最新电磁场与电磁波-第7章精品ppt课件资料

1、电磁场与电磁波-第7章场与源场与源散度和旋度是研究矢量场的首要问题散度和旋度是研究矢量场的首要问题静态电磁场静态电磁场动态电磁场动态电磁场静电场静电场恒定电流场恒定电流场恒定磁场恒定磁场时变场时变场正弦电磁场正弦电磁场电磁波电磁波（复矢量）（复矢量）（位函数）（位函数）天线天线辐射辐射脉络脉络（边值问题）（边值问题）电磁感应电磁感应平面波平面波导行电磁波导行电磁波（有界）（有界）（无界）（无界）v观点二：由于非恒定电流电路中安培环路定律观点二：由于非恒定电流电路中安培环路定律的应用出现的应用出现矛盾矛盾，麦克斯韦又提出了，麦克斯韦又提出了位移电流位移电流的的假说假说。认识和发展过程认识和发展过

2、程 位移电流位移电流的引入，修正和完善了安培环路的引入，修正和完善了安培环路定律，揭示了定律，揭示了时变电场时变电场产生产生时变磁场时变磁场。 电磁感应定律表明，电磁感应定律表明，时变磁场时变磁场可以产生可以产生时变电场时变电场。因此，麦克斯韦预见。因此，麦克斯韦预见时变电场时变电场与与时变磁场时变磁场相互转化的特性可能会在空间形成相互转化的特性可能会在空间形成电磁波电磁波。v18871887年，赫兹首次用实验证实了年，赫兹首次用实验证实了电磁波电磁波的发生的发生 与存在。与存在。静态场中，静态场中， 导出电流连续性原理导出电流连续性原理0ttq电荷守恒定律：电荷守恒定律： tqSSJdt J

3、0d SSJ0 J 时变时变电磁场电荷守恒定律电磁场电荷守恒定律不能不能推出电流连推出电流连续性原理。续性原理。 位移电流位移电流不是电荷不是电荷的运动，而是一种的运动，而是一种人为定人为定义义的概念。的概念。7.1 7.1 位移电流位移电流式中式中 具有具有电流密度电流密度量纲。量纲。t D 将将 代入代入 位移位移电流电流 电流连续是客观存在电流连续是客观存在的物理现象的物理现象真空电容真空电容器通交流隔直流。器通交流隔直流。0tDJ7.1 7.1 位移电流位移电流q S SDdtqSSJd0dS tSDJ 静电场的静电场的高斯定律高斯定律适适用于用于时变时变电场。电场。麦克斯韦将麦克斯韦

4、将 称为称为位移位移电流密度电流密度tdDJt D 全全电流连续性原理（电流连续性原理（传导传导电流、电流、运流运流电电流及流及位移位移电流）。电流）。 位移位移电流密度是电流密度是电通密度电通密度的时间变化率，或的时间变化率，或者说是者说是电场电场的时间变化率。的时间变化率。7.1 7.1 位移电流位移电流求得求得0d)(S dSJJ0)(dJJ静电场中静电场中 ，不存在位移电流。，不存在位移电流。0tD时变电场，时变电场，电场电场变化变化越快越快，产生的位移电流密度也，产生的位移电流密度也越大越大。cdJJ 在在良导体良导体中中传导电流密度传导电流密度 ，因此，因此EJccdJJ 在在电导

5、率较低电导率较低的介质中可能的介质中可能 麦克斯韦认为麦克斯韦认为位移电流位移电流也可产生也可产生磁场磁场，因此，因此安培环路定律变为安培环路定律变为 7.1 7.1 位移电流位移电流SJJlHd)(dS dl tDJHSDJlHd)(dS l t全电流定律全电流定律。它表明时变磁场是由。它表明时变磁场是由传导传导电流、电流、运流运流电流以及电流以及位移位移电流共同产生的。电流共同产生的。 电磁感应定律表明，电磁感应定律表明，时变磁场时变磁场可以产生可以产生时变时变电场电场。因此，麦克斯韦预见。因此，麦克斯韦预见时变电场时变电场与与时变磁场时变磁场相互转化的特性可能会在空间形成相互转化的特性可

6、能会在空间形成电磁波电磁波。tDJHSDJlHd)(dS l t7.1 7.1 位移电流位移电流 位移电流位移电流的引入，修正和完善了安培环路的引入，修正和完善了安培环路定律，揭示了定律，揭示了时变的电场时变的电场产生产生时变磁场时变磁场。 在上述两个观点的基础上，麦克斯韦总结出在上述两个观点的基础上，麦克斯韦总结出将电磁场将电磁场统一为一体统一为一体的一组方程式，即的一组方程式，即麦克斯韦麦克斯韦方程组方程组，该方程组不仅可以描述，该方程组不仅可以描述时变时变的电磁场，的电磁场，而且覆盖了而且覆盖了静态静态电磁场的情况。电磁场的情况。7.2 7.2 麦克斯韦方程麦克斯韦方程 静态场中的静态场

7、中的高斯定律高斯定律及及磁通连续性原理磁通连续性原理对对于时变电磁场于时变电磁场仍然成立仍然成立。那么，对于时变电磁。那么，对于时变电磁场，麦克斯韦归纳为如下场，麦克斯韦归纳为如下4 4 个方程：个方程：积分形式积分形式微分形式微分形式全电流定律全电流定律电磁感应定律电磁感应定律磁通连续性原理磁通连续性原理高斯定律高斯定律SDJlHd)(dS l tSBlEddS l t0dS SBq S SDd t DJHt BE0 BD 时变时变电场电场是是有旋有散有旋有散的，的，时变时变磁场磁场是是有旋无散有旋无散的。但是，的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是时变电磁场中的电场与磁场是不可分割不可分割的

8、，因此，时变电磁的，因此，时变电磁场是场是有旋有散有旋有散场。场。 在在无源区无源区中，时变电磁场中，时变电磁场是有旋是有旋无无散的。散的。t DJHt BE0 BD 7.2 7.2 麦克斯韦方程麦克斯韦方程 电场线与磁场线电场线与磁场线相互交链相互交链，自行闭合自行闭合，从而在，从而在空间形成空间形成电磁波电磁波。时变时变电场电场与时变与时变磁场磁场处处处处相互垂直相互垂直。 为了为了完整完整地描述时变电磁场的特性，麦克斯韦地描述时变电磁场的特性，麦克斯韦方程还应包括方程还应包括电荷守恒方程电荷守恒方程以及说明以及说明场与介质场与介质关系关系的方程，即的方程，即代表产生时变电磁场的代表产生时

9、变电磁场的电流电流源或非电的源或非电的外外源。源。J7.2 7.2 麦克斯韦方程麦克斯韦方程t JED HB JEJ 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组中各方程中各方程不是不是完全独完全独立的。可由第立的。可由第 、 方程导出第方程导出第 、 方程，或反之。方程，或反之。 对于静态场，则对于静态场，则 0ttttBHDE 麦克斯韦方程变为麦克斯韦方程变为静电场静电场方程和方程和恒定磁场恒定磁场方程，方程，电场与磁场电场与磁场不再相关不再相关，彼此独立彼此独立。 t DJHD0 Bt BE “ “在简单的形式下隐藏着在简单的形式下隐藏着深奥深奥的内容，这些的内容，这些内容只有内容只有仔细仔细的研究才能

10、显示出来，方程是表示的研究才能显示出来，方程是表示场的场的结构结构的定律。它不像牛顿定律那样，把此处的定律。它不像牛顿定律那样，把此处发生的事件与彼处的条件联系起来，而是把发生的事件与彼处的条件联系起来，而是把此处此处的的现在现在的场只与最的场只与最邻近邻近的刚的刚过去过去的场发生联系。的场发生联系。” 爱因斯坦（爱因斯坦（1879195518791955）对于麦克斯韦方程）对于麦克斯韦方程的评述：的评述：“ “ 这个方程的提出是牛顿时代以来物理这个方程的提出是牛顿时代以来物理学上的一个学上的一个重要事件重要事件，它是关于场的，它是关于场的定量定量数学描数学描述，方程所包含的意义比我们指出的要

11、丰富得述，方程所包含的意义比我们指出的要丰富得多。多。” “ “假使我们已知假使我们已知此处此处的的现在现在所发生的事件，所发生的事件，藉助这些方程便可藉助这些方程便可预测预测在在空间空间稍微远一些，在稍微远一些，在时时间间上稍微迟一些所发生的事件。上稍微迟一些所发生的事件。”7.2 7.2 麦克斯韦方程麦克斯韦方程 麦克斯韦方程除了对于麦克斯韦方程除了对于科学技术科学技术的发展具有的发展具有重重大大意义外，对于意义外，对于人类历史人类历史的进程也起了的进程也起了重要重要作用。作用。 正如美国著名的物理学家正如美国著名的物理学家弗曼弗曼所述：所述：“ “ 从人从人类历史的漫长远景来看类历史的漫

12、长远景来看即使过即使过一万年一万年之后回头之后回头来看来看毫无疑问，在毫无疑问，在1919世纪中发生的世纪中发生的最有意义最有意义的的事件将判定是麦克斯韦对于电磁定律的发现，与这事件将判定是麦克斯韦对于电磁定律的发现，与这一重大科学事件相比之下，一重大科学事件相比之下， 同一个十年中发生的同一个十年中发生的美国内战美国内战（1861186518611865）将会降低为一个）将会降低为一个地区性地区性琐琐事而黯然失色事而黯然失色”。7.2 7.2 麦克斯韦方程麦克斯韦方程 处于信息时代的今天，从婴儿处于信息时代的今天，从婴儿监控监控器到各种器到各种遥控遥控设备、从设备、从雷达雷达到到微波炉微波炉

13、、从、从地面地面广播电视到广播电视到太空卫星太空卫星广播电视、从地面广播电视、从地面移动移动通信到宇宙通信到宇宙星际星际通信、从室外通信、从室外无线无线广域网到室内广域网到室内蓝牙蓝牙技术、以及技术、以及全球卫星定位导航全球卫星定位导航系统系统等，无不利用等，无不利用电磁波电磁波作为作为信息载体信息载体。 无线无线信息高速公路使人们能在信息高速公路使人们能在任何地点任何地点、任何任何时间时间同同任何人任何人取得联系。取得联系。 如此广泛的应用说明了如此广泛的应用说明了麦克斯韦麦克斯韦和和赫兹赫兹对于人类对于人类文明文明和和进步进步的伟大贡献。的伟大贡献。 7.2 7.2 麦克斯韦方程麦克斯韦方

14、程各向同性线性各向同性线性介质介质2 t21 t 1DDen7.3 7.3 边界条件边界条件 在在任何任何边界上，边界上，磁通密度磁通密度的的法向法向分量连续分量连续矢量形式矢量形式 0)(12nBBe各向同性线性各向同性线性介质介质n22 n11 HH2nn1BB在在任何任何边界上边界上电场强度电场强度的的切向切向分量连续分量连续2t1tEE 矢量形式矢量形式 0)(12nEEe磁通密度磁通密度的的时间变化率有限时间变化率有限SBlEddS l t电通密度电通密度的的法向法向分量边界条件与分量边界条件与介质介质特性有关。特性有关。 一般一般情况下，由高斯定律情况下，由高斯定律2n1nSDD矢

15、量形式矢量形式 式中式中, S 为边界表面上为边界表面上自由自由电荷的面密度。电荷的面密度。7.3 7.3 边界条件边界条件 enS)(12nDDe两种两种理想介质理想介质的边界上的边界上2n1nDD 各向同性线性各向同性线性介质介质2n2 n11 EE磁场强度磁场强度的的切向切向分量边界条件分量边界条件也与介质特性也与介质特性有关。有关。 一般一般情况下，边界上无表面电流，情况下，边界上无表面电流，只要电通密只要电通密度的度的时间变化率时间变化率有限有限t21tHH0)(12nHHe矢量形式矢量形式 在在理想导电理想导电体表面上可以形成体表面上可以形成表面电流表面电流，此时，此时磁场强度的切

16、向分量磁场强度的切向分量不再不再连续。连续。 在在理想导电体内部理想导电体内部不可能存在不可能存在时变电磁场时变电磁场及及时时变的传导电流变的传导电流，它们只可能分布在理想导电体的，它们只可能分布在理想导电体的表表面面。 E(t), B (t), J (t) = 0E 0 J = E H 0 E 0J 0 H 07.3 7.3 边界条件边界条件 已知在已知在任何任何边界上，边界上，电场强度电场强度的的切向切向分量分量及及磁通密度磁通密度的的法向法向分量是连续的，因此分量是连续的，因此理想导理想导体表面体表面上不可能存在上不可能存在电场切向电场切向分量及分量及磁场法向磁场法向分量，即分量，即时变

17、电场时变电场必须必须垂直垂直于理想导电体的表于理想导电体的表面，而时变面，而时变磁场磁场必须与其表面必须与其表面相切相切。 E H , enet7.3 7.3 边界条件边界条件 因因 ，由前式得，由前式得 01nD2nSD 由于理想导电体表面存由于理想导电体表面存在在表面表面电流电流 JS ，令表面电，令表面电流密度的方向与积分回路构流密度的方向与积分回路构成成右旋右旋关系，因关系，因 ，求，求得得01tH E H , enet H1t H2t JSS2nDeSJHe2nStJH27.3 7.3 边界条件边界条件 例例 已知内截面为已知内截面为a b 的的矩形矩形金属波导金属波导中的时变电磁场

18、的各分量为中的时变电磁场的各分量为 ) sin(cos0zktxaHHzzz) cos(sin0zktxaHHzxx) cos(sin0zktxaEEzyy其坐标如图所示。试求波导中的其坐标如图所示。试求波导中的位移电流位移电流分分布和波导布和波导内壁内壁上的上的电荷电荷及及电流电流分布。波导内分布。波导内部为真空。部为真空。 azyxb解解 求得位移电流为求得位移电流为 tdDJ)sin(sin00zkt xa Ezyye 在在 y = 0 的内壁上的内壁上 在在 y = b 的内壁上的内壁上 azyxbyyySE00EezxxzzxySHHeeHHeJyyySE00EezxxzzxySHH

19、eeHHeJ在在 x = 0 的侧壁上，的侧壁上， 0 xH 在在 x = 0 及及 x = a 的侧的侧壁上，因壁上，因 ，所以，所以0yE0Szyx内壁电流内壁电流)sin()sin(00zkt Hzkt HzzyzzzxSeeeJ在在 x = a 的侧壁上，的侧壁上， 0 xH)sin()sin(00zkt Hzkt HzzyzzzxSeeeJ本讲小结本讲小结v麦克斯韦关于电磁场的理论可以概述为麦克斯韦关于电磁场的理论可以概述为四四个个方程（方程（麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组）、）、三三个关系（场量个关系（场量与介质的关系）、与介质的关系）、两两个观点（涡旋电场和个观点（涡旋电场和位位移

20、电流移电流）、）、一一个预言（电磁波的存在），它个预言（电磁波的存在），它们是宏观电磁场与电磁波的们是宏观电磁场与电磁波的理论基础理论基础。回顾回顾v麦克斯韦方程麦克斯韦方程SDJlHd)(dS tl SBlEddS l t0dS SBq S SDd积分形式积分形式t DJHt BE0 BD微分形式微分形式全电流定律全电流定律电磁感应定律电磁感应定律磁通连续性原理磁通连续性原理高斯定律高斯定律v位移电流位移电流全电流连续全电流连续全电流定律全电流定律 回顾回顾v电荷守恒方程电荷守恒方程v介质特性方程介质特性方程t JED HB EJc 回顾回顾边界条件边界条件v电场切向分量连续（电场切向分量连

21、续（无条件无条件）v磁通密度法向分量连续（磁通密度法向分量连续（无条件无条件）v电通密度法向分量连续（电通密度法向分量连续（无无表面自由电荷时）表面自由电荷时）v磁场强度切向分量连续（磁场强度切向分量连续（无无表面电流时）表面电流时）v特例（理想导体表面）特例（理想导体表面）0)(12nBBe0)(12nEEe0)(12nDDe0)(12nHHeS2nDeSJHe2n回顾回顾v标量电位标量电位 静电场为无旋场，故电场强度可写为一标量静电场为无旋场，故电场强度可写为一标量函数的负梯度，该标量函数称为标量电位。函数的负梯度，该标量函数称为标量电位。v矢量磁位矢量磁位 恒定磁场为无散场，故磁通密度可

22、写为一矢恒定磁场为无散场，故磁通密度可写为一矢量函数的旋度，该矢量函数称为矢量磁位。量函数的旋度，该矢量函数称为矢量磁位。v时变场中，时变场中，时变磁场时变磁场激发的电场是激发的电场是有旋有旋的的有有散和有旋的场，它散和有旋的场，它不可能不可能单独用单独用一个一个位函数来描位函数来描述。述。E0EAB0 B本讲主要内容本讲主要内容v标量位与矢量位（场、源）标量位与矢量位（场、源）v位函数方程的求解（位函数方程的求解（滞后位滞后位）v能量密度与能量密度与能流密度矢量能流密度矢量（能量守恒能量守恒）v时变电磁场惟一性定理时变电磁场惟一性定理7.4 7.4 矢量位和标量位矢量位和标量位JHH22t

23、tt JEE22JHH222ttt1222JEE场场与与源源的关系的关系复杂复杂。均匀线性各向同性介质均匀线性各向同性介质中中 t DJHD0 Bt BE由矢量恒等式由矢量恒等式AAA2与与电荷、电流电荷、电流有关有关与与电流电流有关有关方程相互方程相互关联关联7.4 7.4 矢量位和标量位矢量位和标量位v在时变在时变场场中，磁通密度仍然无散中，磁通密度仍然无散ABt BE)(AEt0tAE可见，矢量场可见，矢量场 为为无旋无旋场，因此可以表示场，因此可以表示为一个为一个标量标量场场 的的梯度梯度，tAEtAE ：标量位标量位 ：矢量位矢量位A当矢量位与当矢量位与时间无关时间无关时时EAB矢量

24、磁位矢量磁位标量电位标量电位均匀线性各向同性介质均匀线性各向同性介质中中 ttt AAJA22JAAAtt222)(t)(2A由矢量恒等式由矢量恒等式AAA27.4 7.4 矢量位和标量位矢量位和标量位t DJHDtA令令JAA t222t222仅与仅与电荷电荷有关有关仅与仅与电流电流有关有关方程相互方程相互独立独立tAE洛仑兹条件洛仑兹条件原来电磁场的矢量方程为原来电磁场的矢量方程为4 个坐标分量个坐标分量位函数方程位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程为一个矢量方程和一个标量方程 在在直角直角坐标系中，实际上等于求解坐标系中，实际上等于求解 1 1 个标个标量方程。量方程。6 个坐标分量个

25、坐标分量7.4 7.4 矢量位和标量位矢量位和标量位JHH222ttt1222JEEJAA t222t222 当时变点电荷位于坐标当时变点电荷位于坐标原原点点时，其场分布与时，其场分布与 及及 无关，无关，在在除除坐标原点以外整个坐标原点以外整个无源空无源空间间，位函数，位函数 满足满足 先求解时变先求解时变点电荷点电荷的标量位，再利用的标量位，再利用叠加原叠加原理理导出分布的导出分布的时变体电荷时变体电荷的标量位。的标量位。rtrvrr0 0) (1) (222221v其中其中rzyx (r, t)O7.5 7.5 位函数方程求解位函数方程求解标量位方程标量位方程t222函数函数( ( r)

26、 )的通解为的通解为 vrtfvrtfr 21 式中的第二项不符合实际的式中的第二项不符合实际的物理条件物理条件，舍去。，舍去。位于原点的时变点电荷产生的标量位为位于原点的时变点电荷产生的标量位为rvrtft1),(r已知位于原点的静止点电荷已知位于原点的静止点电荷 产生的电位为产生的电位为 Vqd r Vd 4)(r类比类比知函数知函数 f1 为为Vvrtvrtfd 4 17.5 7.5 位函数方程求解位函数方程求解位于原点的时变点电荷的标量位位于原点的时变点电荷的标量位Vdr vrt t 4)(d,r 位于位于V 中的体电荷中的体电荷 在在 r 处产生的标量位为处产生的标量位为rrzyx

27、(r, t)V dVvtrrr ,r- r O7.5 7.5 位函数方程求解位函数方程求解VdvttVrrrr,rr41),( 将将矢量位矢量位方程在直角坐标系中展开，则矢量方程在直角坐标系中展开，则矢量位位 A 各个分量均满足各个分量均满足结构相同结构相同的非齐次的非齐次标量标量波动波动方程式，即方程式，即三个分量合成后，矢量位的解为三个分量合成后，矢量位的解为式中，式中， V 为电流为电流 J 的分布区域。的分布区域。xxxJtAA 222yyyJtAA 222zzzJtAA 2227.5 7.5 位函数方程求解位函数方程求解VdvttVrrrr,rJ,rA4)( 空间某点在时刻空间某点在

28、时刻 t 产生的位必须根据时刻产生的位必须根据时刻的源分布进行求积。的源分布进行求积。vtrr 这就表明，位于这就表明，位于 r 处的源产生的场传到处的源产生的场传到 r 处需处需要一段时间，这段时差就是要一段时间，这段时差就是 。vrr 为为源点源点至至场点场点的距离，因此的距离，因此 v 代表电磁代表电磁波的波的传播速度传播速度。rrVdvttVrrrr, r, r41)(VdvttVrrrr,rJ, rA4)(7.5 7.5 位函数方程求解位函数方程求解电磁波的电磁波的传播速度传播速度与与介质特性介质特性有关有关1v光速光速 若某一时刻若某一时刻源已消失源已消失，只要，只要前前一时刻一时

29、刻源还源还存在存在，它们原来产生的空间，它们原来产生的空间场场仍然存在，这就仍然存在，这就表明源已将电磁能量释放到空间，这种现象称表明源已将电磁能量释放到空间，这种现象称为为电磁辐射电磁辐射。8001299 792 458m/s3 10 m/sv 真空中真空中 静止静止电荷或电荷或恒定恒定电流一旦消失，它们产生电流一旦消失，它们产生的场也随之失去，因而静态场称为的场也随之失去，因而静态场称为束缚场束缚场，没，没有辐射作用。有辐射作用。7.5 7.5 位函数方程求解位函数方程求解 源变化源变化越快越快，空间，空间滞后滞后越大，即使在源附近也越大，即使在源附近也有显著的电磁辐射。所以似稳场和辐射场

30、的区域划有显著的电磁辐射。所以似稳场和辐射场的区域划分不仅取决于空间距离，也和源的分不仅取决于空间距离，也和源的变化快慢变化快慢有关。有关。 时变源的时变源的附近附近，时差很小，场强的变化基本，时差很小，场强的变化基本上与源上与源同步同步，所以，所以近处近处的时变场称为的时变场称为似稳似稳场。场。 离开时变源的远处，由于时差很大，辐射效应离开时变源的远处，由于时差很大，辐射效应显著，所以显著，所以远处远处的时变场称为的时变场称为辐射辐射场。场。 为了向空间辐射电磁能量，必须使用为了向空间辐射电磁能量，必须使用高频高频电流电流激励发射天线，而通常激励发射天线，而通常5050Hz的的交流电交流电不

31、可能有效地不可能有效地辐射电磁能量。辐射电磁能量。7.5 7.5 位函数方程求解位函数方程求解 由于由于 和和A 随时间的变化总是比源随时间的变化总是比源落后落后，因，因此，位函数此，位函数 及及 A 通常称为通常称为滞后滞后位。位。 前式第二项前式第二项 中的因子中的因子 意味着意味着场场比比源源导前，这就不符合先有源后有场的导前，这就不符合先有源后有场的因果关系因果关系。vrtf2vrt它又可理解为向它又可理解为向负负 r 方向传播的波，也就是来自方向传播的波，也就是来自无限远处的无限远处的反射反射波。波。因子因子 又可写为又可写为vrtvrtvrt)( 对于点电荷所在的对于点电荷所在的无

32、限大无限大自由空间，这种反自由空间，这种反射波不可能存在。射波不可能存在。7.5 7.5 位函数方程求解位函数方程求解 面面分布及分布及线线分布的电荷及电流产生的标量位分布的电荷及电流产生的标量位和矢量位分别如下：和矢量位分别如下：注意前提：注意前提：均匀线性各向同性均匀线性各向同性的介质。的介质。 SSSdvtt rrrr,r, r41)(SSSdvtt rrrr,rJ, rA4)(7.5 7.5 位函数方程求解位函数方程求解lll dvtt rrrr,r, r41)(lll dvtt rrrr,rJ, rA4)(7.6 能量密度与能流密度矢量能量密度与能流密度矢量 静态场的能量密度公式及损

33、耗功率密度公式完全静态场的能量密度公式及损耗功率密度公式完全可以推广到时变电磁场。可以推广到时变电磁场。)(21)(2tE twe,r,r电场能量密度电场能量密度)(21)(2tH twm,r,r磁场能量密度磁场能量密度)()(2tE tpl,r,r损耗功率密度损耗功率密度时变电磁场的能量密度时变电磁场的能量密度为为 tH tE tw,r,r,r2221对于对于各向同性线性各向同性线性媒质媒质 为了衡量这种能量流动的为了衡量这种能量流动的方向方向及及强度强度，引入，引入能量流动密度矢量能量流动密度矢量。 能量流动密度矢量在英美书刊中称为能量流动密度矢量在英美书刊中称为坡印亭坡印亭矢量，在俄罗斯

34、书刊中称为矢量，在俄罗斯书刊中称为乌莫夫乌莫夫矢量。矢量。7.6 能量密度与能流密度矢量能量密度与能流密度矢量 其其方向方向表示能量表示能量流动流动方向，其方向，其大小大小表示表示单位单位时间内时间内垂直垂直穿过单位面积的能量。或者说，垂直穿过单位面积的能量。或者说，垂直穿过单位面积的穿过单位面积的功率功率。 时变场的能量密度是时变场的能量密度是空间空间及及时间时间的函数。时变的函数。时变电磁场的能量会电磁场的能量会流动流动。 无外源无外源区区V 中，中，线性各向同性线性各向同性介质中麦克斯韦介质中麦克斯韦方程为方程为t EEHtHE0)(H 0)(E HEEHHE)(2222)(E 2E t

35、H tHE对区域对区域 V 求积分求积分V V V 2VE VH E tVdd21d22HE7.6 能量密度与能流密度矢量能量密度与能流密度矢量 由矢量恒等式由矢量恒等式由高斯散度定理由高斯散度定理V 2V SVH E tVE d21dd22SHE根据能量密度的定义根据能量密度的定义VSHE lS V VpVw tdd)(d时变电磁场的能量定理时变电磁场的能量定理。任何满足麦克斯韦。任何满足麦克斯韦方程的时变电磁场均必须服从该能量定理。该式方程的时变电磁场均必须服从该能量定理。该式中左端代表单位时间内体积中左端代表单位时间内体积V 中减少的储能；右中减少的储能；右端第二项代表体积中单位时间内的

36、能量损耗；右端第二项代表体积中单位时间内的能量损耗；右端第一项代表垂直穿过单位面积的功率端第一项代表垂直穿过单位面积的功率 。 电磁场的电磁场的能量定理能量定理表明：单位时间内体积表明：单位时间内体积V中中减少的储能等于流出该体积的能量和体积内消耗减少的储能等于流出该体积的能量和体积内消耗的能量之和。的能量之和。7.6 能量密度与能流密度矢量能量密度与能流密度矢量 矢量矢量 代表垂直穿过单位面积的功率代表垂直穿过单位面积的功率能流密度矢量能流密度矢量 S ，单位为，单位为W/m2，HE, , , , E, HSHESSEH 可见可见 S，E 及及 H 三者相互三者相互垂直垂直，且由，且由 E

37、至至 H 与与 S 构成构成右旋关系右旋关系。7.6 能量密度与能流密度矢量能量密度与能流密度矢量 V 2V SVH E tVE d21dd22SHE能流密度矢量的能流密度矢量的瞬时值瞬时值为为 tHtEtS,r,r,r能流密度矢量的能流密度矢量的瞬时值瞬时值等于电场强度和磁等于电场强度和磁场强度瞬时值的场强度瞬时值的乘积乘积。 只有当两者只有当两者同时同时达到达到最大值最大值时，能流密度时，能流密度才达到才达到最大最大。 若某一时刻电场强度若某一时刻电场强度或或磁场强度为磁场强度为零零，则，则在该时刻能流密度矢量为在该时刻能流密度矢量为零零。7.6 能量密度与能流密度矢量能量密度与能流密度矢

38、量 7.7 7.7 时变电磁场惟一性定理时变电磁场惟一性定理 在在闭合面闭合面 S 包围的区域包围的区域 V 中，当中，当t = 0时刻的时刻的电场强度电场强度 E 及磁场强度及磁场强度 H 的的初始值初始值给定时，又在给定时，又在 t 0 的时间内，只要的时间内，只要边界边界 S 上的电场强度上的电场强度切向切向分分量量 Et 或或磁场强度的磁场强度的切向切向分量分量 Ht 给定后，那么在给定后，那么在 t 0 的的任一时刻任一时刻，体积，体积 V 中中任一点任一点的电磁场由麦克的电磁场由麦克斯韦方程斯韦方程惟一惟一地确定。地确定。利用利用能量定理能量定理，采用，采用反证法反证法可证明之。可

39、证明之。VSE t (r, t) or H t (r, t)E(r, 0)&H(r, 0 )E( r, t), H(r, t )回顾回顾v时变场的标量位与矢量位时变场的标量位与矢量位v位函数方程的求解（位函数方程的求解（滞后位滞后位）v能量密度与能量密度与能流密度矢量能流密度矢量（能量定理能量定理）v时变场惟一性定理时变场惟一性定理本讲主要内容本讲主要内容v正弦电磁场正弦电磁场v麦克斯韦方程的复矢量形式麦克斯韦方程的复矢量形式v位函数的复矢量形式位函数的复矢量形式v复能流密度矢量复能流密度矢量7.8 7.8 正弦电磁场正弦电磁场 正弦电磁场正弦电磁场的场强的场强方向方向与时间与时间无关

40、无关，但其，但其大大小小随时间的变化规律为随时间的变化规律为正弦函数正弦函数式中，式中，Em(r) 为正弦时间函数的为正弦时间函数的振幅振幅； 为为角频角频率；率；e(r) 为正弦函数的为正弦函数的初始相位初始相位。 任一周期性或非周期性的时间函数在一定条任一周期性或非周期性的时间函数在一定条件下均可分解为很多正弦函数之和。因此，件下均可分解为很多正弦函数之和。因此，着重着重讨论正弦电磁场是具有讨论正弦电磁场是具有实际意义实际意义的的。 正弦电磁场又称为正弦电磁场又称为时谐时谐电磁场。电磁场。)()cos(errE,rEt tm 电场强度可用一个与时间无关的电场强度可用一个与时间无关的复矢量复

41、矢量表示为表示为 已知场的变化已知场的变化落后落后于源，但是于源，但是场场与与源源的时间的时间变化变化规律相同规律相同，所以正弦电磁场的，所以正弦电磁场的场场和和源源的的频率频率相同相同。 频率相同频率相同的正弦量之间的运算可以采用的正弦量之间的运算可以采用复矢复矢量量 方 法 ， 即方 法 ， 即 仅仅 考 虑 正 弦 量 的考 虑 正 弦 量 的 振 幅振 幅 和和 空 间空 间 相相位位 ，而略去，而略去时间时间相位相位 t 。)(re瞬时瞬时矢量和矢量和复复矢量的关系为矢量的关系为 正弦电磁场是由正弦电磁场是由正弦正弦的时变的时变电荷电荷与与电流电流产生的。产生的。)(jme)()(r

42、rErEem )(rEm7.8 7.8 正弦电磁场正弦电磁场 t tjm)e(Re),(rErE实际中常使用有效值实际中常使用有效值)(j)e()(rrErEe2)()(rErEm式中式中)(2)(rErEm最大值最大值复矢量和复矢量和有效值有效值复矢量的之间的关系复矢量的之间的关系复矢量仅复矢量仅为为空间空间函数，与函数，与时间时间无关。无关。注意：注意：只有只有频率相同频率相同的正弦量之间才能使用的正弦量之间才能使用复复矢量矢量的方法进行运算。的方法进行运算。7.8 7.8 正弦电磁场正弦电磁场 7.9 7.9 麦克斯韦方程的复矢量形式麦克斯韦方程的复矢量形式 正弦正弦电磁场的电磁场的场场

43、与与源源的的频率相同频率相同，因此可用，因此可用复矢量复矢量形式表示麦克斯韦方程。形式表示麦克斯韦方程。因正弦时间函数的时间导数为因正弦时间函数的时间导数为 jjRe( 2 e)Re2j 2ettHJD或或jjjRe2eRe2 eRe j 2 etttHJDt EEH)(2Re(j)(Re(j),(jjt t mee ttrErErEt tjm)e(Re),(rErE上式上式任何时刻任何时刻均成立，均成立，虚部虚部符号符号消去消去 DJH2 j22DJH j同理同理BE j0 BD j JED HB JEJ 上述方程称为麦克斯韦方程的上述方程称为麦克斯韦方程的复矢量形式复矢量形式，式，式中各量

44、均为中各量均为有效值有效值。7.9 7.9 麦克斯韦方程的复矢量形式麦克斯韦方程的复矢量形式 7.9 7.9 麦克斯韦方程的复矢量形式麦克斯韦方程的复矢量形式 t JED HB JEJ DJH jBE j0B D j JED HB JEJ 复数形式复数形式 (r)tDJHtBE 0 BD瞬时形式瞬时形式),(tr解解 先求有效值的复矢量形式为先求有效值的复矢量形式为7.9 7.9 麦克斯韦方程的复矢量形式麦克斯韦方程的复矢量形式)cos(10sin2),(zktxtzy erEzkyzxtje10sin),( erE HBE0jj 例例 已知真空区域中的时变电磁场的电场瞬时值为已知真空区域中的

45、时变电磁场的电场瞬时值为试求磁场强度的复矢量形式。试求磁场强度的复矢量形式。电场仅电场仅有有 y 分量，分量，0yEyzkzzkzxyzyxzzxxkxEzEjje10cos10e10sinjeeeeE又又E H0jzkzzxzxxkj00e10cos10j10sin)(eerH7.10 7.10 位函数的复矢量形式位函数的复矢量形式 对于对于正弦正弦函数，函数，时间滞后时间滞后因子因子 表现的表现的相相位滞后位滞后为为vrrvrr令令vk rrrrkvJAA 22 22JAA t222t222洛伦兹条件的复矢量形式洛伦兹条件的复矢量形式正弦电磁场与位函数的关系正弦电磁场与位函数的关系Vdvt

46、tVrrrr,rr41),(VdvttVrrrr,rJrA4),(VdeV krrrJrArrj)(4)(Vde V krrrrrrj)(41)(tAAB j j jAAAE)( j)(rrA tAEAB7.11 7.11 复能流密度矢量复能流密度矢量时变电磁场的电场及磁场能量密度的瞬时形式为时变电磁场的电场及磁场能量密度的瞬时形式为),(21),(2tE twerr),(21),(2tH twmrr最大值最大值复矢量形式为复矢量形式为 )(21)(2rrmemE w)(21)(2rrmmmH w*EErmmem w21)(*HHrmmmm w21)(或表示为或表示为式中，式中， 及及 分别为

47、复矢量分别为复矢量 及及 的的共轭值共轭值。 *Em*HmmEmH正弦电磁场的能量密度的正弦电磁场的能量密度的周期周期平均值为平均值为 t d twTwT av0)(1,rt dtHTt d tETT 2T 2)(12)(1200,r,r)(21)(2122rrH E wav即即式中式中 E(r) 及及 H(r) 为为有效值有效值。)(21mmemavwww或表示为或表示为*HHEE wav21217.11 7.11 复能流密度矢量复能流密度矢量*HHEEmmmm2141 wav有效值有效值最大值最大值损耗功率密度损耗功率密度的复矢量表示的复矢量表示*mm2av21)()(EEEErr* E p l平均值平均值)()()(ttt, rH, rE, rS)cos(cos()()(hemmt t rHrE能流密度矢量的能流密度矢量的瞬时值瞬时值周期平均值周期平均值t d tTT 0av)(1)(, rSrS)cos()()(21h emm rHrE*EErr