2015年考研数学一真题与解析

1、2015年考研数学一真题、选择题18小题.每小题4分，共32分.图1 .设函数f(x)在(-co,-He)上连续，其二阶导数f”(x)的图形如右所示，则曲线y=f(x)在(*,收)的拐点个数为(A)0(B)1(C)2(D)3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在.从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不在的点X=0.但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二导数都是正的，所以对应的点不是拐点.而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选(C)1 12 .设y=e+(x)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y+ay+by=cex

2、的一个特解，则23(A)a=3,b=2,c=1(B)a=3,b=2,c=1(C)a=3,b=2,c=1(D)a=3,b=2,c=1【详解】线性微分方程的特征方程为r2+ar+b=0,由特解可知r1=2一定是特征方程的一个实根.如果r2=1不是特征方程的实根，则对应于f(x)=cex的特解的形式应该为Q(x)ex,其中Q(x)应该是一个零次多项式,即常数，与条件不符，所以r2=1也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得11.11wt.不-I-x一一a=(2+1)=3b=2=1,2时y*=xe是原来方程的一个解，代入可得c=-1应该选(A)x=,亮,x-3依次为级数0Znan(x-1)n的n

3、1Q03.若级数Zan条件收敛，则n1(A)收敛点，收敛点(B)收敛点，发散点(C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点OO【详解】注意条件级数Zan条件收敛等价于哥级数n3oOZanxn在x=1处条件收敛,也就是这个哥级数的收敛为1,n1即lima吐=1,所以nan(x-1)n的收敛半径R=limnan=1,绝对收敛域为(0,2),显然nfannif(n+1)an书x=J3,x=3依次为收敛点、发散点，应该选(B)4.设D是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=J3x所围成的平面区域,函数f(x,y)在D上连续，则1f(x,y)dxdy=()(A)3dis1nl%f(rcos

4、,rsin“rdr(B)飞di内产f(rcos,rsinQ)rdrsin(C) .3diJJLQsin12-f(rcosi,rsinRdr(D) dH户；2廿f(rcos6,rsin0)dr2sin2【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程:JI4也就是D:r：2sin.sin上所以f(x,y)dxdy=3dlsin2口f(rcos/rsin?)rdr,所以应该选（B）.5.设矩阵A=,b二dd2J,若集合c=1,2,则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件(C)awc,d更C(D)【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换:方程组无穷解的充分必要条件是r（A）=r（A,b）3,也就是（

5、a-1）（a-2）=0,（d-1）（d-2）=0同时成立，当然应该选（D）.y2其中P=(e1,e2,e3),若2次型f（x1,x2,x3）在正交变换x=Py下的标准形为2yQ=（1,-e3,e2）,则“羯，X2,x3）在x=Qy下的标准形为(A)2y2y；+y；(B)2y2+y；(C)2y2-y2222-y3(D)2yV2【详解】Q=（e，e3）=（备通2r）0-10;-1Y2qt-1PT所以qtaq=0-1PTAP-110-1；-10；故选择（A）.7.若A,B为任意两个随机事件，则（）(A)P(AB)4P(A)P(B)(B)P(AB)之P(A)P(B)(C) P(AB)P(A)P(B)(

6、D) P(AB),P(A)P(B)【详解】P(A)之P(AB),P(B)之P(AB),所以P(AB)P(A)P(B)故选择(8.设随机变量X,Y不相关，且EX=2,EY=1,DX=3,则E(X(X+Y-2)(A)-3(B)3(C)-5(D)5【详解】E(X(X+Y2)=E(X2)+E(XY)-2EX=DX+(EX)2十EXEY-2EX=5故应该选择(D).二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)9.limx0ln(cosx)ln(cosx)-tanx1limx02x10.sinxl-21cosx1dx二sinx【详解】只要注意为奇函数，在对称区间上积分为零,1c

7、osx所以2jLI2sinxJI1cosxdx=2f2xdx=2JI11.若函数z=z(x,y)是由方程ez+xyz+x+cosx=2确定，贝Udz|(0,1)=.【详解】设F(x,y,z)=ez+xyz+x+cosx-2,则且当x=0,y=1时，z=0,所以三|(01)二x，Fx(0,1,0)至,Fy(0,1,O)Fz(0,1,0)0,1)Fz(0,1,0)=0,也就得到dz|(0,1)=dx.12.设C是由平面x+y+z=1和三个坐标面围成的空间区域，则川(x+2y+3z)dxdydz=【详解】注意在积分区域内，三个变量x,y,z具有轮换对称性，也就是20III0-12III0+94+hH

8、00III200III-1一行展开,得Dn=6,得Dn=2n2213.n阶行列式【详解】按照第22由于D1=2,D2-(D1+2)-2=2n平_2.n-1一.n1_=2Dn,+(1)2(-1)-=2Dn/+2,有Dn+2=2(Dn_1+2)14,设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0;1,1;0),则PXYY0=.【详解】由于相关系数等于零，所以X,Y都服从正态分布，XN(1,1),YN(0,1),且相互独立.则X-1N(0,1).三、解答题315 .(本题满分10分)设函数f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx,g(x)=kx在xt0时为等价无穷小，求常数a,b,k的取值.【详

9、解】当xt0时，把函数f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx展开到三阶的马克劳林公式，得由于当xt0时,一.一.af(x),g(x)是等价无否小，则有一一+b=0,2ak3一.1.斛得，a_T,b=-,k=-216 .(本题满分10分)设函数y=f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0wI,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4,且f(0)=2,求f(x)的表达式.【详解】y=f(x)在点(xo,f(x0)处的切线方程为y=f(x0)(xx0)+f(x0)令y=0,得x=x0f(x0)f(x。)x=x0及x轴所围成区域的面积为1由

10、于f(0)=2,得C=曲线y=f(x)在点(x,f(x0)处的切线与直线1o11整理，佝y=y,解万程，得一二Cx,8y8所求曲线方程为y=.4-x17 .(本题满分10分)设函数f(x,y)=x+y+xy,曲线C:x2+y2+xy=3,求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数.f.f【详解】显然J=1+y,=1+xjx；yjff)一,.、f(x,y)=x+y+xy在(x,y)处的梯度gradf=,=(1+y,1+x)f(x,y)在(x,y)处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模gradf=J(1+y)2+(1+x)2所以此题转化为求函数F(x,y)=(1+x)2+(1+y)2在条

11、件C:x2+y2+xy=3下的条件极值.用拉格朗日乘子法求解如下：令L(x,y,)=(1x)2(1y)2(x2y2xy-3)Fx=2(1+x)+2x九+y九=0(1,1),(-1,-1),(2,-1),(-1,2),解方程组Fy=2(1+y)十2y九+x九=0,得几个可能的极值点x2y2xy=3进行比较，可得，在点x=2,y=1或乂=1,y=2处，方向导数取到最大，为J9=3.18 .(本题满分10分)I|IFJ(1)设函数皿*),丫(乂)者6可导，利用导数定义证明(u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x);*.,I(2)设函数U1(x),u2(x),|,un(x)都可导，f(x)

12、=u1(x)u2(x)|un(x),写出f(x)的求导公式.【详解】(1)证明：设y=u(x)v(x)由导数的定义和可导与连续的关系(2)f(x)=u1(x)u2(x)|un(x)19.(本题满分10分):22_已知曲线L的方程为Z=42-xV起点为人(0,厄0),终点为B(0,五,0),计算曲线积分Z=xJL(y+z)dx+(z2-x2+y)dy+(x2+y2)dzx=costIL【详解】曲线L的参数方程为yy=近sint,z=cost.jtqr起点A(0,后0)对应弋=二，终点为B(0,-展,0)对应弋=二.2220.(本题满分11分)设向量组0(1,%，口3为向量空间R3的一组基，21=

13、20(1+2ka3,P2=2a2邛3=03+(k+1)口3-(1)证明：向量组Pi邛2邛3为向量空间R3的一组基;(2)当k为何值时，存在非零向量M，使得亡在基22,口3和基A#2#3下的坐标相同，并求出所有的非零201,【详解】（1）（凫,?2/3）=（四产2产3）020,?k0k+1J201,2因为020=22k2k0k+13向量空间R的一组基.=4=0,且%,口2,%显然线性无关，所以P1,P2,P3是线性无关的，当然是(2)设非零向量在两组基下的坐标都是(x1,x2,x3),则由条件可整理得：x1(%+2kot3)+x2%+x3(%+ka3)=0,所以条件转化为线性方程组(1+2kot

14、3,2,1+ka3)x=0存在斗零解.从而系数行列式应该等于零，也就是由于%严2产3显然线性无关，所以101010=0,也就是k=0.2k0k此时方程组化为、，：2,：1）x2=（x1+x3）%+x3）x产2=0,由于产2线性无关，所以xx3=0乂2=0,通解为其中C为任意常数.C、所以满足条件的巴=0其中C为任意不为零的常数.LC/21.(本题满分11分)0设矩阵A=-1J23-23、-3相似于矩阵Ba100-20、b03b(1)求a,b的值;(2)求可逆矩阵P,使P,AP为对角矩阵.【详解】(1)因为两个矩阵相似，所以有trA=trB,A=|B一口3a=2bla=4,2a-3=bb=5九1

15、由Re-b|=0020九一50二(九一1)2(九-5)=0,得A,B的特征值都为=%=1。3=5-31-1解方程组(E-A)x=0,得矩阵A的属于特征值=入2=1的线性无关的特征向量为解方程组(5E-A)x=0得矩阵A的属于特征值=5的线性无关的特征向量为2-3令P=(W,3)=10011则P,AP=0022.(本题满分11分)设随机变量X的概率密度为f(x)=0,x三0对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为次数.求Y的分布函数；(1) 求Y的概率分布；(2) 求数学期望EY.【详解】(1)X进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为显然丫的可能取值为2,3,4,|r1117且P(Y=k)Ck888k-264(k一1)i.k=2,3,4,川oO设S(x)