《保险学》第三章保险的数理基础综述

1、被保险人被保险人或受益人或受益人保险人保险人2()xxn某保险公司过去某保险公司过去10年保额损失率统计表年保额损失率统计表() 若以若以x表示平均保额损失率，表示平均保额损失率，xi(i=1,2,n)表示不同时表示不同时期的保额损失率，期的保额损失率，n表示期限，则：表示期限，则： x x /n 6.1+5.7+5.4+6.4+5.8+6.3+6.0+6.2+5.9+6.2 10 6.0 年度年度19941994199519951996199619971997199819981999199920002000200120012002200220032003保额损失率保额损失率（xi）6.16.

2、15.75.75.45.46.46.45.85.86.36.36.06.06.26.25.95.96.26.2例：例：年度年度保额损失率保额损失率xi离差离差(xix)离差平方离差平方(xix)219946.10.10.0119955.70.30.0919965.40.60.3619976.40.40.1619985.80.20.0419996.30.30.0920006.0 0 020016.20.20.0420025.90.10.0120036.20.20.04 6.00.84均方差计算表均方差计算表 （单位：（单位：）则：则： 0.84 = （）=0.29 10 稳定系数：稳定系数：V=

3、0.29/6=4.833% 该结果为该结果为4.833%，远小于，远小于10，说明保险，说明保险经营稳定性很高。经营稳定性很高。纯费率纯费率6+0.29=6.29 收收支支则：则： 1: nxxnx nlAvl 1: /nx nxx nAvll例：例：若若35岁的岁的972396人，投保人，投保5年期生存保险，保险金额年期生存保险，保险金额100000元。求投保人每人应趸缴纯保险费。元。求投保人每人应趸缴纯保险费。 (1)查查生命表生命表领取保险金的人数领取保险金的人数l40966271人人 (2)按年利率按年利率i=5%，查现值表，查现值表v5为为0.783527135:5100000100

4、000966271 0.783527)/97239677859.17A（元） 1: /nxnxx nAvll收收支支1211:(.) /nxxxnxx nAdvdvdvl则：则：1211:.nxxxx nx nlAdvdvdv 例：若例：若35岁的岁的972396人，投保人，投保5年期死亡保险，保险金额年期死亡保险，保险金额100000元，预定利率为元，预定利率为5。求投保人每人应趸缴纯保险费。求投保人每人应趸缴纯保险费。 代入公式，列表计算：代入公式，列表计算： x (1)dxvx-35+1(2)(3)/l35(4) 1000003510280.9523810.0010068100.6836

5、11130.9070300.0010382103.823712120.8638380.0010767107.673813240.8227030.0011202112.023914490.7835270.0011676116.76合计合计0.0054095540.95(2)(3)(4) (5) 11:211()/(.)/x nx nx nnnx nxxxx nxAAAlvldvdvdvl :100000100000 (0.77859170.0054095)78400.12x nA（元）计算公式：计算公式： 例：若例：若35岁的岁的972396人，投保人，投保5年期两全保险，保险金年期两全保险，保

6、险金额额100000元，预定利率为元，预定利率为5。求投保人每人应趸缴纯保。求投保人每人应趸缴纯保险费。险费。 代入公式计算：代入公式计算： n比例法就是按照营业保费的一定比例作为附加费用。比例法就是按照营业保费的一定比例作为附加费用。n这一比例一般根据以往的业务经营的经验确定。若这一比例一般根据以往的业务经营的经验确定。若以以p表示营业保费，表示营业保费，k表示附加费占营业保费的比表示附加费占营业保费的比例例,P表示纯保费，表示纯保费， 则有：则有： PP + kP PP/(1-k) 若以若以L表示附加保费，则：表示附加保费，则： LkPkP/(1-k) n该方法的特点是附加费用的计算简便，

7、并且与营业保该方法的特点是附加费用的计算简便，并且与营业保费成正比；费成正比；n但确定附加费用不够合理，因为对于保费高的保单但确定附加费用不够合理，因为对于保费高的保单, ,所所收取的附加费可能多于实际经营费用的支出；而对于收取的附加费可能多于实际经营费用的支出；而对于保费低的保单，所收取的附加费甚至可能不足以支付保费低的保单，所收取的附加费甚至可能不足以支付实际经营的费用。实际经营的费用。n我国目前计算营业保费时采用的是比例法。我国目前计算营业保费时采用的是比例法。 例：例：已知某已知某20岁的人投保岁的人投保5年的定期死亡保险，每年年缴年的定期死亡保险，每年年缴纯保费为纯保费为390元元,

8、 附加保费比例为附加保费比例为15%，则用比例法计算营，则用比例法计算营业保费和附加保费为：业保费和附加保费为： PP/(1-k) 390(1-15%) 458.82(元元) L kP 458.8215% 68.82(元）元） 该方法是根据以往的业务资料确定每单位保险金额所必该方法是根据以往的业务资料确定每单位保险金额所必须支出的费用，作为一个固定费用须支出的费用，作为一个固定费用(用常数用常数表示表示)，以作为，以作为附加费。即：附加费。即： PP+ 例：例：已知某已知某30岁的人投保岁的人投保10年的两全保险，每年年缴纯保年的两全保险，每年年缴纯保费为费为400元，每份保单需支出固定费用元

9、，每份保单需支出固定费用45元，则用常数法计元，则用常数法计算营业保费和附加保费：算营业保费和附加保费： PP+ 40045 445(元元) L 45(元元) 该方法是首先根据以往的业务资料确定每单位保险金额该方法是首先根据以往的业务资料确定每单位保险金额所必须支出的费用，作为一个固定费用所必须支出的费用，作为一个固定费用( (用常数用常数表示表示) )；然后确定一定比例的营业保费作为其余部分的附加费。然后确定一定比例的营业保费作为其余部分的附加费。 即：即：P= P+kPP= P+kP P=(P+)/(1-k)P=(P+)/(1-k) 例：例：已知某已知某30岁的人投保岁的人投保10年的两全

10、保险，每年年缴纯保年的两全保险，每年年缴纯保费为费为400元，每份保单需支出固定费用元，每份保单需支出固定费用15元，附加保费比例元，附加保费比例为为8%，则用比例常数法计算营业保费和附加保费为：，则用比例常数法计算营业保费和附加保费为： P(P+)/(1-k) (40015)(1-8%) 451.09(元元) L+kP 15451.098% 1536.09 51.09(元元) 三元素法是将附加费用分解成：新合同费、维持费、三元素法是将附加费用分解成：新合同费、维持费、收费费用三个部分，并且假设：收费费用三个部分，并且假设：v新合同费用，是一次性费用，单位保额费用为新合同费用，是一次性费用，单

11、位保额费用为；v维持费，单位保额每年的费用为维持费，单位保额每年的费用为；v收费费用，每年占营业费用的比例为收费费用，每年占营业费用的比例为。 即：即：P= P+ (+)保额保额+kP 一、保险责任准备金的含义与类型一、保险责任准备金的含义与类型n保险责任准备金保险责任准备金(Reserves)(Reserves)是保险公司按法律规是保险公司按法律规定为在保险合同有效期内履行赔付保险金义务而定为在保险合同有效期内履行赔付保险金义务而将保险费予以提存的各种金额。将保险费予以提存的各种金额。n保险责任准备金，通常分为未到期责任准备金、保险责任准备金，通常分为未到期责任准备金、未决赔款准备金和保险保

12、障基金。未决赔款准备金和保险保障基金。 寿险责任寿险责任 未到期责任准备金未到期责任准备金 准备金准备金 保险保障基金保险保障基金保险责任保险责任准备金准备金 未到期责任准备金未到期责任准备金 非寿险非寿险 未决赔款准备金未决赔款准备金 责任准备金责任准备金 保险保障基金保险保障基金 二、非寿险责任准备金的提存二、非寿险责任准备金的提存（一）未到期责任准备金（一）未到期责任准备金（二）未决赔款准备金（二）未决赔款准备金（三）保险保障基金（三）保险保障基金 未到期责任准备金未到期责任准备金(The Unearned Premium Reserve )是是会计年度决算时对未满期保单的保险费所提存的

13、准备金会计年度决算时对未满期保单的保险费所提存的准备金。由于会计年度与保险年度的不一致性，按照权责发生制由于会计年度与保险年度的不一致性，按照权责发生制的原则，对于未到期的保单，必须提存未到期责任准备的原则，对于未到期的保单，必须提存未到期责任准备金，以作为保险公司履行保险责任的准备。金，以作为保险公司履行保险责任的准备。财产保险一般一年一保，因此，未到期责任准备金，是财产保险一般一年一保，因此，未到期责任准备金，是当年承保业务的保险单中在下一年度有效保单的保险费当年承保业务的保险单中在下一年度有效保单的保险费。 含义：含义： 1.年平均估算法年平均估算法 2.季平均估算法季平均估算法 3.月

14、平均估算法月平均估算法 4.日平均估算法日平均估算法 提存方法：提存方法： 未决赔案是指被保险人已提出索赔，但保险人与索赔人未决赔案是指被保险人已提出索赔，但保险人与索赔人就索赔案件是否属于保险责任范围、保险赔款应为多少等就索赔案件是否属于保险责任范围、保险赔款应为多少等事项尚未达成协议的案件。事项尚未达成协议的案件。 赔偿方法：赔偿方法： (1)(1)逐案估计法逐案估计法 (2)(2)平均值估计法平均值估计法 (3)(3)赔付率法赔付率法 （二）未决赔款准备金(三）保险保障基金 三、寿险责任准备金的提存三、寿险责任准备金的提存(一一)寿险责任准备金的含义寿险责任准备金的含义(二二)提存责任准

15、备金的方式提存责任准备金的方式(三三)寿险责任准备金的计算寿险责任准备金的计算n 由于人寿保险采取均衡保费的缴费方式，因而在投保由于人寿保险采取均衡保费的缴费方式，因而在投保后的一定时期内，投保人缴付的均衡纯保费大于自然后的一定时期内，投保人缴付的均衡纯保费大于自然保费保费( (或支出或支出) )，此后所缴付的均衡纯保费又小于自然，此后所缴付的均衡纯保费又小于自然保费保费( (或支出或支出) )。对于投保人早期缴付的均衡纯保费中。对于投保人早期缴付的均衡纯保费中多于自然保费的部分，不能作为公司的业务盈余来处多于自然保费的部分，不能作为公司的业务盈余来处理，只能视为保险人对被保险人的负债，须逐年

16、提存理，只能视为保险人对被保险人的负债，须逐年提存并妥善运用，以保证履行将来的保险金给付义务。这并妥善运用，以保证履行将来的保险金给付义务。这种逐年提存的负债就是寿险责任准备金。种逐年提存的负债就是寿险责任准备金。n 寿险责任准备金既可以看作是保险人为平衡将来要发寿险责任准备金既可以看作是保险人为平衡将来要发生的债务而提存的资金，也可以看作是保险人还未履生的债务而提存的资金，也可以看作是保险人还未履行保险责任的已收保费的积累金额。行保险责任的已收保费的积累金额。 理论责任准备金提取法；理论责任准备金提取法；修正责任准备金提取法修正责任准备金提取法( (也称实际责任准备金提取法也称实际责任准备金

17、提取法) )。两者的区别在于计算的依据不同，理论责任准备金是两者的区别在于计算的依据不同，理论责任准备金是以均衡纯保费为依据计算的；修正准备金则是根据修以均衡纯保费为依据计算的；修正准备金则是根据修正后的非均衡纯保费计算的。正后的非均衡纯保费计算的。在整个保险期间内，各年的实际责任准备金总不会超在整个保险期间内，各年的实际责任准备金总不会超过理论责任准备金，但两者的差额随着时间延长逐步过理论责任准备金，但两者的差额随着时间延长逐步缩小，直至为零。缩小，直至为零。 1. 1.理论责任准备金的计算理论责任准备金的计算 2.2.实际责任准备金的计算实际责任准备金的计算 n寿险均衡纯保费的计算基于收支

18、平衡原则，即在任何时寿险均衡纯保费的计算基于收支平衡原则，即在任何时点上保险人已收和未来应收的均衡纯保费应等价于保险点上保险人已收和未来应收的均衡纯保费应等价于保险人已付和应付的保险金额。人已付和应付的保险金额。n因此，在保单签定日，收支平衡关系如下：因此，在保单签定日，收支平衡关系如下： 未来应收均衡纯保费的精算现值未来应收均衡纯保费的精算现值= =未来应付保险金额未来应付保险金额的精算现值的精算现值 n移项得：移项得： 未来应付保险金的精算现值未来应付保险金的精算现值- -未来应收均衡纯保费的未来应收均衡纯保费的精算现值精算现值0 0n在保单签定日后的某一时点，收支平衡关系：在保单签定日后

19、的某一时点，收支平衡关系： 已收均衡纯保费的精算积存值已收均衡纯保费的精算积存值+未来应收均衡纯保费的精未来应收均衡纯保费的精算现值已付保险金的精算积存值算现值已付保险金的精算积存值+未来应付保险金的精算未来应付保险金的精算现值现值 n移项得：移项得： 未来应付保险金的精算现值未来应付保险金的精算现值-未来应收均衡纯保费的精算现未来应收均衡纯保费的精算现值已收均衡纯保费精算积存值值已收均衡纯保费精算积存值-已付保险金的精算积存值已付保险金的精算积存值n除非在保单签定日，否则一般情况下上述关系式中的左端差除非在保单签定日，否则一般情况下上述关系式中的左端差额不为零额不为零.这个不为零的差额就是责任准备金。这个不为零的差额就是责任准备金。n由于左右两端差额相等，既可以通过计算左端差额也可以通由于左右两端差额相等，既可以通过计算左端差额也可以通过计算右端差额计算责任准备金，从而得到计算责任准备金过计算右端差额计算责任准备金，从而得到计算责任准备金的两种等价方法：预期法和追溯法。的两种等价方法：预期法和追溯法。 (