[院校资料]第八章无穷级数ppt课件

1、返回返回上页上页下页下页 微积分的建立是人类头脑最伟大的发明之微积分的建立是人类头脑最伟大的发明之一，一部微积分开展史，是人类一步一步顽强一，一部微积分开展史，是人类一步一步顽强地认识客观事物的历史，是人类理性思想的结地认识客观事物的历史，是人类理性思想的结晶，而其中的极限实际那么被说成是人类理性晶，而其中的极限实际那么被说成是人类理性思想的典范。利用极限概念，我们逐渐获得了思想的典范。利用极限概念，我们逐渐获得了导数，定积分等概念；利用定积分、极限概念导数，定积分等概念；利用定积分、极限概念又获得了广义积分的概念。后来又有偏导数和又获得了广义积分的概念。后来又有偏导数和二重积分等概念。二重积

2、分等概念。 下面看看无穷级数实际是怎样产生的。下面看看无穷级数实际是怎样产生的。返回返回上页上页下页下页2)1 (321nnn结果如何？n321?212121211132结果如何n)211 (2211211212121211132nnn返回返回上页上页下页下页第一节第一节 无穷级数的概念和性质无穷级数的概念和性质一一.无穷级数的概念无穷级数的概念定义定义1 由无穷多项构成的一个连加式由无穷多项构成的一个连加式 称为一个无穷级数称为一个无穷级数, 简称为级数简称为级数.记为记为即即其中其中un称为级数的通项或普通项称为级数的通项或普通项.假设级数的每一项假设级数的每一项un都为常数都为常数,那么

3、称该级数为常数项级数那么称该级数为常数项级数(或数项级数或数项级数), 假设级数的项假设级数的项un=un(x),那么称那么称 为函数项为函数项 级级数数. nuuuu321 1nnunuuuu321 1nnu返回返回上页上页下页下页如) 1 ()2(nnn1312111)3(1132111)4(nnnxxxxx.都是无穷级数称为数项级数式（)3),2),1.)4(式称为函数项级数返回返回上页上页下页下页nnnuuuu211对于无穷级数，记，为级数的部分和，称S,21nuuu.为级数的部分和数列称 调查以下级数的部分和：调查以下级数的部分和：n321132212121211n，返回返回上页上页

4、下页下页)211 (221121121212112nnnnS2limnnS. 2212121211132无限接近于所以n2)1 (21,1nnnSnnn由于对于nSlim.321无限增大所以对于132212121211n由于由于收敛，称.发散称返回返回上页上页下页下页定义定义2 假设级数的部分和数列假设级数的部分和数列sn的极限存在的极限存在,且等于且等于s,即即 那么称级数那么称级数 收敛收敛,s称为级数的和称为级数的和.并记为并记为 ,这这时也称该级数收敛于时也称该级数收敛于s.假设部分和数列的极限不存在假设部分和数列的极限不存在,就就称级数称级数 发散发散ssnn lim 1nnu 1n

5、nus 1nnu，如2212121112n.321发散n.21称为级数的余项的差与部分和当级数收敛时，其和nnnnuuSSSS返回返回上页上页下页下页例例1 断定级数断定级数 的敛散性的敛散性.1132nn1211323232232nnn123232322nnS解解)311 (3311)31(1 2nn, 3)311 (3limlimnnnnS因为所以所以 收敛收敛.1132nn1132nn即即 =3返回返回上页上页下页下页例例2 调查级数调查级数 的敛散性的敛散性.11111) 1(1nn)1()1(1) 1(1111) 1(nnn不存在，nnSlim解解由于由于同理可知同理可知 )1(1)

6、 1(nn当当n为奇数时，为奇数时， =1, nS ：1, 0，1, 0，nSnS 当当n为偶数时为偶数时 =0.发散发散.)1(1) 1(nn所以所以发散发散.返回返回上页上页下页下页例例3 求求 的和的和.1)2)(1(1nnn)2)(1(1431321nnSn2111)2)(1(1nnnn因为解解)2111()4131()3121(nnSn所以2121n,21limnnS.21)2)(1(11nnn所以返回返回上页上页下页下页)1211(21 )121121(21)5131(21)311(21 )12()12(1531311 nnnnnsn.,)12()12(1531311并并求求其其和

7、和收收敛敛证证明明级级数数 nn）由由于于121121(21)12()12(1 nnnnun.21,21lim它它的的和和为为所所以以该该级级数数收收敛敛从从而而 nns例例4解解返回返回上页上页下页下页讨论几何级数讨论几何级数(等比级数等比级数) nnnaqaqaqaaq20 qaqqaqaqaaqaqasqnnnn 111 11，则则若若例例5解解0a时当31, 2qa11032nnnnaq的敛散性的敛散性(其中为常数其中为常数q为公比为公比)例例1返回返回上页上页下页下页.,lim,lim,1|这这时时级级数数发发散散从从而而由由于于时时当当 nnnnsqqqaqqasnn 11,1,

8、0lim, 1|qaqqnn其和为因此级数收敛由于当.),(1,因此级数发散这时若nnasqn aaaaq这这时时级级数数成成为为若若, 1此级数发散。此级数发散。返回返回上页上页下页下页综上所述综上所述,几何级数几何级数 当当|q|1时级数收敛时级数收敛,且收敛于且收敛于 ，当，当|q|1时级数发散时级数发散.qa1nnnaqaqaqaaq20返回返回上页上页下页下页例例6 证明调和级数证明调和级数 发散发散nnn13121111 1,ln)(nnxxxf理条件，上满足拉格朗日中值定在 1,)(nnxf证引入辅助函数证引入辅助函数nnn11ln) 1ln(即nSn1312111)ln) 1(

9、ln()3ln4(ln)2ln3(ln) 1ln2(lnnn) 1ln( nnnnSnlim,) 1ln(lim所以因为) 1,(,) 1)()() 1(nnnnfnfnf因此有调和级数发散调和级数发散返回返回上页上页下页下页性质性质1 在级数的前面添加或去掉有限项其敛散性不在级数的前面添加或去掉有限项其敛散性不变变,但普通会改动收敛级数的和但普通会改动收敛级数的和二、二、 无穷级数的根本性质无穷级数的根本性质.)31()31(:01收敛收敛，所以因为如nnnn.111001发散发散，所以因为nnnn返回返回上页上页下页下页性质性质2 级数级数 与与 有一样的敛散性有一样的敛散性, 且收敛时有

10、且收敛时有 1 nnu 1 nnCu. 11 nnnnuCCu.)31(2)31(:11收敛收敛，所以因为如nnnn.100111发散发散，所以因为nnnnnn)21(10100100收敛收敛nnnn)31(2)31(211有113232nnnn但)54321 (2108642返回返回上页上页下页下页性质性质3 假设级数假设级数 与与 都收敛都收敛, 那么那么也收敛也收敛, 且且 1 nnu 1 nnv )( 1 nnnvu )(111 nnnnnnnvuvu)3121(1nnn)3121(1nnn例例收敛）与（112131nnnn收敛，收敛，收敛收敛思索：思索： 1 nnu 1 nnv至少一

11、个发散呢？至少一个发散呢？假设假设返回返回上页上页下页下页性质性质4 收敛级数加括号后所成的级数仍收敛收敛级数加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变且其和不变. 收敛，因为如n2121211:2.)2121()211 (32收敛所以返回返回上页上页下页下页 1 nnu. 0lim nnu假设级数假设级数 收敛收敛, 那么那么 性质性质5 ( 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件)留意留意 ., 0lim)2(1未必收敛则若nnnnuu, 01limnn如1nnnssu，11) 1(nn如如, 0) 1(lim1nn因因所以此级数发散所以此级数发散.11发散但nn 1 nnu发散发散.那么那么,

12、0limnnu(1) 假设假设返回返回上页上页下页下页.1ln32ln221ln1ln1发发散散证证明明级级数数 nnnnnnn., 0lim所所以以该该级级数数发发散散 nnu例例1证明证明1lnlimlimnnnunnn1)11 (1lnlimnnn12nn, 012limnn.21发散所以nn练习练习返回返回上页上页下页下页12)3(ln. 1nnn3ln2223ln11练习练习811627894321. 233211以下级数收敛吗？假设收敛，求出其和。以下级数收敛吗？假设收敛，求出其和。3001. 0001. 0001. 0. 3, 01001. 0limnn71615141. 41)

13、2)(1(1. 5nnnn4112)11ln(. 6nn2ln发散发散返回返回上页上页下页下页第二节第二节 正项级数及其敛散性判别法正项级数及其敛散性判别法 假设级数假设级数 的各项的各项un0(n=1,2,),那么称该级那么称该级数为正项级数数为正项级数 1 nnu 由于由于sn=sn-1unsn-1, 所以正项级数的部分和数列所以正项级数的部分和数列sn是一个单调添加数是一个单调添加数列列返回返回上页上页下页下页定理定理1 正项级数正项级数 1nnu它的部分和数列它的部分和数列sn有上界有上界.收敛的充要条件是：收敛的充要条件是： 证证 必要性必要性:有上界有上界. 1 nnunnS li

14、mnSnS充分性：充分性：nnnSSu1, 0 所以因单调递增即nS有上界，若nS.lim1收敛存在，从而则nnnnuS假设假设收敛收敛存在存在有界有界返回返回上页上页下页下页122sinnnnnnnS2sin8sin4sin212640)nnxn)2( ) 1(12)2)(1()2)(2(limlim11xxnxnuunnnnnn因为,2, 12时，原级数收敛所以当xx解解,2, 12时，原级数发散即当xx., ) 1(21显然发散时，原级数成为当nnx返回返回上页上页下页下页.1)3(;,)lim(1)2(;,1)1(,lim1时时可可能能收收敛敛也也可可能能发发散散级级数数发发散散时时或

15、或级级数数收收敛敛时时则则当当有有若若对对正正项项级级数数 nnnnnnnnuuu4柯柯西西根根值值判判别别法法定定理理返回返回上页上页下页下页判别以下正项级数的敛散性判别以下正项级数的敛散性:nnnn 1)123()1( 2)(ln1)2(nnn 2ln35)3(nnn.123123limlim)1(故故级级数数发发散散 nnunnnn.10ln1limlim)2(故级数收敛nunnnn.1535limlim)3(ln故故级级数数发发散散 nnnnnnu例例14解解注注 当普通项含当普通项含n！时不宜用根值判别法！时不宜用根值判别法.返回返回上页上页下页下页例例15 判别级数判别级数 的敛散

16、性的敛散性(a0).nnnna)2(1annaunnnn2limlim因为nnnnaaa1)2(111时，原级数化为当时，原级数发散，当时，原级数收敛，所以当解解.)2(, 0)2(lim12发散所以因为nnnnnnenn返回返回上页上页下页下页练习：判别以下级数的敛散性:1!3. 1nnnnnnnxn)2(. 213nnn1)1(arcsin. 3.222时，发散时，发散，时，收敛，xxx发散发散收敛收敛euunnn3lim1因为返回返回上页上页下页下页) 10()(122aanann的敛散性判别级数1221222)(nnananaanannannaanaanana122222222222因

17、为例16解法一解法一发散，nan121.发散由比较判别法知原级数解法二解法二1221222)(nnananaanan返回返回上页上页下页下页ananannananan22222lim12因为ananaan2112lim22.)(11221发散发散，所以而nnanann返回返回上页上页下页下页一、交错级数及其敛散性判别一、交错级数及其敛散性判别第三节第三节 恣意项级数及其敛散性判别恣意项级数及其敛散性判别其中其中un0(n=1,2,). 432111)1(uuuuunnn 定义定义 假设在恣意项级数假设在恣意项级数 中中,正负号相间出正负号相间出现现,这样的恣意项级数就叫做交错级数这样的恣意项级

18、数就叫做交错级数.它的普通方式它的普通方式为为 1nnu43211) 1(uuuuunnn或返回返回上页上页下页下页定理定理1(莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法) 假设假设 交错级数交错级数 满满足足 11)1(nnnu0lim)2( nnu那么级数那么级数 收敛收敛,且其和且其和su1.(1) unun+1 11)1(nnnu 满足定理满足定理1的条件的条件(1)和和(2)的交错级数称为莱布的交错级数称为莱布尼茨型级数尼茨型级数 返回返回上页上页下页下页证证 根据项数根据项数n是奇数或偶数分别调查是奇数或偶数分别调查sn设设n为偶数为偶数,于是于是sn=s2m=u1-u2+u3-+u2m-1-u

19、2m,将其每两项括在一同将其每两项括在一同s2m=(u1-u2)+(u3-u4)+(u2m-1-u2m) 每个括号内的值都是非负的每个括号内的值都是非负的.假设把每个括假设把每个括号看成是一项号看成是一项,这就是一个正项级数的前这就是一个正项级数的前m项部项部分和分和.显然显然,它是随着它是随着m的添加而单调添加的的添加而单调添加的返回返回上页上页下页下页s2mu1,即部分和数列有界即部分和数列有界 ssmm 2lim当当n为奇数时把部分和写为为奇数时把部分和写为sn=s2m+1=s2m+u2m+1,susssmmmmmnn )(limlimlim12212所以所以,不论不论n为奇数还是偶数为

20、奇数还是偶数,都有都有 ssnn lim故交错级数收敛故交错级数收敛由于由于s2mu1,而而 ,因此根据极限的保号性因此根据极限的保号性可知可知,有有su1ssnn lim假设把部分和假设把部分和s2m改写为改写为s2m=u1-u2-u3)-(u2m-2-u2m-1)-u2m,返回返回上页上页下页下页 111110)1()2(1)1()1(.nnnnnnn散散性性判判别别下下列列交交错错级级数数的的敛敛. 1,01lim), 2 , 1(111)1( snnnnn其其和和级级数数收收敛敛根根据据莱莱布布尼尼茨茨判判别别法法，因因为为.101,010lim),110(10110)2(1 snnn

21、nnnnnn其其和和级级数数收收敛敛根根据据莱莱布布尼尼茨茨判判别别法法且且利利用用易易证证例例1解解返回返回上页上页下页下页例2 判别级数 的敛散性.nnnnln) 1(11)3(0ln1)(,ln)(xxxxfxxxf则令.)(3单调递减时，所以当xfx 解解1u)3n(ln)(nnunnnf单调递减，即从而，01limlnlim)(lxxxxfimnxx又0lnliml)(limnnuimnfnnnn所以.ln) 1(1n1收敛由莱布尼兹判别法知nnn返回返回上页上页下页下页练习：练习： 判别级数判别级数 的敛散性的敛散性.21112) 1(nnnn返回返回上页上页下页下页证证 由于由于

22、un|un|, 所以所以0|un|un2|un|知知 收敛收敛,由正项级数的比较判别法知由正项级数的比较判别法知, 收敛，收敛， 1nnu 1)(nnnuu从而从而 收敛收敛 11)nnnnnnuuuu2定定理理.,11收敛收敛则则收敛收敛若若 nnnnuu二、二、 恣意项级数及其敛散性判别法恣意项级数及其敛散性判别法返回返回上页上页下页下页1定定义义.,|,111条件收敛则称级数发散而级数收敛如果级数nnnnnnuuu,|11绝对收敛则称级数收敛如果级数nnnnuu返回返回上页上页下页下页 12.cosnnnx的的收收敛敛性性判判别别级级数数,|cos|,1,1|cos|121222也也收收

23、敛敛所所以以级级数数收收敛敛而而级级数数因因为为 nnnnxnnnnx例例3解解 12.cos,2nnnx绝绝对对收收敛敛级级数数知知由由定定理理返回返回上页上页下页下页例例4 判别级数判别级数 能否收敛，假设收敛，判别是绝能否收敛，假设收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛对收敛还是条件收敛.131cosnnn23333111n11cosunnnnn因为.11n1n23收敛收敛，所以而nun.1cos1n2收敛，且为绝对收敛由绝对收敛判别法知，nn解解返回返回上页上页下页下页1nnu1nnulimnnulimnnu 特别值得留意的是，当我们运用达朗贝尔比特别值得留意的是，当我们运用达朗贝尔比值判别

24、法或柯西根值判别法来判别正项级数值判别法或柯西根值判别法来判别正项级数是发散时，可以断言，是发散时，可以断言，也一定发散这是因也一定发散这是因0，从而有，从而有0为此时有为此时有返回返回上页上页下页下页例例5 断定级数断定级数 的敛散性的敛散性.2)11 (21) 1(1nnnnn2)11 (2111nnnnnnu因为12)11 (21limlenuimnnnnn而.1n发散所以nu.从而原级数发散解解返回返回上页上页下页下页例例6 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性.解解nnnnusin111n因为1sinsin1nsinliml11nnnnnnnuuim而., 1si2k21n收敛于是时，

25、当nun.从而原级数绝对收敛nnnsin11.,12k21发散时，原级数化为当nn.,1) 1(22n1收敛时，原级数化为当nkn返回返回上页上页下页下页练习：练习： 判别以下级数的敛散性判别以下级数的敛散性:1) 1ln(1. 1nnnnnnnn!3) 1(. 21nnnnn5sin) 1(. 32)1(1132sin. 4nnn返回返回上页上页下页下页111limnn.11n散极限形式知，原级数发发散，由比较判别法的而n1) 1ln(1. 1nn解解 ) 1ln(lim1) 1ln(1limnnnnnn因为, 11) 1ln(1nn发散111nn方法一方法一 方法二方法二 返回返回上页上页

26、下页下页nnnnnn!3) 1(. 21,!31n13nnnnnu!3n) 1()!1(3liml111nnnuuimnnnnnnnn因13)1( 3lim) 1() 1( 3lim1ennnnnnnnnn.1n发散，故原级数发散所以nu解解返回返回上页上页下页下页nnnnn5sin) 1(. 32)1(111n5sinnnnnu因为收敛，且而1n51,515snnnnin收敛，由比较判别法知，1n5sinnn.从而原级数绝对收敛解解返回返回上页上页下页下页例 设1n11212nababannnnnnnn及都收敛，证明与02)(222nnnnnnbababa因为)(21a22nnnnbab所以

27、收敛，又因为1212,nnnnba.)a (21221也收敛所以nnnb.11绝对收敛收敛，从而于是nnnnnnbaba,111nnnnnnnabanb则令.11绝对收敛绝对收敛，所以因为nnnnnnaba证均绝对收敛.返回返回上页上页下页下页第四节第四节 幂级数幂级数一、函数项级数一、函数项级数 由定义在同一区间内的函数序列构成的无穷级数由定义在同一区间内的函数序列构成的无穷级数 就称为函数项级数就称为函数项级数 )()()()(211xuxuxuxunnn 假设令假设令x取定义区间中某一确定值取定义区间中某一确定值x0,那么得到那么得到一个数项级数一个数项级数 )()()()(002011

28、0 xuxuxuxunnn返回返回上页上页下页下页 )()()()(0020110 xuxuxuxunnn 假设上述级数收敛假设上述级数收敛,那么称点那么称点x0为函数项级数为函数项级数 的一个收敛点的一个收敛点.反之反之,假设上述级数发散假设上述级数发散,那么称点那么称点x0为函数项级数为函数项级数 的发散点的发散点. 1)(nnxu 1)(nnxu收敛点的全体构成的集合收敛点的全体构成的集合, 称为函数项级数的收敛域称为函数项级数的收敛域. 11nnx讨论级数讨论级数 的收敛域的收敛域返回返回上页上页下页下页 )()()()()(00201100 xuxuxuxuxsnnn 假设假设x0是

29、收敛域内的一个值是收敛域内的一个值,那么必有一个和那么必有一个和s(x0)与之对应与之对应,即即 )()()()()(211xuxuxuxuxsnnn当当x0在收敛域内变动时在收敛域内变动时,由对应关系由对应关系,就得到一个定义就得到一个定义在收敛域上的函数在收敛域上的函数s(x),使使 这个函数这个函数s(x)就称为函数项级数的和函数就称为函数项级数的和函数返回返回上页上页下页下页将函数项级数将函数项级数 的前的前n项和记为项和记为sn(x),且称之为且称之为部分和函数部分和函数,即即 1)(nnxu)()()()()(211xuxuxuxuxsnnkkn 在函数项级数的收敛域内有在函数项级

30、数的收敛域内有 )()(limxsxsnn 0)(lim xrnn假设以假设以rn(x)记余项记余项,rn(x)=s(x)-sn(x),那么在收敛域那么在收敛域内有内有返回返回上页上页下页下页求级数求级数 的收敛域与和函数的收敛域与和函数. 11nnx)11(1111limlim)(lim)(11 xxxxxxsxsnnnkknnn此级数为几何级数此级数为几何级数(即等比级数即等比级数),当当|x| 1时时,级数收级数收敛敛,|x|1时级数发散时级数发散.故其收敛域为故其收敛域为(-1,1).例例1解解和函数为：和函数为：返回返回上页上页下页下页二、二、 幂级数及其敛散性幂级数及其敛散性定义定

31、义1 具有以下方式的函数项级数具有以下方式的函数项级数 称为在称为在x=x0处的幂级数或处的幂级数或(x-x0)的幂级数的幂级数,其中其中a0,a1,an,称为幂级数的系数称为幂级数的系数 nnnnnxxaxxaxxaaxxa)()()()(020201000 假设假设x0=0,那么称那么称 为为x=0处的幂级数或处的幂级数或x的幂级数的幂级数 nnnnnxaxaxaaxa22100返回返回上页上页下页下页定理定理1阿贝尔阿贝尔(Abel)定理定理(1) 假设幂级数假设幂级数 在点在点x=x0(x00)处收敛处收敛,那么对于那么对于满足满足|x|x0|的一切的一切x, 均收敛均收敛(2) 假设

32、幂级数假设幂级数 在点在点x=x0处发散处发散,那么对于满那么对于满足足|x|x0|的一切的一切x, 均发散均发散 0nnnxa 0nnnxa 0nnnxa 0nnnxa 0nnnxa可见可见 1. 假设假设x0是是 的收敛点的收敛点,那么该幂级数那么该幂级数在在(-|x0|, |x0|)内收敛内收敛;假设假设x0是是 的发散点的发散点,那么那么该幂级数在该幂级数在(-,-|x0|)(|x0|,+)内发散内发散. 0nnnxa返回返回上页上页下页下页2. 对幂级数而言对幂级数而言, 存在关于原点对称的两个点存在关于原点对称的两个点x=r,r0, 它们将幂级数的收敛点与发散点分隔开它们将幂级数的

33、收敛点与发散点分隔开来来,在在(-r,r)内的点都是收敛点内的点都是收敛点, 而在而在-r,r以外的点均以外的点均为发散点为发散点,在分界点在分界点x=r处处,幂级数能够收敛幂级数能够收敛,也能够也能够发散发散, 称具有这种性质的正数称具有这种性质的正数r为幂级数的收敛半径为幂级数的收敛半径.返回返回上页上页下页下页4. 当幂级数当幂级数 仅在仅在x=0处收敛时处收敛时,规定其收敛半规定其收敛半径为径为r =0;当当 在整个数轴上都收敛时在整个数轴上都收敛时,规定其收规定其收敛半径为敛半径为r=+,此时的收敛区间为此时的收敛区间为(-,+) 0nnnxa 0nnnxa3. 由幂级数在由幂级数在

34、x=r处的收敛性就可以确定它在区处的收敛性就可以确定它在区间间(-r,r),-r,r),(-r,r,-r,r之一上收敛之一上收敛,该区间为幂级数该区间为幂级数的收敛区间的收敛区间. 返回返回上页上页下页下页定理定理2 设有幂级数设有幂级数 , 假设假设 那么那么(1) 当当0 时时, 的收敛半径的收敛半径 r = ； (2) 当当=0时时, r=+; (3) 当当 =+时时, r=0 0nnnxa 0nnnxa,lim 1 nnnaa 1证证 视视 为含参数为含参数x的数项级数的数项级数. 0nnnxa那么那么nnnnnxau11返回返回上页上页下页下页xxaxauunnnnnnnn111li

35、mlim时，所以，当 0;,1, 1级数收敛即如果xx级数发散；即如果,1, 1xx.1r因而，收敛半径返回返回上页上页下页下页., 10l,01ruuimxnnn即幂级数收敛，于是都有时，对任何当. 0, 1l, 01ruuimxnnn即幂级数发散，于是就有时，只要当返回返回上页上页下页下页例例1 求幂级数求幂级数 的收敛半径及收敛区间的收敛半径及收敛区间.nxnnn11) 1(11lim1) 1(11) 1(limlim11nnnnaannnnnnn因为11R解解收敛半径收敛半径 ，所以，原级数的收敛区间为所以，原级数的收敛区间为-1,1当当 时，原级数化为时，原级数化为1x.,1) 1(

36、11收敛nnn., )1(11n发散时，原级数化为当nx又由于又由于返回返回上页上页下页下页例例2.求幂级数求幂级数 的收敛域的收敛域.!1.! 2112nxnxx011lim)!1(!lim!1)!1(1limlim1nnnnnaannnnnnR解解 由于由于所以所以 从而收敛域为从而收敛域为),(返回返回上页上页下页下页例例3解解.10!0）！的的收收敛敛半半径径（这这里里求求幂幂级级数数 nnxn.0, 0!)!1(limlim 1收收敛敛即即级级数数仅仅在在所所以以收收敛敛半半径径因因为为 xRnnaannnn 返回返回上页上页下页下页 3523222xxx级级数数为为短少偶次幂的项短

37、少偶次幂的项. . ,2122lim)()(lim2121121xxxxuxunnnnnnnn . , 2 , 121 2级级数数收收敛敛时时即即当当时时当当 xx. 2 112的收敛区间的收敛区间求幂级数求幂级数 nnnx例例4解解返回返回上页上页下页下页. , 2 121 2级级数数发发散散时时即即当当时时，当当 xx.,21 , 2 1发散级数为时当nx.,21 , 2 1发散级数为时当nx原级数的收敛区间为原级数的收敛区间为).2, 2( 返回返回上页上页下页下页知幂级数知幂级数1,-nnnaata的收敛域为（1) 1(nnnxatxata1，令因求幂级数求幂级数 的收敛域。的收敛域。

38、1x11-xaaaa，即所以1 1,-11-xnnnaaa的收敛域为（）（于是思索思索返回返回上页上页下页下页的收敛域求幂级数12) 1( nnnnx1nnntn21, 1t则上述级数变为解：令x21) 1(22limlim1n1nnaannnnn因为收敛时，级数成为当,1) 1()2(21211nnnnnnnt发散时，级数成为当,1221211nnnnnnt),2 . 22t1n的收敛域为所以幂级数nnn例例521R收敛半径返回返回上页上页下页下页122xtt，令因3x121-x2，即所以13 , 1(2) 1(nnnnx的收敛域为于是返回返回上页上页下页下页1n)(lnx 的收敛域求n11

39、)(ln,lnnnnntxxt则解：令）的收敛域为（1 , 1-1nnt由-1t1,及t=lnx知 -1lnx1,即lne-1lnxlneex e1所以1nee1lnxn），的收敛域为（）（于是例例6返回返回上页上页下页下页定理定理3 设设r 是幂级数是幂级数 的收敛半径的收敛半径,假设假设 的的系数满足系数满足 那么那么 (1) 当当0+时时, r = ; (2) 当当 = 0时时, r = +； (3) 当当 =+时时, r = 0 0nnnxa 0nnnxa,lim nnna 1返回返回上页上页下页下页例例7解解.)0(0与与收收敛敛区区间间的的收收敛敛半半径径求求幂幂级级数数 baba

40、xnnnn.ar 所所以以收收敛敛半半径径为为aababaannnnnnnnnnnn1)1(1lim 1lim lim ).,(aa 收收敛敛区区间间为为., 01lim, 原原级级数数发发散散 nnnnbaaax.,)1(lim, 原原级级数数发发散散不不存存在在nnnnnbaaax 返回返回上页上页下页下页三、三、 幂级数的运算性质幂级数的运算性质.,min)()()()(210000RRRxxSxbaxbaxbxannnnnnnnnnnnnn收敛半径，的和函数为那么那么(1)1.四那么运算性质四那么运算性质设设 的收敛半径为的收敛半径为 ，和函数为，和函数为 ； 的收敛半径为的收敛半径为

41、 ，和函数为，和函数为 . 0nnnxb0nnnxa2R1R)(x)(xs返回返回上页上页下页下页.).xx202211020211200110000000nnnnnnnnnnnnnnnnnxbabababababababababaxcxcxbxa（）（）（其中，）（.)()(.2021120011000n10n10 xbababaxbababaxbxbbxaxaann）（解释：解释：返回返回上页上页下页下页121RminRnnnRxc，的收敛半径01132210n100.nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaaxxax）（如，)()(xxS和函数为返回返回上页上页下页下页)0( ,)

42、3(000nnnnnnnnnnbxdxbxa可由待定系数法求得。其中，nd021nnnRRxd小得多。和的收敛半径一般要比).(/ )(xxS和函数为0n10nnnnnxaxxa如，返回返回上页上页下页下页(4) 逐项求导数逐项求导数 假设幂级数假设幂级数 的收敛半径为的收敛半径为r,那么在那么在(-r,r)内和函数内和函数s(x)可导可导,且有且有 0nnnxa 0100)()()(nnnnnnnnnnxaxaxaxs2. 分析运算性质分析运算性质可见可见 幂级数在其收敛开区间内可以逐项求导幂级数在其收敛开区间内可以逐项求导返回返回上页上页下页下页(5) 逐项积分逐项积分 假设幂级数假设幂级

43、数 的收敛半径为的收敛半径为r,那么和函数在那么和函数在(-r,r)上可积上可积,且有且有 01000001 ddd)(nnnnxnnxnnnxxnaxxaxxaxxs 0nnnxa可见可见 幂级数在其收敛开区间内可以逐项积分幂级数在其收敛开区间内可以逐项积分.返回返回上页上页下页下页,) 1()(11nnnnxxS则有, 0)0( s显显然然两边积分得两边积分得),1ln()( 0 xdttsx ),11( ,111)(2 xxxxxs. ) 11( ) 1( 11xnxnnn的和函数求级数例例1解解),(xS设级数的和函数为返回返回上页上页下页下页. 1)1(,111收收敛敛时时又又当当

44、nnnx).11(),1ln()1(11 xxnxnnn),1ln()(xxs ),1ln()0()(xsxs所以返回返回上页上页下页下页例2 求级数 的收敛域与和函数.nnxn)2(11211222limlim11nnaannnnnn因）收敛区间为（所以2 , 2-, 21R0nn0n0nn2 , 2-2x1n1n21n12-）的收敛域为（）（所以，），发散（时，原级数化为当），发散（）（时，原级数化为当xx解返回返回上页上页下页下页),2 , 2(,)(2),2 , 2(,)(1121),2 , 2(,)(21) 1(),2 , 2(),(2) 1(2 , 2-)S(0010010000

45、xdxxSxxdxxSxnnxdxxSdxxnxxSxnxxxnnnxnnnxnxnnnn），则（，设和函数为返回返回上页上页下页下页)2 , 2(,)2(422)()2 , 2(,2221)(20 xxxxxSxxxxxdxxSx返回返回上页上页下页下页的考虑到级数nnxnn1) 1(收敛区间为收敛区间为(-1,1),)1(2)1( )()1()( 32111xxxxxxxxnnxsnnnn 则则8212)1( 1 snnnn故故. 2)1( 1 nnnn的和的和求求例例3解解返回返回上页上页下页下页思索思索 求幂级数求幂级数 的和函数的和函数1122nnnx) 1(x) 1(),(n21n

46、12xxSxn解：设) 1( ,1)()(21n2)(2201n1n220 xxxdsxSxxndsxSxnnx则，返回返回上页上页下页下页221)(xxxS) 1()1 (2)1 ()1 ()1 (2222222xxxxxxxx，) 1( ,)1 (2)(2221n12xxxxSxnn的和函数为所以返回返回上页上页下页下页我们曾经知道，给定一个幂级数我们曾经知道，给定一个幂级数 ，那么在它的，那么在它的收敛域范围内存在一个函数收敛域范围内存在一个函数 ，使得，使得1nnnxa)(xf.),(1收敛域xxfxannn使得是否存在一个幂级数反之，给定一个函数,),(1nnnxaxf1)(nnnx

47、axf这就是下节要研讨的目的这就是下节要研讨的目的.返回返回上页上页下页下页第五节第五节 函数的幂级数展开函数的幂级数展开泰勒泰勒(Taylor)公式公式 假设函数假设函数f(x)在在x=x0的某一邻域内的某一邻域内,有直到有直到n+1阶的导数阶的导数,那么在这个邻域内有如下公式：那么在这个邻域内有如下公式： 称上式为泰勒公式称上式为泰勒公式.其中其中rn(x)称为余项称为余项.)()(!)( )(! 2)()( )()(00)(200000 xrxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 假设令假设令x0=0,就得到就得到 称上式为马克劳林公式称上式为马克劳林公式.)(!) 0(! 2) 0(

48、) 0() 0()()(2xrxnfxfxffxfnnn 返回返回上页上页下页下页显然，假设显然，假设 在点在点 的某邻域内具有恣意阶导数，的某邻域内具有恣意阶导数，那么相应地有那么相应地有 nnxxnxfxxxfxxxfxf)(!)( )(! 2)()( )(00)(200000称上式为泰勒级数称上式为泰勒级数.)(xf0 x假设令假设令x0=0,就得到就得到 称上式为马克劳林级数称上式为马克劳林级数. nnxnfxfxff!) 0(! 2) 0() 0() 0()(2返回返回上页上页下页下页如今的问题是 nnxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)( )(! 2)()( )()(00)(

49、200000能否成立能否成立. nnxnfxfxffxf!) 0(! 2) 0() 0() 0()()(2能否成立能否成立.返回返回上页上页下页下页定理定理 假设函数假设函数f(x)在点在点 的某邻域内有恣意阶导数的某邻域内有恣意阶导数,且在此邻域内的泰勒公式中的余项以零为极限且在此邻域内的泰勒公式中的余项以零为极限(当当n时时),那么那么,函数函数f(x)就可展开成泰勒级数就可展开成泰勒级数. nnxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)( )(! 2)()( )()(00)(2000000 x返回返回上页上页下页下页 初等函数的幂级数展开初等函数的幂级数展开 利用泰勒公式或马克劳林公式将函数利用泰勒公式或马克劳林公式将函数f(x)展开成幂展开成幂级数的方法级数的方法,称为直接展开法称为直接展开法例例1 将函数将函数f(x)=ex展开成展开成x的幂级数的幂级数.解解 f(x)的各阶导数为的各阶导数为f(n)(x)=ex(n=1,2,), 故故 f(0)=1, f(n)(0)=1 (n=1,2,), 于是得幂级数于是得幂