滴水第三期数理统计第一章-1

1、教材：教材：( (第四版）第四版） 主编主编 高祖新高祖新 人民卫生出版社人民卫生出版社参考书参考书: :概率论与数理统计概率论与数理统计浙江大学浙江大学 盛骤等盛骤等 编编高等教育出版社高等教育出版社计划学时：计划学时： 42；另加；另加4 6 学时习题课。学时习题课。概率论与数理统计概率论与数理统计绪绪 论论 概率论是数学的一个分支概率论是数学的一个分支，“概概”是概括的是概括的意思意思， “率率”指两个相关数之比，所谓概率就是指两个相关数之比，所谓概率就是用一个比值来概括某随机现象出现的可能性大小用一个比值来概括某随机现象出现的可能性大小的一种度量。的一种度量。 1654年年,一个名叫一

2、个名叫梅累的骑士就梅累的骑士就“两个赌徒两个赌徒约定赌若干局约定赌若干局, 且谁先赢且谁先赢 c 局便算赢家局便算赢家, 若在一赌若在一赌徒胜徒胜 a 局局 ( ac ),另一赌徒胜另一赌徒胜b局局(bc)时便终止赌时便终止赌博博,问应如何分赌本问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡为题求教于帕斯卡, 帕斯卡帕斯卡与费马通信讨论这一问题与费马通信讨论这一问题, 于于1654 年共同建立了年共同建立了概率论的第一个基本概念概率论的第一个基本概念数学期望数学期望.概率论的诞生概率论的诞生统计统计：既可以指统计数据的收集活动既可以指统计数据的收集活动统计工统计工作；作；也可以指统计活动的结果也可以指统计

3、活动的结果统计数据；统计数据；还还可以指分析统计数据的方法和技术可以指分析统计数据的方法和技术统计学。统计学。统计学统计学对研究对象的数据资料进行搜集、整对研究对象的数据资料进行搜集、整理、分析和解释，以显示其总体特征和统计规律理、分析和解释，以显示其总体特征和统计规律性的科学。性的科学。它是统计学和概率论相结合的产物，其创始人是它是统计学和概率论相结合的产物，其创始人是比利时统计学家凯特勒（比利时统计学家凯特勒（17491827）。）。数理统计数理统计早已成为研究自然现象和社会经济现象早已成为研究自然现象和社会经济现象数量特征的有力工具。数量特征的有力工具。其应用几乎遍及所有的科其应用几乎遍

4、及所有的科学技术领域，并形成了许多边缘学科，如：信息学技术领域，并形成了许多边缘学科，如：信息论；决策论；排队论；可靠性理论；自动控制；论；决策论；排队论；可靠性理论；自动控制；质量管理；生物统计；医药统计；社会统计；水质量管理；生物统计；医药统计；社会统计；水文统计等等。文统计等等。 在医药领域内，象试验设计、医药信息、处方在医药领域内，象试验设计、医药信息、处方筛选、新药研制、药物鉴定、药理分析等等都要筛选、新药研制、药物鉴定、药理分析等等都要进行大量的数据资料的整理和分析，因此应具备进行大量的数据资料的整理和分析，因此应具备一定的医药数理统计的知识、方法和技能。一定的医药数理统计的知识、

5、方法和技能。 由于数理统计以概率论作为其理论基础，所由于数理统计以概率论作为其理论基础，所以本课程先介绍概率论的基础知识（教材的第以本课程先介绍概率论的基础知识（教材的第二章、第三章），然后介绍数理统计中最基础二章、第三章），然后介绍数理统计中最基础的知识（教材的第四章的知识（教材的第四章第六章）。第六章）。数理统计的内容很丰富，一般可分为两大类：一数理统计的内容很丰富，一般可分为两大类：一类是如何合理的收集数据类是如何合理的收集数据抽样方法抽样方法、试验设试验设计计；另一类是对所获得的抽样数据如何进行整理、；另一类是对所获得的抽样数据如何进行整理、分析，从而对所关心的问题作出合理的估计和推分

6、析，从而对所关心的问题作出合理的估计和推断断统计推断统计推断，其基本内容是，其基本内容是估计估计和和假设检验假设检验。注：每章的最后一节注：每章的最后一节 Excel 应用都不讲。应用都不讲。第一章数据的描述和整理（自学）第一章数据的描述和整理（自学）第二章第二章 随机事件与概率随机事件与概率随机事件及其概率随机事件及其概率概率的性质及运算法则概率的性质及运算法则全概率公式与逆概率公式全概率公式与逆概率公式是概率论最基础的部分。是概率论最基础的部分。在一定条件下必然发生或不发生的现象在一定条件下必然发生或不发生的现象. . “标准大气压下，纯水加热到标准大气压下，纯水加热到100，必然沸腾必然

7、沸腾”；确定性现象：确定性现象： “同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处水从高处流向低处”,实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象: 确定性现象、确定性现象、 随机现象。随机现象。“函数在间断点处不存在导数函数在间断点处不存在导数” 等等.第一节第一节 随机事件及其概率随机事件及其概率一、几个概念一、几个概念1. 随机现象随机现象在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象实例实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况反两面出现的情况.随机现象：随机现象： 结果有可能结果有可能出现

8、正面（字面）出现正面（字面）也可能也可能出现反面（花面）出现反面（花面）.确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果结果有可能为结果有可能为:1点点, 2点点, 3点点, 4点点, 5点点 或或 6点点. 实例实例3 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数. 实例实例2 用同一门炮向同一用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发目标发射同一种炮弹多发 , 观察弹着点的情况观察弹着点的情况.结果结果: 弹着点会各不相同弹着点会各不相同.实例实例4 从一批含有正品从一批含有正品和次品的产品中任意抽取和次品的产品中任意抽取一个产品一个产品.其结果可能为其结果可能为

9、: 正品正品 、次品次品.实例实例5 过马路交叉口时过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通可能遇上各种颜色的交通指挥灯指挥灯.实例实例6 出生的婴儿可出生的婴儿可能是能是男男,也可能是也可能是女女.实例实例7 明天的天气可明天的天气可能是能是晴晴 , 也可能是也可能是多云多云或或雨雨.随机现象的特征随机现象的特征概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果2随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶偶然性然性, 但在大量重复试验或观察中但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出这种结

10、果的出现具有一定的现具有一定的规律性规律性 。比如在相同的条件下，。比如在相同的条件下，多次向上抛同一枚硬币，其统计结果：出现正面多次向上抛同一枚硬币，其统计结果：出现正面和出现反面的次数几乎相同。这种固有的规律性，和出现反面的次数几乎相同。这种固有的规律性，就是就是概率和数理统计所要研究和揭示的概率和数理统计所要研究和揭示的统计规律统计规律性性。如何来研究随机现象如何来研究随机现象?说明：说明：1随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系联系 , 其数量关系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述. 试验可以在相同的条件下重复进行；试验可以在相同的

11、条件下重复进行； 每次试验可能出现的结果不止一个每次试验可能出现的结果不止一个,但试验的所但试验的所 有可能结果是（事先）已知的有可能结果是（事先）已知的; ; 每次试验之前无法预先确定哪一个结果会出现每次试验之前无法预先确定哪一个结果会出现， 但仅有一个出现。但仅有一个出现。 在概率论中在概率论中,把具有以下三个特点的试验称把具有以下三个特点的试验称为为随机试验随机试验.2. 随机试验随机试验随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.说明说明 1随机试验简称为随机试验简称为试验试验, 是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包它包括各种各样的科学实验括各种各样的科学实验, 也

12、包括对客观事物进行也包括对客观事物进行的的 “调查调查”、“观察观察”或或 “测量测量” 等等.实例实例 E1：抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察字面察字面,花面出现的情况花面出现的情况.分析：分析： 2 随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.(1) 试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行;E2：抛掷一枚骰子：抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.E3: 从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记 录出现正品与次品的件数录出现正品与次品的件数.同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验.(2) 试验的所有可能结果试验的所有可能

13、结果:字面字面、花面花面;(3) 进行一次进行一次试验之前不能试验之前不能确定哪一个结果会出现确定哪一个结果会出现. 故为随机试验故为随机试验.E4： 记录某公共汽车站记录某公共汽车站某日上午某时刻的等某日上午某时刻的等车人数车人数.E6： 考察某地区考察某地区 10 月份的平均气温月份的平均气温.E5：从一批灯泡中任取：从一批灯泡中任取一只一只,测试其寿命测试其寿命. 3. 随机事件随机事件 直观定义直观定义： 在随机试验在随机试验E E中，可能发生也可能不发中，可能发生也可能不发生的事情（即试验中所发生的结果）称为试验生的事情（即试验中所发生的结果）称为试验E E的随的随机事件机事件, ,

14、 简称简称“事件事件”. .记作记作 A A、B B、C C 等。等。 显然，试验显然，试验E E中每一个可能出现的试验结果均为中每一个可能出现的试验结果均为随机事件。比如随机事件。比如E2E2中中, ,“出现出现1 1点点“、 “出现出现2 2点点”、”出现出现6 6点点”是掷骰子试验下的是掷骰子试验下的6 6个可能出现的结果，在一次抛掷个可能出现的结果，在一次抛掷试验中，它们都可能出现也可能不现，故均为试验中，它们都可能出现也可能不现，故均为E2E2中的中的随机事件。并且是随机事件。并且是E2E2不能再分解的最简单的随机事件，不能再分解的最简单的随机事件，称为称为基本事件基本事件。基本事件

15、：基本事件：试验试验E E中每一个可能出现的试验结果中每一个可能出现的试验结果. .复合事件：复合事件：由若干个基本事件组合而成的事件。由若干个基本事件组合而成的事件。如如 E2中，中，A=“点数不大于点数不大于4”，B=“点数为偶数点数为偶数”都是复合事件。都是复合事件。 如如 试验试验E2中中 “点数不大于点数不大于6” 就是必然事件就是必然事件.必然事件必然事件 随机试验中每次必然会发生的事件随机试验中每次必然会发生的事件. .不可能事件不可能事件 随机试验中每次都不可能发生的事件随机试验中每次都不可能发生的事件. . 如如 试验试验E2中中 “点数大于点数大于6” 就是不可能事件就是不

16、可能事件.定义定义 随机试验随机试验 E 中，所有可能出现的试验结果组中，所有可能出现的试验结果组成的成的集合集合称为称为 E 的的样本空间样本空间, 记为记为 或或 S S 或或 U U. .样本空间的元素样本空间的元素 , 即试验即试验E 的每一个可能出现的试验的每一个可能出现的试验结果结果, 称为称为样本点样本点，记作，记作 或或 e e 或或 i i. .由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集e e即为一个即为一个基本事件基本事件, ,实例实例1 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观察字面观察字面,花面出现的情况花面出现的情况.,1TH 4.4.样本空间样本空间 字面朝上字面朝上H花

17、面朝上花面朝上T实例实例3 从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记录出记录出 现正品与次品的情况现正品与次品的情况. , , , , , , 3DDDDNDDDNNDDDNNNDNNNDNNN 则则.,次品次品正品正品记记DN实例实例2 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.6, 5, 4, 3, 2, 12 i=i=“出现出现i i点点”，i=1,2, i=1,2, ,6,6实例实例4 记录某公共汽车站某日记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数上午某时刻的等车人数. ., 2, 1, 04 实例实例5 考察某地区考察某地区 12月份的平月份的平 均气温均

18、气温.215TtTt . 为平均温度为平均温度其中其中 ti=“有有i个人等车个人等车”，i=0,1,2, .实例实例6 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取 一只一只, 测试其寿命测试其寿命.06 tt.t的寿命的寿命为灯为灯其中其中泡泡实例实例7 记录某城市记录某城市120 急急 救电话台一昼夜接救电话台一昼夜接 到的呼唤次数到的呼唤次数. . , 2, 1, 07 参见参见P31上方的例如上方的例如 2 同一试验同一试验 , 若试验目的不同若试验目的不同,则对应则对应的样本空间也不同的样本空间也不同. 例如例如 对于同一试验对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三将一枚硬币抛掷三次次”. 若观察正

19、面若观察正面 H、反面、反面 T 出现的情况出现的情况 ,则样本空间则样本空间为为若观察出现正面的次数若观察出现正面的次数 , 则样本空间为则样本空间为. 3, 2, 1, 0 .,TTTTHTTTHHTTTHHHTHHHTHHH 说明说明 1 试验不同试验不同, 对应的样本空间也不同对应的样本空间也不同.说明说明 3 建立样本空间建立样本空间,事实上就是建立随机现事实上就是建立随机现 象的象的数学模型数学模型. 因此因此 , 一个样本空间可以一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题概括许多内容大不相同的实际问题.例如例如 只包含两个样本点的样本空间只包含两个样本点的样本空间它既可以作

20、为抛掷硬币出现它既可以作为抛掷硬币出现正面正面或出现或出现反面反面的的模型模型 , 也可以作为产品检验中也可以作为产品检验中合格合格与与不合格不合格的模的模型型 , 又能用于排队现象中又能用于排队现象中有人排队有人排队与与无人排队无人排队的的模型等模型等.,TH 所以在具体问题的研究所以在具体问题的研究中中 , 描述随机现象的第一步描述随机现象的第一步就是建立样本空间就是建立样本空间. “点数不大于点数不大于4”, 记为记为 A=1，2，3，4“点数为偶数点数为偶数” ，记为，记为 B=2，4，6 等都是机事件等都是机事件,且为复合事件。且为复合事件。1，2，66均为基本事件均为基本事件。 实

21、例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数.样本空间样本空间 =1，2，3，4，5，6实际上，实际上，任何事件均可表示为样本空间的某个子集任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称称事件事件A发生发生当且仅当试验的结果是子集当且仅当试验的结果是子集A中的元素中的元素 A即即由于样本空间由于样本空间 是其自身的子集，所以必然事件即是其自身的子集，所以必然事件即为样本空间本身，记作为样本空间本身，记作 、不可能事件为空集，记、不可能事件为空集，记作作 . 如如 E2中，中， = “点数不大于点数不大于6” ， = “点数大于点数大于6” 例如例如，E： 将一枚硬币掷三次，将一枚

22、硬币掷三次，观察正面观察正面 H、反、反面面 T 出现的情况出现的情况。以下。以下A 、B、C 即为即为E 的三个的三个随机随机事件事件 A =“至少出一个正面至少出一个正面” =HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH； B =“三次出现同一面三次出现同一面”=HHH,TTT C =“恰好出现一次正面恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验每一个随机试验E相应地有一个样本空间相应地有一个样本空间, 样本空间样本空间的子集的子集A 就是随机事件就是随机事件.随机试验随机试验样本空间样本空间子

23、集子集随机事件随机事件随机事件随机事件 基本事件基本事件 必然事件必然事件不可能事件不可能事件复合事件复合事件互为对立事件互为对立事件)( A实际上，借助于样本空间将事件与集合联系在一起了。实际上，借助于样本空间将事件与集合联系在一起了。.), 2 , 1( , , ,的的子子集集（即即为为事事件件）是是而而的的样样本本空空间间为为设设试试验验 kABAEk 1. 包含与相等关系包含与相等关系 若事件若事件 A 发生发生, 必然导致必然导致 事件事件B 发生发生 ,则称则称事件事件 B 包含事件包含事件 A,记作记作.BAAB 或或 以以A=“出现出现2点点”，B=“出现偶数点出现偶数点”，

24、C=“出现出现2或或4或或6点点”。则。则BA二、事件之间的关系及运算二、事件之间的关系及运算与集合中子集的道理一样，即与集合中子集的道理一样，即集合集合A中的样本点全含于中的样本点全含于B中。中。.BA 实例实例 掷骰子试验掷骰子试验 则称事件则称事件 A 与事件与事件 B 相等相等，记作记作 A=B. 前例中前例中 B=C（含相同的样本点）（含相同的样本点）.2. 和事件和事件 （事件（事件A与与B的并）的并）. BABABABA或或记记作作（并并）的的与与事事件件称称为为事事件件事事件件至至少少一一个个发发生生”构构成成的的与与事事件件由由“事事件件 事事件件和和实例实例 某种产品的合格

25、与否是由该产品的长度与某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定直径是否合格所决定,因此因此A=“产品不合格产品不合格”是是 B=“长度不合格长度不合格”与与C=“直径不合格直径不合格”的和的和.ABBA 且且若若., AA规定：对于任一事件规定：对于任一事件CBA 即即相当于集合的并相当于集合的并BABA BABABA 或或AB; , , , 2111的和事件的和事件个事件个事件为为或或称称推广推广nknknkkAAAnAA 3. 积事件积事件 (事件事件 A 与与 B 的交的交 ).ABBA或或积事件也可记作积事件也可记作 . , ,2111的和事件的和事件为可列个事件为可列个

26、事件或或称称AAAAkkkk . BABABA记记作作（交交）的的与与事事件件事事件件称称为为同同时时发发生生”构构成成的的事事件件与与事事件件由由“事事件件事事件件积积中至少有一个发生。中至少有一个发生。即即nAAA,21ABAB相当于集合的交相当于集合的交BABA 且且实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定与直径是否合格所决定,因此因此 D=“产品合格产品合格”是是E=“长度合格长度合格”与与 F=“直径合格直径合格”的交或积事件的交或积事件.EFFED 即即; , , ,2111的积事件的积事件个事件个事件为为或或称称推广推广

27、nnknkkkAAAnAA 同同时时发发生生即即nAAA,21. , ,2111的积事件的积事件为可列个事件为可列个事件或或称称AAAAkkkk 和事件与积事件的运算性质和事件与积事件的运算性质,AAA , A,AA ,AAA ,AA . ABBAAABBA ,则则若若4. 差事件（差事件（事件事件 A 与与 B 的差）的差） 由由“事件事件A发生而事件发生而事件B不发生不发生”构成的事构成的事件件 称为事件称为事件 A 与与 B 的差事件的差事件.记作记作 A B . 相当于相当于 A 与与 B 的差集的差集.AB ABBA ABAB BA 实例实例 G=“长度合格但直径不合格长度合格但直径

28、不合格” 是是 E=“长度合格长度合格”与与 F=“直径合格直径合格” 的差，即的差，即 G = E FBABA 且且5. 互斥（互不相容）互斥（互不相容）事件事件 若事件若事件 A 与事件与事件 B 不可能同时发生不可能同时发生, 则称事则称事件件 A与与B互斥或互不相容，即互斥或互不相容，即. ABBAAB即即A与与B中无公共样本点中无公共样本点两两互互不不相相容容。个个事事件件两两则则称称这这发发生生，即即中中任任意意两两个个都都不不能能同同时时个个事事件件如如果果nnjiAAAAAnjin),1(,21 “骰子出现骰子出现1点点” “骰子出现骰子出现2点点”互斥互斥实例实例1 抛掷一枚

29、骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数 . 实例实例2 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币, “出现花面出现花面” 与与 “出现字面出现字面” 是互不相容的两个事件是互不相容的两个事件.实际上，实际上，试验试验E中每一个试验结果（样本点）都互斥。中每一个试验结果（样本点）都互斥。BABABA 则记则记若若, 设设 A 表示表示“事件事件 A 出现出现”, 则则“事件事件 A 不出现不出现”称为事件称为事件 A 的的对立事件或逆事件对立事件或逆事件. 记作记作.A实例实例 “骰子出现骰子出现1点点” “骰子不出现骰子不出现1点点”显然显然A 与与 B 互逆，充分必要互逆，充分必要. ABBA且且

30、BA A6. 互逆互逆事件事件 （对立事件）对立事件）对立对立即在每次试验中，若事件即在每次试验中，若事件A与与B有且仅有一个发生，则有且仅有一个发生，则称称A与与B互逆或对立。互逆或对立。这时这时 B= =“非非A”前例，前例，A=“产品合格产品合格”与与 D= “产品不合格产品不合格”为对立事为对立事件。件。A对立事件与互不相容事件的区别对立事件与互不相容事件的区别A、B 对立对立A、B 互不相容互不相容ABABA ABBA且且 AB互不相容互不相容对对 立立都有逆事件。都有逆事件。即任意事件即任意事件发生”发生”发生，发生，“不发生”不发生”发生，发生，“AAAABABABABABA 事

31、件间的运算规律事件间的运算规律.,)1(BAABABBA 交换律交换律),()()2(CBACBA 结合律结合律,)()()()3(BCACCBCACBA 分配律分配律则有则有为事件为事件设设 ,CBA).()(BCACAB ).)()()()(CBCACBCACBA .,:(4)BABABABA 摩摩根根律律德德.,kkkkkkkkAAAA 可可推推广广.BABAAA ，则，则；若；若另外，另外，例例2-1 某种新药依次用于三名患者的疾病治疗，某种新药依次用于三名患者的疾病治疗，A、 B、C分别表示第一人、第二人、第三人服用该药治分别表示第一人、第二人、第三人服用该药治疗有效，试用疗有效，试

32、用A、B、C三个事件表示下例事件：三个事件表示下例事件：.)5(;)4(;)3(;)2(;)1(CBACBAABCABCCBABCACABCBACBACBACBACBACBACBACBA “三人都无有效”“三人都无有效”“三人都有效”“三人都有效”“至少有一人有效”“至少有一人有效”“只有一人有效”“只有一人有效”“只有第一人有效”“只有第一人有效” “最多有一人有效”“最多有一人有效”“恰有两人有效”“恰有两人有效”)7()6(CBABCACAB;CBACBACBACBAACBCAB 例例1 设设A,B,C 表示三个随机事件表示三个随机事件, ,试将下列事件试将下列事件用用A,B,C 表示出

33、来表示出来. .(2) 三个事件不都出现三个事件不都出现;(1) A, B都出现都出现, C 不出现不出现;(4) 三个事件都不出现三个事件都不出现;(3) 三个事件至少有一个出现三个事件至少有一个出现;(5) 不多于一个事件出现不多于一个事件出现;CABCBAABC ;CBA;CBA;CBACBACBACBAACBCAB ABCBCACBACABCBACBACBA 或或(6) 不多于两个事件出现不多于两个事件出现;(7) 三个事件至少有两个出现三个事件至少有两个出现;(8) A, B 至少有一个出现至少有一个出现, C 不出现不出现;(9) A, B, C 中恰好有两个出现中恰好有两个出现.

34、,BCACBACABCBACBACBACBA ;ABC或或;BCACBACABABCACBCAB ;)(CBA.BCACBACAB 概率论与集合论之间的对应关系概率论与集合论之间的对应关系记号记号概率论概率论集合论集合论 样本空间，必然事件样本空间，必然事件全集全集不可能事件不可能事件空集空集 样本点样本点元素元素A随机事件随机事件子集子集AA的对立事件的对立事件A的补（余）集的补（余）集BA A出现必然导致出现必然导致B出现出现A是是B的子集的子集BA 事件事件A与事件与事件B相等相等集合集合A与集合与集合B相等相等BA 事件事件A与事件与事件B的差的差A与与B两集合的差集两集合的差集 AB

35、事件事件A与与B互不相容互不相容A与与B 两集合中没有两集合中没有相同的元素相同的元素BA事件事件A与事件与事件B的和的和 集合集合A与集合与集合B的并集的并集AB 事件事件A与事件与事件B的积的积集合集合A与集合与集合B的交集的交集三、事件的概率三、事件的概率定义定义2-1 2-1 称随机试验称随机试验 E E 中，用来表示事件中，用来表示事件A A 发生的发生的 可能性大小的数值为事件可能性大小的数值为事件A A 发生的概率。记作发生的概率。记作P P（A A） 随机事件在每次试验中随机事件在每次试验中, , 可能发生也可能不发生可能发生也可能不发生, , 但在一次试验中事件发生的可能性大

36、小却是事件本身但在一次试验中事件发生的可能性大小却是事件本身所具有的一种确定属性。所具有的一种确定属性。比如比如，袋内装有，袋内装有95 95 个红球个红球, , 5 5 个白球个白球, , 从袋内任取一球观察其颜色。记从袋内任取一球观察其颜色。记A =A =“取取出红球出红球”，B=B=“取出白球取出白球”。显然事件。显然事件A A发生的可能发生的可能性较事件性较事件B B 要大得多，因为要大得多，因为A A 发生的可能性占发生的可能性占95%95%，而而B B 发生的可能性只有发生的可能性只有5%5%。所以可以用数值来刻划随。所以可以用数值来刻划随机事件在每次试验中发生的可能性大小。机事件

37、在每次试验中发生的可能性大小。一般地一般地即概率是个实数，是事件发生的可能性大小的数量即概率是个实数，是事件发生的可能性大小的数量表征。表征。，即即记记为为的的频频率率发发生生称称为为事事件件比比值值发发生生的的频频数数为为事事件件称称发发生生的的次次数数事事件件次次试试验验中中在在这这次次重重复复进进行行了了将将试试验验在在相相同同的的条条件件下下)(,. ,E ,AfAnmAmAnnn频率的概念频率的概念 （一）频率与概率的统计定义（一）频率与概率的统计定义 定义定义2-2试验的总次数试验的总次数发生的次数发生的次数事件事件AnmAfn )( 显然，事件的频率显然，事件的频率fn(A)不是

38、一个固定的数，因不是一个固定的数，因为在为在n次试验中，事件次试验中，事件A出现的频数出现的频数 m 可随机地取可随机地取0，1，2，n 中的任何一值，但频率总是介于中的任何一值，但频率总是介于 0 1之间的一个实数。即频率具有如下之间的一个实数。即频率具有如下性质性质： 人们在长期的实践中发现，频率虽然是介于人们在长期的实践中发现，频率虽然是介于0、1之间的一个不固定的数，但当试验多次重复时，事之间的一个不固定的数，但当试验多次重复时，事件的频率却具有一定的件的频率却具有一定的稳定性稳定性。1)(0)1( Afn).()()()(,)3(212121knnnkkAfAfAfAAAfAAA 则则是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件若若0)(, 1)()2( ff试验试验序号序号5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍