定积分的换元法和分部积分法ppt课件

1、 5.3 定积分的换元法定积分的换元法和分部积分法和分部积分法一、一、 定积分的换元法定积分的换元法二、二、 定积分的分部积分法定积分的分部积分法三、三、 小结、作业小结、作业微积分根本公式微积分根本公式定积分法，定积分法，不定积分法不定积分法且运用方法与相应的不定积分法类似。且运用方法与相应的不定积分法类似。一、定积分的换元法一、定积分的换元法 我们知道，不定积分的换元法有两种，下面就分别我们知道，不定积分的换元法有两种，下面就分别引见对应于这两种换元法的定积分的换元法。引见对应于这两种换元法的定积分的换元法。1. 1. 第一类换元积分法凑微分法第一类换元积分法凑微分法 设函数设函数 在区间

2、在区间 上延续，上延续， 那么那么 )(xf ,ba CxFdxxf)()(abxFxdxfdxxxfbaba)()()()()( 例例1 计算计算 30 3dxex解解 30 3dxex 30 )3(33xdex3033 xe)1(3 e例例2 计算计算 10 241dxx解解 10 241dxx 10 2)2(1121dxx102arcsin x2 10 2)2()2(11xdx 206cossinxdxx例例3 计算计算 解解 206cossinxdxx)sin(sin206 xxd2077sinx 71 例例4 计算计算 edxxx1 ln1 解解 edxxx1 ln1 exdx1 )

3、ln1()ln1(ex 1 22)ln1( 212 23 例例5 计算计算 462cos xdx 462cos xdx解解 4622cos1 dxx 4646)2(cos2 21 21xxddx sin221)64(2146x )211(211221 8124 2. 2. 第二类换元积分法第二类换元积分法设函数设函数 在区间在区间 上延续上延续 ，函数，函数 )(xf ,ba)(tx 满足满足,)()1(a b )( badtttfdxxf)()()( 在在 或或 上具有延续上具有延续导数，且导数，且)()2(t, , ,)(bat ，于是，于是留意留意:1换元前后，上限对上限、下限对下限；换

4、元前后，上限对上限、下限对下限； 2不引入新的变量记号，积分限不变；引不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的变量记号，积分限跟着变。入新的变量记号，积分限跟着变。例例6 6 计算计算 30 1 dxxx1根号下为根号下为 的一次式的一次式x解解，设设tx 1，即即12 tx，则则dttdx2 时时，且且当当0 x；1 t时时，当当3 x因因此此，2 t 21 2)1(2dtt 30 1 dxxxdtttt2121 2 21332 tt38 例例7 7 计算计算 解解，设设tx ,2tx 即即，则则dttdx2 时时，且且当当0 x；0 t时时，当当4 x因因此此，2 t 4011 dxxtd

5、tt21120 4011 dxx 20)111(2dtt 20|1|ln2tt 3ln24 2根号下为根号下为 的二次式的二次式x例例8 8 计算计算 解解t，xsin 设设，t22 ，则则dttdx cos 时时，且且当当0 x；0 t时时，当当21 x因因此此，6t 210221dxxx 210221dxxxtdtttcoscossin 60 2 60 2sin tdtdtt 60 22cos1 602sin2121 tt 3sin216218312 例例9 9 计算计算 解解t，xtan 设设，t22 ，则则dttdx2sec 时时，且且当当0 x；0 t时时，当当1 x因因此此，4t

6、10232)x1(dxtdtt223240 sec)tan1( 40 232sec)sec(1dttt 40sint 10232)x1(dx 40 sec1dtt 40cos dtt22 证证,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf 0)(atxdttf adxxf0)( adxxf0)( adxxf0)( adxxfxf0)()( 为为偶偶函函数数；)( ,)(20 xfdxxfa 为为奇奇函函数数。)( , 0 xf证证毕毕。奇函数奇函数例例10 10 计算计算解解.1sin334225 dxxxxx 22cossin2xdxx0 3342251sindxxxxx例例11 11

7、 计算计算解解 22cossin2xdxx偶函数偶函数 202cossin2xdxx 202)sin(sin2xxd2033sin2t 32 ),(),()()( xvxua,bxvxu 上具有连续的导数上具有连续的导数在区间在区间、设设二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法则由导数公式则由导数公式)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu 上上求求积积分分，有有对对等等式式两两边边分分别别在在区区间间a,b bababadxvuvdxudxuv )(即即 bababaudvvduuv移项有移项有 bababavduuvudv 分部积分公式分部积分公式 定积分的分部积分公式的用法

8、与不定积分的分部定积分的分部积分公式的用法与不定积分的分部积分公式的用法类似。积分公式的用法类似。例例12 12 计计算算解解 xdxx0 cos xdxx0 cos 0 0sinsinxdxxx)sin(0 xxd 0cos0 x2 例例13 13 计计算算 10 2dxxex解解 10 2dxxex 10 2)(21xexd 10 210221dxexexx 10222121xee)1(412 e例例14 14 计计算算 3 0 arctan xdxx解解 3 0 arctan xdxx)2(arctan30 2 xxd 30 230 2)(arctan2arctan2xdxxxdxxx2

9、30 2112 2 30 2)111(212dxx2332 30 arctan212xx 例例15 15 计计算算.arcsin210 xdx解法解法1 1 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 210)(arcsinxxd解法解法2 2 210arcsin xdx 60sin tt分分部部积积分分 60sin tdt216 60cos t . 12312 )(sin 60sinarcsin tdttxxt则则换换元元：例例16 16 计算计算 10 )1ln(e-dxx解解 10 )1ln(e-dxx 10 10)1ln()1ln(eexxdxx)()1ln(10 e-xdx 10 111e-dxxxe 1 0 )111(1e-dxxe 10 |1|ln1 exxe1 例例1717 402cos1 xxdx半半角角公公式式 xdxtan240 分分部部积积分分 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 402cos2 xxdx三、小结三、小结1、运用定积分的换元法时要留意积分限的对应。