数学轴向拉伸与压缩学习教案

1、数学数学(shxu)轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩第一页，共63页。实例实例(shl)分析：分析：连接连接(linji)的螺钉的螺钉桁架桁架(hngji)2-1轴向拉伸与压缩的概念及实例轴向拉伸与压缩的概念及实例第1页/共63页第二页，共63页。第2页/共63页第三页，共63页。1. 受力特点：作用于杆受力特点：作用于杆件两端的外力大小相等，件两端的外力大小相等，方向相反，与杆件轴线方向相反，与杆件轴线(zhu xin)重合。重合。巷道巷道(hng do)支护的立柱：支护的立柱：2. 变形特点：杆件变形变形特点：杆件变形是沿轴线是沿轴线(zhu xin)的的方向伸长或缩短。方向伸长或缩短。计算简

2、图计算简图：第3页/共63页第四页，共63页。计算计算(j sun)简图：简图：1. 力学性能力学性能；2. 强度强度(qingd)问题；问题；本章本章(bn zhn)目的：目的：杆件在荷载作用下：3. 刚度问题。刚度问题。第4页/共63页第五页，共63页。2-2 内力内力(nil)截面法截面法轴力及轴力图轴力及轴力图1.内力内力: 由于由于(yuy)构件变形，其内部各部分材构件变形，其内部各部分材料之间因相对位置发生改变，从而引起相邻部分料之间因相对位置发生改变，从而引起相邻部分材料相互作用力，称为内力。材料相互作用力，称为内力。 为什么要研究为什么要研究(ynji)内力内力?第5页/共63

3、页第六页，共63页。1.内力内力: 由于构件变形，其内部由于构件变形，其内部(nib)各部分材料之间因各部分材料之间因相对位置发生改变，从而引起相邻部分材料相互作用力，相对位置发生改变，从而引起相邻部分材料相互作用力，称为内力。称为内力。 为什么要研究为什么要研究(ynji)内力内力?2-2 内力内力(nil)截面法截面法轴力及轴力图轴力及轴力图第6页/共63页第七页，共63页。2.2.杆件的内力杆件的内力(nil)(nil)截面法截面法例：例：P1=10kNP2=5kN2m2mACB解：解：1)求支反力求支反力P1=10kNP2=5kNVAHAVBX=0 HA=-5kN （ ）MA=0 VB

4、=5kN （ ）Y=0 VA=5kN （ ）C截面截面(jimin)左边内力左边内力5kN5kNACMFNFSM:弯矩弯矩FN:轴力轴力FS:剪力剪力计算计算(j sun)内力的方法内力的方法:截面法截面法(截、取、截、取、代、平代、平)FN=5kNFS=5kNM=10kNm第7页/共63页第八页，共63页。0 X0F-PN0PFN3. 3. 轴力及其正负号规定轴力及其正负号规定(gudng)(gudng) 轴力计算轴力计算(j sun)(j sun)：说明：轴力的符号是由杆件的变形决定，而不是说明：轴力的符号是由杆件的变形决定，而不是(b shi)由坐标方向决定。由坐标方向决定。轴力的符号规

5、定轴力的符号规定 FN：(+)(-)FNFN第8页/共63页第九页，共63页。说明说明(shumng)：力（力偶）的可移性在材料力学中不能用。：力（力偶）的可移性在材料力学中不能用。第9页/共63页第十页，共63页。 轴力图轴力图(lt): (lt): 例例用折线用折线(zhxin)表示轴力沿轴线变化的情况。表示轴力沿轴线变化的情况。水平轴：杆轴线，表示截面的位置；水平轴：杆轴线，表示截面的位置；纵轴：表示轴力的大小。纵轴：表示轴力的大小。FN |FN|max=100kN+- -150kN100kN50kNFNII= - -100kN100kNIIIIFNIIIIIIII50kN100kNFN

6、I=50kNIFNII50kNFNI50kN=0 - - FNII - -100kN =0第10页/共63页第十一页，共63页。第11页/共63页第十二页，共63页。CABD600300500400E40KN55KN25KN20KNCABDE40KN55KN25KNR20KN20KN-25KN+55KN-40KN-R=0R=10KN第12页/共63页第十三页，共63页。 R40KNFN2CABDE40KN55KN25KNR2040RFN 2 - - -)(5040R+ + + + + FN220KN)(20KN+ + FN4FN420KN410KN50KN-5KN20KNFN图图+第13页/共

7、63页第十四页，共63页。5kNFN2kN1kN1kN+- - 20 10 302kN4kN6kN3kN113322做轴力图做轴力图(lt)第14页/共63页第十五页，共63页。应力应力(yngl)单位面积上的内单位面积上的内力，表示横截面上某点的内力分力，表示横截面上某点的内力分布集度。布集度。问题的提出：轴力问题的提出：轴力FN是横截面上分布内力的合是横截面上分布内力的合力，并不能说明横截面上各点的受力程度，判力，并不能说明横截面上各点的受力程度，判断杆件是否有足够的强度，因此必须用横截面断杆件是否有足够的强度，因此必须用横截面上的应力上的应力(yngl)来度量杆件的受力程度。来度量杆件的

8、受力程度。dAdPAPlimplimp0Am0A 2-3应力应力(yngl)轴向拉（压）杆内的应力轴向拉（压）杆内的应力(yngl)1.应力的概念应力的概念第15页/共63页第十六页，共63页。全应力(yngl)可以分解成正应力(yngl)和切应力(yngl): 应力(yngl)的国际单位：N/m21N/m2 =1Pa（帕斯卡）1GPa=109Pa，1MPa=106 N/m2=106Pa 垂直于截面的分量称为垂直于截面的分量称为正应力正应力 切于截面的分量称为切于截面的分量称为切应力切应力第16页/共63页第十七页，共63页。1）平面假设）平面假设-变形变形(bin xng)几何关系几何关系平

9、面假设平面假设(jish)：变形前后横截面保持为平面，而且：变形前后横截面保持为平面，而且仍垂直于杆轴线。仍垂直于杆轴线。实验实验(shyn)结果：变形后，外表面垂线保持为直线结果：变形后，外表面垂线保持为直线横截面上各横截面上各点应力相等点应力相等横截面上各点纵横截面上各点纵向变形相等向变形相等2.拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上的应力FN第17页/共63页第十八页，共63页。2）由静力平衡条件确定）由静力平衡条件确定(qudng)的大小的大小N NF FA APA 式中：式中：横截面上的正应力横截面上的正应力(yngl) FN 横截面上的轴力横截面上的轴力 A横截面面积横截面面积正应力正

10、应力(yngl)的正负号规定为：的正负号规定为：拉应力拉应力(yngl)为正，压应力为正，压应力(yngl)为负。为负。应力的应力的国际单位国际单位为：为：N/m21N/m2 =1Pa（帕斯卡），（帕斯卡），1GPa=1GN/m2=109Pa，1MPa=106 N/m2=106PaFN第18页/共63页第十九页，共63页。圣维南原理：作用在结构某一位置上的不同圣维南原理：作用在结构某一位置上的不同(b tn)载荷，如果在静力学意义上是等效的，则在远载荷，如果在静力学意义上是等效的，则在远离该位置处的应力差异甚微。（距离约等于横截面离该位置处的应力差异甚微。（距离约等于横截面尺寸尺寸1-1.5）

11、FN第19页/共63页第二十页，共63页。例例 图示为一悬臂吊车，图示为一悬臂吊车， BC为为实心实心(shxn)圆管，横截面积圆管，横截面积A1 = 100mm2， AB为矩形截面，横截面积为矩形截面，横截面积A2 = 200mm2，假设起吊物重为，假设起吊物重为Q = 10KN，求各杆的应力。，求各杆的应力。30ABC首先计算首先计算(j sun)各杆的内力：各杆的内力：需要需要(xyo)分析分析B点的点的受力受力QF1F2xy0X030cos21-FF0Y0Q60cosF1-KN20Q2F1KNFF32.1732112-第20页/共63页第二十一页，共63页。KN20Q2F1KNFF32

12、.1732112-BC杆的受力为拉力杆的受力为拉力(ll)，大小等于，大小等于F1AB杆的受力为压力，大杆的受力为压力，大小小(dxio)等于等于F2由作用力和反作用力可知由作用力和反作用力可知(k zh)：最后可以计算的应力：最后可以计算的应力：BC杆：杆：MPa200mm100KN20AFAN211111AB杆：杆：MPammKNAFAN6 .8620032.17222222-QF1F2xy第21页/共63页第二十二页，共63页。例例 杆系结构杆系结构(jigu)如图，已知杆如图，已知杆AB、AC材料相材料相同，横截面积分别为同，横截面积分别为A1=706.9mm2，A2=314mm2，设

13、设P97kN，试求各杆应力。，试求各杆应力。 解：由平衡条件计算解：由平衡条件计算(j sun)实际轴力实际轴力: 30sin45sin12NNPNN+45cos30cos21PPN732. 03121+PPN518. 03122+11621N0.73297kN100MPaA706.910m - - 22622N0.51897kN160MPaA31410m - - 第22页/共63页第二十三页，共63页。第23页/共63页第二十四页，共63页。3. 轴向拉（压）杆斜截面轴向拉（压）杆斜截面(jimin)上的应力上的应力为什么要研究斜截面为什么要研究斜截面(jimin)(jimin)上的应力上的

14、应力? ?第24页/共63页第二十五页，共63页。 PPPP kk截面截面(jimin)上的内力仍为上的内力仍为 横截面面积横截面面积(min j)(min j)为为A A，则斜截面面积则斜截面面积(min (min j)Aj)A为：为： A AA Acos P Pp pA A P Pp pA A0coscos 将全应力将全应力(yngl)(yngl)分解成正分解成正应力应力(yngl)(yngl)和切应力和切应力(yngl)(yngl)p p20coscos p p0sinsin22 第25页/共63页第二十六页，共63页。讨论讨论(toln)(toln)： 1）当）当 0o时，横截面，时，

15、横截面，max0 02）当）当45o时，斜截面时，斜截面(jimin)， 3）当）当90o时，纵向时，纵向(zn xin)截面，截面，02 0max2 00结论：对于轴向拉（压）杆，最结论：对于轴向拉（压）杆，最大正应力，发生在横截面上；最大正应力，发生在横截面上；最大切应力，发生在大切应力，发生在45角的斜截角的斜截面上。面上。p p20coscos p p0sinsin22 第26页/共63页第二十七页，共63页。xum平均线应变平均线应变(yngbin) :dxduxulimx 0M点沿点沿x方向方向(fngxing)的线应变：的线应变：(表示线段表示线段(xindun)MN每单位长度的

16、平均伸长或每单位长度的平均伸长或缩短缩短) 应变的概念应变的概念 MNLDx ux + +2-4 轴向拉（压）杆变形轴向拉（压）杆变形虎克定理虎克定理第27页/共63页第二十八页，共63页。1沿杆件轴线的纵向沿杆件轴线的纵向(zn xin)变形变形lll1- - 一点一点(y din)纵向线应变为杆件的伸长除以原长。即纵向线应变为杆件的伸长除以原长。即ll应变应变无量纲。无量纲。拉为正，压为负。拉为正，压为负。注：注：第28页/共63页第二十九页，共63页。2虎克定理虎克定理(dngl)生产实践表明，一般工程材料，在弹性范围内有：应力与生产实践表明，一般工程材料，在弹性范围内有：应力与应变成正

17、比，此定理称为应变成正比，此定理称为(chn wi)虎克定律。虎克定律。E正应力，正应力，线应变线应变(yngbin)，E弹性模弹性模量。量。 E是材料是材料弹性模量弹性模量,与材料有关的常数，可与材料有关的常数，可由实验测出。单位与应力由实验测出。单位与应力相同。相同。 NFlEAl NF llEA EA：称为称为抗拉（压）刚度抗拉（压）刚度， EA越大，则变形越小。越大，则变形越小。 -虎克定律虎克定律第29页/共63页第三十页，共63页。3、横向、横向(hn xin)变形变形 4、泊松比（横向、泊松比（横向(hn xin)变形变形系）系）bbb-1横向横向(hn xin)线应变：线应变：

18、bb - -不同材料的弹性模量和泊松比见表不同材料的弹性模量和泊松比见表2-1(P19)第30页/共63页第三十一页，共63页。例例 变截面变截面(jimin)杆，杆，A1=2cm2，A2=4cm2，P1=5kN，P2=10kN。求。求AB杆 的 变 形 杆 的 变 形 l A B 。 （ 材 料 的。 （ 材 料 的E=120103MPa）请先感觉请先感觉(gnju)一下杆是伸长还是缩短？一下杆是伸长还是缩短？ 第31页/共63页第三十二页，共63页。解：首先分别解：首先分别(fnbi)求得求得BD、DC、CA三段的轴力三段的轴力 ， ， 为为1N2N3NkN5N1- - kN5N2- -

19、kN5N3 449311111005. 1102101205 . 0105-EAlNllBD449322221052. 0104101205 . 0105-EAlNllDC（m）（m）449333331052. 0104101205 . 0105-EAlNllCA43211005. 1-+llllAB（m）（m）负号说明负号说明(shumng)此杆缩短此杆缩短 P1=5kN，P2=10kN第32页/共63页第三十三页，共63页。例例 图所示杆系结构，图所示杆系结构，已知已知BCBC杆圆截面杆圆截面d=20mmd=20mm，CB=1.2mCB=1.2m，CD=1.6mCD=1.6m。BDBD杆为

20、杆为8 8号号槽钢槽钢(co n)(co n)，E=200GPaE=200GPa，P=60kNP=60kN。求求B B点的位移。点的位移。 拉力拉力kN4543PN1 压力压力kN754PN 52m1086. 0EAlNl31111- - m10732. 0EAlNl32222- - P345BCDN2N1第33页/共63页第三十四页，共63页。m1078. 1)()(3212313-+BBBBBB4354422344131+BBBBBBBBBBm1056. 143)53(543122-+lllP345BCDBB1B2B4B3m1086. 0EAlNl31111- - m10732. 0EAl

21、Nl32222- - 第34页/共63页第三十五页，共63页。原始尺寸原始尺寸(ch cun)原理原理N1N 2PFF2cos 12Plll2EAcos 第35页/共63页第三十六页，共63页。12Plll2EAcos 1AlAAcos 2Pl0.001293m2EAcos 第36页/共63页第三十七页，共63页。Aoom0T sin600.81.2P1.6T sin600 -+-+ kN55.113/PTMPa1511036.7655.119AT例例 截面积为截面积为 76.36mm 76.36mm 的钢索的钢索(n su)(n su)绕过无摩擦的定滑绕过无摩擦的定滑轮轮,P=20kN,P=

22、20kN，求刚索的应力和，求刚索的应力和 C C点的垂直位移。点的垂直位移。 （刚索的（刚索的 E =177GPa E =177GPa，设横梁，设横梁ABCDABCD为刚梁）为刚梁）解解 1 1）求钢索内力）求钢索内力(nil)(nil)（ABCDABCD为为对象）对象）2) 2) 钢索的应力和伸长钢索的应力和伸长(shn chn)(shn chn)分别为分别为800400400DCPAB6060PABCDTTYAXA第37页/共63页第三十八页，共63页。mm36. 1m17736.766 . 155.11EATLLCPAB6060800400400DAB6060DBD12CC3 3）变形）

23、变形(bin xng)(bin xng)图如左图如左 C C点的垂直位移为：点的垂直位移为： C12BBDD2sin60sin602 + + + + mm79. 060sin236. 160sin2oL第38页/共63页第三十九页，共63页。25 杆件的应变杆件的应变(yngbin)能计算能计算二、变力做功二、变力做功贮能贮能 外力缓慢做功外力缓慢做功W ，无损失地转化为应，无损失地转化为应变变(yngbin)能能V，贮存于弹性体内部：，贮存于弹性体内部： W = V大前提：大前提：1、小变形；、小变形； 2、服从胡克定律、服从胡克定律 线弹性体的响应（内力、应力线弹性体的响应（内力、应力(y

24、ngl)和变形）为外载和变形）为外载的线性函数的线性函数 小前提：小前提：缓慢加载缓慢加载 变力做功，功只转成应变能（不转变力做功，功只转成应变能（不转成动能、热能）成动能、热能）一、条件一、条件第39页/共63页第四十页，共63页。1WF l2 F 广义力（力，力偶）广义力（力，力偶） 广义位移（线，角位移）广义位移（线，角位移）l l0l02WFdk d11k lF l22 1VWF l2 N1VFl2 NF llEA 22NF lF lV2EA2EA 应变能密度：单位体积应变能密度：单位体积(tj)内所积蓄的应变能。内所积蓄的应变能。12VF l1vVAl2 212 E 21E2 能量能

25、量(nngling)法法第40页/共63页第四十一页，共63页。 22N12FlP lV22EA2cosEA 64.67J A1VWP2 3A2V1.293 10mP - -第41页/共63页第四十二页，共63页。Aoom0T sin600.81.2P1.6T sin600 -+-+ kN55.113/PT例例 截面积为截面积为 76.36mm 76.36mm 的钢索绕过无摩擦的钢索绕过无摩擦(mc)(mc)的定滑的定滑轮轮,P=20kN,P=20kN，求刚索的应力和，求刚索的应力和 C C点的垂直位移。点的垂直位移。 （刚索的（刚索的 E =177GPa E =177GPa，设横梁，设横梁A

26、BCDABCD为刚梁）为刚梁）解解 1 1）求钢索）求钢索(n su)(n su)内力（内力（ABCDABCD为对象）为对象）2) 2) 钢索钢索(n su)(n su)的应变能为的应变能为800400400DCPAB6060PABCDTTYAXA2T lV2EA 239611.55 101.62 177 1076.36 10- - C1VWP2 C0.79mm 第42页/共63页第四十三页，共63页。第43页/共63页第四十四页，共63页。 材料(cilio)的力学性质：反映材料(cilio)在受力过程中所表现出的与构件（试件）几何尺寸无关的特性。如弹性模量E,极限强度等。 材 料 的 力

27、学 性 质 的 测 定 ： 一 般 用 常 温材 料 的 力 学 性 质 的 测 定 ： 一 般 用 常 温(chngwn)静载试验来测定材料的力学性质。静载试验来测定材料的力学性质。 研究材料的力学性质的目的：研究材料的力学性质的目的：是确定在变形和是确定在变形和破坏情况下的一些指标，以作为选用材料，计破坏情况下的一些指标，以作为选用材料，计算材料强度、刚度的依据算材料强度、刚度的依据。第44页/共63页第四十五页，共63页。拉伸拉伸(l shn)试件和设备试件和设备圆截面试件：标距与直径圆截面试件：标距与直径(zhjng)的比例为的比例为dldl5,10试验设备：一是用来施加载荷试验设备：

28、一是用来施加载荷(zi h)； 二是用来测量变形。二是用来测量变形。1. 低碳钢材料在拉伸、压缩时的力学性质低碳钢材料在拉伸、压缩时的力学性质第45页/共63页第四十六页，共63页。第46页/共63页第四十七页，共63页。低碳钢是指含碳量在低碳钢是指含碳量在0.3%以下以下(yxi)的碳素钢的碳素钢低碳钢拉伸实验低碳钢拉伸实验(shyn)曲线曲线第47页/共63页第四十八页，共63页。低碳钢拉伸实验低碳钢拉伸实验(shyn)曲线曲线OP LPePpPsPb线弹性阶段线弹性阶段屈服阶段屈服阶段强化阶段强化阶段颈缩阶段颈缩阶段屈服屈服(qf)极限：极限：0APss 0APbb 强度极限强度极限：冷

29、作硬化冷作硬化%100001 - - LLL 延伸率延伸率：%100010 - - AAA 断面断面(dun min)收缩率：收缩率：弹性极限和比例极限弹性极限和比例极限PP, Pe卸载与冷作硬化：卸载与冷作硬化：=2030% =60%第48页/共63页第四十九页，共63页。 E=tg O1O2f1(f)低碳钢拉伸低碳钢拉伸应力应变曲线应力应变曲线D( s)( e) BA( p)E( b) g (MPa)200400 0.10.2O低碳钢拉伸应力低碳钢拉伸应力(yngl)应变实验曲线应变实验曲线第49页/共63页第五十页，共63页。 E=tg D( s)( e) BA( p)E( b) g E

30、y= tg (MPa)200400 0.10.2O低碳钢压缩低碳钢压缩应力应变曲线应力应变曲线低碳钢压缩应力低碳钢压缩应力(yngl)应变实验曲线应变实验曲线第50页/共63页第五十一页，共63页。2. 铸铁拉伸压缩应力铸铁拉伸压缩应力(yngl)应变实验曲线应变实验曲线第51页/共63页第五十二页，共63页。 O bL灰铸铁的灰铸铁的拉伸曲线拉伸曲线 by灰铸铁的灰铸铁的压缩曲线压缩曲线 = 45o55o切应力引起断裂切应力引起断裂拉压53第52页/共63页第五十三页，共63页。塑性材料和脆性塑性材料和脆性(cuxng)材料力学性能比较材料力学性能比较塑性材料塑性材料脆性脆性(cuxng)材

31、料材料断裂断裂(dun li)前有很大塑性前有很大塑性变形变形断裂前变形很小断裂前变形很小抗压能力与抗拉能力相近抗压能力与抗拉能力相近抗压能力远大于抗拉能力抗压能力远大于抗拉能力延伸率延伸率 5%延伸率延伸率 5%第53页/共63页第五十四页，共63页。2-7强度条件强度条件(tiojin)安全因数安全因数许用应力许用应力失效失效由于各种原因使构件丧失其正常工作由于各种原因使构件丧失其正常工作(gngzu)能力的现能力的现象。象。 un 许用应力许用应力(yngl)：是材料的极限应力，由试验测定。是材料的极限应力，由试验测定。u 塑性材料：塑性材料： sns脆性材料：脆性材料： bnbbsn,

32、n分别为分别为塑性材料塑性材料和和脆性材料脆性材料的安全系数。的安全系数。sn1.5 2 bn2 3 N NF FA Amaxmax 强度条件强度条件:（1）塑性屈服塑性屈服：指材料失效时产生明显的塑性变形，并伴有屈：指材料失效时产生明显的塑性变形，并伴有屈服现象。服现象。（2）脆性断裂脆性断裂：材料失效时未产生明显的塑性变形而突然断裂。：材料失效时未产生明显的塑性变形而突然断裂。第54页/共63页第五十五页，共63页。 安全系数的选取原则充分体现了工程上处理安全与经济一对安全系数的选取原则充分体现了工程上处理安全与经济一对矛盾的原则。现从力学角度矛盾的原则。现从力学角度(jiod)讨论其影响

33、因素：讨论其影响因素： （1）对载荷估计的准确性与把握性：如重力、压力容器的压力等可准确估计与测量，大自然的水力(shul)、风力、地震力等则较难估计。 （2）材料的均匀性与力学性能指标的稳定性：如低碳钢之类塑性材料组织较均匀，强度指标较稳定，塑性变形阶段可作为断裂破坏前的缓冲，而铸铁之类脆性材料正相反，强度指标分散度大、应力集中、微细观缺陷对强度均造成极大影响。 （3）计算公式的近似性：由于应力、应变等理论计算公式建立）计算公式的近似性：由于应力、应变等理论计算公式建立在材料在材料(cilio)均匀连续，各向同性假设基础上，拉压应力，变均匀连续，各向同性假设基础上，拉压应力，变形公式要求载荷通过等直杆的轴线等，所以材料形公式要求载荷通过等直杆的轴线等，所以材料(cilio)不均匀不均匀性，加载的偏心，杆件的初曲率都会造成理论计算的不精确。性，加载的偏心，杆件的初曲率都会造成理论计算的不精确。 （4）环境：工程构件的工作环境比实验室要复杂的多，如加工）环境：工程构件的工作环境比实验室要复杂的多，如加工精度，腐蚀介质，高、低温等问题均应予以考虑。精度，腐蚀介质，高、低温等问题均应予