高等机构学 02 基于螺旋理论的自由度分析 (1)

1、高等机构学高等机构学YSU陈子明陈子明燕山大学机械工程学院燕山大学机械工程学院20152015年年1111月月n 螺旋理论基础螺旋理论基础n 基于螺旋理论的自由度分析原理基于螺旋理论的自由度分析原理n 空间机构的位置分析空间机构的位置分析n 运动影响系数原理运动影响系数原理n 空间机构动力学空间机构动力学n 基于约束螺旋理论的并联机构型综合基于约束螺旋理论的并联机构型综合n 空间机构的奇异分析空间机构的奇异分析本门课程的主要本门课程的主要学习内容学习内容机构的自由度机构的自由度n 确定机构或运动链位型所需的独立参数的数目确定机构或运动链位型所需的独立参数的数目IFToMM 定义定义n IFTo

2、MM定义中强调的是数目。但仅仅确定自由度数目定义中强调的是数目。但仅仅确定自由度数目是远远不能全面描述此类新机构的特点的，尤其是对于是远远不能全面描述此类新机构的特点的，尤其是对于并联机构，研究其末端执行器的运动性质尤为重要。并联机构，研究其末端执行器的运动性质尤为重要。机构的自由度机构的自由度n 机构或运动链在三维空间所具有的稳定的独立运动的能力机构或运动链在三维空间所具有的稳定的独立运动的能力机构的自由度机构的自由度 这个能力的大小以确定机构或运动链位型所需要的这个能力的大小以确定机构或运动链位型所需要的独立参数的数目表示；独立参数的数目表示； 这个能力的性质以机构杆件所具有的移动自由度和

3、这个能力的性质以机构杆件所具有的移动自由度和转动自由度来表示；转动自由度来表示； 这个自由度能力表现在时空上应该具有连续不变性这个自由度能力表现在时空上应该具有连续不变性，它应该是全周的。，它应该是全周的。机构的自由度机构的自由度n 平面机构自由度公式平面机构自由度公式1223ppNMn 空间机构自由度公式空间机构自由度公式1234523456pppppNMM 机构的自由度机构的自由度N 表示机构中除去机架总的活动构件的数目表示机构中除去机架总的活动构件的数目pi 表示机构具有表示机构具有i 个约束的运动副的数目个约束的运动副的数目自由度公式自由度公式G-K公式公式d 机构的机构的阶，平面机构

4、的阶是阶，平面机构的阶是3，空间机构的阶为，空间机构的阶为6n 表示机构中表示机构中包括包括机架总的活动构件的数目机架总的活动构件的数目g 运动副的数目运动副的数目fi 第第i个运动副的自由度数目个运动副的自由度数目giifgndM11G-K公式公式3-RPS 3-RPS 并联机构并联机构4-URU 4-URU 并联机构并联机构11=6(89 1)153giiMd ngf11=6(89 1) 120giiMd ngf 3-RRC 3-RRC 并联机构并联机构11=6(10 12 1)202giiMd ngf错误错误错误错误过约束（冗余约束）过约束（冗余约束）n 若某机械系统对同一构件提供了两个

5、以上约束性质相同若某机械系统对同一构件提供了两个以上约束性质相同的约束，就称构件受到了过度的约束，简称的约束，就称构件受到了过度的约束，简称“过约束过约束”n 当约束以反螺旋表示时，数学上当当约束以反螺旋表示时，数学上当“两个以上的约束反两个以上的约束反螺旋螺旋”线性相关时，线性相关时，则存在则存在过约束。过约束。n 例如：门上的两个共线的合页例如：门上的两个共线的合页由于没有考虑机构中可能存在的过约束（冗余约束），由于没有考虑机构中可能存在的过约束（冗余约束），G-K公式对于一些机构无法得到正确的结果公式对于一些机构无法得到正确的结果修正的修正的G-K公式公式d 机构的机构的阶，平面机构的阶

6、是阶，平面机构的阶是3，空间机构的阶为，空间机构的阶为6n 表示机构中表示机构中包括包括机架总的活动构件的数目机架总的活动构件的数目g 运动副的数目运动副的数目fi 第第i个运动副的自由度数目个运动副的自由度数目v机构的过约束机构的过约束11giiMd ngfv161giiMngfvn 所有的机构都可看作空间机构，有如下通用公式所有的机构都可看作空间机构，有如下通用公式运动副的螺旋表达运动副的螺旋表达运动副运动副图示图示活动度活动度螺旋表示螺旋表示转动副转动副 (R) 1移动移动副副 (P) 1螺旋副螺旋副 (H)1圆柱副圆柱副 (C) 2万向万向铰铰 (U)2平面副平面副 (E)3球面副球面

7、副 (S)3000; 001R1$001; 000P1$00; 0011H1h$000; 0011C$001; 0002C$000; 001U1$000; 010U2$001; 000E1$010; 000E2$E300 1;000$000; 001S1$000; 010S2$000; 100S3$运动副的约束螺旋特点运动副的约束螺旋特点转动副的约束螺旋转动副的约束螺旋n 约束力：必须与转动副轴线共面（因此，若分支中含有约束力：必须与转动副轴线共面（因此，若分支中含有球副，则分支约束力必过球副中心点）球副，则分支约束力必过球副中心点）n 约束力偶：必须与转动副轴线相互垂直（因此，若分支约束力偶

8、：必须与转动副轴线相互垂直（因此，若分支中含有球副，则不存在约束力偶）中含有球副，则不存在约束力偶）n 约束力：必须与移动副轴线相互垂直约束力：必须与移动副轴线相互垂直n 约束力偶：与移动副无任何几何条件限制约束力偶：与移动副无任何几何条件限制移动副的约束螺旋移动副的约束螺旋3-RPS机构自由度计算机构自由度计算3-RPS机构自由度计算机构自由度计算12345100;000000;0e100;0010;00001;00$f$fe$f$en 分支的运动螺旋系：分支的运动螺旋系：100;0r$fen 约束螺旋系为：约束螺旋系为：n 3 3个相同分支有个相同分支有3 3个类似的约束个类似的约束力，都

9、过各自分支球副中心并力，都过各自分支球副中心并与第一个转动副平行。与第一个转动副平行。n 3 3个约束力线性无关，约束了平个约束力线性无关，约束了平台的台的3 3个自由度，被约束的运动个自由度，被约束的运动包括动平台内的两个移动和绕包括动平台内的两个移动和绕动平台法线的转动。动平台法线的转动。1616 89 11503giiMngfv按照修正的按照修正的G-KG-K公式计算：公式计算：3-RPS机构自由度计算机构自由度计算n 自由度的全周性判别自由度的全周性判别 前面分析得到的自由度性质前面分析得到的自由度性质只是机构初始位型的自由度特性，只是机构初始位型的自由度特性，必须分析一下当机构发生运

10、动后，必须分析一下当机构发生运动后，其自由度性质是否改变。其自由度性质是否改变。 主要是看分支运动螺旋系是主要是看分支运动螺旋系是否改变。如果分支运动螺旋系具否改变。如果分支运动螺旋系具有一般性，或者机构运动后还能有一般性，或者机构运动后还能保证几何条件不变，则说明机构保证几何条件不变，则说明机构的自由度性质具有全周性。的自由度性质具有全周性。3-RPS机构自由度计算机构自由度计算4-URU机构自由度计算机构自由度计算1233344455001000100;000100;0100;0001;00efefd$1000;010r$是沿分支坐标系是沿分支坐标系 y 轴方向的约束力偶。轴方向的约束力偶

11、。n URUURU分支的运动螺旋系：分支的运动螺旋系：n 分支约束螺旋系为：分支约束螺旋系为：4-URU机构自由度计算机构自由度计算n 由于机构为对称并联机构，其余三个分支也包含有相同由于机构为对称并联机构，其余三个分支也包含有相同的约束力偶。所有的约束力偶都平行于定平台，其中只的约束力偶。所有的约束力偶都平行于定平台，其中只有两个独立的约束，有两个独立的约束，存在两个过约束存在两个过约束。其自由度数可由其自由度数可由修正的修正的G-KG-K公式计算得到公式计算得到116 10 12 12024giiMd ngfvn 在两个约束力偶的作用下，动平台失去了两个转动自由在两个约束力偶的作用下，动平

12、台失去了两个转动自由度，其自由度性质为三移一转。度，其自由度性质为三移一转。n 当动平台发生任意移动或绕定平台法线方向的转动后，当动平台发生任意移动或绕定平台法线方向的转动后，两个平台的平行关系不会改变，分支中的两个平台的平行关系不会改变，分支中的U U副平面始终副平面始终垂直于定平台，分支约束力偶始终平行于定平台。其自垂直于定平台，分支约束力偶始终平行于定平台。其自由度性质不会改变。由度性质不会改变。机构的阶和公共约束机构的阶和公共约束机构的阶：机构的阶： 机构机构运动螺旋系的阶指的是机构所有构件允许的运动运动螺旋系的阶指的是机构所有构件允许的运动维数，维数，一般情况下平面机构的阶为一般情况

13、下平面机构的阶为3 3，空间机构的阶为，空间机构的阶为6 6机构的阶机构的阶 = 6 - = 6 - 公共约束数公共约束数机构的公共约束：机构的公共约束： 与机构中的每个运动螺旋都相逆的约束螺旋称为机构的公与机构中的每个运动螺旋都相逆的约束螺旋称为机构的公共约束（共约束（整个机构的运动螺旋系的反螺旋整个机构的运动螺旋系的反螺旋）。存在公共约束则存在公共约束则意味着机构中任何一个构件都不能发生这个运动。意味着机构中任何一个构件都不能发生这个运动。并联机构的公共约束：并联机构的公共约束：各分支都能提供同样的约束（约束力共轴，约束力偶同向）。各分支都能提供同样的约束（约束力共轴，约束力偶同向）。3-

14、RRC机构自由度计算机构自由度计算12223334100;000100;0100;0000;100efef$12000;010000;001rr$n RRCRRC分支的运动螺旋系：分支的运动螺旋系：n 分支约束螺旋系为：分支约束螺旋系为：若考虑公共约束若考虑公共约束n 根据机构三个分支的对称性，可知三个分支的约束螺旋根据机构三个分支的对称性，可知三个分支的约束螺旋系均为分别沿系均为分别沿 y 和和 z 轴方向的两个约束力偶。轴方向的两个约束力偶。12000;010000;001riri$(1,2,3)i 3-RRC机构自由度计算机构自由度计算n 可以看出三个分支有相同可以看出三个分支有相同(

15、(竖直方向竖直方向) )的力偶分量，即机的力偶分量，即机构构存在一个公共约束存在一个公共约束。共面不汇交的三个约束力偶中又。共面不汇交的三个约束力偶中又存在存在一个并联冗余约束一个并联冗余约束。115 89 112 13giiMd ngfv 若不考虑公共约束若不考虑公共约束3-RRC机构自由度计算机构自由度计算n 不考虑公共约束的话，机构的阶仍然取不考虑公共约束的话，机构的阶仍然取6 6。n 三个分支一共对动平台施加了六个约束力偶。三维空间三个分支一共对动平台施加了六个约束力偶。三维空间偶量的最大线性无关数为偶量的最大线性无关数为3 3，所以独立的约束只有，所以独立的约束只有3 3个。个。存在

16、存在3 3个冗余约束。个冗余约束。1616 89 11233giiMngfv3-UPU机构自由度计算机构自由度计算1233344455100;000010;000000;0010;0100;00dfdfe$1000;001r$n UPUUPU分支的运动螺旋系：分支的运动螺旋系：n 分支约束螺旋系为：分支约束螺旋系为：3-UPU机构自由度计算机构自由度计算116 89 1153giiMd ngfvn 三个分支的三个约束力偶在空间分别垂直各自的三个分支的三个约束力偶在空间分别垂直各自的U U副平副平面，它们相互并不平行，彼此线性无关。面，它们相互并不平行，彼此线性无关。n 由修正的由修正的G-KG

17、-K公式计算可得公式计算可得n 三个约束力偶限制了三个转动三个约束力偶限制了三个转动自由度，上平台只具有三个移自由度，上平台只具有三个移动自由度。动自由度。n 无伦平台如何移动，其分支中的两个无伦平台如何移动，其分支中的两个U U副平面始终平行。副平面始终平行。机构的自由度性质不会改变机构的自由度性质不会改变3-UPU机构自由度计算机构自由度计算总结：总结： 用基于螺旋理论的自由度计算方法计算用基于螺旋理论的自由度计算方法计算3-UPU3-UPU并联并联机构的自由度是最能体现这种方法优点的一个例子。机构的自由度是最能体现这种方法优点的一个例子。 由于每个由于每个UPUUPU分支中连接定、动平台

18、的两个转动副分支中连接定、动平台的两个转动副并不相邻，一般情况下两者之间并没有稳定的平行关系并不相邻，一般情况下两者之间并没有稳定的平行关系。但当在机构装配时将其安装到平行位置时，由于机构。但当在机构装配时将其安装到平行位置时，由于机构自由度的限制，其几何关系不会被破坏，这种几何关系自由度的限制，其几何关系不会被破坏，这种几何关系变成稳定的。变成稳定的。 这正是因为基于螺旋理论的自由度分析方法可以对这正是因为基于螺旋理论的自由度分析方法可以对机构任何瞬时的关系进行分析，更容易挖掘出机构在各机构任何瞬时的关系进行分析，更容易挖掘出机构在各种装配构型下的自由度性质。种装配构型下的自由度性质。其他其

19、他3-UPU机构自由度分析机构自由度分析n 同样是同样是3 3个个UPUUPU分支，当机构的分支与平台的布置关系发分支，当机构的分支与平台的布置关系发生改变，则机构的自由度性质将会发生巨大变化。生改变，则机构的自由度性质将会发生巨大变化。3-UPU3-UPU 三转动并联机构三转动并联机构3-UPU3-UPU 瞬时三移两转五瞬时三移两转五自由度并联机构自由度并联机构其他其他3-UPU机构自由度分析机构自由度分析n 看一下看一下 3-UPU 3-UPU 瞬时五自由度并联机构。瞬时五自由度并联机构。n 当当3-UPU 3-UPU 瞬时五自由度并联机构发生瞬时五自由度并联机构发生竖直移动后竖直移动后，

20、自由，自由度性质不变。度性质不变。其他其他3-UPU机构自由度分析机构自由度分析n 当当3-UPU 3-UPU 瞬时五自由度并联机构发生瞬时五自由度并联机构发生水平移动水平移动后后n 则变为则变为三维移动并联机构三维移动并联机构。其他其他3-UPU机构自由度分析机构自由度分析n 当当3-UPU 3-UPU 瞬时五自由度并联机构发生瞬时五自由度并联机构发生转动转动后后n 则变为则变为两转一移并联机构两转一移并联机构。其他其他3-UPU机构自由度分析机构自由度分析n 当当3-UPU 3-UPU 瞬时五自由度并联机构的自由度变化情况瞬时五自由度并联机构的自由度变化情况Carricato机构机构自由度

21、计算自由度计算有有4个分支个分支：（1）3个相同的个相同的4自由度自由度PRPR运动链；运动链；（2）一个布置在机构中央的双）一个布置在机构中央的双Candan铰链的铰链的5副副RUPUR 运动链；运动链；（3）机器人手是直接联接在）机器人手是直接联接在RUPUR分分支的末端；支的末端；Carricato机构机构自由度计算自由度计算111222133314000;100100;0000;0100;000efef$1112000;010000;001rr$n PRPRPRPR分支的运动螺旋系：分支的运动螺旋系：n 分支约束螺旋系为：分支约束螺旋系为：Carricato机构机构自由度计算自由度计算

22、n 中间中间RUPURRUPUR分支的分支的5 5个运动副所决定的个运动副所决定的7 7个螺旋是线性相关的，秩为个螺旋是线性相关的，秩为6 6，此分支，此分支对动平台不产生任何约束作用。对动平台不产生任何约束作用。16(1)giiMngf6 15 17 11934n 作用在动平台上的作用在动平台上的6 6个约束力偶中只个约束力偶中只有有3 3个是独立的，有三个冗余约束。个是独立的，有三个冗余约束。Carricato机构机构自由度计算自由度计算 动平台受到动平台受到3 3个独立的约束力偶的作用，个独立的约束力偶的作用，失去失去3 3个转动自由度，机构动平台只能实现个转动自由度，机构动平台只能实现

23、3 3维移动。维移动。 但是对于整个但是对于整个CarricatoCarricato机构，它的自由机构，它的自由度等于其中的并联机构的自由度和度等于其中的并联机构的自由度和RUPURRUPUR分支分支的自由度之和。的自由度之和。 中间分支的中间分支的“局部自由度局部自由度”却被有效地却被有效地利用来作为机器人夹持器的转动自由度。利用来作为机器人夹持器的转动自由度。Bennett机构自由度计算机构自由度计算 Bennett机构是由轴线相错的四个转动副构成的单机构是由轴线相错的四个转动副构成的单自由度空间机构。自由度空间机构。 满足满足“封闭形对边的长度相等，扭角相等，且对边封闭形对边的长度相等，

24、扭角相等，且对边与扭角的正弦成比例与扭角的正弦成比例”。 Bennett机构自由度计算机构自由度计算 设设AC=2l, BD=2m， AC和和BD的夹角为的夹角为。 E, F为为AC 和和BD的中点且的中点且 EF=n。选取选取E为原点，为原点，x轴沿向量轴沿向量EF， y 轴沿轴沿EA。根据所满足的几何条件，可得点。根据所满足的几何条件，可得点A, B, C, D的坐标为的坐标为(00) (cossin)(00) (cossin)AlB nmmClD nmm, ,.ABCDS = BAAD S = CBBAS = DCCB S= ADDC 另外另外4 个转动副轴线的方向矢量个转动副轴线的方向

25、矢量可以表示为可以表示为(1)(2)Bennett机构自由度计算机构自由度计算 可得可得Bennett 机构的运动螺旋系为机构的运动螺旋系为 从四个螺旋的表达式容易得到从四个螺旋的表达式容易得到 说明这说明这四个螺旋线性相关四个螺旋线性相关。2222222222( sinsincos;sin0sin)(sin0;cossinsincos)(sinsincos;sin0sin)(sin0;cossinsincos)ABCDlnnlnlmnmnmnmlnnlnlmnmnmnm $()()ACBDml $(3)(4) 因为因为空间空间3 3条不相交的直线必定不相关条不相交的直线必定不相关，可知运动螺，可知运动螺旋系最大线性无关数目为旋系最大线性无关数目为3 3。所以机构运动螺旋的反螺旋。所以机构运动螺旋的反螺旋数为数为3 3，即机构的公共约束为，即机构的公共约束为3 3，则机构的阶也为，则机构的阶也为3 3。 由修正的由修正的G-KG-K公式计算可得公式计算可得 此外，注意到不论此外，注意到不论l, ,m, ,n, , 如何变化，式如何变化，式(4)(4)总不变总不变。所以。所以Ben