立的，由于所有原子的方程都是联立的，1号原子和号原子和N号原子运动方程的差异将会使方程组号原子运动方程的差异将会使方程组的求解十分复杂，为了解决这一问题，波恩的求解十分复杂，为了解决这一问题，波恩-卡卡门提出了如下的模型门提出了如下的模型波恩波恩-卡门边界条件卡门边界条件。(2)波恩波恩-卡门边界条件卡门边界条件 假设对于给定的有限长为假设对于给定的有限长为Na(a为晶格常数，为晶格常数，N为为原子个数原子个数)的晶体的边界之外，仍然有无穷多个和该的晶体的边界之外，仍然有无穷

17、多个和该晶体完全相同的晶体，并且这些完全相同的晶体内晶体完全相同的晶体，并且这些完全相同的晶体内相对应的原子的运动状况是一样的，即第相对应的原子的运动状况是一样的，即第j(j=1,2,N)个原子和第个原子和第tN+j(t=1,2,)个原子的运动情况是一样个原子的运动情况是一样的。由于相互作用是的。由于相互作用是短程的短程的，所以，晶体内的绝大，所以，晶体内的绝大数原子受此假想晶体的影响很弱，完全可以忽略。数原子受此假想晶体的影响很弱，完全可以忽略。 1 2 j N N+1 N+j 2N 2N+1 2N+j 3N 3N+1 tN+j2.波恩波恩-卡门边界条件在有限一维布喇菲格子中的应用卡门边界条

18、件在有限一维布喇菲格子中的应用 1 2 j N N+1 N+j 2N 2N+1 2N+j 3N 3N+1 tN+j1号原子应和号原子应和N+1号原子的振动完全相同。即：号原子的振动完全相同。即： )( 21111111为整数为整数；llqNaeeAeAeAeAexAexxxiqNaiqNatqaitaNqitqaitaNqiNtqaiN 22- 2 NlNNalq 个分立的值。个分立的值。只能取只能取矢矢描述晶格振动状态的波描述晶格振动状态的波Nq为元胞数。为元胞数。个分立的值。个分立的值。只能取只能取，；NNqNlNNlaNalqNlaNalqNalqaqaaaq22-22222 ;,222

19、111 2.波恩波恩-卡门边界条件在有限一维复式格子中的应用卡门边界条件在有限一维复式格子中的应用 设晶体有设晶体有N个原胞组成，每个原胞中含有两个不同个原胞组成，每个原胞中含有两个不同的原子。由周期性边界条件可得：的原子。由周期性边界条件可得：(2n+1)和和2N+(2n+1)完全相同。即：完全相同。即：12 nN2)12(2 nN )( 22121221)(2121212212为整数为整数；llqNaeAexAexxxNaiqtanNqiNntanqinnNn 22- NlNNalq 个分立的值。个分立的值。只能取只能取矢矢描述晶格振动状态的波描述晶格振动状态的波Nq为原胞数。为原胞数。个

20、分立的值。个分立的值。也只能取也只能取，；NNqNl2N-NlaNalqNlaNalqNalq aqaaaq22222;222,2222111 3.原胞数原胞数N和波矢和波矢q、角频率、角频率的关系的关系(1)不管是布喇菲格子还是复式格子，波矢不管是布喇菲格子还是复式格子，波矢q数目数目等于晶体中原胞的数目等于晶体中原胞的数目N。(2)对于一维布喇菲格子，每个波矢对于一维布喇菲格子，每个波矢q对应于一个对应于一个角频率角频率 。总的角频率个数为。总的角频率个数为N个。个。(3)对于一维复式格子，每个波矢对于一维复式格子，每个波矢q对应于对应于n(n是每是每个原胞中包含的原子数目个原胞中包含的原

21、子数目)个角频率个角频率。总的角频总的角频率个数为率个数为nN个。个。 4.结论结论 (1)晶格振动波矢的数目晶格振动波矢的数目=晶体原胞数晶体原胞数； (2)晶格振动频率的数目晶格振动频率的数目=晶体自由度数晶体自由度数。3.2 晶格振动的量子化晶格振动的量子化 声子声子1.格波格波描述晶格振动的波。对于微弱的晶格描述晶格振动的波。对于微弱的晶格振动，在简谐近似的情况下，格波可以看成简谐振动，在简谐近似的情况下，格波可以看成简谐波。每个格波都是一个独立的模式。可以用独立波。每个格波都是一个独立的模式。可以用独立简 谐 振 子 来 描 述 格 波 的 独 立 模 式 。简 谐 振 子 来 描

22、述 格 波 的 独 立 模 式 。2.声子声子()简谐振子的能量量子。简谐振子的能量量子。 振动模振动模式的角频率。声子不是真正的粒子，而是表示状式的角频率。声子不是真正的粒子，而是表示状态的态的“准粒子准粒子”。晶格振动的能量是以。晶格振动的能量是以为单为单元来增、减能量的。格波与物质的相互作用可以元来增、减能量的。格波与物质的相互作用可以理解为声子和晶体中原子、分子的相互碰撞。理解为声子和晶体中原子、分子的相互碰撞。3.三维晶体原胞数、波矢、模式数之间的关系三维晶体原胞数、波矢、模式数之间的关系晶体有晶体有N个原胞组成，每个原胞中含有个原胞组成，每个原胞中含有n个原子。个原子。(1)波矢波

23、矢q数目数目N。(晶体原胞数目晶体原胞数目)(2)晶体自由度数目晶体自由度数目3nN。(3)晶体频率晶体频率数目数目3nN。(4)格波数目格波数目3nN。(5)格波支数格波支数3n支支。每只对应。每只对应N个个 。(6)声学波支数声学波支数3支支。共有。共有3N个个 。(7)光学波支数光学波支数(3n-3)支支，共有，共有(3n-3)N个个。 例如，分别由例如，分别由N个原胞组成的铝晶体和金刚石晶个原胞组成的铝晶体和金刚石晶体 中 ， 声 学 波 、 光 学 波 的 分 布 情 况 。体 中 ， 声 学 波 、 光 学 波 的 分 布 情 况 。铝晶体：铝是面心立方结构，因此格波中只有铝晶体：

24、铝是面心立方结构，因此格波中只有3支支声学波，而没有光学波。声学波的个数为声学波，而没有光学波。声学波的个数为3N个。个。金刚石：金刚石是复式格子，金刚石：金刚石是复式格子，n=2，格波支数共，格波支数共有有3n支，其中声学波支，其中声学波3支，光学波支，光学波(3n-3)=3支。支。4.晶格振动的总能量晶格振动的总能量；零零点点振振动动能能。格格波波的的频频率率； iinNiiinE 2121 313.3 长波近似长波近似一、长声学波一、长声学波1.长声学波波速长声学波波速vp的计算的计算 当波长很长时，当波长很长时，q很小。很小。 qamMqamM 2sin21q 2 为为晶晶格格常常数数

25、。为为原原子子质质量量；、晶晶体体恢恢复复力力常常数数；其其中中：amMdrUda222 常常数数； amMqvp 2 12.物理意义物理意义 相邻原胞中原子振动的位相差趋于零，而且相邻原胞中原子振动的位相差趋于零，而且振幅也趋于相等。振幅也趋于相等。3.原因原因 这是由于长声学波的波长远远大于原胞的线这是由于长声学波的波长远远大于原胞的线度，在半个波长内就包含了许多原胞，这些原胞度，在半个波长内就包含了许多原胞，这些原胞都整体的沿同一方向运动。因此整个晶格可以近都整体的沿同一方向运动。因此整个晶格可以近似地看成连续介质，而长声学波也就可以近似地似地看成连续介质，而长声学波也就可以近似地被认为

26、是弹性波。被认为是弹性波。n二、长光学波二、长光学波对于长光学波，也可以在宏观理论的基础上对于长光学波，也可以在宏观理论的基础上进行近似处理。这就是黄昆于进行近似处理。这就是黄昆于19511951年首先提年首先提出的方法。离子晶体在作长光学波振动时，出的方法。离子晶体在作长光学波振动时，由于原胞内正负离子作相对运动，因而产生由于原胞内正负离子作相对运动，因而产生宏观极化（出现宏观电偶极矩）。从而可以宏观极化（出现宏观电偶极矩）。从而可以和电磁波发生强烈相互作用。所以长光学格和电磁波发生强烈相互作用。所以长光学格波与离子晶体的电学、光学性质有着密切的波与离子晶体的电学、光学性质有着密切的关系。可

27、以利用黄昆的方法，直接由晶体的关系。可以利用黄昆的方法，直接由晶体的宏观性质确定长光学格波的频率。详细计算宏观性质确定长光学格波的频率。详细计算略。略。cosnuqtqna例题：原子质量为例题：原子质量为m m，间距为，间距为a a，恢复力常数为，恢复力常数为的一维简单晶格频率为的一维简单晶格频率为的格波的格波求求 (1)(1)该波的总能量，该波的总能量， (2)(2)每个原子的时间平均总能量每个原子的时间平均总能量 解：解：(1)格波的总能量为各原子能量的总和，格波的总能量为各原子能量的总和，其中第其中第n个原子的动能为个原子的动能为 212numt而该原子与第而该原子与第n十十1个原子之间

28、的势能为个原子之间的势能为 2112nnuu若只考虑最近邻相互作用，则格波的总能量为若只考虑最近邻相互作用，则格波的总能量为 2211122nnnnnuEmuut将将 cosnuqtqna代入上式得代入上式得 2222221sin2114sin21sin222nnEmAtqnaqaAtnqa设设T为原子振动的周期，利用为原子振动的周期，利用 2011sin2TtdtT可得可得 22202220222211sin21114sin21sin2221sin42TnTnEmAtqna dtTqaAtnqa dtTqamA NA N 式中式中N为原子总数为原子总数 (2)每个原子的时间平均总能量则为每个

29、原子的时间平均总能量则为 22221sin42EqamAAN作业作业1、格波，声学波，光学波，声子、格波，声学波，光学波，声子 2长光学支格波与长声学支格波本质上有何差长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别别? 3长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化? 再利用色散关系再利用色散关系 224sin2qam便得到每个原子的时间平均能量便得到每个原子的时间平均能量 2212EmAN3.4 固体比热固体比热一、经典理论对定容比热的描述一、经典理论对定容比热的描述1.比热表达式比热表达式VVTEC 当温度不太低时，电子运动能量的变化对比当温度不太低时，电子运动能量的

30、变化对比热的贡献较小热的贡献较小(约占约占1%左右左右)，可以忽略。，可以忽略。2.杜隆杜隆-珀替定律珀替定律原原子子个个数数。势势能能。动动能能和和包包括括。每每一一个个自自由由度度能能量量均均为为；采采用用能能量量均均分分原原理理， NTkTkTkTkTNkEBBBBB21213molKJ9 .241038. 110023. 6332323 BVVNkTEC动动能能量量晶晶格格振振动动能能量量和和电电子子运运括括：是是固固体体的的平平均均内内能能，包包E3.杜隆杜隆-珀替定律的局限性珀替定律的局限性(1)杜隆杜隆-珀替定律只是在温度比较高珀替定律只是在温度比较高(300K以上以上)时和时和

31、实验相符。实验相符。(2)当温度较低时，杜隆当温度较低时，杜隆-珀替定律和实验不符。定容珀替定律和实验不符。定容比热不再是常数，而是随温度降低而降低。比热不再是常数，而是随温度降低而降低。绝缘体的比热按绝缘体的比热按 T3 趋于零；导体的比热按趋于零；导体的比热按 T 趋于零。趋于零。4.原因原因 低温时，能量均分的经典理论已不再适用，必须低温时，能量均分的经典理论已不再适用，必须用晶格振动的量子理论重新计算晶体的平均内能。用晶格振动的量子理论重新计算晶体的平均内能。二、量子理论对定容比热的描述二、量子理论对定容比热的描述1.平均内能的计算平均内能的计算(1)振子能量振子能量(量子化量子化)

32、21nEn nEn 21故故能能量量：为为贡贡献献，可可以以略略去去，不不随随温温度度变变化化，对对比比热热由由于于(2)温度为温度为T时，频率为时，频率为的振动的平均能量的振动的平均能量 根据波尔兹曼统计理论根据波尔兹曼统计理论,平均能量为：平均能量为：TkxeneeenEBnnxnnxnTknnTknBB ；0000 NiTkiNiiBieEE31311 1111ln000 xxnnxnnxnnxeedxdedxdene式式中中：平均能量为：平均能量为： 1 TknBeE (3)晶体的平均能量晶体的平均能量(4)晶体平均能量的积分表示晶体平均能量的积分表示 表表示示最最大大角角频频率率。；

33、其其中中：且且有有：之之间间的的格格波波数数，到到表表示示角角频频率率在在设设mNdddm 3 0 mBdeETk 012.定容比热定容比热CV的计算的计算 mBBTkTkBBVVedeTkkTEC 0221 如果要求晶体的定容比热，必须知道角频率如果要求晶体的定容比热，必须知道角频率分布函数分布函数()。 ()的计算有两种用得比较广泛的计算模型：的计算有两种用得比较广泛的计算模型：爱因斯坦模型和德拜模型。爱因斯坦模型和德拜模型。三、爱因斯坦模型三、爱因斯坦模型1.爱因斯坦模型假设爱因斯坦模型假设 晶体中所有的原子都以相同的频率晶体中所有的原子都以相同的频率振动。振动。2.晶体平均能量晶体平均

34、能量13131 TkNiTkiBBieNeE 3.定容比热定容比热 TkfNkeeTkNkTECBEBTkTkBBVVBB 31322 爱爱因因斯斯坦坦比比热热函函数数。 221TkTkBBEBBeeTkTkf 4.用爱因斯坦温度用爱因斯坦温度E表示定容比热表示定容比热称称为为爱爱因因斯斯坦坦温温度度。；EBEEBkk 2213 TTEBVEEeeTNkC 5. 爱因斯坦温度爱因斯坦温度E的选取的选取 采用试探法，选取合适的采用试探法，选取合适的E ，使得理论曲线，使得理论曲线和实验数据较好地吻合。和实验数据较好地吻合。 大多数固体的大多数固体的E在在100300K之间之间。6. 温度较高时的

35、比热变化温度较高时的比热变化molKJ9 .243322 BEEBVNkTTNkC 22222222111 EEETTTTTTTeeeeEEEE 7. 温度较低时的比热变化温度较低时的比热变化TEBVEeTNkC 23CV比实验结果比实验结果(T3)更快地趋于零。主要原因如下：更快地趋于零。主要原因如下：(1)原子之间的振动不是独立的，是有联系的。原子之间的振动不是独立的，是有联系的。(2)振动不是一个定值。格波的频率是不一样的。振动不是一个定值。格波的频率是不一样的。(3)低温时仍有声子的激发。低温时仍有声子的激发。 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

36、 1.0CV(J/Kmol)18. 41 18. 42 18. 43 18. 44 18. 45 18. 46 金刚石比热的实验值和爱因斯坦模型计算值的比较金刚石比热的实验值和爱因斯坦模型计算值的比较 E=1320KET三、德拜模型三、德拜模型1.德拜模型假设德拜模型假设(1)晶体是各向同性的连续介质；格波看作弹性波。晶体是各向同性的连续介质；格波看作弹性波。(2)纵波和横波波速相等，用纵波和横波波速相等，用vp表示；表示；(3)波矢波矢q连续变化。连续变化。2.波矢波矢q的分布的分布波矢空间波矢空间(q空间空间)是状态是状态空间，在波矢空间中，空间，在波矢空间中，每一点每一点(qxqyqz)

37、所代表的所代表的是一个状态。是一个状态。xqqdqOyqzq dqqVdqqqVVVNaNaqNaq23333333348)5(881)4(;88/2)3()2(;2)1( 内的状态数内的状态数分布在分布在；单位体积内的状态数目单位体积内的状态数目所占的体积所占的体积每个状态每个状态；状态数目状态数目空间分布体积空间分布体积3.角频率的分布角频率的分布 ddvVvqddqqVdqqqpp 3222323 )2(483)1(代入上式可得：代入上式可得：内的角频率数目内的角频率数目分布在分布在；内的角频率数内的角频率数分布在分布在 1123 1022232022 mBBmBBTkTkBBpTkTk

38、BBVedeTkkvVedeTkkC 4.比热的计算比热的计算把上式代入比热公式可得：把上式代入比热公式可得： 623 331203220pmpvVNdvVdNmm mDBDDBpBmmBkTVNTkvTkxxTk 德拜温度。德拜温度。，令令 6312把把式和式和式代入式代入式可得：式可得： TRfedxxeTNkCDDTxxDBVD3190243 德德拜拜比比热热函函数数。 TxxDDDDedxxeTTf/0243135.当当TD时时 molKJNkTTNkxxdxxTNkeedxxTNkedxxeTNkCBDDBTDBTxxDBTxxDBVDDD 9 .243 319 21219 9 19

39、330243022121430243和杜隆和杜隆-珀替珀替定律一致。定律一致。6.当当TD时时德德拜拜定定律律。 34512DBVTNkC 7.德拜定律和实验结果的一致性德拜定律和实验结果的一致性 德拜定律和实验符合得非常好，主要因为：德拜定律和实验符合得非常好，主要因为：(1)在低温时，长波的激发时主要的。而对于长波在低温时，长波的激发时主要的。而对于长波晶格可以当成连续的介质。晶格可以当成连续的介质。(2)德拜模型假设条件和实际相符合。德拜模型假设条件和实际相符合。8. D的计算的计算(1)从从vp求；求；(2)从比热实验数据求。从比热实验数据求。 0 100 200 300 CV/CV铝

40、比热的实验值和德拜模型计算值的比较铝比热的实验值和德拜模型计算值的比较 D=396K)(KT1.00.80.60.40.23.5 非简谐效应非简谐效应一、非简谐效应一、非简谐效应1.简谐效应简谐效应 当原子间相互作用微弱时，原子的振动可近当原子间相互作用微弱时，原子的振动可近似为相互独立的简谐振动。即原子所受的恢复力似为相互独立的简谐振动。即原子所受的恢复力和其位移成正比，忽略了势能表示式中和其位移成正比，忽略了势能表示式中3以上的以上的高次项。可以用一系列独立的简谐振子来描述这高次项。可以用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的振动模式。些独立而又分立的振动模式。振子之间不会发生振子之

41、间不会发生相互作用，即不能有能量的交换。声子一旦被激相互作用，即不能有能量的交换。声子一旦被激发出来，它的数目就一直保持不便。不能把能量发出来，它的数目就一直保持不便。不能把能量传递给其它频率的声子。传递给其它频率的声子。2.非简谐效应非简谐效应 如果考虑势能表示式中如果考虑势能表示式中3以上的高次项，晶以上的高次项，晶格的原子的振动就不能用一系列独立的线性谐振格的原子的振动就不能用一系列独立的线性谐振子描述，此时的线性谐振子之间有相互作用，即子描述，此时的线性谐振子之间有相互作用，即声子与声子之间将相互交换能量，某种频率的声声子与声子之间将相互交换能量，某种频率的声子可以转换为另一频率的声子，即声子可以产生，子可以转换为另一频率的声子，即声子可以产生，也可以湮灭。也可以湮灭。 通过声子之间的相互作用，当声子的分布达通过声子之间的相互作用，当声子的分布达到热平衡后，晶格振动也就达到了热平衡。到热平衡后，晶格振动也就达到了热平衡。3.声子碰撞声子碰撞 两个声子通过非简谐项的作用，而产生第三两个声子通过非简谐项的作用，而