数理统计引言及总体与样本学习教案

1、会计学1数理统计引言数理统计引言(ynyn)及总体与样本及总体与样本第一页，共64页。2数理统计(sh l tn j)就是研究怎样有效(yuxio)地收集、整理(zhngl)和带有随机性的数据,以便对所考察的问题作出推断和预测,分析,直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议.这种由局部观察来对总体下结论必须建立在科学的方法基础上,否则就会犯错误.数理统计的就是给出这种统计推断任务之一以科学的理论及方法.第1页/共64页第二页，共64页。3数理统计(sh l tn j)1. 如何(rh)从总体中抽样?2.如何用所抽样品(yngpn)对总体进行推断?抽样全面调查(如人口普查)部分调查总体部分抽样统

2、计推断估计假设检验主要研究两方面的问题:第2页/共64页第三页，共64页。4由于抽样是一个随机(su j)现象,对总体(zngt)所作的推断不可能绝对准确,多少(dusho)含有一定程度的不确定性,这种不确定性概率大推断比较可靠概率小推断不太可靠数理统计的核心问题是:从总体中抽取样本并且必须伴有一定的概率这种伴有一定概率的推断所以根据部分观测或试验的结果用概率的大小表示.(部分资料), 根据样本所得到的部分信息对该总体作出推断(检验、估计)以表明推断的称为统计推断.要求每个推断可靠程度.第3页/共64页第四页，共64页。51.抽样(chu yn)分布是进行统计(tngj)推断的基础理论部分.2

3、. 参数估计假设总体的分布(fnb)类型已知,3. 假设检验对总体的分布估计其中的参数.或分布中的参数提出假设,讨论样本信息对假设作出成立与否的判断.怎样利用4. 回归分析之间的相互关系,根据样本信息,对两个或两个以上随机变量进行统计推断.第4页/共64页第五页，共64页。64.1 总体(zngt)与样本一、总体(zngt)与总体(zngt)分布总体(zngt)：研究的对象的全体构成的集合.个体：组成总体的每一个成员.统计学中关心的不是每个个体的所有特性,而仅仅关心它的某一项或某几项数量指标.总体是一个随机变量.( 或随机向量 )总体的分布称为总体分布.定义4.1统计学中称随机变量( 或随机向

4、量 )X为总体,并把随机变量( 或随机向量 ) X的分布称为总体分布.用X表示每个个体的这一项 数量指标.（几项）第5页/共64页第六页，共64页。7总体(zngt)中所含个体的数量容量有限(yuxin)的总体容量(rngling)无限的总体称为总体容量.称为无限总体;称为有限总体;第6页/共64页第七页，共64页。8说明(shumng):表示(biosh)总体的X既可以(ky)是随机变量，也可以是随机向量.如果只关心每一个体的一项数量指标，则总体是随机变量；数量指标，如果关心两项或两项以上则总体就是随机向量.但为简化讨论，本书只考察一项数量指标的情形,因此,今后总体都是随机变量.第7页/共6

5、4页第八页，共64页。9二、样本(yngbn)与样本(yngbn)分布第8页/共64页第九页，共64页。10由于(yuy)所以(suy)样本通常(tngchng)但当一次抽样实现后,nxxx,.,21称它们为样本值一是指某次抽取的12,.,nxxx有时泛指一次抽取的可能结果,nXXX,.,21从总体X中随机抽取n个个体12,.,nXXX称为总体X的这n个一个容量为 的样本,nn称为nXXX,.,21是从总体X中可能结果,12,.,nXXX是n个随机变量,也把它们看成一个元随机向量n12,.,nXXX它们就变成了n个具体的或样本观测值.常有一个容量为n的样本时,每当提到总体 的X双重意义:具体数

6、值,即样本值这时个体样本容量.随机抽取出来的数值:是指样本随机变量第9页/共64页第十页，共64页。11抽样(chu yn)应满足下面两个条件:(1)随机性:(2)独立性:满足以上两个条件(tiojin)的抽样简单(jindn)随机样本nXXX12,.,一定相互独立,nXXX12,.,有了简单随机样本，都与总体X总体中的每一个个体有同等的机会每次抽取的结果,不受其它抽取结果也不影响其它抽取结果.称为简单随机抽样且每个有相同的分布.被抽到.的影响,就可以利用概率论中独立，同分布条件下的一系列结论.第10页/共64页第十一页，共64页。12定义(dngy)4.2 nXXX12,.,是一组相互(xi

7、ngh)独立(dl)，(,.,)nXXX12在一次试验中,.,nxxx12称为样本值设X是总体,的随机变量.且与 有相同分布X则称简单随机样本,简称样本.为来自总体 的X称为样本容量,n样本的具体观测值或样本观测值.第11页/共64页第十二页，共64页。13设总体(zngt)X的分布函数为( )F x故样本(yngbn)(,.,)nXXX12的分布(fnb)函数为：12.(,)nx xFx11,P Xx22,XxnnXx.,11xP X22P Xx.nnP Xx1()F x2()F x.()nF x因nXXX12,.,都与总体同分布，故nXXX12,.,的分布函数也是( )F x()iF x1

8、ni 第12页/共64页第十三页，共64页。14( )Xf x由于(yuy)11()Xf x22()Xf x.()nnXf x相互(xingh)独立, 12(,.,)nf xxx1()f x.2121nnpppPaaaX所以(suy)11,iP Xa11iP Xa21.iniip pp(1) 若总体X 是连续型的12,.,nXXX与总体 有相同的分布,X所以由于12,.,nXXX所以 的12(,.,)nXXX联合密度函数为其概率分布为由于独立, 12,.,nXXX2()f x. ()nf x是离散型的,22,iXa.,ninXa22iP XaninP Xa.(2) 若总体X 与X同分布,第13

9、页/共64页第十四页，共64页。154.2 统计(tngj)量定义(dngy)4.3 12(,.,)nXXX的函数(hnsh),任一不含未知参数12(,.,)ng XXX为统计量.说明: 12(,.,)ng XXX也是随机变量.(2)统计量中可以有参数,是来自总体X的样本,称(1)统计量但不能有未知参数.12,.,nXXX设第14页/共64页第十五页，共64页。16例 2( ,)XN 当已知时,211()niiXn 当未知时,的一次观测(gunc)值12,.,nx xx由于(yuy)统计量 12(,.,)ng XXX就可以(ky)算出12(,.,)ng xxx称为统计量 12(,.,)ng X

10、XX观测值.12(,.,)ng xxx设总体12,.,nXXX是来自 的一个样本,X是统计量;不是统计量.中不含未知参数,对样本12,.,nXXX的第15页/共64页第十六页，共64页。17二、常用(chn yn)的统计量12(,.,)nXXX是来自总体(zngt)X的样本,设1.样本均值X 11niiXn121.nXXXn2.样本(yngbn)方差未修正样本方差20S 21()niiXX1n2S 21()niiXX11n修正样本方差要估计总体的方差2, 用2S比用20S更好,2S简称为样本方差.第16页/共64页第十七页，共64页。18未修正样本(yngbn)方差20S 21()niiXX1

11、n2S 21()niiXX11n样本(yngbn)方差2S 11n20nS201nSn当 n 较大(jio d)时,220SS21()niiXX1ni2iX2iXX2X21niiX12niiXX21niX21niiX12niiXX2nXn1n21niiX2 Xn22nX21niiX2nX11n21niiX2nX第17页/共64页第十八页，共64页。19样本(yngbn)方差3.样本(yngbn)标准差4.样本(yngbn)k阶原点矩5.样本k阶中心矩2B 20S15 统称为矩统计量,简称为样本矩.它们都可表为样本的显式函数.211()1niiXXnS kA 11niikXn 1,2,.k 1A

12、 111niiXn X kB 11kniiXXn2,3,.k211niiXnX2S11n21niiXX第18页/共64页第十九页，共64页。20111niinXX5.样本(yngbn)k阶中心矩kB 11kniiXXn2,3,.k1k 时，11niiXXn1n1XX2XXnXX.1n12.nXXXXn121.nXXXnXXX0第19页/共64页第二十页，共64页。216. 顺序(shnx)统计量12(,.,)nXXX是来自总体(zngt)X的样本,设将各分量(fn ling)按由小到大的次序排列成(1)X(2)X(3)X.( )nX称(1)(2)( )(,.,)nXXX为样本的一组(1)X12

13、min(,.,)nXXX称为样本极小值;( )nX12max(,.,)nXXX称为样本极大值;( )(1)nXX12max(,.,)nXXX12min(,.,)nXXX称为样本的极差.顺序统计量.第20页/共64页第二十一页，共64页。22三、枢轴(sh zhu)量定义(dngy) 12(,.,)nXXX的分布(fnb)已知,中仅包含总体的一个12(,.,; )ng XXX 则称是来自总体X的样本,设如果函数未知参数并且12(,.,; )ng XXX 设总体X的分布中含有未知参数,为了估计,需构造一个包含的12(,.,; )ng XXX 样本函数其分布已知.12(,.,; ) ng XXX 已

14、知分布为枢轴量.12(,.,; )ng XXX 第21页/共64页第二十二页，共64页。234.3 常用(chn yn)的统计分布第22页/共64页第二十三页，共64页。24给定的一、分位数定义(dngy)4.4设随机变量(su j bin lin)X( )F x( )F x PXx对给定(i dn)的实数,(01) 如果实数F 满足条件PXF 则称F 为X的分布的水平的上侧分位数.PXF P XF 1 F F 1 1FF F 当X是连续型随机变量时， P XF F 其密度函数为( )f x( )f x dxxF ( )f x1 的分布函数为第23页/共64页第二十四页，共64页。25为 的(

15、 )F x水平(shupng)的上侧分位数.P XF F F 1F 给定的( )f x1 为 的( )F x水平(shupng)1-的上侧分位数.P1XF 1 P1XF 1 (1) PX2F 21F P21XF P2XF 12 2 1 第24页/共64页第二十五页，共64页。26例求标准(biozhn)正态分布的上侧分位数：解0() 0.951.6450() 0.91.280() 0.70.5250.05u0.05u0.1u0.1u0.3u0.3u0.05u0.1u0.3u第25页/共64页第二十六页，共64页。27如果(rgu)连续型随机变量X的密度(md)函数是偶函数.即密度函数(hnsh

16、)的图像关于 y 轴对称.( )yf x1 2 2 T T 称X是对称分布的随机变量,此时可定义定义4.5其分布函数( )F x对给定的实数,(01) 如果正实数T 满足条件P XT 则称T 水平的双侧分位数.双侧分位数.设X是对称分布的随机变量,为为X的分布的注意:只有具有对称分布的随机变量,才有双侧分位数.0第26页/共64页第二十七页，共64页。28( )yf x 12 2 T T 具有对称(duchn)分布P XT 水平(shupng)的双侧分位数.为X的分布(fnb)的对于的随机变量XT P2 XT P12 XT F T 12 F T TF P XT 1 T 2F 2F 1 第27页

17、/共64页第二十八页，共64页。29例求标准(biozhn)正态分布的水平(shupng)=0.05,的双侧分位数.及=0.1解=0.05时,设对应(duyng)的双侧分位数为0() 0.9751.96=0.1时,设对应的双侧分位数为0() 0.951.645 第28页/共64页第二十九页，共64页。30函数(hnsh):0如函数(hnsh)有性质(1)!nn (1)s( ) s(0)s 1sxxedx0(0.5)10.5xxedx0( 2)12xxedx(10)09xxedx( )ss如0(1)xedx0!10(2)dx1!1x0(3)dx2!22x0(4)3xdx3!69!12xexexe

18、第29页/共64页第三十页，共64页。31分布分布二二2 1.定义(dngy)定义(dngy)4.6 ,2分布分布 记为2( )Xn 2( ; )x n0 x 00 x 2122nn12nx2xe则称X服从(fcng)自由度为 的n其中 时10n 与 有关.n若随机变量 的密度函数为X2( ; )x n n为给定自然数.第30页/共64页第三十一页，共64页。322( ; )2x 2xe0即2( )Xn当 时,2n 120 x 0 x 2( )2指数分布.就是参数为 的12当 时,3n 密度(md)函数的图像012皆为单峰曲线(qxin)，n 越大,峰值(fn zh)越靠右,曲线越平缓.2(

19、; )x n0 x 00 x 2122nn12nx2xe第31页/共64页第三十二页，共64页。33分布的可加性分布的可加性2. 2 定理(dngl)4.2 12()Xn22()Yn2()XY 推论(tuln) 211()Xn ，222()Xn ，2()kkXn 相互(xingh)独立，设随机变量 与XY都服从 则若随机变量相互独立,12,.,kXXX.，则12.kXXX2 12.knnn21nn2分布,都服从 2分布,第32页/共64页第三十三页，共64页。34定理(dngl)设( 0,1)XN，则2X2( )1 1,2,.,in，( 0,1)iXN21X. .1 11. 因为(yn wi)

20、定理(dngl) 若随机变量相互独立,且12,.,nXXX则2( )n 证1X相互独立,12,.,nXXX所以也相互独立.12222,.,nXXX根据 分布的可加性,2 12222.nXXX2 即12222.nXXX2( )n 12222.nXXX2( )1 ( 0,1)N22X2,X ,.,nX2.,nX2( )1 2( )1 P66，例2.29当n较大时,2 分分布布可用正态分布近似.第33页/共64页第三十四页，共64页。35例 2( )nE 2iEX122212(.)nE XXX22212.nEXEXEXn 且En E 求解设1,2,.,in( 0,1)iXN相互(xingh)独立,1

21、2,.,nXXX则2( )n 12222.nXXXiEX 0iDX 1iDX 2()iEX1,2,.,in 分布的自由度2 n就是(jish)其数学期望.D 2n进而(jn r)可求出设22212(.)nD XXX第34页/共64页第三十五页，共64页。3623. 分分布布的的 设2( ),Xn 对于给定的 (01) P2( ; )dxx n 2( )n 水平(shupng)的上侧分位数给定的 X P2( )Xn P21( )Xn 1 P21( )Xn P2( )n 22( )Xn 221( )n 1 22( )n 212( )n 2 2 第35页/共64页第三十六页，共64页。37例 设 求

22、求例 例 设当n较大(jio d)时,2 分分布布可用正态分布近似(jn s).当n45时,有表可查.2 分分布布的上侧分位数2(),13X 10.05P X 1 22.3622( ),8Y 20.025P Y 2 17.5352(),20X 0.95P X P X 10.95 0.05 31.41020.05()10 18.30720.01()15 30.5780.9752( )8 2.1802()13 0.052( )8 0.0252()20 0.05第36页/共64页第三十七页，共64页。38例 设解 求102115.99iiXP解 求(3)2.6759.236PX例 设总体X1210,

23、.,XXX一个(y )简单随机样本,为来自 的X2( ),5X (1)1.145P X(2)6.626P X(3)2.6759.236PX(1)0.95(2)6.626P X6.626P X1 0.251 0.752.675P X9.236P X0.750.100.65( 0,1)N1021iiX2()10 0.1102115.99iiPX第37页/共64页第三十八页，共64页。39相互(xingh)独立也相互(xingh)独立.求例 设总体X一个(y )简单随机样本,为来自 的X20, 0.5N解 127,.,XXX7214iiPXiX20, 0.5N0.50iX( 0,1)N127,.,X

24、XX10,0.5X2,500.X.,7.500X2.500iX71i2(7) 2.500iX71i4721iiX2(7) 7214iiPX721iiXP416 P26(7)1 0.025第38页/共64页第三十九页，共64页。40函数(hnsh)10如( ,)p q (0,p 1pxdx1(1)qx0)q ()2, 1 10 xdx12()2, 2 10 xdx22x(1)x102()xxdx1033x101622x100.5(,)1 100.5xdx101xdx2 x102函数(hnsh)有性质( ,)p q ( ,)pq (, 0.5)0.2 100.5xdx0.8(1)x在区间(q ji

25、n)(0,1)10px1(1)qx( ,)0p q 第39页/共64页第四十页，共64页。41三、F 分布(fnb)1.定义(dngy)定义(dngy)4.7 的概率密度函数为 若随机变量 X( ;, )f x m n0 x 00 x 1,2 2m n mn21mnxm1xmn2mn则称X服从记为自由度为m和n(,)XF m n其中 是给定自然数.,m n的F分布,称为第一自由度, m称为第二自由度. n第40页/共64页第四十一页，共64页。420P X 00( )f x dx即(,)XF m n( ;, )Xf x m n( ;, )f x m n0 x 00 x 1,2 2m n mn2

26、1mnxm1xmn2mn第41页/共64页第四十二页，共64页。432. F分布(fnb)的典型模式 定理(dngl)4.3 则设随机变量(su j bin lin)X和Y相互独立,2()Xm 2( )Yn ，Z (, )F m nXmYn推论 若随机变量则1X(, )XF m n()F,n m第42页/共64页第四十三页，共64页。443. F分布(fnb)的 设(, )XF m n对于(duy)给定的(01) 水平(shupng)的上侧分位数 (, )Fnm X ( ;, )x mfn dx P 给定的 PP1 P(, )FnXm 1(, )FnXm P1(, )FnXm 2(, )FnX

27、m 21(, )nFm (, )Fm n 1 21(, )nFm 2(, )Fm n 12 2 第43页/共64页第四十四页，共64页。45例0.058( ,)12F2.853.300.0251 1.90( P276 )即2()8,1P F2.850.050.11()0,5F即5()10,P F3.300.124()5,1P F1 ()24,15F0.0252.700.924()5,1P F2 24()5,1P F2 0.12 ()24,15F0.1当0.1时,可查表.第44页/共64页第四十五页，共64页。46在F分布(fnb)表中， 0.1 当 较大时, 例 设0.975P X ，求X 1

28、 0.97510.9751 12.44 24)151(,P F 可用结论(jiln):1X解01X0.975P X 1PX1 1 1PX1 11PX 0.0250.0252.4424(, 5)1XF，(, )XF m n()F,n m ()15,24F0.025第45页/共64页第四十六页，共64页。47一般(ybn)地，对01, 有(,)Fm n 11(,)Fmn 证设(, )XF m n(, )Fnm X P X 1 01X P X 11X PP11X 1 1X()F,n m1 (,)Fn m1 (, )Fnm 11(,)mFn 1 1 证毕第46页/共64页第四十七页，共64页。48四、

29、t分布(fnb)1.定义(dngy)定义(dngy)4.8 的概率密度函数为 若随机变量 X( ; )t x n 11,2 2n 1n21nx12nx 则称X服从记为t 分布, ( )Xt n其中 是给定自然数.n说明:为偶函数,(1) ( ; )t x n其图象关于 轴对称.y(3) lim ( ; )xt x n轴为 ( ; )yt x nx的渐近线.(2)()0;tn与标准正态分布的密度函数接近.(4)当 较大时,n自由度为n 的为函数的最大值.0第47页/共64页第四十八页，共64页。49 ()Xt n即0P X ( ; )t x n dx5 . 0 0, P X 是偶函数,得到(d

30、do)由 分布的密度函数t0( ; )t x n dx5 . 0 120P X ( )f x dx0( )f x dx12XP ( ; )t x n 11,2 2n 1n21nx12nx 第48页/共64页第四十九页，共64页。50 定理(dngl)4.4 2( )Yn 2. 分布的典型模式t设随机变量(su j bin lin)(0, 1)XN且X与Y独立(dl),则 ( )t nXYn第49页/共64页第五十页，共64页。513. t分分布布的的 设 ( ; ),Xt x n对于给定的 (01) P( ; )dt x nx ( )tn 水平(shupng)的上侧分位数X P( )Xtn P

31、 ( )Xtn 给定的 ( )tn ( )tn P2( )Xtn 2 给定的2 2( )tn 2( )tn P2( )Xtn 2 P2( )Xtn P2( )Xtn 1 1 第50页/共64页第五十一页，共64页。52例 设 (),11XtP286 0 0.50.012.718 2.718 P X 0.025()11t0.010.025()11tP X (2)0.05PX (1)0.01P X (3)0.01P X 2.2012.718第51页/共64页第五十二页，共64页。53例 设 (),11Xt0 0.5 0.1()11t(1)0.9P X P X 0.10 0.51.363 1.363

32、 (2)0.9P X P X 0.1P X 0.11.363第52页/共64页第五十三页，共64页。544.4 抽样(chu yn)分布第53页/共64页第五十四页，共64页。55定理(dngl)设则定理(dngl) 若随机变量(su j bin lin)相互独立,且则12,.,nXXX( 0,1)iXN1,2,.,in 12222.nXXX2( )n ( 0,1)XN2X2( )1 定理4.3 则设随机变量X和Y相互独立,2()Xm 2( )Yn Z (, )F m nXmYn 定理4.4 2( )Yn 设随机变量(0, 1)XN，且X与Y独立,则 ( )t nXYn第54页/共64页第五十

33、五页，共64页。56一、正态总体的抽样(chu yn)分布 定理(dngl)一个(y )简单随机样本,证故它们的X的则因为独立,即且都与 同分布,X线性组合设总体 是来自X11niiXn N, 2n 12,.,nXXX N, 2n 11niiXXn EX 11niinX E1n1niiEX1niiEX1n1ni 1n DX 11niinX D21n1niiDX21n1niiDX21n12ni 2n 2( ,),XN 12(,.,)nXXX2( ,)iXN 1,2,.,in第55页/共64页第五十六页，共64页。57在此定理(dngl)的条件下， 定理(dngl)一个(y )简单随机样本,X的则

34、设总体 是来自X11niiXn N, 2n 2( ,),XN 12(,.,)nXXXX n ( 0,1)N第56页/共64页第五十七页，共64页。58 定理(dngl)4.1 一个(y )简单随机样本,来自(li z)X的设总体 是分别为样本均值则相互独立.和样本方差,2( ,),XN 12(,.,)nXXX11niiXXn2S 111nin2()iXX(1)221nS (2)21 21()niiXX21()n 2SX(3)与 N, 2n X第57页/共64页第五十八页，共64页。59 定理(dngl)4.2 一个(y )简单随机样本,2( ,),XN 12(,.,)nXXX来自(li z)X

35、的设总体 是2S 11niiXXn111nin2()iXX分别为样本均值和样本方差,221(2)nS 21 21()n (1)则21()niiXXX ( 0,1)N n U (3)X (1)t n SnT 1. 单正态总体的抽样分布第58页/共64页第五十九页，共64页。602. 双正态总体的抽样(chu yn)分布设两个(lin )正态总体112,.,nXXX的样本(yngbn),与相互独立,是总体X的容量为 的样本,1n是总体Y的容量为 2nX Y 1111iinnX2121iinnY N121n 1, N222n 2, 与XY也相互独立,XY NE XYEEXYD XYDDXY221212nn 故XY12 211222n