工程动力学基础PPT课件

1、返回返回 物理学中已经给出了功和动能的概念，并对质点的动能物理学中已经给出了功和动能的概念，并对质点的动能定理进行了讨论，这里仅作简单回顾。定理进行了讨论，这里仅作简单回顾。dd cosiFrFriiiiWF s，dzFyFxFzyxddd 需要注意的是，一般情形下，元功并不是功函数的需要注意的是，一般情形下，元功并不是功函数的全微分，所以，一般不用全微分，所以，一般不用dW表示元功，而是用表示元功，而是用W表示。表示。 W 仅仅是仅仅是Fi.dri 的一种记号。的一种记号。 力力Fi 在点的轨迹上从在点的轨迹上从M1点到点到M2点点所作的功所作的功 2112dFrMiiMW)()(22022

2、0112lrlrkW）（2221122kW 上式中，上式中， 1 、 2 分别为弹簧在初始位置和最终位置的分别为弹簧在初始位置和最终位置的变形量变形量 。 一般情形下，作用在质点系（刚体系）上的力系（包括一般情形下，作用在质点系（刚体系）上的力系（包括内力系）非常复杂，需要认真分析哪些力作功，哪些力不作内力系）非常复杂，需要认真分析哪些力作功，哪些力不作功。在动量和动量矩定理中，只有外力系起作用，内力不改功。在动量和动量矩定理中，只有外力系起作用，内力不改变系统的动量或动量矩；在能量方法中，内力对系统的能量变系统的动量或动量矩；在能量方法中，内力对系统的能量改变是有影响的，许多内力是作功的，这

3、是学习本章内容时改变是有影响的，许多内力是作功的，这是学习本章内容时必须注意的。必须注意的。 刚体以角速度刚体以角速度绕定轴绕定轴z转动转动,其上其上A点作用有力点作用有力F，则力在则力在A点轨迹切线上的投影为点轨迹切线上的投影为 cosFF 定轴转动的转角和弧长的关系为定轴转动的转角和弧长的关系为 ddRs 则力则力F 的元功为的元功为 ddd()dFrFzWF RMRFMz)(F力力F对轴对轴z的矩的矩 于是，力在刚体由角度于是，力在刚体由角度1转到角度转到角度2时所作的功为时所作的功为 d )(2112FzMW 于是，力在刚体由角度于是，力在刚体由角度1转到角度转到角度2时所作的功为时所

4、作的功为 d )(2112FzMW若力偶矩矢若力偶矩矢M与与z轴平行，则轴平行，则M所作之功为所作之功为 d2112MW若力偶矩矢若力偶矩矢M为任意矢量，则为任意矢量，则M所作之功为所作之功为 d2112zMW其中其中Mz为力偶矩矢为力偶矩矢M在在z轴上的投影。轴上的投影。 假设扭簧上的杆处于水平假设扭簧上的杆处于水平时扭簧未变形，且变形时在弹时扭簧未变形，且变形时在弹性范围之内。变形时扭簧作用性范围之内。变形时扭簧作用于杆上的力对点于杆上的力对点O之矩为之矩为 kM其中其中k为扭簧的刚度系数。当杆从角度为扭簧的刚度系数。当杆从角度1转到角度转到角度2时所作的时所作的功为功为 21221212

5、11d22Wkkk返回返回 设重物设重物A、B的质量为的质量为mA=mB=m，三角块三角块D的质量为的质量为m0 ，置于光滑地面，置于光滑地面上。圆轮上。圆轮C和绳的质量忽略不计。系和绳的质量忽略不计。系统初始静止。统初始静止。开始运动后，系统的动能为开始运动后，系统的动能为 2220111222AABBDTm vm vm vrADAvvvrBDBvvv 当物块以相对速度下落时系当物块以相对速度下落时系统的动能。统的动能。 2220111222AABBDTm vm vm vrADAvvvrBDBvvv或者写成或者写成 222rDAvvv22222)sin()cos(cos2rrDrDrDBvv

6、vvvvvv注意到注意到, ,系统水平方向上动量守恒，故有系统水平方向上动量守恒，故有 0DxDBxBAxAvmvmvmr0(cos )0DDDmvm vvm vr0(cos )0DDDmvm vvm vMmmvvD2cosr22222rrr0111()(2cos )222DDDDTm vvm vvv vm v2220r02 (2)cos2(2)mmmmvmm2220111222AABBDTm vm vm v222rDAvvv22222)sin()cos(cos2rrDrDrDBvvvvvvvv返回返回 均质圆轮均质圆轮A、B的质量均为的质量均为m，半径半径均为均为R，轮轮A沿斜面作纯滚动，轮

7、沿斜面作纯滚动，轮B作作定轴转动，定轴转动，B处摩擦不计。物块处摩擦不计。物块C的的质量也为质量也为m。A、B、C用无质量的绳用无质量的绳相联，绳相对相联，绳相对B轮无滑动。系统初始轮无滑动。系统初始为静止状态。为静止状态。试求：试求：1当物块当物块C下降高度为下降高度为h时，轮时，轮A质质心 的 速 度 以 及 轮心 的 速 度 以 及 轮 B 的 角 速 度 。的 角 速 度 。2系统运动时，物块系统运动时，物块C的加速度。的加速度。 以整个系统为研究对象。画出以整个系统为研究对象。画出系统中作功的力。系统中作功的力。 注意到轮注意到轮A作平面运动；轮作平面运动；轮B作定轴转动；物块作定轴

8、转动；物块C作平移。作平移。于是，系统的动能：于是，系统的动能： 222212111102222,AAABBCTTmvJJmv根据运动学分析，得到根据运动学分析，得到 AARvBCRvCAvv212302,ATTmv写出系统的动能表达式：写出系统的动能表达式： 212302,ATTmv121cos602Wmghmghmgh1212WTT231022Amvmgh由此解出由此解出 32ghvA3ghvA 轮轮A的重力和物块的重力分别作正功的重力和物块的重力分别作正功和负功。于是，系统外力的总功为和负功。于是，系统外力的总功为 23RghRvAAB 3ghvA23RghRvAABACvvthdddd

9、ddCACvvatt23Aghv CCCvgav326gaaAC将下降高度将下降高度h视为变量，其对时间的一阶导数即为物块视为变量，其对时间的一阶导数即为物块C的速度的速度 因为物块因为物块C作直线平移，故有作直线平移，故有 物块的加速度为物块的加速度为 均质圆轮均质圆轮A、B的质量均为的质量均为m，半径均为半径均为R，轮轮A沿斜面作沿斜面作纯滚动，轮纯滚动，轮B作定轴转动作定轴转动，B处处摩擦不计。物块摩擦不计。物块C的质量也为的质量也为m。A、B、C用轻绳相联，绳相用轻绳相联，绳相对对B轮无滑动。系统初始为静轮无滑动。系统初始为静止状态。圆盘止状态。圆盘A的质心处加一的质心处加一不计质量的

10、弹簧，弹簧刚度系不计质量的弹簧，弹簧刚度系数为数为k 求：求：系统的等效质量、等效刚度与系统的固有频率。系统的等效质量、等效刚度与系统的固有频率。 这是一个单自由度振动的刚体系统，现研究怎样将这是一个单自由度振动的刚体系统，现研究怎样将其简化为弹簧质量模型。其简化为弹簧质量模型。 与以前所研究过的问题相比，系统中增加了平面运动，与以前所研究过的问题相比，系统中增加了平面运动，可以根据动能定理建立系统的运动微分方程，从而得到系可以根据动能定理建立系统的运动微分方程，从而得到系统的等效质量和等效刚度。统的等效质量和等效刚度。 232ATmv,xvvRxxvCABC 以整个系统为研究对象，以整个系统

11、为研究对象，作功的力作功的力A、B轮的重力和弹簧轮的重力和弹簧的弹性力。的弹性力。以物块以物块C的位移的位移x为广义坐标，静平衡位置取为座标原点为广义坐标，静平衡位置取为座标原点 系统的动能表达式为系统的动能表达式为 222211112222AAABBCTmvJJmv则动能表达式可以写为则动能表达式可以写为 232Tmx作用在系统上的外力所作之功为作用在系统上的外力所作之功为 )(260cos2st2stxkmgxmgxW232ATmv 由于系统初始于静平衡状态，对轮由于系统初始于静平衡状态，对轮A、轮轮B和物块和物块C分别分别列出静平衡方程，整理后，有列出静平衡方程，整理后，有 stcos6

12、00mgmgk,xvvRxxvCABC232Tmx)(260cos2st2stxkmgxmgxW根据动能定理的微分形式，有根据动能定理的微分形式，有 stcos600mgmgk221kxWtkxtxmd)21d(d)23d(22kxxm 3根据动能定理的微分形式，有根据动能定理的微分形式，有 kxxm 3化成标准方程化成标准方程, 03 kxxm 即即等效质量为等效质量为3m，等效刚度就是弹簧的刚度，等效刚度就是弹簧的刚度k。于是，刚体系。于是，刚体系统便简化为一弹簧质量系统。其振动方程为统便简化为一弹簧质量系统。其振动方程为 03xmkx 据此，系统的固有频率为据此，系统的固有频率为 mkn

13、3返回返回返回返回 均质圆轮均质圆轮A、B的质量均为的质量均为m，半径均为，半径均为R，轮，轮A沿斜面作纯沿斜面作纯滚动，轮滚动，轮B作定轴转动，作定轴转动，B处摩处摩擦不计。物块擦不计。物块C的质量也为的质量也为m。A、B、C用无质量绳相联，绳用无质量绳相联，绳相对相对B轮无滑动。系统初始为静轮无滑动。系统初始为静止状态。止状态。试求：试求： 1轮轮A、轮轮B之间的绳子拉力和之间的绳子拉力和B处的约束力；处的约束力； 2轮轮A与地面的接触点处的摩擦力。与地面的接触点处的摩擦力。 BCRaCBaR 取轮取轮B和物块和物块C为研究对象，分析受力，对点为研究对象，分析受力，对点B应用动量矩应用动量

14、矩定理，有定理，有 Td()dBBCCCJm v Rm gRF RtB 本例的条件与本例的条件与相同。在相同。在中已经求得中已经求得6gaaAC取轮取轮B和块和块C为研究对象，分析受力，对为研究对象，分析受力，对点点B应用动量矩定理，有应用动量矩定理，有 Td()dBBCCCJm v Rm gRF RtTBCJmR amgRF RR由此解得由此解得T23324BCCJFmgm amgmamgRB对图示系统应用质心运动定理，有对图示系统应用质心运动定理，有 TTcos30cos60BBxCCxBxBByCCyByBCm am aFFm am aFFm gm gTT302122BxCByFFmaF

15、Fmg由此解得由此解得B处的约束力处的约束力mgmgmgmgFmgmgFBxBx245324321618334323B取轮取轮A为研究对象，分析受力，应用相对质为研究对象，分析受力，应用相对质心的动量矩定理，得到心的动量矩定理，得到AAJFR注意到注意到 ACARaa于是，得到摩擦力于是，得到摩擦力 211122612AAAamRJgRFmmgRR 本例中几乎应用了三个定理的所有主要形式。还可以发本例中几乎应用了三个定理的所有主要形式。还可以发现，每种问题的解法都并不是惟一的。这说明，对于具体问现，每种问题的解法都并不是惟一的。这说明，对于具体问题，必须进行具体分析，没有统一的方法可循。题，必

16、须进行具体分析，没有统一的方法可循。 均质杆长为均质杆长为l，质量为，质量为m1，B端靠在端靠在光滑墙上，光滑墙上，A端用铰链与均质圆盘的端用铰链与均质圆盘的质心相连。圆盘的质量为质心相连。圆盘的质量为m2 ，半径为，半径为R，放在粗糙的地面上，自图示放在粗糙的地面上，自图示=45时由静止开始纯滚动。时由静止开始纯滚动。 A点在初瞬时的加速度。点在初瞬时的加速度。 此题解法仍不唯一。现用机械此题解法仍不唯一。现用机械能守恒定律求解。能守恒定律求解。 本例中只有保守力作功，故机械能守本例中只有保守力作功，故机械能守恒。注意到杆和圆盘质心到速度瞬心的恒。注意到杆和圆盘质心到速度瞬心的距离恒定，则构

17、件对瞬心的转动惯量为距离恒定，则构件对瞬心的转动惯量为常数。常数。 动能为动能为 12CABC杆的速度瞬心；圆盘的速度瞬心。12222222121122111 11 3222 32 2CCTJJmlm R12222222121122111 11 3222 32 2CCTJJmlm R设轮心设轮心A的速度为的速度为vA，则有，则有 sin12lRvA2221)43sin6(AvmmT取经过轮心取经过轮心A的水平线为零势位置，系统的势能为的水平线为零势位置，系统的势能为 sin21lgmV2221)43sin6(AvmmT根据机械能守恒定律，有根据机械能守恒定律，有 sin21lgmVCVT212

18、123sin6sin42Ammlvm gC将上式对时间求一次导数将上式对时间求一次导数 0ddcos2dd3sincos23sin3121221tlgmtmavmmAA0ddcos2dd3sincos23sin3121221tlgmtmavmmAAsindd1lvtA450,Av121231322Ammam g于是，点于是，点A在初瞬时的加速度为在初瞬时的加速度为 211943mmgmaA注意到注意到 初瞬时初瞬时 返回返回NtWtTdddvFttWNtdddrFzzMtMtWNddd损耗输出输入NNNtTdd损耗输出输入NNtTNdd1%100dd%100输入有用输入有用NtTNNN 均质杆

19、均质杆AB重力重力W，A、B处均为光处均为光滑面约束，杆在铅垂位置时，无初速滑面约束，杆在铅垂位置时，无初速下滑。下滑。求求: 图示位置时图示位置时A、B二处的约束力。二处的约束力。 对于杆对于杆AB，其动量、动量矩、动能的表达式都很容易写其动量、动量矩、动能的表达式都很容易写出。为了确定约束力，可以采用质心运动定理。出。为了确定约束力，可以采用质心运动定理。 CxN ACyN BWaFgWaFWg方程简洁明了，关键是质心加速度如何确定，也就是如方程简洁明了，关键是质心加速度如何确定，也就是如何建立相关的运动学方程。何建立相关的运动学方程。 对于杆对于杆AB，其动量、动量矩、动能的，其动量、动量矩、动能的表达式都很容易写出。为了确定约束表达式都很容易写出。为了确定约束力，可以采用质心运动定理，即力，可以采用质心运动定理，即 方程简洁明了，关键是质心加方程简洁明了，关键是质心加速度如何确定，也就是如何建速度如何确定，也就是如何建立相关的运动学方程。立相关的运动学方程。 由于约束力由于约束力FNA、FNB的作用线均通过杆的速度瞬的作用线均通过杆的速度瞬心，所以，可以采用相对瞬心的动量矩定理，很容易心，所以，可以采用相对瞬心的动量矩定理，很容易确定杆的角加速度确定杆的角加速度，将，将 看成变看成变