隐函数定理及其应ppt课件

1、第十八章 隐函数定理及其运用第五节隐函数的求导公式 8-58-5隐函数的隐函数的 微分法微分法 与一元函数的情形类似，多元函也有隐函数。假设在方程式0),(zyxF中，2),(Ryx时， 相应地总有满足该方程的独一的 z 值存在 , 那么称该方程在 内确定隐函数。),(yxfz 每一个方程都能每一个方程都能 确定一个隐函数吗？确定一个隐函数吗？0122 yx 此外，隐函数不一定都能显化。此外，隐函数不一定都能显化。假设在方程式0),(uXF中，nRX时， 相应地总有满足该在 内确定隐函数。)(Xfu 方程的独一的 u 值存在 , 那么称该方程 ),( 1nxxX 将概念推行到普通情形将概念推行

2、到普通情形 一元函数的隐函数的求导法 一、设0),(yxF确定隐函数。)(xfy 假设,),(1CyxF那么对方程两边关于 x 求导，得0),(yxF0ddxyyFxF从而得到一元隐函数求导公式 )0( dd yFyFxFxy这是利用多元函数的偏导数求这是利用多元函数的偏导数求一元函数的隐函数导数的公式一元函数的隐函数导数的公式设,022yxxy求。xydd解令,22),(yxxyyxF那么xF2ln2xy yF2ln2yx故xyddyFxF2ln22ln2yxxy)02ln2(yx例例二、由一个方程确二、由一个方程确定定 的隐函数的求导的隐函数的求导法法 定理定理 2(隐函数存在定理)设1.

3、 2. 3. ;),(U(),(0001zyxCzyxF;0),(000zyxF,0),(000zyxFz那么方程0),(zyxF在),U(00yx内独一确定一个函数),(U(),(001yxCyxfz且, ),(000yxfz 。0),(,(yxfyxF 由隐函数存在定理的条件及一元隐函数求导方法, 利用多元函数求导方法，对方程 F(x, y, u) = 0 两边关于x , y 求偏导，得 0 xzzFxF由于,),(U(),(0001zyxCzyxF又0yzzFyF,0),(000zyxFz由延续函数性质,),U(00yx在其中,0),(zyxFzzFxFxzzFyFyz 本人算一下，本人

4、算一下，z 对对 x , y 的的偏导数是多少。偏导数是多少。求方程xyez20ze所确定的函数),(yxzz 的偏导数。解令),(zyxFxye,ze那么xF,xyyez2yF,xyxezF,2ze故zFxFxzzxyeye22zxyeye)02(zezFyFyzzxyexe22zxyexe)02(ze例例设0),(xyzzyxF确定),(yxzz 求,xz,yz其中，。1CF 解xF,21FyzFyF,21FxzFzF,21FxyFxz21FyzF21FxyFyz21FxzF21FxyF例例定理定理(隐函数存在定理隐函数存在定理)设1. 2. 3. ；),(U(),(001uXCuXF；0

5、)(0XF,0),(00uXFu那么方程0),(uXF在)U(0X内唯一确定一个函数)U()(01XCXfu且, )(00Xfu 。0)(,(XfXF 请同窗们本人将上面的隐函数存在请同窗们本人将上面的隐函数存在定理推行至普通的定理推行至普通的 n 元函数情形元函数情形 ), 2, 1( niuFxFxuii三、由方程组确定的三、由方程组确定的 隐函数的求导法隐函数的求导法 雅可比行列式雅可比行列式 , )(),(121CxxxFunii), 2, 1( ni),(),(2121nnxxxuuuJ ),(),(2121nnxxxFFF11xF21xFnxF112xF22xFnxF21xFnnn

6、xF2xFn 当所出现的函数均有一阶延续偏导数时，雅可比行列式有以下两个常用的性质：1. 1),(),(),(),(21212121nnnnuuuxxxxxxuuu2.),(),(),(),( ),(),(212121212121nnnnnntttxxxxxxuuutttuuu设方程组0),(0),(zyxGzyxF确定函数, )(xzz 求,ddxy。xzdd,1CGF想一想，怎样做想一想，怎样做 ？, )(xyy 问题问题1 1方程组中每个方程两边关于x 求导：xFxyyFdd0ddxzzFxGxyyGdd0ddxzzG运用克莱满法那么解此二元一次方程运用克莱满法那么解此二元一次方程组组移

7、项，得xyyFddxzzFddxFxyyGddxzzGddxG当0),(),(zyGF时， 方程组有独一解：xydd ),(),(zxGF),(),(zyGFxzdd ),(),(xyGF),(),(zyGF这样我们实践上已找到了求方程组确这样我们实践上已找到了求方程组确定的隐函数的偏导数的公式定的隐函数的偏导数的公式(之一之一)。zGxGzFxFzxGF),(),(xGyGxFyFxyGF),(),(zGyGzFyFzyGF),(),(问题问题2 2设方程组0),(0),(vuyxGvuyxF确定函数, ),(yxuu , ),(yxvv ,1CGF求,xu,yu,xv。yv 利用问题 1

8、的结论，他能够曾经知道应该怎样做了。 依葫芦画瓢哦 ！将将 x 或或 y 看成常数看成常数本人动手做！本人动手做！0),(),(vuGF当时，xu),(),(vxGF ),(),(vuGFxv ),(),(xuGF),(),(vuGF 将将 y 看成常数看成常数 公式公式0),(),(vuGF当时,yu),(),(vyGF ),(),(vuGFyv ),(),(yuGF),(),(vuGF 将将 x 看成常数看成常数 公式公式设0022yvuxvu确定函数),(yxuu ),(yxvv 求,xu,yu,xv。yv解令,),(2xvuvuyxF,),(2yvuvuyxG那么),(),(vuGFv

9、u211214 uv),(),(vxGFv2011v2 xu14uvv2例例同理可得),(),(xuGF0112u1 xv14uv1),(),(vyGFv21101 yu14uv1),(),(yuGF1102uu2 yv14uvu2 问题 1 和问题 2 的方法可以推行到更普通的情形。定理定理 (隐函数存在定隐函数存在定理理)设,),(U(),(001YXCYXFi；mi, 2, 1,0),(00YXFi1.2.；mi, 2, 13.0),(),(),(002121YXyyyFFFmm其中，, ),(21nxxxX, ),(21myyyY方程组0),(,0),(1YXFYXFm那么在)U(0X

10、内独一确定一组函数)(U()(01XCXyIi且,0)(,),(,(1XXXFmi, ), 2, 1(mi。)(,),(0010XXYm一一 问题的提出问题的提出定义定义.)(称称为为隐隐函函数数由由方方程程所所确确定定的的函函数数xyy .)(形形式式称称为为显显函函数数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题2:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?问题问题1:隐函数能否可导隐函数能否可导?二二 隐函数求导法隐函数求导法.01dxdyyexyey的的导导数数所所确确定定的的隐隐函函数数求求由由方方程程例例 yexydxdy ,求导求导

11、方程两边对方程两边对x解解0 ydxdyxdxdyey直接对方程两边求导直接对方程两边求导例例2 2.)0 , 0(, 02357处处的的值值在在点点求求设设yyyxx 解解求求导导得得方方程程两两边边对对x05212146 yyyx得得代入代入0, 0 yx;2100 yxy求求导导得得两两边边再再对对将将上上方方程程x05)(2021264235 yyyyyx得得2100 yxy, 0, 0 yx代代入入. 000 yxy三三 对数求导法对数求导法1 对数求导法对数求导法2 2 适用范围适用范围: :.)()(的求导的求导数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu先在先在 两边取

12、对数两边取对数, 然后利用隐函数的然后利用隐函数的求导方法求出求导方法求出y的导数的导数.)(xfy 幂指函数求导：幂指函数求导：)0)()()( xuxuyxvydxdyydxd 1ln然后两端取导数然后两端取导数ydxdyyln 得得)()()()(ln)()( )(xuxuxvxuxvxuyxv 所所以以uvylnln 先先两两端端取取对对数数例例3 3解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求求导导得得上上式式两两边边对对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx

13、函数函数的导数也可转化为指数的导数也可转化为指数xxysin 的导数的导数求导方法，求出求导方法，求出然后利用复合函数然后利用复合函数的导数的导数yeyxx ,lnsin )1sinln(cos )ln(sin)(lnsinlnsinlnsinxxxxexxeeyxxxxxx )sinln(cossinxxxxxx 例例4 4解解等式两边取对数得等式两边取对数得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy求导得求导得上式两边对上式两边对 x4131)2(11121 xxxxyy.,)4)(3()2)(1(yxxxxy 求求设设4131)2(111)4)(3()2)(1(21 x

14、xxxxxxxy四四 由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx xy2 消参数法消参数法 消参困难或无法消参的求导可用复合函数消参困难或无法消参的求导可用复合函数 求导方法求导方法1 由参数方程确定的函数的定义由参数方程确定的函数的定义2 由参数方程所确定的函数的求导数的方法2xy 例如例如 t ttyt tx2114),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都

15、都可可导导再再设设函函数数由复合函数及反函数的求导法那么得由复合函数及反函数的求导法那么得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt ,)()(中中在方程在方程 tytxdtdxdtdydxdy 故故,)()( 二阶可导二阶可导同样得到函数同样得到函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt )()()()()(322tttttdxyd 故故例例5 5解解:先求运动的方向先求运动的方向。的的运运动动方方向向和和速速度度大大小小抛抛射射体体在在时时刻刻求求设设抛抛射射体体的的运运动动方方程程为为tgttvytv

16、x ,21,221xyovxvyv0v.,可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映轨道的切线方向轨道的切线方向时刻的运动方向，即时刻的运动方向，即在在t)()21(tan122 tvgttvdxdy 12vgtv 水水平平分分速速度度为为1vdtdxvx gtvdtdyvy 2时刻抛射体的速度为时刻抛射体的速度为故在故在t22yxvvv 2221)(gtvv ，则则设设切切线线的的倾倾角角为为 再求速度的大小再求速度的大小铅铅直直分分速速度度为为例例6 6解解dtdxdtdydxdy tatbcossin abdxdyt 4.方方程程处的切线处的切线在在求椭圆求椭圆4sincos ttbyta

17、x.22,22,4byaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)22(22axabby abbxay2 即即例例7 7 解解.arctan)1ln(2表表示示的的函函数数的的二二阶阶导导数数求求由由方方程程 ttytxdtdxdtdydxdy tttt211211122 )(22dxdydxddxyd tttt41122122 五五 相关变化率问题相关变化率问题., ,)()( 变变化化率率称称为为相相关关变变化化率率这这样样两两个个相相互互依依赖赖的的之之间间也也存存在在一一定定关关系系与与从从而而它它们们的的变变化化率率之之间间存存在在某某种种关关系系与与而而变变量量都都是是可可导导

18、函函数数及及设设定定义义：相相关关变变化化率率dtdydtdxyxtyytxx 相关变化率处理的问题相关变化率处理的问题: :知其中一个变化率时求出另一个变化率知其中一个变化率时求出另一个变化率例例7 7解解?,500./140,500率率是是多多少少观观察察员员视视线线的的仰仰角角增增加加米米时时当当气气球球高高度度为为秒秒米米其其速速率率为为上上升升米米处处离离地地面面铅铅直直一一汽汽球球从从离离开开观观察察员员则则的仰角为的仰角为观察员视线观察员视线其高度为其高度为秒后秒后设气球上升设气球上升, ht500tanh 求求导导得得上上式式两两边边对对 tdtdhdtd 5001sec2 ,

19、/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米米时时当当h)/(14. 0分分弧弧度度 dtd 米米500米米500例例8 8解解大速率。大速率。厘米时，气体体积的增厘米时，气体体积的增求在半径为求在半径为秒的速度增大，秒的速度增大，厘米厘米已知一气球半径以已知一气球半径以 10 /103334rVVr ，则则，体体积积为为设设气气球球的的半半径径为为dtdrrdtdv24 于于是是有有240,10rdtdVscmdtdr 则则已已知知scmdtdVcmr324000104010 时时，当当六六 小结与思索判别题小结与思索判别题隐函数求导方法隐函数求导方法: : 直接对方程两边求导直接对方程

20、两边求导; ;对数求导法对数求导法: : 对方程两边取对数对方程两边取对数, ,按隐函数的求按隐函数的求导法那么求导导法那么求导; ;参数方程求导参数方程求导: 本质上是利用复合函数求导法那本质上是利用复合函数求导法那么么;相关变化率相关变化率: : 经过函数关系确定两个相互依赖的经过函数关系确定两个相互依赖的变化率变化率; ; 由其中一个变化率时求出另一个变化率由其中一个变化率时求出另一个变化率思索题思索题1,2,2222 tdxydtttdxdytytx设设下下面面的的计计算算是是否否正正确确0),(. 1 yxF一、一个方程的情形隐函数的求导公式隐函数的求导公式.yxFFdxdy 隐函数

21、存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的某一邻域内具有的某一邻域内具有 连续的偏导数，且连续的偏导数，且0),(00 yxF，. 0),(00 yxFy 则方程则方程0),( yxF在点在点),(00yxP的某一邻域内的某一邻域内 恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的 函数函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并有，并有 0),( yxF例例验验证证方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能 唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的隐隐

22、函函 数数)(xfy ，并并求求这这函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数在在 0 x的的值值. . 解解令令1),(22 yxyxF那那么么,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依定理知方程依定理知方程0122 yx在点在点)1 , 0(的某邻的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且域内能唯一确定一个单值可导、且0 x时时 1 y的函数的函数)(xfy . 1 , 000 yx均延续。均延续。yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd函数的一阶和二阶导数为函数的一阶和二阶导数为例

23、例 2 2 已知已知xyyxarctanln22 ，用公式求，用公式求dxdy. . 解解令令那那么么,arctanln),(22xyyxyxF ,22yxyx ,22yxxy yxFFdxdy .xyyx xxxyyxF arctanln22 yyxyyxF arctanln22 0),(. 2 zyxF隐函数存在定理隐函数存在定理 2 2 设函数设函数),(zyxF在点在点),(000zyxP的某一邻域的某一邻域 内有连续的偏导数，且内有连续的偏导数，且0),(000 zyxF， 0),(000 zyxFz，则方程，则方程0),( zyxF在点在点 ),(000zyxP的某一邻域内恒能唯一

24、确定一的某一邻域内恒能唯一确定一个个 单值连续且具有连续偏导数的函数单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz 它满足条件它满足条件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . . 0),( zyxFzyFFyz zyFFyz 例例 3 3 设设04222 zzyx，求求22xz . . 解解令令那那么么,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFzzxFFxz 22xz2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz ,2zx xzx 2 例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy . . 解

25、解1：). ,(),( xyzzyxfzzyxF 令令xvxuxyzfzyxf)()( , zyxu ,xyzv ).( vufzxf ).,(vufzF xxvufzF),( ),( vufzyf yvyuxyzfzyxf)()( yyvufzF),( .1 vufyxf yvyuxyzfzyxf)()(1 zzvufzF),( 于是，于是，zxFFxz .1vuvufxyffyzf xyFFyx .vuvufyzffxzf .1vuvufxzffxyf yzFFzy ).( vufzxf yyvufzF),( .1 vufyxf yvyuxyzfzyxf)()(1 zzvufzF),( x

26、xvufzF),( ),( vufzyf 思绪思绪2：把把z看成看成yx,的函数，对的函数，对x求偏导数得求偏导数得xz ， 把把x看成看成yz,的函数，对的函数，对y求偏导数得求偏导数得yx ， 把把y看看成成zx,的的函函数数，对对z求求偏偏导导数数得得zy . . 解解2：令令, zyxu ,xyzv 那那么么),(vufz 把把z看成看成yx,的函数，对的函数，对x求偏导数得求偏导数得 xvvfxuufxz )1(xzfu ),(xzxyyzfv vuvufyzfxzfxyf )1(整理得整理得xz ,1vuvufxyffyzf 把把x看看成成yz,的的函函数数，对对y求求偏偏导导数数

27、得得 )1(0 yxfu),(yxyzxzfv 整理得整理得,vuvufyzffxzf yx 把把y看看成成zx,的的函函数数，对对z求求偏偏导导数数得得 )1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvufxzffxyf 第十八章 隐函数定理及其运用 0),(0),(vuyxGvuyxF二、方程组的情形？何何时时唯唯一一确确定定函函数数 ),( ),( yxvvyxuu ? xu? yu? xv? yv隐函数存在定理隐函数存在定理 3 3 设设),(vuyxF、),(vuyxG在点在点),(0000vuyxP的某的某 一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且一邻域内有对各个

28、变量的连续偏导数，且,(00yxF 0),00 vu，0),(0000 vuyxG，且偏导数所组成的，且偏导数所组成的 函数行列式（或称雅可比式）函数行列式（或称雅可比式） ),(),(vGuGvFuFvuGFJ 在在点点),(0000vuyxP不不等等于于零零，则则方方程程组组 0),( vuyxF、 0),( vuyxG 在在点点),(0000vuyxP的的某某一一邻邻域域内内恒恒能能唯唯一一确确定定一一 组组单单值值连连续续且且具具有有连连续续偏偏导导数数的的函函数数),(yxuu ， ,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu ),(yxvv ，它们满足条件，它们满

29、足条件),(000yxuu , ,vv 0),(00yx 并有并有 vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 下面推导公式：下面推导公式： 0),(0),(vuyxGvuyxF).,( ),( yxvvyxuu 确定了确定了即，即， 0),(),(,0),(),(,yxvyxuyxGyxvyxuyxF等式两边对等式两边对 x 求导，求导， 00 xvGxuGGxvFxuFFuuxvux xuuxvuGxvGxuGFxvFxuF现现 xuuxvuGx

30、vGxuGFxvFxuF这是关于这是关于xvxu ,的的二元线性方程组。二元线性方程组。vuvuGGFFD , 0 J方程组有独一解。方程组有独一解。vxvxGGFFD 1vxvxGGFF ),(),(vxGF xuxuGGFFD 2xuxuGGFF ),(),(xuGF DDxu1 .),(),(1vxGFJ DDxv2 .),(),(1xuGFJ 类似，对类似，对 0),(),(,0),(),(,yxvyxuyxGyxvyxuyxF等式两边对等式两边对 y 求导，求导，得关于得关于yvyu ,的线性方程组。的线性方程组。解方程组得解方程组得 yu.),(),(1vyGFJ yv.),(),

31、(1yuGFJ DDxu1 .),(),(1vxGFJ DDxv2 .),(),(1xuGFJ 特别地，方程组特别地，方程组 0),(0),(zyxGzyxF且且可可以以确确定定函函数数 ),( ),( xzzxyy ,),(),(),(),(zyzyzxzxGGFFGGFFzyGFzxGFdxdy .),(),(),(),(zyzyxyxyGGFFGGFFzyGFxyGFdxdz 例例5 设设 . 432,50222zyxzyx. , dxdzdxdy求求解解 1： 令令, 050),(222 zyxzyxF. 0432),( zyxzyxG那那么么zyzyGGFFzyGF ),(),(,2

32、xFx ,2yFy ,2zFz , 1 xG, 2 yG. 3 zG3222zy .46zy zxzxGGFFzxGF ),(),(3122zx .26zx xxxxGGFFxyGF ),(),(zxzxGGFFzxGF ),(),(3122zx .26zx .42xy 1222xy ),(),( ),(),( zyGFzxGFdxdy zyzx4626 ),(),( ),(),( zyGFxyGFdxdz ,233zyxz zyxy4642 ,232zyyx 时，时，当当 046 ),(),( zyzyGF . 432,50222zyxzyx解解 2：方程两端对方程两端对 x 求导。求导。

33、. 0321, 0222dxdzdxdydxdzzdxdyyx留意：留意：),(xyy ).(xzz 即即得得 . 132,dxdzdxdyxdxdzzdxdyy32zyD .23zy 即即 . 132,dxdzdxdyxdxdzzdxdyy32zyD .23zy 311 zxD,3xz 122 xyD.2yx DDdxdy1 DDdxdz2 ,233zyxz ,232zyyx 时时，当当 0 D例例 6 6 设设 1, 0 xvyuyvxu， 求求 xu ，yu ，xv 和和yv . . 解解1 1直接代入公式；直接代入公式；解解2 2运用公式推导的方法。运用公式推导的方法。将所给方程的两边

34、对将所给方程的两边对 x x 求导并移项求导并移项: :, vxvxxuyuxvyxuxxyyxJD ,22yx 当当 0 JD 时时， DDxu1 ,22yxyvxu DDxv2 ,22yxxvyu 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 y y 求导，用同样方法求导，用同样方法得得,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv xvyuD 1 ,yvux vyuxD 2.xvyu xyyxJD ,22yx 隐函数的求导法那么隐函数的求导法那么0),()1( yxF0),()2( zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF三、小结分以下几种情况分以下几种情况常用解法：常用解法：公式法

35、公式法方程两边求导法方程两边求导法作业：作业：151页页 1 ,2,3(1 6)，4，5.第六节第六节 微分法在几何上的运用微分法在几何上的运用第六节第六节 微分法在几何上的运用微分法在几何上的运用一一 问题的提出问题的提出二二 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面(Applications of differential calculus in geometry)一一 问题的提出问题的提出 偏导数),(00yxfx就是曲面被平面0yy 所截得的曲线在点0M处的切线xTM0对x轴的斜率. 偏导数),(00yxfy就是曲面被平面0 xx 所截得的曲线在点0M处的切线yTM0对y轴的斜率.

36、 我们可以利用偏导数来确定空间曲线的我们可以利用偏导数来确定空间曲线的切向量和空间曲面的法向量切向量和空间曲面的法向量推导过程推导过程二二 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面1 空间曲线 切向量：切向量： 000, , tttT 切线方程：切线方程： 000000tzztyytxx 法平面方程：法平面方程： 0000000 zztyytxxt tztytx 0 z , y , 0000ttxM (Tangent and normal plane of space curve)解：解：2tt3z , 2y , 1 ttxt 在在 1 ，1 ，1 点对应参数为点对应参数为 t = 1 3

37、 , 2 , 1 T切线方程：切线方程：312111 zyx法平面方程：法平面方程：( x - 1)+2 ( y - 1 )+( z - 1 )=0即：即： x + 2 y + 3 z = 6例例1 求曲线求曲线 在点在点 处的处的切线及法平面方程。切线及法平面方程。 3,2,tztytx )1 , 1 , 1(2 切线方程：切线方程： 000001tzztyyxx xzxy: z , y , 0000 xM法平面方程：法平面方程： 000000 zztyytxx 0) z , y ,G(x 0 ) z , y ,x F( : 3 z , y , 0000 xMyyxxxxzzzzyyGFGF

38、zzGFGFyyGFGFxx 000 切线方程：切线方程： 0 000 zzGFGFyyGFGFxxGFGFyyxxxxzzzzyy法平面方程：法平面方程：例例2、求曲线、求曲线 在点在点 1 ，-2 ，1处的切线及法平面方程。处的切线及法平面方程。0, 6222 zyxzyx30163032 222222 12 12, 12 12, 12 12 121121,yxxzzyTyxxzzyT即：解：法平面方程：法平面方程： x - z = 0 切线方程：切线方程：110211 zyx1 设曲面方程为0),(zyxF),(),(),(000tttT曲线在M处的切向量在曲面上任取一条经过点M的曲线,

39、)()()(:tztytx三三 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线nTM (Tangent plane and normal line of surface),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令令那那么么,Tn 由于曲线是曲面上通过M的任意一条曲线， 它们在M的切线都与同一向量n垂直， 故曲面上通过M的一切曲线在点M的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点M的切平面. 切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 通通过过点点),(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直线线称称为为曲曲面面在在该该点点的的