14第十四讲区间估计续ppt课件

1、 本次课讲授区间估计本次课讲授区间估计6.3-6.5。 下次课结束本课程的教学并讲授复习注下次课结束本课程的教学并讲授复习注意事项。意事项。 请完成后续作业。请完成后续作业。 重点：总体均值差的区间估计重点：总体均值差的区间估计 难点：两个正态总体方差的区间估计难点：两个正态总体方差的区间估计第十四讲第十四讲 区间估计区间估计例题（例题（ 2019，数学一，数学一 11分）分）.210,),(,2222202021 DESXNXXXn和和）计计算算的的最最大大似似然然估估计计，（）求求参参数数（本本方方差差：分分别别表表示示样样本本均均值值和和样样和和未未知知，已已知知，其其中中的的样样本本为

2、为来来自自正正态态总总体体设设 2202)(22021),(),( xexfNX解解： niixennL1202)(212lnln21ln)(ln ,21)(12)(2220 nixieL 第十四讲第十四讲 正态总体统计量与点估计正态总体统计量与点估计 niixnnL120222)(21ln2)2ln(2)(ln niiniixnxndLd12021202222)(1, 0)()(212ln 解解得得：令令)()(),1 , 0(),(22120020nXNXNXniiii ）（222212021202)()()(1()( nnnEnXnEXnEEniiniinnnnDnXnDXnDDniin

3、ii4242241202120222)()()(1()( 第十四讲第十四讲 正态总体统计量与点估计正态总体统计量与点估计一、正态总体参数的区间估计一、正态总体参数的区间估计称称为为置置信信水水平平。把把握握性性）称称为为置置信信区区间间，（的的过过程程称称为为区区间间估估计计，因因此此，求求。，用用公公式式表表示示就就是是的的把把握握认认为为以以）内内。就就是是说说，我我们们就就在在这这个个范范围围（以以很很大大的的把把握握估估计计），而而且且的的一一个个估估计计范范围围（参参数数估估计计则则是是利利用用样样本本求求出出区区间间的的一一个个具具体体的的估估计计值值，参参数数点点估估计计是是利利

4、用用样样本本求求出出 1,1)(1,212121212121P称置信上限。叫置信下限，区间。上的置信在置信水平为参数，为置信水平，称，则称果确定的两个统计量，如是由样本和定义：设2121212122111)(11)(,1. PXXXXXXnn第十四讲第十四讲 区间估计区间估计1.1.正态总体均值正态总体均值的区间估计的区间估计 ( (已给置信水平已给置信水平1- )1- ),2 N，0 (1)(1)设总体设总体X X 知知 求参数求参数的置信区间。的置信区间。 各一半在两边（如图）余在中间，剩两边各一半，即置信在中间，的对称性的含义和的分位点依据标准正态分布。为此，的置信区间来达到目的即通过求

5、，通过求的样本函数，选取含）。为求的（的概率求满足的置信区间，即以求1.1)(1)(,1)(12010212121uuuuunXuuPnXuPP x 2 2 2 u2 uOx 1u 1)(21uuuP即即：第十四讲第十四讲 区间估计区间估计，的置信区间代入将1)(/220uuuPunXu)/()/(0202202nuXnuPunXuP1)(2020unXunXP），置信区间为：（为置信度的置信概率为的以均值由此得出，正态总体20202020201)(1),(unXunXunXunXPNX.,2 unX需需要要求求的的置置信信区区间间1)(1)(222uuPuuuP，即由对称性和分位点概念表求得

6、的值可查标准正态分布，对于给定的2u第十四讲第十四讲 区间估计区间估计 的的置置信信区区间间，求求参参数数未未知知设设总总体体 ,)2(2NXnSXntP) 1(,1)(21选取样本函数，为求未知 xf2 2 )1(2 nt)1(2 ntOx 1t)(1)(1)() 1(221如图所示所以，分布类似，都是对称的分布和由于。的置信区间求ttPuttttPnt21)()(1)(1)(22222 uuuuPuuP，即即 .95. 005. 0105021005. 0 u，如：如：. .645. 105. 0 u查表得查表得 64516451)(050050. uttutu，则则，若若知知求求或或由由

7、 的置信区间如下时求出未知的置信区间代入将2) 1(tnSXnt第十四讲第十四讲 区间估计区间估计的置信区间：的得到概率为即代入1,1) 1(2ntnSXPt)1()1(22 ntnSXntnSX 例题例题14-1-12019，4分）分）。（置信区间为的置信度为则均值为个零件，得到长度的平抽取从中随机服从正态分布已知一批零件的长度95. 0)645. 1 (,975. 0)96. 1 (_95. 0,4016),1 ,()(cmNcmX代入样本函数得得用样本的置信区间求解：已知,1)(/,2uuPnXu1)(22unXunXP第十四讲第十四讲 区间估计区间估计025. 02,95. 01 ,

8、416, 1,402nX由已知：)(1)(1)(2025. 02)(22222uuuPuuPuuPu，信区间公式，并将已知数据代入置求出分位点，即：96. 1,975. 0025. 01)(22uu)49.40,51.39(.96. 14140,96. 14140即：）代入得：（1.1.设总体设总体X X 知知 ，求，求 的置信区间。的置信区间。 ,2 N0 2 二、总体方差的区间估计二、总体方差的区间估计niiXnP1202222222121)(,1)(的统计量为此，选取含的置信区间，即求求第十四讲第十四讲 区间估计区间估计 xf2 )(221n 2 Ox2 )(22n 2 1)()()()

9、(1)()(1)()(221212222222122221nnnnnnnnP，的原则，如图所示各一半在中间，两边似，按照置信示意图，和以上方法类即可。考察和的求满足1)()(222221即：nnP.1)(1)(112220222112022niiniinXnPX代入得：将样本函数.1)()(2211202221202nXnXPniinii的置信区间：即求出第十四讲第十四讲 区间估计区间估计还可得出总体标准差的置信区间为还可得出总体标准差的置信区间为 )()(22112022120nXnXniinii 点之比点之比和与和与样本的总体方差样本的总体方差2 2.2.设总体设总体X X 未知未知 ，求

10、，求 的置信区间。的置信区间。 ,2 N 2 22122211 SnXXnii 的的样样本本函函数数选选取取不不含含 12 n 0 代代替替于于用用比比较较上上面面的的估估计计，相相当当x,1)1()1(222221 nnP 和已知均值时同样的推理过程，可得到对应于已给的置信和已知均值时同样的推理过程，可得到对应于已给的置信水平水平1-, 1-, 第十四讲第十四讲 区间估计区间估计 1)1()1()1(2222221nSnnP即即.1)1()1()1()1(22122222 nSnnSnP由此可得由此可得 所以，对应于置信水平所以，对应于置信水平1-1-，总体方差，总体方差 的置信区间为的置信

11、区间为 2)1()1()1()1(22122222 nSnnSn 总体标准差总体标准差的置信区间为的置信区间为 SnnSnn )1(1)1(122122 第十四讲第十四讲 区间估计区间估计三、两个正态总体均值差的区间估计三、两个正态总体均值差的区间估计 求求 的置信区间。的置信区间。21 211, N222, N（1 1设两个总体设两个总体X X 及及Y Y ，1 2 知知 及及 22212121nnYXU 体体的的样样本本选选取取含含均均值值差差的的两两个个总总代代入入含含均均值值差差的的样样本本由由： 1222uuuPuUP 1)(2211P为为求求 得得到到,1222212121 unn

12、YXP .1222121221 nnuYXP第十四讲第十四讲 区间估计区间估计2221212212221212nnuYXnnuYX 的的置置信信区区间间为为：的的置置信信度度为为值值差差化化简简得得两两个个正正态态总总体体均均 121求求 的置信区间。的置信区间。 21 211, N222, N（2设两个总体设两个总体X 及及Y ，1 2 未知未知 及及 ，21 假设假设函数得：函数得：代入代入的置信区间为的置信区间为TtTPT,12 wSnnYXT212111 考虑样本函数考虑样本函数.221 nnt2)1()1(21222211 nnSnSnSw其其中中： .11122121 tsnnYX

13、Pw第十四讲第十四讲 区间估计区间估计即即 .11121221 nnstYXPw212212121111nnstYXnnstYXww 的的置置信信区区间间为为：的的置置信信度度为为得得两两个个正正态态总总体体均均值值差差 121的置信区间的置信区间求求，已知，已知）设两个总体）设两个总体（222122221),(),( 11NYNX 2221222111212121),( nYnXnnFnjjnii 选选取取相相应应的的样样本本函函数数：信信区区间间，分分析析：为为求求方方差差比比的的置置第十四讲第十四讲 区间估计区间估计. xfFOx21 F2 2 2 FF 12212FFFPFF分分布布的

14、的分分布布的的相相似似性性得得分分和和由由函函数数代代入入的的置置信信区区间间为为故故置置信信水水平平为为FFF,1221 ,122221222111212121 FnYnXFPnjjnii.1212221112122212122211212121 nyFnxnyFnxPnjjniinjjnii第十四讲第十四讲 区间估计区间估计212221112122212122211212121nYFnXnYFnXnjjniinjjnii 对于已给的置信水平对于已给的置信水平1-1-，2221 的置信区间为的置信区间为的的置置信信区区间间求求，未未知知）设设两两个个总总体体（2221212221),(),(

15、2 NYNX选取样本函数选取样本函数 22222121 SSF 1, 121nnF 1221FFFPF分分布布的的区区间间同同样样求求出出,122222212121 FSSFPF代代入入得得：将将样样本本函函数数 1222121222122221SFSSFSP即即：第十四讲第十四讲 区间估计区间估计 例题14-4-1：两台机床生产同一种零件，从甲机床生产的零件中抽取8个，从乙机床中抽取9个，测得产品直径的样本均值分别为15.05和14.9，样本方差分别为0.0457和0.0575。设两台机床生产的零件直径服从正态分布，试求两台机床生产的零件直径的方差比 对应于置信水平0.90的置信区间2221

16、 ）（其中其中题，用公式：题，用公式：求方差比的置信区间问求方差比的置信区间问，解：本题是未知解：本题是未知1, 1,1)(2122212122212222121 kkFFSFSSFSP 度度降降一一级级注注意意：一一换换参参数数，自自由由222121222122221SFSSFS 的的置置信信区区间间：方方差差比比2221 第十四讲第十四讲 区间估计区间估计 8 , 7,95. 02121FkkF 由由可可倒倒性性.268. 073. 317 , 8105. 0F所求置信区间为所求置信区间为 ,0575. 0268. 00457. 00575. 050. 30457. 02221 ;50.

17、38 , 71, 105. 0212 FkkF 查附录表查附录表 5 5 得得即即 .966. 2227. 02221 05. 02, 1 . 0, 9 . 01 ;0575. 0, 9 .14, 9;0457. 0,05.15, 8:222211 syksxk由由题题设设2221212122212221221)1, 1(1, 1SkkFSSkkFS ）（套公式：套公式：第十四讲第十四讲 区间估计区间估计1.定义定义 1 ,1)( ),( ),10( 1 , , ,21,21）；的最小值计的单侧置信下限（即估置信水平为的为参数则称使得量如果存在统计，对于给定的概率从总体中抽取样本的分布中含有未

18、知参数设总体lllnlnPXXXXXXX五、单侧置信限五、单侧置信限意义。这就是单侧置信区间的的下限就是求的把握，也况下，我们只关注心。也就是说，许多情我们并不关就是它的下限，而上限。寿命年以上，即参数平均品的平均寿命在例如，我们常说，某产置信区间。体变量未知参数的单侧经常地，我们只关心总. 1) (1010)(10PXE第十四讲第十四讲 区间估计区间估计.1 ,1)(),(,21）计最大值的单侧置信上限（即估的置信水平为为参数则称，使得量类似地，如果存在统计uuunuPXXX1) (,1)() 1 , 0(/12uuPPNnXu先求。为求取样本函数的置信上限即最大值，已知，求）若（样本函数代

19、入。将由对称性uuuuuPuuPuuP1)(1)()( x u u Oxu1/unXP1unXP即：的的单单侧侧置置信信上上限限为为的的置置信信水水平平为为可可得得： 1 unXl第十四讲第十四讲 区间估计区间估计的置信上限确定，则用样本函数类似地，若未知t2 1)1(1)()1()1(222222222nPPnSn先先求求，为为求求，取取样样本本的的置置信信下下限限（最最小小值值）未未知知，求求方方差差）（2)1(1)1(1)1(222222 nnPnP 。则则 1)1()1(222nSnP代代入入样样本本函函数数，即即 1)1()1(222nSnP得：得：。的的分分位位点点定定义义，令令由

20、由的的下下限限；的的上上限限以以确确定定在在分分母母位位置置，故故求求因因 )1(222222nP第十四讲第十四讲 区间估计区间估计的的单单侧侧置置信信下下限限为为的的置置信信水水平平为为可可得得： 12 )1()1(2122 nSn 求求置置信信上上下下限限已已知知，则则选选取取样样本本函函数数类类似似地地，若若)()(12122nxnii 2 从一批显像管中随机抽取从一批显像管中随机抽取6 6个测试其使用寿命单位：个测试其使用寿命单位：khkh）, , 得到样本观测值为得到样本观测值为15.6 14.9 16.0 14.8 15.3 15.5设显像管使用寿命设显像管使用寿命求求都都是是未未

21、知知参参数数及及其其中中,),(22 NX的的单单侧侧置置信信下下限限；的的置置信信水水平平为为使使用用寿寿命命均均值值95. 0 例题例题14-5-114-5-1203. 0,35.152 sx且且第十四讲第十四讲 区间估计区间估计数数的的置置信信下下限限选选取取样样本本函函未未知知，所所以以求求和和）由由于于（ 21 )1( nttP 1)1(1)(nttPttP 1)1(/ntnSXPt代代入入将将样样本本函函数数 1)1(ntnSXP即即： 1)1()1(/nttPtntnSXt的的置置信信上上限限即即。先先求求的的单单侧侧置置信信下下限限为为的的置置信信水水平平为为可可得得： 1 )

22、1( ntnSXl 98.1402. 26203. 035.15 l ,05. 095. 01 得得由由 02. 2)5()1(05. 0 tnt 查表得查表得).(98.1495. 0kh 的的单单侧侧置置信信下下限限是是的的置置信信水水平平为为使使用用寿寿命命均均值值所所以以， 第十四讲第十四讲 区间估计区间估计概括区间估计：概括区间估计： x 2 2 2 u2 uOx 1u x u 1uOxu第十四讲第十四讲 区间估计区间估计双一半。单侧代值算好自由度，左一减；对称上下限，卡方、区间估计：Ftu 1)()(222uuPuuuP ：置信区间即双侧上下限置信区间即双侧上下限 ,1)1(2 n

23、ttPt 分分布布双双侧侧限限：类类似似地地 1)(1)(uuPuuPu，单单侧侧上上限限的的单单侧侧下下限限 1)1(1)1(nttPnttPt单单侧侧上上限限，的的单单侧侧下下限限类类似似地地， xf2 )(221n 2 Ox2 )(22n 2 1第十四讲第十四讲 区间估计区间估计 xfFOx 1F FF 1)()(2222212nnP的置信区间即上下限：的置信区间即上下限： 1221FFFPF的的置置信信上上下下限限：类类似似地地，下下限限：，的的单单侧侧上上限限： 1)(1)(212222PP 1),(21nnFFPF分分布布的的单单侧侧上上限限类类似似地地 1),(211nnFFPF

24、分分布布的的单单侧侧下下限限第十四讲第十四讲 区间估计区间估计六、假设检验的概念与正态总体均值的假设检验六、假设检验的概念与正态总体均值的假设检验1.1.假设检验的思想假设检验的思想但但是是，经经常常地地，不不成成立立或或叫叫拒拒绝绝假假设设；此此时时检检验验的的结结果果为为假假设设不不成成立立的的事事件件发发生生了了，数数的的假假设设发发生生了了，也也就就是是说说对对参参概概率率事事件件检检验验时时，如如果果不不巧巧，小小检检验验假假设设：对对假假设设进进行行0HA 置置信信区区间间：，所所以以置置信信区区间间由由于于不不成成立立为为事事件件），设设很很小小（概概率率为为不不成成立立的的可可

25、能能性性。相相反反，假假设设置置信信区区间间保保证证所所以以假假设设置置信信区区间间的的大大概概率率事事件件。由由于于的的估估计计的的把把握握很很大大，是是成成立立即即对对参参数数接接受受检检验验，则则认认为为并并的的估估计计；敢敢于于作作出出假假设设：即即对对参参数数首首先先，作作出出假假设设两两步步：假假设设检检验验分分假假设设与与检检验验 APAHHPHPHH)(,1)(.1)(100000第十四讲第十四讲 假设检验假设检验2.2.假设检验的概念假设检验的概念称为备择假设。为对立的假设称之为原假设，与记为做出某种假设，的一个分布参数，对是总体假设：设).,(),(000100000HHH

26、X为显著性水平。则称为小概率事件设显著性水平,)(:APA。果为接受假设小事件，此时，检验结确是几乎不可能的不发生，也就是说，经检验，0HAA的区间称为对立区间。对立区间：置信区间外对立区间为拒绝域。置信区间为接受域，而成立，则称接受置信区间使得接受域：若001)(HPH第十四讲第十四讲 假设检验假设检验为单侧假设检验。于接受域的一侧时，称假设检验；当拒绝域位双侧两侧时，假设检验称为的拒绝域位于接受域的当假设0H第十四讲第十四讲 假设检验假设检验。受假设显著水平上接没发生，则称在若置信区间假设，接受备择显著水平上拒绝发生则称在，若代入称为拒绝域区间置信区间，并求其对立求出样本函数估计值的在置信

27、区间内保证对应的样本函数值水平，同样地，以的统计量（样本函数）选取含在置信区间内；概率保证以；：做出假设对假设检验过程：01000000:. 5. 41. 31. 2. 1HAHHAAAH。的假设用单侧置信区间或，而的假设用双侧置信区间一般情况下，0001.总体均值假设检验总体均值假设检验即可。只要：的统计量选取含置信上限置信下限在置信区间内，需要为保证置信区间。即假设已知时，假设1)(,1)(1)() 1 (2020000000uuuPnXuuPP,:.)(,1)(20002020unXuAuuPuuP件即拒绝域为置信区间事件的对立事件由此得对立的小概率事第十四讲第十四讲 假设检验假设检验即

28、可置信下限则只需求的统计量含会被挤出置信区间。选所示：否则如图置信上限在置信区间内，需要若要保证。置信区间）。即假设已知，假设1)(,1)(1(. 200000000uPnXuPP第十四讲第十四讲 假设检验假设检验0 unx 置信上限置信上限unXuAuuPuuP00000:,)(,1)(件即得拒绝域或小概率事由此得对立事件：即) 1(/:,/) 1(000ntnSxtAnSxntS得拒绝域仿照如上过程，选取样本函数取代未知，则用类似地，若如图所示。置信下限置信区间，只需要为保证置信区间）。即假设已知时，假设,1)(-1(. 3000PP0 unx置置信信下下限限第十四讲第十四讲 假设检验假设

29、检验即可。置信上限只需求的统计量，选取含置信下限为了1)(,1)(000000uPnXuPunXuAuuPuuPuP000000:,)(,1)(代入统计量即得拒绝域得对立事件：单侧置信上限）由) 1(/:,/) 1(000ntnSxtAnSxntS得拒绝域仿照如上过程，选取样本函数取代未知，则用类似地，若第十四讲第十四讲 假设检验假设检验,0 （1知知 则有下表则有下表: :统计量及其分布统计量及其分布 1H备择假设备择假设 0H原假设原假设 在显著性水平在显著性水平下下 0H关于关于 的拒绝域的拒绝域 0 0 0 0 0 1 , 000NnXu 2 uu uu uu0 0H1H0 0 0 0

30、 0 10 ntnSXt )1(2 ntt )1( ntt )1( ntt 0 统计量及其分布统计量及其分布 备择假设备择假设 原假设原假设 在显著性水平在显著性水平下下 0H关于关于 的拒绝域的拒绝域 ,0 （2未知未知 则有下表则有下表: :例题例题14-6-12019，数学一，数学一，4分）分） 设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。)0282. 2)36(,6883. 1)36(,0301. 2)35(,6896. 1)35(975

31、. 095. 0975. 095. 0 tttt（附附： 1)1(,1)(170)1(200000000nttPtnSXtuP在在置置信信区区间间即即：则则假假设设保保证证的的统统计计量量选选取取含含置置信信上上限限置置信信下下限限的的概概率率保保证证以以。即即假假设设的的未未知知时时，假假设设05. 0)35()1(025. 0020 ttPnttP得得拒拒绝绝域域：)()()35(1025. 0ntnttt 的的对对称称性性，应应用用鉴鉴于于本本题题不不知知第十四讲第十四讲 假设检验假设检验03012)35()35()35(0)35(,0301. 2)35()35(025. 0025. 0025. 0025. 0975. 0025. 0. ttttttt为为对对称称的的负负值值分分布布图图，根根据据。故故接接受受假假设设没没有有发发生生代代值值检检验验70,)35(:,0301. 2)35(4 . 136/15705 .66/025. 00025. 000 ttAtnSXt七、关于正态总体方差的假设检验七、关于正态总体方差的假设检验202 :)1(00H已已知知，假假设设 1220220