带答案对数与对数函数经典例题

1、百度文库让每个人平等地提升自我经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用1.将下列指数式与对数式互化:logi 9 = -21n也区二3：?：(3陛好“3思路点拨：运用对数的定义进行互化.5: 625； (/J-2=16解：2：<3>1。& 625 = 4：限;二一13logL16 = -2(6)不总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重 要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：1。工=二°即'一 3(2/°g是二6 (3)lglOO=x (4广比？ = X思路点拨：将对数式化为指

2、数式，再利用指数塞的运算性质求出x.1 1 1 1幺=8,所以%=(?)5 =(那=(23)5 =炉=册；(3)10x=100=102,于是 x=2；(4)由-也。2 =筋得-不=1/,即尸=/ 所如=一2类型二、利用对数恒等式化简求值6求值:/窈J _ 3 _ 3 解.-吏总结升华：对数恒等式以3二凶中要注意格式：它们是同底的：指数中含有对数形式：其值为真数.举一反三:【变式1】求""豌"的值(a, b, CGRS且不等于1, N>0)思路点拨，将移指数中的乘枳关系转化为帚的事，再进行运算.解：=(胪助产砥”二(产G产" =产净=拉类型三、积、商

3、、幕的对数6已知*aW 表示下列各式.(l)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)Igl2 (5)Ig5 (6) lgl5解：原式=lg32=2】g3=2b原式=lg26=61g2=6a原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg2?+lg3=2a+b(5)原式=1 -lg2= 1 -a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1 -lg2= 1 +b-a举一反三：【变式1】求值210g $ 25+ 310g2 64- glog 加 1嗅.lg50+(lg5)2 Ig25+lg2 - lg50+(lg2)2解：210g 5 25+3log2 64-Slog 10 1=2 1og552+31og

4、2 26 -8x0= 4+18- 0= 22.(2)原式=lg2( 1 +Ig5)+(lg5)2=lg2+lg21g5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5= 1原式=21g5+lg2(l+lg5)+(lg2)2=21g5+lg2+lg2Ig5+(lg2)2= I +Ig5+lg2(lg5+lg2)= 1 +Ig5+lg2=2.【变式2已知315b=c, 0 b ,求c的值.log/即log. 3 = 1log. 3解：FtlAc 得：a1 = lo及 5,：.由4+ 1=2得log + logtZ 同理可得力 blog J 5 = 2 二?=15,v c >

5、0,/. c = x/15, b + c、. 与 a y132（1+）+loS2 0 + r）= 1【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b?=c2,求证：ab证明:左边=10g a+ log?ab-cbtz + b + c= 1%23十刀瞑/ab十十&2-c22aif+c2 -c2=;=锯2r=的2 2 =abab*.a 4-Z?.，、te=【变式4】己知：a2+b2=7ab> a>0, b>0.求证： 32证明；: a2+b2=7abt 1 a2+2ab+b2=9ab» 即(a+b)2=9ab> 二 lg(a+b)2=lg(9ab), :a&g

6、t;0, b>0, 21g(a+b)=lg9+lga+lgb /. 2Ig(a+b)-lg3=lga+lgb4 a +Z? 1、lg- = N(lga+lg 瓦) 即 32百度文库让每个人平等地提升自我类型四、换底公式的运用4.已知 logxy=a,(2)已知 logaX=m,10gbX=n» logcX=p» 求 lOgabcX.*一"=1”2=出 ,ig» j解：原式=y(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：ani=x, bn=x, cp=x2lJ.a =,c =log.元=log工加log* 工 _1_ mnp心一 111 -m

7、n+np十悻" ?一十一 十 一产取am n pleg 加” 方法二：mnplog % abc+log n 匕 + log x c冽茬 + 空 +mp举一反三:变式求值：1叫3+*3川叫2+1叫2)： (2)log891og27 32 ；。俨%出 解：。g4 3+log8 3)Qog3 2 +log9 2)等宝a树翳二好+竽2#1啊2、53_ 5) = -.log23.g32 = -二/ lg 32 _ 21g 3 51g 2 J。1。88 9.1。82”2一彘'面市痔.痔_5“三3哈岭二产”二3隈上2_法一：»251八拉翁打 娟3法二：9个二日"百总结升

8、华：运用换底公式时，理论上换成以大于o不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中 某个对数的底为标准，或都换成以io为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用(1) logs9 log2732log 64 32 1og2-log3llog5i 25893log 2 (log2 及 + log 1 m +log4 36)2(4)(log2125+log425+Iogs5)(log!258+log254+log52),N* .52 5 10log” log53 2解：原式=3 39 .(2)原式/ 2、log 2 5'og 3 2g log 53-2=-10393log2(5

9、+ log 17 + log 26 ) = log2(5- log2 -+ log2 6) = log2 8 = 3(3)原式=4 424 (4)原式=(log2125+log425+log85)(log258+log254+logs2)113二 ©log 2 5 +log 2 5 +)log 2 »(31og 5 2)二 万 31og 5 210g 2 $ 二 13举一反三：7坛2 .(3哈【变式1】求值： 27运2 ,(2_)/ = 7b初。(3电7-1 -. ()-1 = (2 . _L)四"0 . 2 二 27妒.(t)喻1g 7妒+屋)端=1g加另解：设

10、 2 =m (nr>0). A2,71. 12 21g7 + lg 记号= 1g . 1g21g7 + 他77sls2) = lg%【变式 2】已知:log23=a, Iog37=b,求：log4256=?111leg ? / = - log 3 2 =-解：1福2 3 a ,5=翳=器窿=提霁=不=类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数 函数本身的性质(如定义域、值域及单调性)在解题中的重要作用.6.求下列函数的定义域：>=1呜/：>Tog<4y)(a >。且& = 1)思

11、路点拨：由对数函数的定义知：x2>0, 4-x>0,解出不等式就可求出定义域.解：因为x2>0,即xWO,所以函数吗'的定义域为"MH。)；因为4-x>0,即x<4,所以函数y=也 «的定义域为何x<4)举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.iogi(x-i)-1(1)y= Y 2(2) y=ln(ax-k 2x)(a>0 且 T 1, klR).x>l< 0 <A-l <13K W 一所以I 233x-l > 0< log 1(L 1) >。2iQgjOl)看解：(1)因为L彳所

12、以函数的定义域为(1, 2)U(2, 2).a(2)因为a'-k 2'>0,所以(2)x>k.1当kWO时，定义域为R；当k>0时，若a>2,则函数定义域为(2k,+8)：(ii)若0va<2,且aWI,则函数定义域为G8,'k)：(iii)若a=2,则当0<k<l时，函数定义域为R：当k21时，此时不能构成函数，否则定义域为0【变式2】函数y=fQx)的定义域为-1, 1,求y=f(log2X)的定义域.思路点拨：由-IWxWI,可得y=f(x)的定义域为2,再由马Wk)g2xW2得y=f(log2X)的定义域为恋，4.类型七

13、、函数图象问题Y 7.作出下列函数的图象：(l)y=lgx> y=lg(-x), y=-lgx： (2) y=lglxl； (3) y=-l+lgx. 解：(1)如图(1 )： (2)如图(2)： (3)如图.10类型八, 对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：比较大小：解不等式；判断单调性；求单调区间；求值域和最值,要求同 学们：一是牢固掌握对数函数的单调性：二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.WT 8,比较下列各组数中的两个值大小：(l)log23.4, log28.5(2)logo.31.8, logo.32.7(3)loga5.1, loga5.

14、9(a>0 且 aWl)思路谒拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2X的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，Iog23.4vlog28.5；解法2：由函数y=log2X在R+上是单调增函数，且3.4<8.5,所以log23.4<log28.5；解法3：直接用计算器计算得：1吟3.40.8, 1唯8.5-3.1,所以陛23.4<1。腺8.5：与第(1)小题类似，logmx在R+上是单调减函数，且1.8V2.7,所以logos 1.8>logo.32.7：(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再

15、由函数单调性判断大小.解法 1：当 a>l 时，y=logaX 在(0, +8)上是增函数，且 5.1<5.9,所以，Ioga5.1<loga5.9当 0<a<l 时，y=logaX 在(0, +8)上是减函数,且 5.1V5.9,所以，解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令 b】=loga5.l,则贫令 b2=loga5.9,=5.9,当a>l时，y=a*在R上是增函数，且5.1<5.9所以,bi<b2,即® 5.1 < log”.9当0<a<l时，y=a*在R上是减函数，且5.1<5.9所以

16、，bi>b2,即瓜5”瓜5.9.举一反三:a=5lcg23.4J? = 5bg43c【变式1】(2011天津理7)已知A. a>b >cB. b>a>cC. a> c>b c >a>b,二10 竺而：铲二1吗3.4,总=1吗3.6,% 3 ,在同一坐标系下作出三个函数图像,由图像可得活>/>甩匕.证明函数/口)= l°g式I +D在(°' + 8)上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小 的方法.证明：设年七0(0，+ 0°)

17、,且XKX2= o < < ，=人;+1 <考+1则/(再)= log式端 +1) - log式右 +1)又yMlogzX在g 十双上是增函数二1叫田+1)<1。8式君+1)即 f(X|)<f(x2)函数f(X)=10g2(x2+l)在(0 +与上是增函数.举一反三；式-1)【变式1已知f(k)g“x)=xg T)(a>0且存1),试判断函数f(x)的单调性.解:设 t=logaX(x£R+, t£R).当 a>l 时ogaX 为增函数,若 tVt2,则 0VX1VX2,(城-1)。(勺-4)(4 w +1)1)与 32_1厂巧叼(

18、/7,< 0<Xi<X2， a>L /. f(ti)<f(t2)> /. f(t)在 R 上为增函数，当0<a<l时，同理可得f(t)在R上为增函数不论a>l或0<a<l, f(x)在R上总是增函数.<> 1。"WT 10.求函数y=2(-x2+2x+3)的值域和单调区间.logj解：设 t=-x2+2x+3, 5PJ t=-(x-l)2+4. V y= 为为减函数，且 0vtW4,log14y> 2 =2,即函数的值域为-2, +8).logj再由：函数y= 1(-x2+2x+3)的定义域为-x2+

19、2x+3>0,即-I<xv3.lo-gl.t=-x2+2x+3在(-1, 1)上递增而在1, 3)上递减，而丫= 5 t为减函数.lo.gl,函数y= 1-x2+2x+3)的减区间为Gl，1)，增区间为1，3),类型九、函数的奇偶性11,判断下列函数的奇偶性.(/一烟心(2)/(幻=皿41+二.(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.0可得-1 < j <1解：由1十元所以函数的定义域为：(-1, 1)关于原点对称八一切二ig兽' 二图仁二尸二g F二二/即八一力二一/又1 一天1十人1+X一、,1 - X/W = 1s-所以

20、函数1十元是奇函数:总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质,说明判断对数恒等变形./(=ln( J1 + x形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的解：由&+-工>0可得1七汽所以函数的定义域为R关于原点对称即f(-x)=-f(x)；所以函数/二山(灰”是奇函数.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.类型十、对数函数性质的综合应用12.己知函数 f(x)=lg(ax2+2x+l).(1)若函数f(x)的定义域为%,求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R,

21、求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定 义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+l>0的解集为R,这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax?+2x+l恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数， 即要求u=ax2+2x+l取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现,a > 0<使U能取遍一切正数的条件是LA-0.解：(l)f(x)的定义域为R,即：关于x的不等式ax2+2x+l>0的解集为R, 当a=0时，此不等式变为2x+l>0,其解集不是R：a

22、> 0当aWO时，有也=4-4修<° Qa>L, a的取值范围为a>La > 0 <(2)f(x)的值域为R,即u=ax?+2x+l能取遍一切正数Q a=0或也一4- 4"“"今OWaW 1,/. a的取值范围为OWaWL“ 13.已知函数h(x)=2、(xWR),它的反函数记作g(x), A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐 标分别为a, a+4, a+8(a>l),记 ABC的而积为S.求S=f(a)的表达式：(2)求函数f的值域：(3)判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2,求a的取值范围.解：依题意有g(x)=log2X(x>0).并且 A、B、C 三点的坐