[理学]第三章 图像变换ppt课件

1、第三章第三章 图像变换图像变换图像变换的目的在于：使图像处置问题简化；有利于图像特征提取；有助于从概念上加强对图像信息的了解。图像变换通常是一种二维正交变换。普通要求： 正交变换必需是可逆的； 正变换和反变换的算法不能太复杂； 正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图像处置。因此正交变换广泛运用在图像加强、图像恢复、特征提取、图像紧缩编码和外形分析等方面。3.1 根底知识根底知识 3.1.1 点源和狄拉克函数点源和狄拉克函数 一幅图像可以看成由无穷多极小的象素一幅图像可以看成由无穷多极小的象素组成，每一个象素都可以看作为一个点源，组

2、成，每一个象素都可以看作为一个点源，因此，一幅图像也可以看成由无穷多点源因此，一幅图像也可以看成由无穷多点源所组成。所组成。 数学上，点源可以用狄拉克数学上，点源可以用狄拉克函数来表函数来表示，二维示，二维函数定义为：函数定义为： 且满足：且满足：?00,0),(yxyx01),(),(dxdyyxdxdyyx狄拉克狄拉克函数性质：函数性质：(1) (1) 函数为偶函数，即函数为偶函数，即),(),(yxyx ddyxfyxf),(),(),(),(*),(),(yxyxfyxf),(*),(),(yxyxfyxf(2) (2) 位移性位移性或用卷积符号或用卷积符号* *表示为表示为(3)(3

3、)可分性可分性)()(),(yxyx因此有因此有(5)(5)挑选性挑选性),(),(),(fdxdyyxyxf当且仅当当且仅当0 0时时dxdyyxyxff),(),()0 , 0(4)(4)乘积性乘积性),(),(),(),(yxfyxyxf频域世界与频域变换频域世界与频域变换恣意波形可分解为正弦波的加权和 3.1.2 3.1.2 二维线性位移不变系统二维线性位移不变系统 满足此条件的运算称为二维线性运算，由它描画的系统称为二维线性系统。满足此条件的运算称为二维线性运算，由它描画的系统称为二维线性系统。 f(x,y) g(x,y) f(x,y) g(x,y) (x,y) h(x,y)(x,y

4、) h(x,y),(a),(),(a),(),(a),(221122112211yxgyxgayxfTyxfTayxfyxfaTT.T.二维线性系统普通表示位移不变系统?yx,?yx,h 当输入为单位脉冲当输入为单位脉冲(x,y)(x,y)时，系统的输出便称为脉冲呼应，用时，系统的输出便称为脉冲呼应，用h(x,y)h(x,y)表示。在图像处置中，它便是点源的呼应，称为点分散函数。表示。在图像处置中，它便是点源的呼应，称为点分散函数。ddyxhfddyxTfddyxfTyxfTyx ),(),(),(),(),(),(),(),(g 对一个二维线性位移不变系统来说，假设输入为f(x,y)，输出为

5、g(x,y),系统加于输入的线性运算为T.，那么有： 上式阐明：线性位移不变系统的输出等于系统的输入和系统脉冲呼应点分散函数的卷积。),(*),(),(gyxhyxfyx简记为： 3.2.1 延续函数的傅立叶变换 1. 一维延续函数的傅立叶变换 令f(x)为实变量x的延续函数，f(x) 的傅立叶变换用F(u)表示，那么定义式为 假设知F(u)，那么傅立叶反变换为 以上称为傅立叶变换对。)12 .3()()(2dxexfuFuxj)22 . 3()()(2dueuFxfuxj3.2 3.2 傅立叶变换傅立叶变换这里f(x)是实函数，它的傅立叶变换F(u)通常是复函数。F(u)的实部、虚部、振幅、

6、能量和相位分别表示如下： 32 . 3)2cos()()(dxuxxfuR实部) 42 . 3 ()2sin()()(dxuxxfuI虚部)52 . 3()(2)(2)(21uIuRuF振幅) 62 . 3 ()()()()(222uIuRuFuE能量)72 . 3()()(tan)(1uRuIu相位) 82 . 3 (2sin2cos2uxjuxeuxj傅立叶变换中出现的变量u 通常称为频率变量。 2. 2. 二维延续函数的傅立叶变换二维延续函数的傅立叶变换 傅立叶变换很容易推行到二维的情况。假设傅立叶变换很容易推行到二维的情况。假设f(xf(x，y)y)是延续和可积的，且是延续和可积的，且

7、F(uF(u，v)v)是可积的，那是可积的，那么二维傅立叶变换对为么二维傅立叶变换对为 )102 . 3(),(),()92 . 3(),(),()(2)(2dudvevuFyxfdxdyeyxfvuFvyuxjvyuxj二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为： |F(u，v) =R2(u，v)+I2 (u，v)1/2 (u，v)=tan-1 I(u，v)R(u，v) E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)例：求如下图的函数的傅立叶谱otherYyXxAyxf00,0),(xyf(x,y)AYvyjXuxjxxYvyjXuxjYvyjXuxjvyuxjvyuxjevjeujAdxccxd

8、andedxevjvyjdeujuxjdeAdyedxeAdxdyeAdxdyeyxfvuF020202020202)(2)(2212)(2)2(2)2(),(),( vYvYeuXuXeAXYXjeevYjevjuXjeujAeeevjeeeujAevjeujAvYjuXjjXjXvYjuXjuXjuXjuXjuXjuXjuXjvYjuXj)sin()sin(sin2)sin(2(21)sin(2(2)(21)(2) 1(21) 1(222欧拉公式：|)sin(|)sin(| ),(|vYvYuXuXAXYvuF其傅立叶谱为：其傅立叶谱为：3.2.2 3.2.2 离散函数的傅立叶变换离散函数

9、的傅立叶变换1.1.一维离散函数的傅立叶变换一维离散函数的傅立叶变换 假定取间隔假定取间隔x x单位的抽样方法将单位的抽样方法将一个延续函数一个延续函数f(x)f(x)离散化为一个序列离散化为一个序列f(x0)f(x0)，f(x0+f(x0+x)x)，fx0+(N-1)fx0+(N-1)xx，如下图。，如下图。被抽样函数的离散傅立叶变换定义式为被抽样函数的离散傅立叶变换定义式为 F(u)=式中式中u=0，1，2，N1。反变换为。反变换为 f(x) =式中式中x=0，1，2，N-1。10/21)(NxNuxjNexf10/2)(NxNuxjeuF 例如：对一维信号例如：对一维信号f(x)=1 0

10、 1 0进展傅立叶变换。进展傅立叶变换。 由由 得得 u=0时，时， u=1时时, 注：注：10/21)()(NxNuxjNexfuF2/ 1) 3() 2() 1 () 0( 1111 )()() 0(413041304/0241ffffxfexfFxxx0) 3()2() 1 ()0(11 )() 1 (412/3041ffffjjexfFjxsincosjej2/1)3()2() 1 ()0( 1111 )()2(413041ffffexfFjxu=2时,u=3时,在N=4时，傅立叶变换以矩阵方式表示为： F(u)= =Af(x)0) 3()2() 1 ()0(11 )() 3(412/

11、33041ffffjjexfFxjx010111111111111141jjjj2.2.二维离散函数的傅立叶变换二维离散函数的傅立叶变换在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为为 F(u F(u，v)= v)= 式中式中u=0u=0，1 1，2 2，M-1M-1；v=0v=0，1 1，2 2，N-1N-1。 f(x f(x，y)= y)= 式中式中 x=0 x=0，1 1，2 2，M-1M-1；y=0y=0，1 1，2 2，N-1N-1。 1010)/(21),(MxNyNvyMuxjMNeyxf 1010)/(2),(MuNvNvyMuxjevuF 在数字图

12、像处置中，图像普通取样为方形矩阵，即在数字图像处置中，图像普通取样为方形矩阵，即NN，那么其傅立叶变换及其逆变换为：，那么其傅立叶变换及其逆变换为： 11002exp),(),(2exp,1,10102NNNuvvyuxjvuFyxfNvyuxjyxfNvuFNxNy傅里叶变换图像了解傅里叶变换图像了解 傅立叶原理阐明：任何延续丈量的时序或信号，都可傅立叶原理阐明：任何延续丈量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创建的傅立叶变换算法，利用直接丈量到的原该原理创建的傅立叶变换算法，利用直接丈量到的原始信号，以累加方式

13、来计算该信号中不同正弦波信号始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。的频率、振幅和相位。 图像的频率是表征图像中灰度变化猛烈程度的目的，图像的频率是表征图像中灰度变化猛烈程度的目的，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换猛烈的边缘区域在图像中是一片而对于地表属性变换猛烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化猛烈的区域，对应的频率值较高。灰度变化猛烈的区域，对应的频率值较高。 从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是

14、将一个函数转从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处置的。从物理效果看，傅立换为一系列周期函数来处置的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。将图像从频率域转换到空间域。 实践上对图像进展二维傅立叶变换得到频谱图，就是实践上对图像进展二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系。傅立叶频谱图上我们看点并不存在一一对应的关系。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实践

15、上图像上某一点与邻域点到的明暗不一的亮点，实践上图像上某一点与邻域点差别的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小。差别的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小。 经过傅里叶变换后的图像，四角对应于低频成分，中经过傅里叶变换后的图像，四角对应于低频成分，中央部位对应于高频部分。央部位对应于高频部分。原 图离散傅立叶变换后的频域图例如例如 数字图像的傅立叶变换数字图像的傅立叶变换一维和二维离散函数的傅里叶谱、能量和相位谱和延续函数是一样的，差别在于独立变量是离散的。普通来说，对一幅图像进展傅立叶变换运算量很大，不直接利用以上公式计算。如今都采用傅立叶变换快速算法，这样可大大减少计算量。为提高傅

16、立叶变换算法的速度，从软件角度来讲，要不断改良算法；另一种途径为硬件化，它不但体积小且速度快。 3.2.3 3.2.3 二维离散傅立叶变换的假设干性质二维离散傅立叶变换的假设干性质 离散傅立叶变换建立了函数在空间域与频离散傅立叶变换建立了函数在空间域与频率域之间的转换关系。在数字图像处置中，经率域之间的转换关系。在数字图像处置中，经常要利用这种转换关系及其转换规律。常要利用这种转换关系及其转换规律。 11-j2/-j2/2001( ,)e(,)eNNuxNvyNxyF u vfx yN11-j2 /j2 /00(,)e(,)eNNu xNv yNuvfxyFuv根本性质：根本性质： 1. 可分

17、别性可分别性2平移性平移性 ：00j2()/00( , )e(,)u x v yNf x yF u u v v图像中心化 00/2( , )( 1)(,)22x yNNuvNf x yF uv 时( , )(,)( ,)(,)F u vF uaN vbNf x yf xaN ybN3周期性周期性N/2-N/2一个周期4共轭对称性共轭对称性*(,)(,)(,)(,)(,)(,)fxyfxyFuvFuvfxyFuv 若 存在或 那么00( ,)( ,)f rF cossincossin( , )( , ),( , )( , )xryruwvwf x yf rF u vF w 例：5旋转不变性旋转不

18、变性12121212( ,)( ,)( ,)( ,)( ,)( ,)( ,)( ,)( ,)( , )1(,)(,)Ffx yfx yFfx yFfx yFfx y fx yFfx yFfx yaf x yaF u vuvf ax byFaba b傅立叶变换和反变换对于加法可以分配，而对乘法不行比例性：在空间比例尺寸的展宽，相应于频域比例尺度的压缩，1其幅值也减少为原来的ab6分配性和比例性分配性和比例性11200112001( , )( , )01(0 0)( , )( , )(0 0)NNxyNNxyf x yf x yNuvFf x yf x yFN二维离散函数的平均值：将代入离散傅立叶

19、公式：，7平均值平均值 为防止卷积后发生交叠误差，需对离散的二维函数的定义域加以扩展( , )* ( , )( , )( , )( , )( , )( , )* ( , )f x yg x yF u vG u vf x yg x yF u vG u v8离散卷积定理离散卷积定理 11( , )( , )0( , )0101( , )011( , )0101( , )01eeM A CN BDf x yg x yf x yx Ay Bf x yA x MB y Ng x yx Cy Dg x yC x MD 为此将和用整补 的方法扩充为以下的二维周期序列1y N当卷积周期才防止交叠误差1100(

20、 ,)*( ,)(, )(,)0,1,2,10,1,2,1;*( ,)*( ,)( , )( , )( ,)( ,)( , )*( , )MNeeeemneeeeeeeefx ygx yfm n gxm ynxMyNMNfx ygx yF u vGu vfx ygx yF u vGu v 其二维离散卷积：式中： 周期：1100( , )( , )( , )( , )() (,)( , )( , )(, ) (,)MNmnf x yg x yf x yg x yfg xyddABCDf x yg x yf m n g xm yn 连续二维函数和的相关定义大小为，的两个离散函数序列的互相关定义9离

21、散相关定理离散相关定理*(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,),(,)eefxygxyFuvGuvfxygxyFuvGuvfxygxy离 散 的 相 关 定 理 ：离 散 变 量 的 函 数 是 扩 充 函 数 ，表 示 傅里叶变换的问题傅里叶变换的问题 1复数计算而非实数，费时。如采用其它适宜复数计算而非实数，费时。如采用其它适宜的完备正交函数来替代傅里叶变换所用的正、余的完备正交函数来替代傅里叶变换所用的正、余弦函数构成完备的正交函数系，可防止这种复数弦函数构成完备的正交函数系，可防止这种复数运算。运算。 2收敛慢，在图像编码运用中尤为突出。收敛慢，在图像编码运用中尤为突出

22、。 3在研讨离散傅里叶计算的根底上，节省它的在研讨离散傅里叶计算的根底上，节省它的计算量，到达快速计算的目的计算量，到达快速计算的目的3.3 3.3 其他可分别图像变换其他可分别图像变换3.3.1 3.3.1 通用公式通用公式 一维离散傅里叶变换是一类重要的变换，一维离散傅里叶变换是一类重要的变换，它可以用通用关系表示为：它可以用通用关系表示为： g(x,ug(x,u称为变换核。称为变换核。 其逆变换关系式为：其逆变换关系式为： 其中其中h(x,u)h(x,u)是反变换核。是反变换核。 10),()()(NxuxgxfuT),()()(10uxhuTxfNu 对于二维方阵，正变换和反变换可表示

23、为：10101010),(),(),(),(),(),(NuNvNxNxvuyxhvuTyxfvuyxgyxfvuT g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分别称为正变换核和反变换核。假设满足关系，那么称核是可分别的。假设g1和g2一样，那么称该核是对称的。),(),(),(21vyguxgvuyxg3.3.2 3.3.2 沃尔什变换沃尔什变换 当当N=2n N=2n 时，函数时，函数f(x)f(x)的离散沃尔什变换记的离散沃尔什变换记为为w(u)w(u)，其变换核为：，其变换核为： 该式就是一维离散沃尔什变换。其中该式就是一维离散沃尔什变换。其中bk(z)bk(z)是是z z的二进制表示

24、的第的二进制表示的第k k位值。位值。 10)()x(1010)()x(11) 1()(1)() 1(1),(niubbNxniubbiniinixfNuwNuxg则 沃尔什变换核构成的数组时一个对称矩阵，它的行和列是正交的。除相差常数因子1/N 外，反变换核与正变换核是完全一样的。即： 10)()x(1010)()x(11)1()()()1(),(niubbNiniubbiniiniuwxfuxh换为：则一维离散沃尔什反变 与以三角函数项为根底的傅里叶变换不同，沃尔什变换是由值+1和-1的根本函数的级数展开式构成的。例如，N2n=8时的变换核和反变换核用矩阵方式表示为 1) 1(10*00*

25、01*1)4() 1 ()4() 1 ()4() 1 ()()(101)()(021110201niiniubxbniinibbbbbbubxb例，G中元素-1。 对应x=1,u=4,n=3，思索 x=1=(0001) 二进制，u=4=(0100)二进制，得：思索： N2n=4时的变换核用矩阵方式表示？ NoImage),(xug 二维正反沃尔什变换核表示为：11)()y()()x(11)()y()()x(1111)1(1),()1(1),(nivbbubbnivbbubbiniiniiniiniNvuyxhNvuyxg 故两式的二维沃尔什正变换核反变换也具有一样方式：10)()y()()x(

26、101010)()y()()x(10101111) 1(),(1),() 1(),(1),(nivbbubbNvNunivbbubbNyNxiniiniiniinivuWNyxfyxfNvuw 二维沃尔什正变换核和反变换核都是可分别和对称的。13311331133113311f0000000000000408111111111111111113311331133113311111111111111111411W11111111111111111f0000000000000004W 这阐明，假设输入的原始图像均匀分布，那么Walsh变换后的数据会集中于矩阵的边角上，可见此变换可以用于图像信息紧缩

27、。 经Walsh变换后得：3.3.3 3.3.3 哈达玛变换哈达玛变换 一维哈达玛变换核为：一维哈达玛变换核为： 该式就是一维离散哈达玛变换。其中该式就是一维离散哈达玛变换。其中bk(z)bk(z)是是z z的二进制表示的第的二进制表示的第k k位值。位值。 1010)()x(10)()x()1( )(1)()1(1),(niiiniiiubbNxubbxfNuHNuxg则 与一维沃尔什变换一样，正、反变换核一样，但没有1/N，因此一维哈达玛反变换为： 10)()x(10)1( )()(niiiubbNiuHxf 二维正、反哈达玛变换核表示为：10)()y()()x(10)()y()()x()

28、1(1),()1(1),(nivibibuibibnivibibuibibNvuyxhNvuyxg13311331133113311f000000000000400811111111111111111331133113311331111111111111111141H11111111111111111f经 Hadamard 变换后图像，阐明什么问题？ 从上面例子中可看出，DHT和和DWT都满足变换前后能量守恒，即： 但相比于原图像数据，变换后的系数矩阵具有能量集中的作用，且数据越均匀能量越集中，可用于图像紧缩。3.3.4 3.3.4 离散余弦变换离散余弦变换 离散余弦变换离散余弦变换(Disc

29、rete Cosine (Discrete Cosine Transform-Transform-简称简称DCT)DCT)是傅里叶变换的一种特殊是傅里叶变换的一种特殊情况。在傅里叶级数展开式中，被展开的函数情况。在傅里叶级数展开式中，被展开的函数是实偶函数时，其傅里叶级数中只包含余弦项，是实偶函数时，其傅里叶级数中只包含余弦项，称之为余弦变换称之为余弦变换 。 DCT DCT计算复杂性适中，又具有可分别特性，计算复杂性适中，又具有可分别特性，还有快速算法，所以被广泛地用在图象数据紧还有快速算法，所以被广泛地用在图象数据紧缩编码算法中，如缩编码算法中，如JPEGJPEG、MPEG-1MPEG-1、MPEG-2MPEG-2及及H.261H.261等紧缩编码国际规范都采用了离散余弦变等紧缩编码国际规范都采用了离散余弦变换编码算法。换编码算法。 其变换核是为实数的余弦函数，因此其变换核是为实数的余弦函数，因此DCTDCT的的计算速度比计算速度比DFTDFT快得多。快得多。 一维离散余弦变换一维离散余弦变换 一维一维DCT的变换核定义为的变换核定义为: 式中，x, u=0, 1, 2, , N1； 其他1021)(uuC 一维DCT定义如下： 设f(x)|x=0, 1,