2020年初中数学总复习数和式学案

1、第一章数与式第一节实数及其运算、实数的分类:按大小分：-正整数L正分数0（0既不是也不是负数）负数：负整数负分数按定义分：丑理数：算数正整数.0负整数_分数正分数（有限小数和T负分数无限小数）无理数：-正无理数-负无理数（无限小数）注意：1.有理数：任何一个有理数总可以写成B的形式，其中p、q是互质的整数，这是有理数的重要特征。2、无理数：初中遇到的无理数：（1）开方开不尽的数，如&、E、屈、郎2等（2）含有根号的三角函数值，如sin45°、sin60等。（3）特定结构的无限不巡环小数，如1.101001000100001；（相邻两个1之间依次多写1个0）冗（4）兀及化简后含

2、兀的数、如兀+3等3（判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。）3、即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数：不是有理数；、心愿点正万向二、实数的相关概念x=2=1012.（一）数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。单位长度一1、三要素：、.2、数轴上的点和实数是一一对应的应关系：数轴上的每一个点都表示一个,而每一个实数都可以用数轴上的唯一的来表示。-3、在数轴上的两个点表示的数，右边的数总比左边的数。4.数轴上两点之间的距离，即两点所表示数的差的（二）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。1 .非零实数a的相反数是;0的相反

3、数还是2 .a和b互为相反数a+b=3 .几何意义：数轴上表示相反数（0除外）的两个点在原点,且到原点的距离（三）绝对值:a（a0）1 .一个数a的绝对值有以下三种情况：a0（a0）a（a0）正数的绝对值是其,0的绝对值是,负数的绝对值是它的;绝对值最小的数是2 .几何意义：数轴上表示这个数对应的点到原点的,离原点越远的数绝对值越。（四）倒数：乘积为1的两个数互为倒数1 .实数a（aw。的倒数是;注意：0没有倒数；倒数等于它本身的数是1和-1。2 .a和b互为倒数ab=三、科学记数法.用科学记数法把一个数表示成ax10n的形式，关键是确定a和n的值1、确定a：wav,n为整数:2、确定n：原数

4、>103tn为正整数，n等于原数的整数位数减1或原数变为a时小数点向左移动的位数。当0<原数<1时。n为负整数,n的绝对值等于原数中左起第一个非零实数前的零的个数（包括小数点前面的0）或原数变为a时小数点向右移动的位数。如640000科学计数法表示为常考的计数单位有1千=。1万=,1亿=。常考的计量单位有1微米=米。1纳米=米等3、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种：（1）精确到那一位；（2）保留几个有效数字。四、实数大小的比较1、数轴比较法：在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。2、类

5、别比较法：正数>0>负数；正数大于一切负数；两个负数比大小，大的反而小；如-3-23、平方比较法：a屁a2b（ab0）（主要用于二次根式估值及含有根式的大小比较）4、作差比较法：a-b>0<=>ab;a-b<0<=>ab;a-b=0<=>ab;aaa5、作商比较法：设a,b为正数，右一1,则ab;右一1,则ab;右一1,则ab;bbb五、四则运算（一）加法1 .加法法则一（1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值；'（2）异号两数相加：取绝对值较大的符号，并用较大数的绝对值较小数的绝对值；L（3）互为相反数的两个数相加得(4

6、)一个数与0相加，仍得这个数.即a+0=2,加法的运算律：(1)加法的交换律：a+b=;(2)加法的结合律：(a+b)+c=a+.(二)减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+.(三)乘法1.、乘法法则：(1)两数相乘，同号为,异号为,并把绝对值;(2)任何数同零相乘都得;(3)几个数相乘，有一个因式为零，积为;各个因数都不为零，积的符号由因数的个数决定.2、有理数乘法的运算律：(1)乘法的交换律：ab=ba;(2)乘法的结合律：(ab)c=a(bc);(3)乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac.(四)除法：除法法则：(1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。(

7、2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。即a+b=ax(bw。)(3)0除以任何数都等于，0不能做被除数。即与无意义0六、常考运算个11a，、-I_nI指数(一)乘万：aaaaIaI底数哥1.乘方的定义：(1)求几个相同因数积的运算，叫做乘方；(2)乘方中，相同的因数叫做,相同因数的个数叫做,乘方的结果叫做;2、乘方的运算性质：r正数的任何次哥都是;负数的奇次哥是,负数的偶次哥是;注意：当n为正奇数时：(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,当n为正偶数时：(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.任何数的偶数次哥都是非负数；1的任何次哥都得1,0的任何次哥都得0;-1的偶次募得1;

8、-1的奇次哥得-1;(-1)2019=;(-1)2020=零次哥：a0=(aw闻(J32)0)负整指数哥：a-p=(aw邸正整数)，特别地，a-1=(a寺0。如2-1=(-2)-1在运算过程中，首先要确定哥的符号，然后再计算哥的绝对值。一（ab）（二）去绝对值符号：ab0（ab）如J32（ab）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。（三）算术平方根和立方根：48r9,.1238,327（四）特殊的三角函数值：sin30°=cos=,sin60°=cos=,sin45°=cos=,tan30°=,tan

9、45°=,tan60七、实数的混合运算1 .先将每个小项的值计算出来。2 .再根据实数的运算顺序计算。（1）先后加减；（2）有括号时先计算的；（3）同级运算按照从到的顺序进行运算第二节数的开方及二次根式一、算术平方根，平方根，立方根1 .算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么正数x叫做a的算术平五根加记作0a。0的算术平方根为;从定义可知，只有当a0时,a才有算术平方根。即实数a（a>0的算术平方根为算术平方根等于本身的数为2 .平方根：一般地，如果一个数x的平方根等于a,即x2=a,那么数x就叫做a的正方根.即实数a（a>0的平方根为正数有个平

10、方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数平方根。3,立方根：实数a的立方根为（a为任意实数），立方根只有个，正数的立方根是正数；0的立方根是0;负数的立方根是负数。立方根等于本身的数为二、二次根式（一）有关概念：1 .二次根式的概念：形如Ua（a0）的式子叫做二次根式。有意义的条件2 .最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。最简二次根式满足两个条件：1.被开方数不含分母，2。被开方数中不含能开得尽方的因数或因式3 .同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。如：4 .

11、分母有理化：把分母中的化去叫做分母有理化。5 .有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：ja与Ja；a，6cjd与ajbcJd）（二）二次根式的性质：1、双重非负性：二次根式Ja被开方数a>0Ma>022、(Ja)2a(a0)；3、va2a4、vabaabb(a>Qb>0；a(a0)a(a0)'aa5花布(a°，b0)（三）、运算：1、二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。2、二次根式的乘法：jaVbjab（a>Qb>0。3、

12、二次根式的除法:aa而后a0b0)二次根式运算的最终结果如果不是最简二次根式，要化成最简二次根式。（五）.估值1、先对根式平方，如,7272、找出平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，如4和9。3、对以上两个整数开方，如42,、93<34、确定这个根式的值在开放后所得的两个整数之间，如第三节代数式与整式一、列代数式及其求值。(一)列代数式基本模型1、原价a的85折a85%;原价为a。提价20%Da(1+20%)2、a的n倍多或少n®an+m;a增加或减少10%Da(1±10%)3、利润问题：售价=标价浙扣，销售额=售价x销售量，利润=售价-进价，利润率利润WFx10

13、0%4、阶梯收费问题：总费用=第1级费用义第1级基数+第2级费用X第2级基数+第3级费用义第3级基数+第n级费用榛n级基数(n为正整数)(二)代数式求值1、直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值。2、整体代入法：利用提公因式法、平方差公式和完全平方公式对所求代数式或已知代数式进行恒等变换，达到化简运算的目的，再代值运算3、与非负数结合(1)常见的非负数有a2,a,v,a(a>Q(2)若几个非负数的和为0,则每个非负数的值均为0。如a2bVc=0则有a20,b0,/c0,求出相应未知数值，代入所求代数式求解即可二、整式的相关概念(1)单项式：像X、7、2x2y,这

14、种数与字母的叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。单项式的系数：单项式中的因数叫单项式的系数。单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。(2)多项式：几个的和叫做多项式。多项式的项：多项式中每一个都叫多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫项。升(降)哥排列：把一个多项式按某一个字母的从小(大)到大(小)的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升(降)嘉排列。(3)同类项：所含相同，并且也分别相同的项叫做同类项。所有的常数项是,判断同类项时，要看字母和相同字母的,与系和字母的位置无关，如

15、-2a2b和1ba2是同类项3三、整式的运算(一)整式的加减：1 .合并同类项：把同类项的系数相加减，所得Z果作为新的系数，字母及字母的不变。2 .去括号法则：括号前面是“+号，把括号和它前面的“+号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“号，把括号和它前面的“-号去掉，括号里的各项都变号。a+(b-c)=,a-(b-c)=3。添括号法则：括号前面是“+号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“-号，括到括号里的各项都变号。4.整式的加减实际上就是,在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。(二)哥的运算：(m、n为正整数，aw。1 .同底数哥相乘：底数不变，指数相加。amanamn；2 .同

16、底数塞相除：底数不变，指数相减，amanamn;3 .哥的乘方：底数不变，指数相乘，(am)namn4 .积的乘方：等于把积中的每一个因式分别乘方。再把所得的哥相乘(ab)nanbn(aw0,b刁0(三)整式的乘法：1 .单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如2a23ab=2 .单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的,再把所得的积。如m(a+b+c)=3 .多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。文口(m+n)(a+b)=22

17、4 .乘法公式：平方差公式：(ab)(ab)ab；222222除全平万公式：(ab)a2abb,(ab)a2abb(四)整式的除法：1 .单项除单项式：把系数，同底数哥分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的6x2y一个因式。如：6x2y2x-2x2 .多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项，再把所得的商相加。22如：(4xy6y)2y4xy2y6y2y整式混合运算的顺序，先乘方，再乘除，最后加减，同级运算按照从左到右的顺序进行运算四、因式分解(一)因式分解概念：把一个多项式化成几个的形式，叫因式分解。(二)常用的因式分解方法：1、提取公因式法：mam

18、bmcm(abc)提供因式前有时需要先讲因式进行变形，常见的有a-b=-(b-a),(a-b)2=(b-a)2222222、运用公式法：平方差公式：ab(ab)(ab)；完全平方公式：a2abb(ab).、,一一2,、,、3、十子相乘法：x(ab)xab(xa)(xb)4、分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。、一一225、运用求根公式法：右axbxc0(a0)的两个根是x1、x2,则有：axbxca(xx)(xx2)(三)因式分解的一般步骤：一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；特别注意数字因式，二套：无公因式用公式法，r当多项式为两项且符号相反时，考虑平方差公式，当多项式为三项时考虑用完全平方公式。(对不能运用公式二次三项式考虑十字相乘法，不行的再用求根公式法。最后考虑用分组分解法。)三检查：检查因式分解是否彻底。必须分解到每一个多项式都为止，且最后结果是的形式第四节分式一、相关概念1 .分式：形如,A、B是整式，B中含有未知数且BW0。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。B2 .分式冬有意义的条件：,分式2等于o的条件是BB3/约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数)约去，这种变形称为