窄带随机过程

1、第八讲窄带随机过程8.1 希尔伯特变换和解析过程希尔伯特变换一希尔伯特变换的定义设有实信号，它的希尔伯特变换记作x?(t)或 H x(t)，并定义为x?(t )H x(t )1x()dt用 t '代入上式，进行变量替换，可得到上式的等效形式为：?1x(t')x(t )d ''也可得?1x(t ' )x(t )d ''希尔伯特反变换为1?1?x(t ) Hx( ) x(t )dt经变量替换后得x(t)1?1?x(t )dx(t )d二希尔伯特变换的性质1. 希尔伯特变换相当于一个900 的理想移相器。1从定义可以看出，希尔伯特变换是x(t)

2、 和t 的卷积，即x?(t )x(t ) *1t于是，可以将 x?(t) 看成是将 x(t) 通过一个具有冲激响应为 h(t) 1 t 的线性滤波器的输出。由冲激响应可得系统的传输函数为H( )j sgn( )式中， sgn() 为符号函数，其表达式为sgn( )1010可得滤波器的传输函数为H ()j0j0即H()1( )0202上式表明，希尔伯特变换相当于一个900 的理想移相器。由上述分析可得，?) 为x(t ) 的傅立叶变换 X (?X ( )X ( )j sgn( )j sgn( ) X( )2.x(t)的希尔伯特变换为x(t)，即H x(t)x(t)。?3. 若 y(t)v(t)

3、* x(t) ，则 y(t) 的希尔伯特变换为?y(t)v(t)* x(t)v(t)* x(t)4. x(t) 与 x?(t) 的能量及平均功率相等，即x2(t)dt?2(t)dtxlim1Tx2(t)dtlim1T?2(t)dt2TT2TTxTT此性质说明希尔伯特变换只改变信号的相位， 不会改变信号的能量和功率。5. 设具有有限带宽的信号 a(t) 的傅氏变换为A() ，假定02 ，则有Ha(t) cos 0ta(t) sin 0tHa(t) sin 0ta(t) cos 0t设 A(t ) 与(t ) 为低频信号，则H A(t)cos(0t(t)A(t)sin 0t(t)H A(t)sin

4、(0t(t)A(t) cos 0t(t)6.平稳随机过程X (t) 希尔伯特变换的统计自相关函数 R ? ( ) ，和X时间自相关函数 R ? ( ) ，分别等于 X (t) 的自相关函数 RX ( ) 和时XT间自相关函数 RXT ( )，即：R?( )RX( )XR? ( )RXT ( )XT7解析信号由实信号 x(t ) 作为复信号 z(t) 的实部， x(t) 的希尔伯特变换 x?(t) 作为复信号 z(t) 的虚部，即z(t)x(t)jx?(t)这样构成的复信号 z(t) 称为解析信号。设 x(t) 频 谱 为 X() ， 并 已 知 x?(t ) 的 频 谱 为?z(t ) 的频谱

5、为X ( )j sgn( ) X ( ) ，则可得复信号Z() X()sgn( )X( )2X()000复随机变量若 X 和 Y 分别是实随机变量，则定义Z 为复随机变量Z=X+jY复随机变量的数字特征：1. 数学期望mZE ZmXjmY复数2. 方差2DZE Z2DXDY 实数ZmZ 3. 互相关矩若有两个复随机变量Z1=X 1+jY 1，Z2=X 2+jY 2，则它们的互相关矩为RZ1Z2EZ1* Z2 (RX1X2 RY1Y2 ) j(RX1Y2 RY1X2 )4. 互协方差CE(Zm )*(Zm )Z Z21Z2Z2115. 互相独立、互不相关、互相正交两个复随机变量互相独立需满足fX

6、 Y X Y(x1,y1,x2, y2 ) fX Y(x1, y1) fX Y (x2, y2)1 1221 122两个复随机变量互不相关需满足CZ1Z2E(Z1 mZ1)* (Z2 mZ2) 0或RZZEZ1* Z2 EZ1* EZ212两个复随机变量互相正交需满足REZ*Z 0Z Z2121复随机过程若 X(t) 和 Y(t) 为实随机过程，则 Z(t)=X(t)+jY(t) 为复随机过程。复随机过程的数字特征：1. 数学期望EZ(t)mX (t)jmY (t)mZ (t)复时间函数2. 方差E Z(t)mZ (t) 2 D X(t)DY(t)Z2 (t) 实函数3. 自相关函数RZ (t

7、,t)EZ* (t)Z(t)4. 自协方差函数CZ (t,t)E Z(t) mZ (t)* Z(t) mZ (t)当0 时，有R (t, t )EZ*2(t)Z (t) E Z (t ) ZCZ (t, t )2E Z (t ) mZ (t ) Z2 (t )由实随机过程广义平稳定义可直接类推出复随机过程广义平稳条件，若复随机过程Z(t)满足以下条件：E Z (t)mZ 复常数RZ( )E Z * (t)Z(t )E Z (t )2则称 Z(t) 为广义平稳复随机过程。5. 互相关和互协方差函数RZ Z(t,t)EZ1* (t)Z2(t)12CZ Z(t,t)E Z1(t) mZ(t)* Z2

8、(t ) mZ (t )1212若CZZ(t,t)0 ，则称 Z1(t)和 Z2(t)互不相关。12若RZZ(t,t)0 ，则称 Z1(t)和 Z2(t)互相正交。12若两个复随机过程各自平稳且联合平稳，则有RZ Z(t,t)RZ Z()1212CZ Z(t,t)CZ Z()12126. 功率谱密度平稳复随机过程的功率谱密度仍定义为自相关函数的傅立叶变换，即S ( )R ( )e jdZZRZ( )1SZ ( )e j d2两个联合平稳的复随机过程的互功率谱密度与互相关函数也是一个傅立叶变换对。解析过程定义：由实随机过程X (t ) 作为复随机过程 Z (t ) 的实部， X (t ) 的?希

9、尔伯特变换 X (t) 作为 Z (t) 的虚部，即?Z(t)X (t)jX (t)这样构成的复随机过程Z(t ) 为解析随机过程。其中X?(t)H X (t)1X ()dt解析过程的性质：?1. 若 X (t ) 为广义平稳过程， 则 X (t) 也是广义平稳过程， 且 X (t ) 、?X (t) 联合平稳。2.R?() R(),S?( ) S( )XXXX?( )?3.R?() R(),R?R ( )XXXXXX可得R?()R?()XXXX4.R?( )R?( )奇函数XXXX5.R? (0) 0XX?6.RZ ( )2RX ( )j 2RX ( )S?( )jSX()0XX7.jSX

10、()0SZ( )4SX( )08.008.2 窄带随机过程窄带过程的定义：若一个随机过程的功率谱是集中在以0 为中心频率的有限带宽内，并满足0，则称它为窄带随机过程。窄带随机信号的表达式一个典型的确定性窄带信号可表示为x ( t )a ( t ) cos0 t( t )其中，a(t)为幅度调制或包络调制信号，(t )为相位调制信号， 它们相对于载频0 而言都是慢变化的。对于窄带随机信号， 它的每一个样本函数都具有上式的形式，则所有的样本函数构成的窄带随机过程可以表示为X (t)A( t ) cos0 t( t )式中，A(t )是窄带过程的包络，(t )是窄带过程的相位， 它们都是随机过程，而

11、且它们相对0 是慢变随机过程。将式子 X ( t)A( t ) cos0 t(t ) 展开，得X ( t )A(t ) cos0 t cos( t )A(t ) sin0t sin (t )令 Ac ( t)A(t ) cos(t ) , As (t )A(t ) sin (t) ，则有X ( t)Ac (t ) cos0tAs (t ) sin0t这是窄带过程常用的表示形式。A(t )A 2 (t )As2 (t )c可得(t )As ( t)arctgAc ( t)窄带随机过程的统计特性假设 X (t ) 是任意的宽平稳、数学期望为零的实窄带随机过程。已知窄带过程的包络和相位相对于0 都是

12、慢变化过程，则很明显Ac (t ) , As (t ) 相对于0 为慢变部分。已知 X ( t )Ac ( t ) cos0 tAs (t ) sin0t ，根据希尔伯特变?Ac (t ) sin 0tAs (t ) cos0 t ，由上两式可得换性质有 X (t )Ac ( t )X (t) cos0 t?0 tX (t ) sinAs (t )X ( t) sin0t?X ( t) cos 0t?可见， Ac (t ) , As (t) 可以看作 X (t ) 和 X (t ) 经过线性变换后的结果。结论 1： X (t ) 是均值为 0 的平稳过程，则 Ac (t ) , As ( t)

13、 也是均值为 0 的平稳过程。结论 2： Ac (t) , As ( t) 的自相关函数相同，且Ac (t ) ,As (t ) 与X (t ) 具有相同的平均功率，即它们的方差相同222AcAsX 。结论：S(),S ( ) 集中在2，所以 A ( t) ,A(t )3AcAscs是低频过程，故SA()SA()SX (0) SX(0 )2cs0结论 4：若窄带过程X (t ) 的单边功率谱是关于0 对称的，则有RX ( )RAc ( ) cos0RAs ( ) cos0结论 5： Ac (t ) ,As ( t) 是联合平稳的，且互相关函数RAc As ( ) 为奇函数， RAc As (

14、)RAc As ( )RAs Ac ( ) 。此外，在同一时刻， Ac (t ) , As (t ) 之间是正交的。结论 6：若窄带过程X (t ) 的单边功率谱是关于0 对称的，那么Ac (t ) , As (t ) 的互相关函数和互功率谱恒为0，两个低频过程正RAc As ( )RAs Ac ( ) 0交，即 SAA ( )SAA() 0。c ss c8.3 窄带高斯过程的包络和相位的分析在本节的讨论中，假定窄带正态过程X (t ) 的均值为零，方差2为，功率谱相对于中心频率0 是对称的。窄带高斯过程的包络和相位的一维概率分布已知窄带过程的一般表达式为X ( t )A(t ) cos0t(

15、t )Ac ( t ) cos0tAs (t ) sin0t由上节的讨论可知， Ac (t) ,?As( t ) 可以看作 X (t) 和 X (t ) 经过线性变换后的结果，即Ac ( t )X (t) cos0 t?X (t ) sin 0 tAs (t )X ( t) sin0t?X ( t) cos 0t因此， X (t) 若为高斯过程，则Ac (t ) , As (t ) 也应为高斯过程，并且都具有零均值和方差2 。又根据上节的讨论， Ac (t ) , As (t ) 在同一时刻是互不相关的，又因二者是高斯过程， 根据高斯过程的性质， 它们在同一时刻也是互相独立的。设 Act ,A

16、st 分别表示 Ac (t ) ,As (t ) 在 t 时刻的取值，则其联合概率密度为f AA ( a ct , a st )f Ac( a ct ) f A( a st )c ss12 expa ct2a st2222Ac (t )A(t ) c o s(t )又As (t )A(t) s i n (t)设 At,t 分别为包络 A(t ) 和相位(t ) 在 t 时刻的取值，则A(t) 和(t) 的联合概率密度为f A (at , t )J f Ac As (act ,ast )ActAtcos t0At,0t2由于 AA sintstt可得f A (at , t ) J f A A (

17、 act , ast )csat f Ac As ( act , ast )aa2at 0,0t22texpt222由此得包络的一维概率密度为f A (at )2t )datat22 )at0f A ( at ,t2 exp(20为瑞利分布。相位的一维概率密度为f ( t )f A (at ,t )dat1t2002为均匀分布。从上述分析可以看出f A (at ,t )f A (at )f ( t )这说明，在同一时刻窄带高斯过程的包络和相位是互相独立的随机变量。窄带高斯过程包络和相位的二维概率分布求包络和相位的二维概率密度的步骤如下：先求出四维概率密度f Ac As (ac1 , as1 , ac2 , as2 ) ，然后转换为 f A (a1 , 1 ,a2 ,2)，最后再推导出 f A ( a1 , a2