数学实践与认识5)

1、 第五章第五章 稳定性问题例讲稳定性问题例讲例例1 1 捕鱼业的持续收获捕鱼业的持续收获 再生资源（渔业、林业等）与再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）非再生资源（矿业等） 再生资源应适度开发再生资源应适度开发在持续稳在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。产前提下实现最大产量或最佳效益。问题问题及及 分析分析 在在捕捞量稳定捕捞量稳定的条件下，如何控的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。制捕捞使产量最大或效益最佳。 如果使捕捞量等于自然增长量，如果使捕捞量等于自然增长量，渔渔场鱼量将保持不变场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。，则捕捞量稳定。背景背景ExNxrxxFtx)1 ()

2、()( )1()()(Nxrxxftx)()()(xhxfxF记产量模型产量模型假设假设 无捕捞时鱼的自然增长服从无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模建模 捕捞情况下捕捞情况下渔场鱼量满足渔场鱼量满足 不需要求解不需要求解x(t), 只需知道只需知道x(t)稳定的条件稳定的条件r固有增长率固有增长率, N最大鱼量最大鱼量h(x)=Ex, E捕捞强度捕捞强度x(t) 渔场鱼量渔场鱼量一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶微分方程的平衡点及其稳定性) 1 ()(xFx 一阶非线性（自治）方程一阶非线性（自治）方程F(x)=

3、0的根的根x0 微分方程的微分方程的平衡点平衡点000 xxxxx设设x(t)是方程的解，若从是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，某邻域的任一初值出发，都有都有,)(lim0 xtxt称称x0是方程是方程(1)的的稳定平衡点稳定平衡点不求不求x(t), 判断判断x0稳定性的方法稳定性的方法直接法直接法)2()(00 xxxFx(1)的近似线性方程的近似线性方程)1 (),2(0)(00对稳定xxF)1 (),2(0)(00对不稳定xxF0)(xF0),1 (10 xrENxErxFrExF)(,)(10产量模型产量模型ExNxrxxFtx)1 ()()( 平衡点平衡点稳定性判断稳定性判

4、断0)(, 0)(10 xFxFrE0)(, 0)(10 xFxFrEx0 稳定稳定, 可得到稳定产量可得到稳定产量x1 稳定稳定, 渔场干枯渔场干枯E捕捞强度捕捞强度r固有增长率固有增长率不稳定稳定10,xx稳定不稳定10,xx产量模型产量模型在捕捞量稳定的条件下，在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大控制捕捞强度使产量最大图解法图解法)()()(xhxfxF)1()(NxrxxfExxh)(0)(xFP的横坐标的横坐标 x0平衡点平衡点2/*0*rxhEmy=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标的纵坐标 h产量产量)4/, 2/(*0*rNhNxPm产量最大产

5、量最大f 与与h交点交点P稳定0 xrEhmx0*=N/2P*y=E*x控制渔场鱼量为最大鱼量的一半控制渔场鱼量为最大鱼量的一半cErEpNEESETER)1 ()()()()1 (4222NpcrNhRcEpExSTR效益模型效益模型假设假设 鱼销售价格鱼销售价格p 单位捕捞强度费用单位捕捞强度费用c 单位时间利润单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大强度使效益最大.)/1 (0rENx稳定平衡点稳定平衡点求求E使使R(E)最大最大)1(2pNcrERpcN22)1 (rENxRR渔场渔场鱼量鱼量2*rE收入收入 T = ph(x) = pEx

6、支出支出 S = cEEsS(E)T(E)0rE捕捞捕捞过度过度 封闭式捕捞封闭式捕捞追求利润追求利润R(E)最大最大 开放式捕捞开放式捕捞只求利润只求利润R(E) 0cErEpNEESETER)1 ()()()(R(E)=0时的捕捞强度时的捕捞强度(临界强度临界强度) Es=2ER)1 (rENxsspc临界强度下的渔场鱼量临界强度下的渔场鱼量 cp,捕捞过度捕捞过度ER)1(2pNcrERE*令令=0)1 (pNcrEsssxE,例例2 军备竞赛军备竞赛 描述双方描述双方(国家或国家集团国家或国家集团)军备竞赛过程军备竞赛过程 解释解释(预测预测)双方军备竞赛的结局双方军备竞赛的结局假设假

7、设 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快；方军备增加越快； 2）由于经济实力限制，一方军备越大，对）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；自己军备增长的制约越大； 3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力。在增加军备的潜力。进一步进一步假设假设 1）2）的作用为线性；）的作用为线性；3）的作用为常数）的作用为常数目的目的gkyxtx)( 建模建模军备竞赛的结局军备竞赛的结局微分方程的平衡点及其稳定性微分方程的平衡点及其稳定性x(t)甲方军备数量，甲方军备数量， y(t)乙方

8、军备数量乙方军备数量hylxty)( , 本方经济实力的制约；本方经济实力的制约； k, l 对方对方军备数量的刺激；军备数量的刺激；g, h 本方本方军备竞赛的潜力。军备竞赛的潜力。t 时的时的x(t)，y(t)线性常系数线性常系数微分方程组微分方程组dycxtybyaxtx)()(的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点P0(x0,y0)=(0,0) 代数方程代数方程00dycxbyax的根的根若从若从P0某邻域的任一初值出发，都有某邻域的任一初值出发，都有,)(lim0 xtxt称称P0是微分方程的是微分方程的稳定平衡点稳定平衡点,)(lim0ytyt记系数矩阵记系数矩阵dcba

9、A特征方程特征方程0)det( IAAqdapqpdet)(02特征根特征根2/ )4(22, 1qpp线性常系数线性常系数微分方程组微分方程组dycxtybyaxtx)()(的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性特征根特征根2/ )4(22, 1qpp平衡点平衡点 P0(0,0)微分方程一般解形式微分方程一般解形式ttecec2121平衡点平衡点 P0(0,0)稳定稳定平衡点平衡点 P0(0,0)不稳定不稳定 1,2为负数或有负实部为负数或有负实部p 0 且且 q 0p 0 或或 q kl 下下 x(t), y(t)0, 即友好邻国通过裁军可达到永久和平。即友好邻国通过裁军可达到永久和平。hylxtygkyxtx)()(模型模型 , 本方经济实力的制约；本方经济实力的制约； k, l 对方对方军备数量的刺激；军备数量的刺激；g, h 本方本方军备竞赛的潜力。军备竞赛的潜力。3）若）若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时不为零，即便双方一时和解，使某时x(t), y(t)很小，但因很小，但因 ，也会重整军备。，也会重整军备。0, 0yx4）即使某时一方）即使某时一方(由于战败或协议由于战败或协议)军备大减军备大减, 如如 x(t)=0， 也会因也会因 使该方重整军备，使该方重整军备，gkyx 即存在互不信任即存在