[理学]2012_11_28有限元讲稿第四章_等效载荷revppt课件

1、October 9, 2004第四章-1工程数值模拟技术有限元分析方法October 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-2q有限元法是有限元法是以节点处的以节点处的“力平衡条件力平衡条件”建立求解方程的建立求解方程的，因此当单元内，因此当单元内部存在体力或边界上存在面力时，必须通过某种方式将这些载荷转移变部存在体力或边界上存在面力时，必须通过某种方式将这些载荷转移变换到单元的节点处。换到单元的节点处。q在有限元法中，在有限元法中，采用采用“静力等效原则静力等效原则”进行等效节点载荷计算进行等效节点载荷计算。所谓。所谓“静力等效原则静力等效原则”是指，对任意虚位移，原来载荷与转

2、换后的节点载荷在是指，对任意虚位移，原来载荷与转换后的节点载荷在同一虚位移上的虚功相等。同一虚位移上的虚功相等。 October 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-3q设有设有一均质、等厚度的三角形单元一均质、等厚度的三角形单元i,j,k受重力受重力W的作用的作用，其合力作用在，其合力作用在单元的形心，试根据单元的形心，试根据静力等效原则求转换到节点上的等效载荷静力等效原则求转换到节点上的等效载荷。oxyijmYiibccW1、假设单元产生以下几何容许的虚假设单元产生以下几何容许的虚位移：位移： 节点节点i只沿只沿y方向移动单位方向移动单位1； 而其余两而其余两节点节点j,k

3、为铰支约束为铰支约束2、由于位移模式为线性函数变化由于位移模式为线性函数变化，当当节点节点i移动后，单元内部移动后，单元内部bi线段线段上上各点位移均按直线移动，即变形后各点位移均按直线移动，即变形后仍为仍为直线直线bi；3、重力、重力W作用在形心作用在形心： bc/bi=1/3 当当ii=1，则形心则形心c沿沿y移动：移动： cc/ii=bc/bi=1/3 4 4、所以可得：、所以可得： -W 1/3=Yi 1，Yi=W/3； 同理可得：同理可得： Yj=W/3，Yk=W/3；October 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-4q几种载荷的等效节点载荷计算。几种载荷的等效节

4、点载荷计算。考虑单元中某一点考虑单元中某一点(x,y)作用有集中载荷作用有集中载荷P： P=px, pyT对应等效节点载荷列阵为：对应等效节点载荷列阵为：Re=Xi, Yi, Xj, Yj, Xk, YkT单元内部产生虚位移，集中载荷作用点单元内部产生虚位移，集中载荷作用点(x,y)的虚位移为：的虚位移为： f= u, vT对应节点虚位移为：对应节点虚位移为： e= ui, vi, uj, vj, uk, vkT由位移模式有：由位移模式有： f=N e利用虚位移原理可得：利用虚位移原理可得：( e)TRe= fTP=(N e)TP利用矩阵乘积逆序法则：利用矩阵乘积逆序法则：( e)TRe=(

5、e)TNTP由于虚位移是任意的，则有：由于虚位移是任意的，则有： Re=NTP October 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-5q如果单元上有体力作用如果单元上有体力作用，沿，沿x,y方向的体力分量为方向的体力分量为P=X, YT，相当于在点相当于在点(x,y)处作用处作用集中力为集中力为Ptdxdy，则等效节点载荷为：则等效节点载荷为： VTetdxdyPNRq如果单元某边界受有面力如果单元某边界受有面力q作用作用，沿，沿x,y方向方向的面力分量为的面力分量为q=qx, qyT，若若将将微元体微元体tds上的面力上的面力qtds当作集中当作集中载荷载荷P，相当于相当于在

6、边界点在边界点(x,y)处作用集中处作用集中力为力为P=qtds，则等效节点载荷为：则等效节点载荷为： ijTetdsqNROctober 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-6q对结构分析建立整体刚度矩阵的方法，是利用单元对结构分析建立整体刚度矩阵的方法，是利用单元“节点的平衡方程节点的平衡方程”。用具体例题说明如下。用具体例题说明如下。aaaa123456X2X1Y1ijmijmmijjim1234由于该结构有由于该结构有6个个节点，节点自节点，节点自由度为由度为12，即需要确定的节点位，即需要确定的节点位移参量为移参量为12个个，应列出，应列出12个线性个线性方程方程。这

7、样，线性方程组的系数。这样，线性方程组的系数矩阵，也即总刚度矩阵有矩阵，也即总刚度矩阵有12 12个元素个元素，按，按(x, y)分块后有分块后有6 6子子矩阵。矩阵。 October 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-7q按节点编号列出总刚阵结构按节点编号列出总刚阵结构，每一个子阵先用零表示：，每一个子阵先用零表示： aaaa123456X2X1Y1ijmijmmijjim1234 654321654321666564636261655554535251644554434241633534333231622524232221161514131211FFFFFFUUUUUUK

8、KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK如果取如果取U U1 1=1=1，其余其余U U2 2=U=U6 6=0,=0,则有：则有： K K1111= F F1 1； K K2121= F F2 2； K K6161= F F6 6；则则 K K1111 表示表示节点节点1 1作用单位作用单位1 1位移位移时，时，在在节点节点1 1产生的载荷产生的载荷，其余类推。，其余类推。=1=0=0=0=0=0October 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-8q建立每个单元的刚度矩阵，如对单元可表示为：建立每个单元的刚度矩阵，如对单元可表示为： aaaa1

9、23456X2X1Y1ijmijmmijjim1234 mmmjmijmjjjiimijiikkkkkkkkkk)3(注意单元节点编号注意单元节点编号(i,j,m)与整体节点编与整体节点编号的对应关系：号的对应关系： (i, j, m)=(5, 3, 2) 当许多单元共用一个节点时，作用在当许多单元共用一个节点时，作用在该节点的合力就是每个单元刚阵中该节点的合力就是每个单元刚阵中具具有相同下标子矩阵有相同下标子矩阵kij的迭加的迭加，也就是也就是总刚阵中具有相同下标的元素，总刚阵中具有相同下标的元素，即：即： eeijijkKOctober 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-

10、9q建立每个单元的刚度矩阵，如对单元可表示为：建立每个单元的刚度矩阵，如对单元可表示为： mmmjmijmjjjiimijiikkkkkkkkkk)3(注意单元节点编号注意单元节点编号(i,j,m)与整体节点编与整体节点编号的对应关系：号的对应关系： (i, j, m)=(5, 3, 2) 其中，其中，kii=k55表示单元表示单元的的节点节点5作用单位位移时在作用单位位移时在节点节点5产生的节点力；产生的节点力；它应与它应与总刚阵子阵总刚阵子阵K55迭加迭加；kij=k53表示单元的表示单元的节点节点3作用单位位移时在作用单位位移时在节点节点5产生的节点力；它应与产生的节点力；它应与总刚阵子

11、阵总刚阵子阵K53迭加迭加；kij=k52表示单元的表示单元的节点节点2作用单位位移时在作用单位位移时在节点节点5产生的节点力；它应与产生的节点力；它应与总刚阵子阵总刚阵子阵K52迭加迭加等，等， October 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-10q即即“相同下标的单元子阵元素相加相同下标的单元子阵元素相加”就可以得到该结构的总刚度矩阵元素为就可以得到该结构的总刚度矩阵元素为： K11=k11(1)，K12=k12(1) ，K13=k13(1)；K21=k21(1)，K22=k22(1)+ k22(2)+ k22(3)，K23=k23(1)+ k23(3)；K31=k31

12、(1)，K32=k32(1)+ k32(3)，K33=k33(1)+ k33(3)+ k33(4)；K42=k42(2)，K44=k44(2)，K45=k45(2)；K52=k52(2)+k52(3),K53=k53(3)+k53(4),K54=k54(2)，K55=k55(2)+k55(3)+k33(4)，K56=k56(4)K63=k63(4)，K65=k65(4)，K66=k66(4)； aaaa123456X2X1Y1ijmijmmijjim1234October 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-11q如果取如果取泊松比泊松比 =0，可得单元、的单元刚度矩阵是相同的

13、，均，可得单元、的单元刚度矩阵是相同的，均为如下形式：为如下形式： )4 , 3 , 2 , 1( ,1011010202001031211213010020201011014eEtkeOctober 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-12q利用这个结果，将相应的子阵代入总刚阵计算式中，经整理后可得该结构的利用这个结果，将相应的子阵代入总刚阵计算式中，经整理后可得该结构的总刚度矩阵为如下形式总刚度矩阵为如下形式：1021061216001030012130041006101200160001202160010111416000000002020000001011014EtK对

14、称对称October 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-13q最后获得的线性代数方程为：最后获得的线性代数方程为：6655443322116655443322111021061216001030012130041006101200160001202160010111416000000002020000001011014yxyxyxyxyxyxFFFFFFFFFFFFvuvuvuvuvuvuEt对称对称October 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-14q在建立了结构总刚度矩阵后，就可以建立节点位移所满足的线性方程：在建立了结构总刚度矩阵后，就可以建立节点位

15、移所满足的线性方程： K =R 式中，式中， 为全部节点位移列阵，为全部节点位移列阵，R为为全部节点载荷列阵。但由于没有代入边全部节点载荷列阵。但由于没有代入边界条件，这个方程组的解是不确定的。界条件，这个方程组的解是不确定的。q从线性代数理论上讲，上述线性方程组是奇异的，即线性代数方程组的从线性代数理论上讲，上述线性方程组是奇异的，即线性代数方程组的系数系数矩阵的行列式的值为零矩阵的行列式的值为零detK=0，因此线性代数方程组无法求解。，因此线性代数方程组无法求解。q这一点从力学意义上理解，是因为采用位移法求解时，如果对受载结构不引这一点从力学意义上理解，是因为采用位移法求解时，如果对受载

16、结构不引入符合实际的几何约束条件，入符合实际的几何约束条件，则该结构将产生没有限制的刚体运动，显然解是则该结构将产生没有限制的刚体运动，显然解是不确定的不确定的。这一点反映在数学上，。这一点反映在数学上，总刚度矩阵总刚度矩阵 KK是奇异的是奇异的，即它的行列式的即它的行列式的值为零，因而其逆阵不存在值为零，因而其逆阵不存在。 q因此对结构受力分析，要使有限元模型能够求解，必须保证至少有一因此对结构受力分析，要使有限元模型能够求解，必须保证至少有一个节点是完全固定的几何约束，即整个结构不能存在刚性运动。个节点是完全固定的几何约束，即整个结构不能存在刚性运动。 October 9, 2004工程数

17、值模拟技术有限元分析方法第四章-15q总刚度矩阵具有以下特点总刚度矩阵具有以下特点：1）对称性对称性 很容易证明，总刚度矩阵是个对称矩阵。利用对称性，有限元程序只需存很容易证明，总刚度矩阵是个对称矩阵。利用对称性，有限元程序只需存储对角线元素以上的部分即可，这样将节约一半的存储空间。储对角线元素以上的部分即可，这样将节约一半的存储空间。2）稀疏性）稀疏性 总刚度矩阵是一个稀疏矩阵，其绝大部分元素都是零，非零元素只占总元总刚度矩阵是一个稀疏矩阵，其绝大部分元素都是零，非零元素只占总元素的很少一部分。对稀疏矩阵线性方程组，已建立了许多有效求解方法。在有素的很少一部分。对稀疏矩阵线性方程组，已建立了

18、许多有效求解方法。在有限元程序中，只需存储非零元素，这样又可大大减少存储量，提高计算效率。限元程序中，只需存储非零元素，这样又可大大减少存储量，提高计算效率。3）带状分布）带状分布 总刚度矩阵中的非零元素呈斜带状区域，对称分布在主对角线的两侧。总刚总刚度矩阵中的非零元素呈斜带状区域，对称分布在主对角线的两侧。总刚阵中每行包括主对角线元素的阵中每行包括主对角线元素的“半带中半带中”非零元素的个数，称为非零元素的个数，称为“半带宽半带宽”。应充分利用有效的节点编号方法，减小半带宽度，提高有限元程序计算效率。应充分利用有效的节点编号方法，减小半带宽度，提高有限元程序计算效率。 October 9,

19、2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-16q最后获得的线性代数方程为：最后获得的线性代数方程为：6655443322116655443322111021061216001030012130041006101200160001202160010111416000000002020000001011014yxyxyxyxyxyxFFFFFFFFFFFFvuvuvuvuvuvuEt对称对称October 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-17q在此我们从物理意义对位移模式的要求作一分析：在此我们从物理意义对位移模式的要求作一分析：1）位移模式必须能反映单元的刚性位移位移模式

20、必须能反映单元的刚性位移 单元的刚性位移是指平移和转动，与单元的内部变形无关，它是由于其他单元的刚性位移是指平移和转动，与单元的内部变形无关，它是由于其他单元发生了变形后而连带发生的，因此要正确反映单元的位移形态，位移模式单元发生了变形后而连带发生的，因此要正确反映单元的位移形态，位移模式中必须包含反映单元刚性位移的函数项，即常数项。中必须包含反映单元刚性位移的函数项，即常数项。 2）位移模式必须能反映单元的常应变项位移模式必须能反映单元的常应变项 当单元的尺寸越来越小时，每个单元内的应变应趋于一个确定的值。因此当单元的尺寸越来越小时，每个单元内的应变应趋于一个确定的值。因此对有限区域（元）讲

21、，所选择位移模式必须包含能描述上述特性的函数项，即对有限区域（元）讲，所选择位移模式必须包含能描述上述特性的函数项，即包括两部分：一部分能给出常应变，另一部分给出与坐标有关的应变，即变量包括两部分：一部分能给出常应变，另一部分给出与坐标有关的应变，即变量应变。由于变量应变随单元尺寸减小逐渐变小，因此常应变项为应变的主要部应变。由于变量应变随单元尺寸减小逐渐变小，因此常应变项为应变的主要部分。即位移模式至少需包含线性函数项。分。即位移模式至少需包含线性函数项。 3）位移模式应反映实际结构位移的连续性位移模式应反映实际结构位移的连续性 位移的连续性包括两方面要求：一是每个单元在整体结构变形后仍能保

22、持位移的连续性包括两方面要求：一是每个单元在整体结构变形后仍能保持为一个连续的构件；二是相邻单元的共同边界在变形后仍是连续的，不会发生为一个连续的构件；二是相邻单元的共同边界在变形后仍是连续的，不会发生脱离和重叠现象。这就需要假设位移模式必须是坐标的单值连续函数。脱离和重叠现象。这就需要假设位移模式必须是坐标的单值连续函数。 October 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-18q如前所述，如前所述，线性位移模式的单元为常应变单元，线性位移模式的单元为常应变单元，当单元尺寸较大时会产生明当单元尺寸较大时会产生明显误差。为减少离散化带来的误差，使所求得位移和应力能更好反映真实状

23、态显误差。为减少离散化带来的误差，使所求得位移和应力能更好反映真实状态，可采用，可采用具有较高阶次位移插值函数的单元，即精度较高的平面单元具有较高阶次位移插值函数的单元，即精度较高的平面单元。q对平面问题，常用的较高精度单元是矩形单元和六节点三角形单元。对平面问题，常用的较高精度单元是矩形单元和六节点三角形单元。 October 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-19q矩形平面单元：矩形平面单元：q以矩形四个角点作为节点，节点局部标号用以矩形四个角点作为节点，节点局部标号用( (i, j, k, m)i, j, k, m)表示，为简单起见表示，为简单起见，坐标系选在矩形单元的

24、中心，如图所示。，坐标系选在矩形单元的中心，如图所示。 xyoijkmaabbuiumukujvivjvkvm emkjieNININININvufTmmkkjjiievuvuvuvu其中：其中：形函数为：形函数为：byaxNbyaxNbyaxNbyaxNmkji1141,1141,1141,1141October 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-20q六节点三角形平面单元：六节点三角形平面单元：q其节点布置如图所示，由于其节点布置如图所示，由于单元存在单元存在1212个自由度个自由度，就可以，就可以采用完全二次多项采用完全二次多项式位移插值函数式位移插值函数( (见第三章

25、讨论见第三章讨论) )： xyoijkml这种单元也称为这种单元也称为二次单元二次单元。有关应变矩。有关应变矩阵阵 BB、应力矩阵应力矩阵 SS和单元刚度矩阵与和单元刚度矩阵与上述推导思路完全相同，但推导过程十上述推导思路完全相同，但推导过程十分复杂。在此不作进一步的讨论，可参分复杂。在此不作进一步的讨论，可参见有关文献专著。见有关文献专著。 2121121098726524321,yaxyaxayaxaavyaxyaxayaxaaunOctober 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-21q工程结构在温度作用下的热应力分析问题十分普遍。如何利用有限元法计算工程结构在温度作用下

26、的热应力分析问题十分普遍。如何利用有限元法计算由于温度变化所产生的热应力？由于温度变化所产生的热应力？q总的讲有三种分析思路：总的讲有三种分析思路： 1 1）如果结构温度分布已知，则可以将温度作为体载荷直接加在离散模）如果结构温度分布已知，则可以将温度作为体载荷直接加在离散模型的节点上进行计算；型的节点上进行计算； 2 2）间接法，用有限元法首先进行温度计算，然后将求得节点温度作为）间接法，用有限元法首先进行温度计算，然后将求得节点温度作为体载荷加在结构应力分析中，温度和应力分开计算；体载荷加在结构应力分析中，温度和应力分开计算； 3 3）直接法，将温度和应力耦合在一起进行计算，同时得到温度和

27、应力）直接法，将温度和应力耦合在一起进行计算，同时得到温度和应力分布。分布。 直接法或耦合法是最复杂得计算过程，也是最符合实际情况。对大多数结直接法或耦合法是最复杂得计算过程，也是最符合实际情况。对大多数结构热应力分析，都采用第二种间接法进行分析。构热应力分析，都采用第二种间接法进行分析。 我们在此仅介绍第一种温度分布已知的最简单情况。我们在此仅介绍第一种温度分布已知的最简单情况。 October 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-22q对于对于平面热应力问题，温度平面热应力问题，温度T T仅是坐标仅是坐标x,yx,y的函数的函数T=T(x,y)T=T(x,y)，温度产生的体

28、积温度产生的体积膨胀或收缩只影响弹性体的正应变，此时材料的应力膨胀或收缩只影响弹性体的正应变，此时材料的应力- -应变关系变为应变关系变为: : xyxyxxyyyyyyxxxxETETE)1 (2,1,1q将上式移项有：将上式移项有： 温度产生温度产生的正应变的正应变xyxyxxyyyyyyxxxxEETET)1 (2,1,1October 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-23xyxyxyxxyyyyyyxxxxEETTEETTEE211)1 (2),(1)(1),(1)(122222q再改写成应力得形式，有：再改写成应力得形式，有： q引进记号：引进记号： 温度产生温度

29、产生的正应力的正应力 TTTTT01100 00DBDDDeOctober 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-24q代入单元刚度矩阵计算公式有：代入单元刚度矩阵计算公式有： q上式中第二项表示上式中第二项表示由于温度作用而产生的节点力由于温度作用而产生的节点力，对上式进行移项：，对上式进行移项： dxdytDBkdxdytDBdxdytBDBFTeTeTe00eTekdxdytDBF0q可以看出，当结构不受力时可以看出，当结构不受力时节点实际载荷并不存在节点实际载荷并不存在，而包含温度的项就，而包含温度的项就相当于相当于作用在单元节点的作用在单元节点的“等效节点载荷等效节点载

30、荷”。 0=dxdytDBRTe0October 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-25q在工程实际中，如果结构的几何形状、约束条件及所受的外载都绕某一轴对在工程实际中，如果结构的几何形状、约束条件及所受的外载都绕某一轴对称，则所有的应力、应变和位移也对称于此轴。这种问题称为轴对称问题。如称，则所有的应力、应变和位移也对称于此轴。这种问题称为轴对称问题。如各种压力容器、宇航结构、圆柱（筒）等都是轴对称问题。各种压力容器、宇航结构、圆柱（筒）等都是轴对称问题。 q在描述轴对称问题时，采用在描述轴对称问题时，采用圆柱坐圆柱坐标标( (r,r, ,z),z)比较方便比较方便。q用相

31、距用相距drdr的两个圆柱面，互成的两个圆柱面，互成d d 角角的两个垂直面的两个垂直面，和两个相距，和两个相距dzdz的水平的水平面，从弹性体中分离出一个小的微元面，从弹性体中分离出一个小的微元体，用体，用 rrrr表示径向正应力，表示径向正应力， 表示环表示环向正应力，向正应力， zzzz表示轴向正应力，剪应表示轴向正应力，剪应力分量力分量 rzrz= = zrzr。October 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-26q任何一点只有两个位移分量：任何一点只有两个位移分量：即沿即沿r r方向的径向方向的径向位移位移u u，和沿和沿z z方向的轴向位移方向的轴向位移w w。

32、由于对称性，垂由于对称性，垂直对称面的直对称面的 方向环向位移为零；剪应力分量方向环向位移为零；剪应力分量 r r = = r r=0=0， z z = = z z=0=0。q这样在轴对称问题中，所求解的未知参量有：这样在轴对称问题中，所求解的未知参量有： 位移分量：位移分量： f=uf=u，wwT T； 应力分量：应力分量： = rrrr， ， zzzz， rzrz T T； 应变分量：应变分量： = rrrr， ， zzzz， rzrz T T； 共计共计1010未知参量未知参量。轴对称问题分析就是在确定。轴对称问题分析就是在确定约束和载荷边界条件下，求解结构中上述约束和载荷边界条件下，求

33、解结构中上述1010未知未知参量的分布规律参量的分布规律。 October 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-27q根据图所示微元体的在根据图所示微元体的在r和和z方向的平衡条件方向的平衡条件 Rr=0, Rz=0，可推导出轴对可推导出轴对称问题的平衡方程为：称问题的平衡方程为： , 0, 0ZrrzRrzrrzrzzzzzrrzrrrq由几何关系，可导出几何方程为：由几何关系，可导出几何方程为： , 0,zrrzzzrrrwzuzwruruOctober 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-28q由广义由广义Hookes LawHookes Law可得物理方

34、程（应力可得物理方程（应力- -应变关系）为：应变关系）为： ,)1 (2,1,1,1rzrzrzrrzzzzzzrrzzrrrrEGEEED)1 (221010110111vD对称对称October 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-29q在轴对称问题中，以任一对称面在轴对称问题中，以任一对称面( (r, z)r, z)为研究对象。采用的单元是一些轴为研究对象。采用的单元是一些轴对称环形单元，其横截面（与对称环形单元，其横截面（与rzrz面相交的截面）可以是各种平面形状，就像面相交的截面）可以是各种平面形状，就像平面问题在平面问题在xyxy面上进行离散化。面上进行离散化。

35、r, (x)zoy, ( )rozmjiuiujumwiwjwmOctober 9, 2004工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-30q采用三角形单元对轴对称截面进行离散化，仿照平面问题，选择线性位移采用三角形单元对轴对称截面进行离散化，仿照平面问题，选择线性位移模式：模式： rozmjiuiujumwiwjwmzaraawzaraau654321可以得到与平面问题类似的关系式，即：可以得到与平面问题类似的关系式，即： mmjjiimmjjiiwNwNwNwuNuNuNu其中，其中，Ni=(ai+bir+ciz)/2A, (i,j,m)。emjiINININwufOctober 9, 200

36、4工程数值模拟技术有限元分析方法第四章-31q在轴对称问题中，每个节点有四个应变分量，在轴对称问题中，每个节点有四个应变分量，沿沿r r方向径向正应变方向径向正应变 rrrr，沿沿 方向方向环向正应变环向正应变 ，沿，沿z z方向轴向正应变方向轴向正应变 zzzz和在和在rzrz平面中的剪应变平面中的剪应变 rzrz。由于对称性，由于对称性，其余两个剪应变其余两个剪应变 r r 和和 z z等于零等于零。由几何方程可得单元应变与节点位移得关系为。由几何方程可得单元应变与节点位移得关系为: : rozmjiuiujumwiwjwm其中，其中， emjieBBBB),( ,00021000mjibcchbArNzNzNrNrNBiiiiiiiiiii式中