zpp流体力学泵与风机02

1、 流体运动时，表征运动特征的运动要素一般随时间空间流体运动时，表征运动特征的运动要素一般随时间空间而变，而流体又是众多质点组成的连续介质，流体的运动是而变，而流体又是众多质点组成的连续介质，流体的运动是无穷多流体运动的综合。无穷多流体运动的综合。 怎样描述整个流体的运动规律呢？怎样描述整个流体的运动规律呢？拉格朗日法拉格朗日法 欧拉法欧拉法 拉格朗日法拉格朗日法: : 质点系法质点系法 把流体质点作为研究对象，把流体质点作为研究对象，跟踪每一个质点跟踪每一个质点，描述其运，描述其运动过程中流动参数随时间的变化，综合流场中所有流体质点，动过程中流动参数随时间的变化，综合流场中所有流体质点，来获得

2、整个流场流体运动的规律。来获得整个流场流体运动的规律。 设某一流体质点设某一流体质点 在在t=tt=t0 0 时刻占据居起始坐标（时刻占据居起始坐标（a a，b b，c c），），t t为时间变量为时间变量 xzyOaxbzct0tM ),( ),(),(tcbazztcbayytcbaxxzxyOaxbyzct0tMt t时刻，流体质点运动到空间坐标（时刻，流体质点运动到空间坐标（x，y，z） ),( ),(),(tcbazztcbayytcbaxx( , , , )( , , , )( , , , )( , , , ) ( , , , )( , , , )xyzx a b c tutxx

3、a b c tdy a b c tyy a b c tudttzz a b c tz a b c tut222222( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )xxxyyyzzzu a b c tx a b c taa a b c tttu a b c ty a b c taa a b c tttu a b c tz a b c taa a b c ttt 问题问题 1 每个质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点每个质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点2 数学上存在难以克服的困难

4、数学上存在难以克服的困难3 实用上，不需要知道每个质点的运动情况实用上，不需要知道每个质点的运动情况 因此，该方法在工程上很少采用。因此，该方法在工程上很少采用。( , , , )( , , , ) ( , , ) limited fluid points ( , , , )xx a b c tyy a b c ta b czz a b c t 又称为流场法，核心是研究运动要素分布场。又称为流场法，核心是研究运动要素分布场。即研究即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。该法是对流动参数场的研究，例如速度场、压强场、密度该法是

5、对流动参数场的研究，例如速度场、压强场、密度场、温度场等。场、温度场等。 采用欧拉法，可将流场中任何一个运动要素表示为采用欧拉法，可将流场中任何一个运动要素表示为空间坐标（空间坐标（x，y，z）和时间）和时间t 的单值连续函数。的单值连续函数。流体质点在任意时刻流体质点在任意时刻t 通过任意空间固定点通过任意空间固定点 (x, y, z) 时时的流速为：的流速为：( , , )( , , )( , , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z t式中，式中， ( (x, y, z, t ) )称为欧拉变数。称为欧拉变数。( , , )( , , )( , , )pp x

6、 y z tx y z tTT x y z t令令 (x, y, z) 为常数，为常数， t为变数为变数令令 (x, y, z) 为变数，为变数， t为常数为常数表示在某一固定空间点上，流体质点的运动参数随时间表示在某一固定空间点上，流体质点的运动参数随时间的变化规律。的变化规律。表示在同一时刻，流场中流动参数的分布规律。即在表示在同一时刻，流场中流动参数的分布规律。即在空间的分布状况。空间的分布状况。(a, b, c) : 质点起始坐标质点起始坐标 t : 任意时刻任意时刻(x, y, z) : 质点运动的位置坐标质点运动的位置坐标(a, b, c , t ) : 拉格朗日变数拉格朗日变数(

7、x, y, z) : 空间固定点（不动）空间固定点（不动） t : 任意时刻任意时刻(x, y, z , t ) : 欧拉变数欧拉变数拉格朗日法拉格朗日法欧拉法欧拉法 流体质点通过任意空间坐标时的加流速流体质点通过任意空间坐标时的加流速式中，式中， (ax , ay , az) 为通过空间点的加速度分量。为通过空间点的加速度分量。 ttzyxuattzyxuattzyxuazzyyxxd),(dd),(dd),(d 利用复合函数求导法，将（利用复合函数求导法，将（x,y,z）看成是时间）看成是时间 t 的函数，则的函数，则d ( , , , )dd ( , , , )dd ( , , , )d

8、xxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzzzzxyzu x y z tuuuuauuuttxyzu x y z tuuuuauuuttxyzu x y z tuuuuauuuttxyz()duuuudtta = 写为矢量形式写为矢量形式,ijkxyz 为矢量微分算子。zuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuututtzyxuazuuyuuxuututtzyxuazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxxd),(dd),(dd),(d 时变加速度分量（三项）时变加速度分量（三项） 位变加速度分量（九项）位变加速度分量（九项）ut()uuv 从欧拉法来看，不同空间位置上的

9、流体流速可以不同；从欧拉法来看，不同空间位置上的流体流速可以不同；v 在同一空间点上，因时间先后不同，流速也可不同。在同一空间点上，因时间先后不同，流速也可不同。因此，加速度分因此，加速度分 u 迁移加速度（位变加速度）：迁移加速度（位变加速度）：同一时刻，不同空间点上流速不同一时刻，不同空间点上流速不同，而产生的加速度。同，而产生的加速度。u 当地加速度（时变加速度）：当地加速度（时变加速度）：同一空间点，不同时刻上因流速同一空间点，不同时刻上因流速不同，而产生的加速度。不同，而产生的加速度。t0tutu00),( ttzyxux水面不断下降！水面不断下降！u2t0u1水面保持恒定！水面保持

10、恒定！0),( xtzyxuuxx 已知平面流动的已知平面流动的ux=3=3x m/s, m/s, uy=3=3y m/s,m/s,试确定坐标为（试确定坐标为（8 8，6 6）点上流体的加速度。）点上流体的加速度。 【解】：由式【解】：由式xxxxxxyzyyyyyxyzuuuuauuutxyzuuuuauuutxyz22033072/0033054/xxxxxyyyyyxyuuuauuxm stxyuuuauuym stxy 22290/xyaaam s在讨论流体运动的基本规律和基本方程之前，为了便于分析、在讨论流体运动的基本规律和基本方程之前，为了便于分析、研究问题，先介绍一些有关流体运动

11、的基本概念。研究问题，先介绍一些有关流体运动的基本概念。 若流场中流体的运动参数（速度、加速度、压强、若流场中流体的运动参数（速度、加速度、压强、密度、温度等）不随时间而变化，而仅是位置坐标的函数，密度、温度等）不随时间而变化，而仅是位置坐标的函数，则称这种流动为定常流动或恒定流动。则称这种流动为定常流动或恒定流动。 若流场中流体的运动参数不仅是位置坐标的函数，若流场中流体的运动参数不仅是位置坐标的函数，而且随时间变化，则称这种流动为非定常流动或非恒定流动。而且随时间变化，则称这种流动为非定常流动或非恒定流动。ut0H水面保持恒定！水面保持恒定！如图所示容器中水头不随时间变化的流动为定常流动。

12、流体的如图所示容器中水头不随时间变化的流动为定常流动。流体的速度、压强、密度和温度可表示为速度、压强、密度和温度可表示为( , )( , )( , )xxyyzzuux y zuux y zuux y z( ,)( ,)( ,)pp x y zx y zTT x y z 运动要素之一不随时间发生变化，即所有运动要素对时运动要素之一不随时间发生变化，即所有运动要素对时间的偏导数恒等于零间的偏导数恒等于零0. ttptututuzyx ()auu即，在定常流动中只有迁移加速度。即，在定常流动中只有迁移加速度。 运动要素之一随时间而变化的流动，即运动要素之一运动要素之一随时间而变化的流动，即运动要素

13、之一对时间的偏导数不为零。对时间的偏导数不为零。2t01水面保持恒定！水面保持恒定！图中，当水箱的水位保持不变时，图中，当水箱的水位保持不变时，1点到点到2点流体质点速度增加，就是由于截面变化点流体质点速度增加，就是由于截面变化而引起的迁移加速度。而引起的迁移加速度。“维维”是指空间自变量的个数。是指空间自变量的个数。 流场中流体的运动参数仅是流场中流体的运动参数仅是一个一个坐标的函数。坐标的函数。流场中流体的运动参数是流场中流体的运动参数是两个两个坐标的函数。坐标的函数。流场中流体的运动参数依赖于流场中流体的运动参数依赖于三个三个坐标时的流动。坐标时的流动。 实际上，任何实际流体流动都是三维

14、流，需考虑运动要实际上，任何实际流体流动都是三维流，需考虑运动要素在三个空间坐标方向的变化。素在三个空间坐标方向的变化。 由于实际问题通常非常复杂，数学上求解三维问题的困由于实际问题通常非常复杂，数学上求解三维问题的困难，所以流体力学中，在满足精度要求的前提下，常用简化难，所以流体力学中，在满足精度要求的前提下，常用简化方法，尽量减少运动要素的方法，尽量减少运动要素的“维维”数。数。 例如，下图所示的带锥度的圆管内黏性流体的流动，流体质点例如，下图所示的带锥度的圆管内黏性流体的流动，流体质点运动参数，如速度，即是半径运动参数，如速度，即是半径r的函数，又是沿轴线距离的函数，的函数，又是沿轴线距

15、离的函数，即：即：u=u (r，x)。显然这是二元流动问题。显然这是二元流动问题。u 工程上在讨论其速度分布时，常采用其每个截面的平均值工程上在讨论其速度分布时，常采用其每个截面的平均值u。就将流动参数如速度，简化为仅与一个坐标有关的流动问题，这种就将流动参数如速度，简化为仅与一个坐标有关的流动问题，这种流动就叫一维流动，即：流动就叫一维流动，即：u=u (x)。如图所示的绕无限翼展的流动就是二维流动，二维流动的参数以速如图所示的绕无限翼展的流动就是二维流动，二维流动的参数以速度为例，可写成：度为例，可写成：( , ) ( , ) xyuu x y iu x x j 流体质点不同时刻流经的空间

16、点所连成的线，即流流体质点不同时刻流经的空间点所连成的线，即流体质点运动的轨迹线。体质点运动的轨迹线。由拉格朗日法引出的概念。由拉格朗日法引出的概念。 例如在流动的水面上撒一片木屑，木屑随水流漂流的途径就是某例如在流动的水面上撒一片木屑，木屑随水流漂流的途径就是某一水点的运动轨迹，也就是迹线。一水点的运动轨迹，也就是迹线。ddddxyzxyztuuu 从该方程的积分结果中消去时间从该方程的积分结果中消去时间t，便可求得迹线方程式。，便可求得迹线方程式。 某一瞬时在流场中所作的一条曲线，在这条曲线上的某一瞬时在流场中所作的一条曲线，在这条曲线上的各流体质点的速度方向都与该曲线相切，因此各流体质点

17、的速度方向都与该曲线相切，因此流线是同一时刻，流线是同一时刻，不同流体质点所组成的曲线。不同流体质点所组成的曲线。由欧拉法引出。由欧拉法引出。A1A2A3A4u1u2u3s1s2s3oyzx1.定常流动时，流线和迹线相重合。定常流动时，流线和迹线相重合。 在定常流动时，因为流场中各流体质点的速度不随时间变化，在定常流动时，因为流场中各流体质点的速度不随时间变化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线和迹线相重合。所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线和迹线相重合。2. 流线不能相交和分支。流线不能相交和分支。 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线。通过某一空间点在给定瞬间只能

18、有一条流线。一般情况下，一般情况下，流线不流线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时有几个不同的流动能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时有几个不同的流动方向。方向。3. 流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。4. 流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的地流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的地方，表示该处的流速较小。方，表示该处的流速较小。驻点驻点：速度为：速度为0的点；的点；奇点奇点：速度为无穷大的点（源和汇）。：速度为无穷大的点（源和汇）。 在驻点和奇点处，由于不存在不同流动方向，流线在驻点和奇点处，由于不存

19、在不同流动方向，流线可以转折和彼此相交。可以转折和彼此相交。 设在流场中某一空间点（设在流场中某一空间点（x，y，z）的流线上取微元）的流线上取微元段矢量段矢量 该点流体质点的速度矢量为该点流体质点的速度矢量为 。 ddddsxiyjzkxyzuu iu ju k 根据流线的定义，该两个矢量相切，其矢量积为根据流线的定义，该两个矢量相切，其矢量积为0。即即 d 0d d dxyzi j kusu u u xyzdd0dd0dd0 xyyzzxuyuxuzuyuxuzddd( , , , )( , , , )( , , , )xyzxyzu x y z tu x y z tu x y z t上式

20、即为流线的微分方程，式中时间上式即为流线的微分方程，式中时间t是个参变量。是个参变量。 有一流场，其流速分布规律为：有一流场，其流速分布规律为：ux= -ky，uy= kx， uz=0，试求其流线方程。试求其流线方程。【解解】由于由于 uz=0，所以是二维流动，其流线方程微分为，所以是二维流动，其流线方程微分为dd( , , , )( , , , )xyxyu x y z tu x y z t将两个分速度代入流线微分方程（上式），得到将两个分速度代入流线微分方程（上式），得到xyyxkdkddd0 x xy y22xyc积分积分即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。即流线簇是以坐标原点为圆心的同

21、心圆。 在流场中任取一不是流线在流场中任取一不是流线的封闭曲线的封闭曲线C，过曲线上的每一点，过曲线上的每一点作流线，这些流线所组成的管状表作流线，这些流线所组成的管状表面称为流管。面称为流管。C流管内部的全部流体称为流束。流管内部的全部流体称为流束。v流管与流线只是流场中的一个几何面和几何线，而流束不论流管与流线只是流场中的一个几何面和几何线，而流束不论大小，都是由流体组成的。大小，都是由流体组成的。v因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的一切特性，流因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的一切特性，流体质点不能穿过流管流入或流出体质点不能穿过流管流入或流出(由于流线不能相交由于流线不能相

22、交)。微小截面积的流束。微小截面积的流束。 如果封闭曲线取在管道内部周线上，则流束就是充如果封闭曲线取在管道内部周线上，则流束就是充满管道内部的全部流体，这种情况通常称为总流。满管道内部的全部流体，这种情况通常称为总流。 注意注意 单位时间内通过有效截面的流体体积称为体积流量，单位时间内通过有效截面的流体体积称为体积流量，以以qv表示，其单位为表示，其单位为m m3 3/s/s、m m3 3/h/h等。等。体积流量体积流量 qv （m3/s） 质量流量质量流量 qv （kg/s） 重量流量重量流量 qv （N/s）或（）或（kN/s） 有三种表示方法：有三种表示方法：AdAu1212dqv 从

23、总流中任取一个微小流束，其过水断面为从总流中任取一个微小流束，其过水断面为dA ，流速为流速为u ，则通过微小流束的体积流量为则通过微小流束的体积流量为 qvvdcos( ,)dAAquAuu nA 式中：式中：dA为微元面积矢量为微元面积矢量 ， 为速度为速度u 与微元法线方向与微元法线方向n夹角的余弦。夹角的余弦。cos( , )u n 处处与流线相垂直的截面称为有效截面。处处与流线相垂直的截面称为有效截面。有效断面可能是曲面，或平面。有效断面可能是曲面，或平面。u 在直管中，在直管中，流线为平行线，有效截面为平面；流线为平行线，有效截面为平面； u 在有锥度的管道中，流线收敛或发散，有效

24、截面为曲面。在有锥度的管道中，流线收敛或发散，有效截面为曲面。 常把通过某一有效截面的流量常把通过某一有效截面的流量qv与该有效截面面与该有效截面面积积A相除，得到一个均匀分布的速度相除，得到一个均匀分布的速度v。 vvvddqAqqu AvAvqvAu(y)yqvv 平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的点都以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量体积流量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。相同。 使流体运动得到简化（使流体运动得

25、到简化（使三维流动变成了一维流动使三维流动变成了一维流动）。）。在实际工程中，平均流速是非常重要的。在实际工程中，平均流速是非常重要的。 在总流的有效截面上，流体与固体壁面接触的长度。在总流的有效截面上，流体与固体壁面接触的长度。用用表示。表示。 在总流的有效截面上，流体与固体壁面接触的长度。在总流的有效截面上，流体与固体壁面接触的长度。用用表示。表示。 总流的有效截面与湿周之比。用总流的有效截面与湿周之比。用Rh表示。表示。2h44dAdRdhRA圆管圆管h4dR非圆管非圆管h44DARhb422()bhbhDbhbh222121124(44)ddDdddd212124(4)4S SdS S

26、Dddd 一群流体质点的组合。一群流体质点的组合。 在运动的过程中，尽管系统的形状和位置常常不停地在运动的过程中，尽管系统的形状和位置常常不停地变化，但始终包含这群流体质点，有确定的质量。变化，但始终包含这群流体质点，有确定的质量。 在流场中确定的空间区域称为控制体。在流场中确定的空间区域称为控制体。控制体外表面称控制体外表面称控制面控制面，控制体可根据需要将其取成不同形状。，控制体可根据需要将其取成不同形状。流体可自由进出控制体。流体可自由进出控制体。有效截面、壁面、自由液面有效截面、壁面、自由液面 有效截面有效截面流体与管壁的交界面流体与管壁的交界面有效截面有效截面 连续性方程是连续性方程

27、是质量守恒定律质量守恒定律在流体力学中的应用。它建在流体力学中的应用。它建立了流体流速与流动面积之间的关系。立了流体流速与流动面积之间的关系。选取控制体：选取控制体：过流断面过流断面1-1、2-2及管壁所围成的体积。及管壁所围成的体积。取微元流束：取微元流束：流束的两过流断面面积为流束的两过流断面面积为dA1 ，dA2 ，速度分别为，速度分别为u1， u2 。dt时间流经两个过流断面的流体时间流经两个过流断面的流体体积：体积：u1A1 dt 和和 u2 dA2 dt 。 流束的形状不随时间改变，为定常流动；流束的形状不随时间改变，为定常流动； 流束侧面没有流体质点流入或流出；流束侧面没有流体质

28、点流入或流出； 流体是不可压缩的；流体是不可压缩的； 该流束内流体的质量不变。该流束内流体的质量不变。2211ddAuAu 12vvvdddqqq1221dduAuA上述各式即为流束的连续性方程。它上述各式即为流束的连续性方程。它表明流束过流断面面积与该断面表明流束过流断面面积与该断面上速度的乘积为一常数，或所有过流断面上流量都相等。上速度的乘积为一常数，或所有过流断面上流量都相等。12v1122ddAAquAuAv1 12 2qAvA v1221AAvv 12vvvqqq 移项得移项得 上式即为总流的连续性方程。上式即为总流的连续性方程。表明流量一定时，断面平均流速与断面面表明流量一定时，断

29、面平均流速与断面面积成反比。在过水断面积小处，流速大；过水断面面积大处，流速小。积成反比。在过水断面积小处，流速大；过水断面面积大处，流速小。 设在流场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为设在流场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为dx、dy和和dz，如下图所示。，如下图所示。假设微元平行六面体形假设微元平行六面体形心的坐标为心的坐标为x、y、z，在，在某一瞬时某一瞬时t经过形心的流经过形心的流体质点沿各坐标轴的速体质点沿各坐标轴的速度分量为度分量为ux、 uy、 uz ，流体的密度为流体的密度为。2u dxux2dxx2dxx2u dxux先分析先分析x轴方向，由于轴方向，由于ux和和都

30、是坐标和时间的连续函数，即都是坐标和时间的连续函数，即ux=uxx (x，y，z，t)和和 = (x，y，z，t)。根据泰勒级数展开根据泰勒级数展开式，略去高于一阶的无穷小量，得在式，略去高于一阶的无穷小量，得在dt时间内，沿轴方向从左时间内，沿轴方向从左边微元面积边微元面积dydz流入的流体质量为流入的流体质量为dd, , , , ,d d d22dd( , , , )( , , , )d d d22ddd d d22xxxxxxxxy z t uxy z ty z tuxxx y z tu x y z ty z txxuxxuy z txx同理可得在同理可得在dt时间内从右边微元面积时间内

31、从右边微元面积dydz流出的流体质量为流出的流体质量为ddd d d22xxuxxuy z txx上述两者之差为在上述两者之差为在dt时间内沿时间内沿x轴方向流体质量的变化，即轴方向流体质量的变化，即()ddd d dd d d dxxxuuxuxy z tx y z txxx 同理，在同理，在dt 时间内沿时间内沿y轴和轴和z轴方向流体质量的变化分别为：轴方向流体质量的变化分别为：()d d d dyux y z ty()d d d dzux y z tz因此，因此，dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为时间内经过微元六面体的流体质量总变化为d d d dyxzuuux y z txyz

32、 由于流体是作为连续介质来研究的，六面体内流体质量的总变化，唯一的由于流体是作为连续介质来研究的，六面体内流体质量的总变化，唯一的可能是因为六面体内流体密度的变化而引起的。可能是因为六面体内流体密度的变化而引起的。因此上式中流体质量的总变因此上式中流体质量的总变化和由流体密度变化而产生的六面体内的流体质量变化相等。化和由流体密度变化而产生的六面体内的流体质量变化相等。设开始瞬时流体的密度为设开始瞬时流体的密度为，经过，经过dt时间后的密度为时间后的密度为ttttzyxd)d,(在在dt时间内，六面体内因密度变化而引起的质量变化为时间内，六面体内因密度变化而引起的质量变化为tzyxtzyxzyx

33、ttddddddddddd0yxzuuutxyz上式为可压缩流体非定常三维流动的连续性方程。上式为可压缩流体非定常三维流动的连续性方程。不可压缩流体不可压缩流体c0yxzuuuxyz可压缩流体定常三维流动可压缩流体定常三维流动的连续性方程。的连续性方程。若流体是定常流动若流体是定常流动0t上式变为：上式变为：0yxzuuuxyz不可压缩流体三维流不可压缩流体三维流动的连续性方程。动的连续性方程。 在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。也就是说，在同一时间内流入的体积流量与

34、流出的体积流量相等。假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为ux=3（x+y3)，uy=4y+z2，w=x+y+2z。试分析该流动是否连续。试分析该流动是否连续。【解解】 根据连续性方程的微分形式根据连续性方程的微分形式3xux4yuy2zuz09 zwyvxu该流动不连续。该流动不连续。有一输水管道，如图所示。水自截面有一输水管道，如图所示。水自截面1-1流向截面流向截面2-2。测得。测得截面截面1-1的水流平均流速的水流平均流速v1=2m/s，已知，已知d1=0.5m， d2=1m，试，试求截面求截面2-2处的平均流速处的平均流速v2为多

35、少？为多少？【解解】 根据连续性方程根据连续性方程22121244ddvv2212120.520.5/1dvvm sd 运动物体在某一时间段内动能的增量，等于同运动物体在某一时间段内动能的增量，等于同一时间段内作用在运动物体上外力做功的总和。一时间段内作用在运动物体上外力做功的总和。 能量转换与守恒定律是自然界物质运动的普遍规律。伯能量转换与守恒定律是自然界物质运动的普遍规律。伯努利方程是努利方程是这一定律这一定律在流体力学中的应用。在流体力学中的应用。2201122mumuW (1)不可压缩理想流体的定常流动；不可压缩理想流体的定常流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分；沿同一微元

36、流束（也就是沿流线）积分； (3)质量力只有重力。质量力只有重力。 从理想流体恒定流中取出一微小流束，并截取从理想流体恒定流中取出一微小流束，并截取1-1和和2-2断面之间的流段来研究，沿流束取二过流断面断面之间的流段来研究，沿流束取二过流断面1、2，其上的，其上的流速和压强分别为流速和压强分别为u1 、 u2和和p1、 p2 ，断面面积分别为，断面面积分别为dA1、 dA2 ，面积中心距基准面的高度分别为，面积中心距基准面的高度分别为z1、z2，如下图所示。，如下图所示。u1A1A212121122u2dA1dA2u2dtu1dtZ1Z2 时段时段dt内，流段由内，流段由1-2断面流至断面流

37、至1-2 的位置，其动能增量的位置，其动能增量和外力做功的总和分别为：和外力做功的总和分别为：1-1 流段的动能：流段的动能：1221 11v1122dmuu dq dt2-2 流段的动能：流段的动能：222222v1122dm uu dq dt 由于是定常流动，时段由于是定常流动，时段dt内，流段内，流段1-2 内流动的动能不内流动的动能不变，所以其动能增量仅为变，所以其动能增量仅为2-2 1-1 动能之差动能之差 ：12vvvdqdqdq2222221 1v21111()222dm udmudq dt uu对不可压缩流体有对不可压缩流体有动能增量动能增量v 质量力质量力重力；重力；v表面力

38、表面力压力和摩擦力。压力和摩擦力。11-21-21-11-21-22-21-12-212()()vdt)zzzzzzzzWEEEEEEEEgdqzz 流束侧表面压力与流动方向垂直，不做功。流束侧表面压力与流动方向垂直，不做功。过流断面过流断面1与与2上的压力做功：上的压力做功：2111222Wp dAdlp dA dl由于由于1122vdAdldA dldq dt212v()Wpp dq dt摩擦阻力与流动方向相反，对流体运动做负功。摩擦阻力与流动方向相反，对流体运动做负功。 令令W3为流段由为流段由1-2流至流至1-2 ；令令-ghw表示摩擦阻力对单位质量流体沿微小流束全流程表示摩擦阻力对单

39、位质量流体沿微小流束全流程1-2所做的平均功，所做的平均功，有有3vWWhgdq dt 12123v12vv()()WzzW W WWggdq dtpp dq dt hgdq dt将动能增量与外力做功的总和代入动能定理，得：将动能增量与外力做功的总和代入动能定理，得：122221vv12vv()1()()2Wzzuudq dtgdq dtpp dq dthgdq dt12222112()1()()2Wzzuugpphg1222112222Wzzpupugggh1222112222Wzzpupuhgggg伯努利方程中每一项都表示单位重量伯努利方程中每一项都表示单位重量流体所具有的能量。流体所具有

40、的能量。 单位重量流体对某一基准面所具有的位能势能。单位重量流体对某一基准面所具有的位能势能。 单位重量流体所有的压力势能。单位重量流体所有的压力势能。 单位重量流体所具有的动能。单位重量流体所具有的动能。 单位重量流体两断面间为克服摩擦阻力所消耗的机械能。单位重量流体两断面间为克服摩擦阻力所消耗的机械能。 zpg22ugwh 单位重量流体所具有的势能。单位重量流体所具有的势能。 单位重量流体所具有的总机械能。单位重量流体所具有的总机械能。 pzg22puzgg 流体沿流束从一个断面流到另一个断面时，流体沿流束从一个断面流到另一个断面时，位能、压能位能、压能与动能可以相互转化与动能可以相互转化

41、，但在流经前一个断面时流体所具有的，但在流经前一个断面时流体所具有的单位重量流体的总机械能，单位重量流体的总机械能，应等于它在流经后一个断面时所应等于它在流经后一个断面时所具有的单位重量流体的机械能，与单位重量流体在流经两断具有的单位重量流体的机械能，与单位重量流体在流经两断面间的过程中阻力损失之和。面间的过程中阻力损失之和。z 位置水头位置水头 hw ： 水头损失水头损失 总水头总水头 压强水头压强水头 pg 测压管水头测压管水头pzg 速度水头速度水头22ug22puzgg 伯努利方程中每一项都具有长度的量纲伯努利方程中每一项都具有长度的量纲可按比例用几何线段长度可按比例用几何线段长度来表

42、示能量方程中各项的值来表示能量方程中各项的值表示为水头线图示表示为水头线图示012z1hw1z2zu122gu222g测压管水头线测压管水头线总水头线总水头线 u 22g1pg2pgpg位置水头线位置水头线ABhv 取过小孔中心取过小孔中心B处的流速，沿处的流速，沿流束写流束写A、B断面的伯努利方程断面的伯努利方程2222ABaaABWzzppuuhgggg222,ABAuuu忽略22ABBWzzuhgWh 为小量，忽略22ABBzzug2 ()2ABBzzuggh22000022pupgggg202pupggg02 ()ppugg整理得，整理得，动压管动压管静压管静压管hh1h2AAA-A2

43、2ABppugg h 22ABppug 1Aph 2Bph ()uhhgug hhg h 21212222不可压缩实际流体定常流动微小流束的伯努利方程为不可压缩实际流体定常流动微小流束的伯努利方程为 总流是无数总流是无数元流的累加元流的累加2211221222wpupuzzhggggdA1u11212 p1z1z2u2 p2dA21122vdGgudAgu dAgdq 由连续性方程，单位时间内从由连续性方程，单位时间内从dA1、dA2流过的流体质量流过的流体质量相等，即相等，即2211221122v)22wpupuzgu Azgu dAhgdqgggg12（）d ( 把组成总流的每条微小流束的

44、能量叠加起来，即沿总流把组成总流的每条微小流束的能量叠加起来，即沿总流过水断面积分，得单位时间内流过总流过流断面过水断面积分，得单位时间内流过总流过流断面A1、A2的能的能量关系：量关系：1v2211221122v)22wAqpupuzgu Azgu dAhgdqgggg212A（）d (1122v2211221111122222v ()dd()ddd22wAAAAqpupuzgu Agu Azgu Agu Ahg qgggg类积分类积分类积分类积分类积分类积分第第类积分类积分(dApzgu Ag）pzCgv()()()AApppzgudAzg udAzgqgggpzg第第类积分类积分232v

45、d222Auvvgu AgAgqggg3322AuvgdAgAgg解决动能积分解决动能积分用断面平均流用断面平均流速速v代替实际代替实际流速流速u引入动能修正引入动能修正系数系数3322AuvgdAgAgg2d2Augu Ag第第类积分类积分解决能量解决能量损失积分损失积分引入平均能量引入平均能量损失损失hw定义定义hwwh单位重量流体总流从过水断面单位重量流体总流从过水断面1-11-1到到2-22-2之间之间 的平均能量损失。的平均能量损失。vvvwwqhgdqhgqvvwqhgdq将将、式代入式代入式，有式，有2211 122 21vv2vvv()()22wpvpvzgqgqzgqgqhg

46、qgggg各项同除以各项同除以 ，有，有2211 122 21222wpvpvzzhggggvgq2211 12221222wpvpvgzgzgh或或 总流的伯努利方程是在一定的限制条件下推导出来，总流的伯努利方程是在一定的限制条件下推导出来，因此在应用时须满足这些条件：因此在应用时须满足这些条件： 流体必须是定常流动，且不可压缩；流体必须是定常流动，且不可压缩； 作用于流体上的力只有重力；作用于流体上的力只有重力； 选取的过流断面必须符合渐变缓断面；选取的过流断面必须符合渐变缓断面； 在选取的两过流断面间，流量保持不变；在选取的两过流断面间，流量保持不变；两过流断面间，能量损失必须是以热能形

47、式扩散。两过流断面间，能量损失必须是以热能形式扩散。pzgWfjhhh 以上所推导的总流伯努利方程，以上所推导的总流伯努利方程，没有考虑由没有考虑由1-11-1断面到断面到2-22-2断面之间，中途有能量输入或输出的情况。断面之间，中途有能量输入或输出的情况。有些情况下，有些情况下，两个断面之间有能量的输入和输出，例如，两个断面之间有能量的输入和输出，例如， 1122水泵水泵 抽水管路系统中设置的抽水抽水管路系统中设置的抽水机，是通过水泵叶片转动向机，是通过水泵叶片转动向水流输入能量。水流输入能量。吸水管吸水管压水管压水管吸水池吸水池v1122发电机发电机水轮机水轮机尾水渠尾水渠1 流体对水轮

48、机做流体对水轮机做 功，流体向外输功，流体向外输出能量。出能量。 若所取的断面若所取的断面1-11-1到到2-22-2之间有能量输入或输出时，总流之间有能量输入或输出时，总流伯努利方程可写为：伯努利方程可写为：whgvpzHgvpz 222222221111 t式中式中, , H 为水力机械对单位重量流体所作的功。为水力机械对单位重量流体所作的功。12233v3v21qv1v1qv2qv3 图为两支汇合的流体，每一支流量分别为图为两支汇合的流体，每一支流量分别为q qv1v1和和q qv2v2，根据，根据能量守恒的物理概念，能量守恒的物理概念，单位时间内，从单位时间内，从1-1 1-1 与与2

49、-2 2-2 断面流入断面流入的总能量应等于的总能量应等于3-33-3断面流出的总能量加上能量的损失，断面流出的总能量加上能量的损失，即即 以管轴线所在平以管轴线所在平面为基准面，写伯面为基准面，写伯努利方程，有：努利方程，有： 2211 12221v12v223333v3v11 3v22 3()()22()2wwpvpvzqzqggpvzqq hq hgv1v2v3qqq2233311 1v1131 322333222v2232 3()()22()()022wwpvpvqzzhggpvpvqzzhgg22333111131 322333222232 3 2222wwpvpvzzhggpvpv

50、zzhgg 3123333211112122222211112222wwhgvpzgvpzhgvpzgvpz 同理，对于分流有：同理，对于分流有： z1z12211 122 212v1222(,) 12.6 0.95 0.98wpvpvzzhggqK d dh（）11221212()mmpzhzhpppzzh（）有一直径缓慢变化的锥形管，如图所示，有一直径缓慢变化的锥形管，如图所示，1-11-1断面的直径断面的直径d1=0.15m，中心点的相对压强中心点的相对压强P1=7.2KN/m2。2-2断面直径断面直径 d2=0.3m，P2=7.2KN/m2，v2=1.5m/s，A、B两点高差两点高差h

51、=1.0m。是判断水流方向；是判断水流方向；求求1-1、2-2两断面的水头损失。两断面的水头损失。1122AA2211 112222227.2602.5729.82 9.86.11.511.7429.82 9.8pvzmgpvzmg 首先利用连续性方程求断面首先利用连续性方程求断面1-1的平均流速。因的平均流速。因【解】22221212222222110.30446/0.154dAdm sAdd因因2211 12221222pvpvzzgg故管中水流应从故管中水流应从A流向流向B。2211 1222122.57 1.740.8322wpvpvhzzmgg 质点系的动量在某个方向的变化，等于作用

52、于该质点系的动量在某个方向的变化，等于作用于该质点系上所有外力的冲量在同一方向投影的代数和。质点系上所有外力的冲量在同一方向投影的代数和。即即 在需要确定流体与外界的相互作用力时，连续性方程和在需要确定流体与外界的相互作用力时，连续性方程和能量方程都无法解决，需引入动量方程。能量方程都无法解决，需引入动量方程。动量方程是自然界动量方程是自然界的动量定理在流体力学中的应用。的动量定理在流体力学中的应用。KFt在恒定总流中，取一流段（控制体）研究，如下图所示。在恒定总流中，取一流段（控制体）研究，如下图所示。A1A2v1v21121 2K 经过时间经过时间dt 后，流体从后，流体从1-2运动至运动

53、至1-2，此时所具有的动量，此时所具有的动量为为dt时段动量变化时段动量变化1 21 2KKK 1 2K 12121122121211221-22-21-2 KKK1-21-11-2 KKK1-21-22-21-21-11-22-21-1 K KKKKKKKKdt 时间内水流动量的变化时间内水流动量的变化2-21-1 KKKdt 时间内水流的动量变化时间内水流的动量变化u1A1A212121122u2dA1dA2u2dtu1dtdt 时间内流段时间内流段1-1动量动量111u dtdAu11221 11111112 2222222d dddd ddd AAAAKu u t Atu u AKu ut Atu uA 因为断面上的流速分布一般较难确定，所以上述积分不因为断面上的