第五讲 自相关函数和偏自相关函数

1、第5讲 自相关函数和偏自相关函数首都经济贸易大学统计学院 张玉春Capital University of Economics and Business基本内容自相关函数偏自相关函数5.1自相关函数称性。注意：自相关函数的对称为自相关系数。时，有当的自协方差函数。机过程被称为随，自协方差序列020/)var(0210)(),cov(kkttkkttkttkxkxkuxuxExx5.1.1 AR(1)自相关函数，所以对于平稳过程有过程：对于11,) 1 (AR0111aaaauxxaxxxauaxxkkkkktktkttkttttt5.1.1 AR(1)自相关函数越来越弱。，变量之间的关系明随着

2、时间间隔的加长至零的表现方式说形较为常见。指数衰减间序列，第一种情衰减至零。对于经济时负交错地指数为负时，自相关函数正当指数衰减至零；为正时，自相关函数按当aa5.1.1 AR(1)自相关函数-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214AR(1) 过程的自相关函数（ 为正）a5.1.1 AR(1)自相关函数-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214AR(1) 过程的自相关函数（ 为负）a5.1.2 AR(p)自相关函数ttttttttttttttttttuuauaxaxuLaLaLaaLxLaLaLaLaaLuxaL

3、uaxx1101133221133221)1 ()1 ()1 ()1 (乘以下算子：现在考虑对上式两边同3.4 平稳性对于一阶差分方程，保持其平稳性的条件是特征方程 (1 - aL) = 0根的绝对值必须大于1，满足 |1/a| 1也就是 | a | 13.4 平稳性因为，在 | a| 1条件下，有若保证AR(1)具有平稳性， 必须收敛，即 a必须满足|a| 1。如果|a| 1， 发散，则一阶差分方程变成一个非平稳随机过程。ttuLaLaaLx)1 (33220iiiLa0iiiLa3.4 平稳性)()(0)()() 1() 1 (AR22000ttiittiiixExEauEuLaEa方差均

4、值：方程对于平稳)1/()1 ()(222422221aaauaauuEttt3.5 多阶自回归过程一阶自回归过程表明当前的随机变量x(t)由前一时期的随机现象x(t-1)和当前随机干扰u(t)造成，如果当前的随机现象是由前p个时期的随机现象和当前的随机干扰u(t)造成，就得到多阶自回归过程AR(p)3.5 多阶自回归过程定义（AR(p)过程）对于p阶差分方程如果 ，其特征方程的所有根都在单位圆之外（或绝对值大于1）；则称该p阶差分方程为一个p阶自回归过程。tptptttuxaxaxax2211), 0(2WNut01)(221ppzazazaz3.5 多阶自回归过程下面考虑AR(2)过程 的

5、平稳性条件。其特征方程式是 上式的两个根： ttttuxaxax221101)(221zazaz222112124,aaaazz3.5 多阶自回归过程平稳性条件是：练习：判断下列过程的平稳性 ttttttttttttuxxxuxxxuxxx2121216 . 07 . 0)3(1 . 06 . 0)2(1 . 07 . 0) 1 (1, 121zz3.5 多阶自回归过程平稳性的充分条件是：111121212aaaaa3.5 多阶自回归过程2221122112112211221121221122112212211242424242442,/1,/1aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa则

6、令3.5 多阶自回归过程1于个自回归自回归系数之p充分的条件是不过程平稳的一个必要但 AR(p)保证1110)1)(1 (1, 1)1)(1 (1)()1)(1 (1)(2221121221212121211221212112推论：且aaaaaaaaaa2.4差分算子与滞后算子差分：时间序列变量的本期值与其滞后值相减的运算叫差分。一阶差分可表示为： xt -xt-1=xt= (1-L)xt=xt-Lxt 其中 称为一阶差分算子。L 称为滞后算子，其定义是Lnxt=xt-n2.5白噪声和随机游走过程白噪声（white noise）过程：对于随机过程 x (t)，tT ，如果E( x (t) =

7、0，Var ( x (t) =2 ，tT； Cov (x (t), x (t + k) = 0，(t + k ) T，k 0，则称x (t)为白噪声过程。白噪声是平稳的随机过程，因其均值为零，方差不变，随机变量之间非相关。显然上述白噪声是二阶宽平稳随机过程。如果x(t)同时还服从正态分布，则它就是一个强平稳的随机过程。白噪声源于物理学与电学，原指音频和电信号在一定频带中的一种强度不变的干扰声。2.5白噪声-3-2-1012320406080100120140160180200white noise图1 由白噪声过程产生的时间序列 2.5白噪声-4-202420406080100 120 140 160 180 200DJPY图2 日元对美元汇率的收益率序列 2.5随机游走（random walk）过程随机游走过程：对于下面的表达式 xt = xt-1 + ut 如果ut为白噪声过程，则称xt为随机游走过程“随机游走”一词首次出现于1905年自然杂志的一篇通信中。该信件的题目是“随机游走问题”。文中讨论寻找一个被放在野地中央的醉汉的最佳策略是从投放点开始搜索。2.5随机游走（random walk）过程-25-20-15-10-50520406080100120140160180200random walk图3 由随机游走过程产生时间序列 2.5随机游走（random w